книги из ГПНТБ / Евтянов С.И. Импульсные модуляторы с искусственной линией

используя правило дифференцирования под знаком ин­ теграла. В последнем случае получим

После простых преобразовании, замены пределов инте­ грирования и привлечения тождества из теории функ­ ций Бесселя Л (/)= —J'o{t) получаем

При составлении этого выражения было принято во внимание, что из второй экспоненты под интегралом в (4.15) образуется 6-функция по формуле

ae_et^8(f). (4.19)

Составим выражение для отраженной волны соглас­ но (4.5). Для упрощения задачи считаем и= 0, т. е. при т = \ не будем учитывать некоторый эффект отражения падающей волны от нагрузки на вхоДе ИЛ. Тогда вме­ сто (4.5) имеем

80

идеальное запаздывающее звено, то надо заменить у—2р.

Это значит, что каждое звено ИЛ вносит запаздывание, равное 2 (в ’безразмерных единицах), а волна, пробе­ жавшая по ИЛ с числом звеньев п в прямом и обрат­ ном 'направлениях, получает запаздывание 4п. Учиты­ вая, что входная цепь вносит запаздывание для фронта

волна для ИЛ при единичном скачке напряжения на ее входе описывается интегральной функцией Бесселя по­ рядка 4л. Поэтому можно предположить, что с учетом влияния входной цепи отраженная волна будет хорошо

Это выражение можно объяснить следующим образом: для упрощения задачи мы заменяем цепь на входе ИЛ эквивалентным звеном, вносящим запаздывание ^о, остальные параметры которого совпадают с параметра­ ми звеньев ИЛ, т. е., говоря иначе, мы пренебрегаем неоднородностью входной цепи относительно ИЛ.

На рис. 4.2 представлено семейство графиков пада­ ющей волны при /п=1, построенных для а = 0, 1, 2 по (4.12). На рис. 4.3 представлены импульсы на нагрузке при л=10 и о=1, 2. Поскольку отраженная волна зависит от /г, то и универсальность безразмерного вре­ мени на рис. 4.2 теряется при переходе к рис. 4.3, где взято другое нормированное время tilx.

Из рисунков видно, что емкость, шунтирующая на­ грузку, искажает не только фронт импульса, но и его вершину. Для иллюстрации влияния Сн на форму им­ пульса приведем величины относительной амплитуды осцилляций на вершине при разных значениях а. В скоб-

Рис. 4.2. Фронт и вершина импульса па комплексной на­ грузке для трех значений емкости, шунтирующей на­ грузку С„ —аС/2, при включении дополнительной индук­ тивности £ д= І/2, индуктивность, параллельная нагруз­ ке, не включена (L„ = oo) (рпс. 4.1).

Рис. 4.3. Форма импульса на комплексной нагруз­ ке для двух значений емкости, шунтирующей на­ грузку Сп = аС/2, при і д= і/2 , £ п= ° ° и п—10.

82

и0 = 2 относительно 0 = 0 крутизна фронта на уровне,

близком к стационарному (0,7—0,9 щ ), почти такая же, как и при ст = 0. Это указывает на то, что шунтирующая емкость не столько заваливает фронт импульса, сколько вносит запаздывание.

На рис. 4.5 показана зависимость относительной амплитуды первого выброса от величины нормирован­ ной емкости ст. Вычисления производились по формуле

Рис. 4.5. Зависимость относительной амплитуды перво­ го выброса па вершине импульса от коэффициента о,

.характеризующего емкость, шунтирующую нагрузку.

(4.12) для ряда значений а (с шагом 0 = 0,2). Из рисун­ ка 'видно, что первый выброс, а значит, и все осцилля­ ции на вершине максимальны при 0 = 1 . Учитывая, что при іи= 1 %=С„/0,5С, видим, что о = 1 соответствует Сц=С/2, т. е. осцилляции на вершине 'будут максималь­

ствующее число ячеек п. Из рис. 4.5 видно, что при за­

нагрузке, приведенной на рис. 4.1, но без ЬЕ. При этом ИЛ заменялась активным сопротивлением, равным ха­ рактеристике ячейки р. Причем рекомендовалось для

84 .

получения ми'ним'ального времени установления импуль­ са при Д - р выполнять соотношение

При этом осцилляции на вершине импульса равны 4%., Изменение С„ в обе стороны от значения, при котором выполняется условие (4.24), приводит к уменьшению осцилляций, но к увеличению времени установления импульса. В 'нашем же случае для выполнения (4.24) при LR=L/2 следует положить Са=С/2. Однако было установлено из рис. 4.2, что при таком значении С„ осцилляции на вершине 'максимальны и достигают 21,4%, при этом время установления импульса отлича­ ется от минимального значения. П-ричем оно увеличива­ ется с увеличением емкости Си. Разница в полученных результатах объясняется тем, что характеристическое сопротивление w ИЛ считалось независимым от частоты и равным р.

4.4. Зависимость формы импульса от емкости, шунтирующей нагрузку, не согласованную с характеристикой ячейки р

В знаменателе содержится полином второй степени, его коэффициенты связаны с исходными параметрами зада­ чи равенствами

Представим указанный полином в виде произведения простых множителей, содержащих его корни:

. 85

Это выражение похоже па (3.65), которое уже было исследовано. Во всяком случае, (4.31) можно разложить на аналогичные компоненты, и поэтому можно использо­ вать 'временные соответствия, которые применялись при исследовании (3.65). Поэтому напишем сразу времен­ ную функцию, соответствующую (4.31),

когда одни из коэффициентов характеристического по­ линома Ь0, b1 , Ьг обращается в нуль. При этом соответ­ ственно изменяются значения характеристических кор­ ней cfi, аз (обращаются в нуль, бесконечность или ста­ новятся комплексными сопряженными).

Рассмотрим характеристические корни полинома при Ь2= 0, что согласно (4.27) соответствует т= 1. Непосред­

Можно заметить, что значение одного из корней совпа­

Рассмотрим характеристические корни полинома при 6о= 0, что согласно (4.27) соответствует 2пг = а. В этом случае полином второй степени в (4.26) вырождается

86

ß полином первой степени, из которого можно получить выражение для одного из характеристических корней:

При этом второй корень мигрирует в бесконечность:

а2—*-6i/ft0 = l/(2m—а)—-+-±оо.

Те же значения корней можно получить и из (4.29), (4.30), соблюдая правила предельных переходов. Таким образом, в выражении (4.32) останется одна экспонента. После небольших преобразований получим

(4.35)

Изменяя пределы интегрирования первого интеграла, придадим этому равенству более компактную форму:

Для дальнейших исследований запишем выражение (4.32) в другой форме. Дело в том, что это уравнение «непрозрачно» в том смысле, что из него не видно ста­ ционарного Ui(t— »~oo) и 'Начального иДО) значений амплитуды импульса..В (4.32) в весовых множителях при экспонентах почти отсутствуют параметры нагрузки, входящие в исходное выражение (4.26), но присутству­ ют корни характеристического уравнения. Исследования показали, что при замене экспонент гиперболическими функциями можно получить наглядную форму записи. Для сокращения записи -введем следующие обозначения:

csh t = 0,5 (е~“2І -f-

snh'f = 0,5 (e~ait — e~a,t).

87

Введенные здесь функции удойны потому, что они име­ ют следующие начальные значения csh 0= J, snh0 = 0. Если учесть, что си и а2 есть корни квадратного харак­ теристического уравнения, и ввести для них обозначение

ai,2= ß±a,

где

о, = 1 4 - 1 .

то гиперболические функции переходят в тригонометри­ ческие. В этом случае используем для новых функций те же обозначения, но без буквы Іг, а именно:

csh i = cs t, snh t = i sn t.

Таким образом, будем иметь

cs t = cos a je ~ ?l, sn t = sin a je ~^

Говоря иначе, введенные функции есть гармонические функции с затуханием по показательному закону. Преи­ муществом этого обозначения является более компакт­ ная форма записи.

После введения указанных обозначений и преобразо­ ваний выражение (4.32) приобретает вид

аЛі) = ^ г Ь т Г1 - c s h f + (l — у .)^р

8 8

Из (4.30) -следует, что при 60> 1 характеристические корни полинома становятся комплексными сопряженны­ ми, т. е. величина а 'Получается мнимой. Тогда вместо (4.38) получаем

Рассмотрим (4.39), когда обращается в нуль 'Веще­ ственная часть корней ,ß = 0. Это соответствует а=т. Такое положение -возникает, когда между емкостью, шунтирующей нагрузку, и емкостью звена справедливо соотношение СН=С/2, т. е. %=1. Тогда согласно (4.27) &і= 0, Ьй = т2, а из (4.37) следует

С учетом условия ß= 0 и равенства (4.40) вместо (4.39)

получим

І

2sin 2 ам//2

щ(/) 9

0

С другой стороны, можно рассмотреть это выражение

89