книги из ГПНТБ / Евтянов С.И. Импульсные модуляторы с искусственной линией

нован на использовании операционного исчисления, тео­ рии фильтров и ее аналогии с теорией длинных линий. Выражение для напряжения на нагрузке представляется в виде ряда, члены которого трактуются как аналоги па­ дающей и отраженной волн.

2.1. Уравнения, описывающие форму импульса на нагрузке

На основании теоремы об эквивалентном генераторе можно утверждать, что ток в нагрузке не изменится, если его формирование происходит не в процессе раз­ ряда предварительно заряженной искусственной линии до напряжения Е, а в лроцессё ее заряда от источника

Рис. 2.1. Эквивалентная схема импульсного моду­ лятора для расчета напряжения на активной на­ грузке.

напряжения Е. Поэтому в дальнейшем при исследовании переходных процессов в искусственной линии будем пользоваться схемой на рис. 2.1, где R — активная на­ грузка искусственной линии (ИЛ), К —-ключ, заменяю­ щий коммутирующий элемент.

В связи с использованием для исследования переход­ ных процессов в ИЛ операторного метода вместо функ­ ций времени, например напряжений и токов, будем при­

случаях, где это не .может вызвать недоразумений, аргу­ мент опускается для сокращения записи.

Заметим, что поскольку введенный оператор р безраз­ мерный, то и соответствующее ему врелія t будет тоже безразмерным, связанным с реальным временем ti выра­ жением t=mti-

Цепочечную ИЛ, состоящую из п ячеек, можно пред­ ставить в виде каскадного соединения Т-образных звень-

20

zâx

Рис. 2.2. Цепочечная ИЛ в виде каскадного соединения Т-образных звеньев фильтра иижшіх частот.

ев фильтра нижних частот без потерь (рис. 2.2). Из тео­ рии фильтров [5] известно, что характеристическое со­ противление ш Т-образного фильтра нижних частот при

частоте среза coo = 2/l/"LC выражается через безразмер­ ный оператор

где характеристика ячейки р =]/~Ь/С

Характеристическая постоянная у определяется выра­ жением

Из последного равенства находим

Для ИЛ с п ячейками входные напряжение «Вх.и ток г'вх связаны с выходными напряжением ивых и током івых следующими операторными соотношениями:

Кх 0°) = ( “ вых/®) sh у/г+ W ch уя.-

Следовательно, входное сопротивление разомкнутой на

где коэффициент передачи K ( p ) = R / ( R + ' z BX).

21

Подставляя значения К(р) и 2 nx в (2.7), получаем

Проведем анализ процессов в ИЛ методом Даламбера, который сводится к представлению напряжения в ли­ нии и на нагрузке в виде суммы падающих и отражен­ ных волн. Для этого в (2.8) выразим cth уп через экс­ поненты:

cth yn = (l -f- e~2j")/(l — е~21''),

и введем обозначение для коэффициента отражения от нагрузки R на входе ИЛ: x = (R —w)/(R+w). Тогда после преобразований из (2.8) найдем

Выражение (2.10) представляет сумму компонент, ко­ торые можно трактовать как аналоги волн в длинной линии. При этом первое слагаемое описывает падающую волну, второе — волну, возникающую после двойного пробега первой волны по ИЛ с полным отражением от разомкнутого конца и отражением от нагрузки, что учи­ тывается множителем (I—х).

Следующий член, содержащий e-47", характеризует волну, возникающую после четырехкратного пробега па­ дающей волны по ИЛ, и т. д. Так как появление отра­ женных волн зависит от степени согласования нагрузки с характеристическим сопротивлением линии, здесь уме­ стно сделать замечание, какой смысл вкладывается в это понятие. Под согласованием в полном смысле этого сло­ ва следует понимать выполнение условия R = w, тогда коэффициент отражения х = 0 . Однако из (2.2) видно, что w является иррациональной функцией р, и если на­ грузка активна, то такое согласование невозможно. Поэ­ тому можно говорить о согласовании в узком смысле

22

йЛи 'ö .квазисогласовании в окрестности нулевой частоту,

При этом, строго говоря, кфО, но в некотором диапазо­ не частот, примыкающем к © =0, согласование будет до­ статочно хорошим, например, при со = 0,45соо ® ^0,9р. Поэтому в дальнейшем под согласованием будет пони­

в диапазоне частот со^0,45юо он мал, и можно допу­ стить, что не будет большой ошибкой считать и—0.

форму импульса на нагрузке и поэтому их можно не учитывать. При отсутствии согласования эти компоненты могут достигать значительной величины, однако их мож­ но не учитывать, если применяется коммутирующий эле­ мент жесткого типа, который закрывается до того мо­ мента, когда произойдет полный разряд ИЛ.

Учитывая сказанное, оставим в (2.10) только две ком­ поненты и запишем выражение в следующем виде:

В выражении (2.11) первая компонента Ui(p) соот­ ветствует падающей волне в начале линии, а вторая и2(р) — волне, отраженной от начала ИЛ, т. е. совершив­ шей двукратный пробег. Можно утверждать, что первая компонента описывает фронт и вершину импульса, так как из-за эффекта запаздывания вторая компонента еще не будет заметна. За время двойного пробега волны на­ пряжение, соответствующее первой компоненте, можно считать установившимся и равным Ui(t)-r*-Em/(m+l)

23

fijjii p—Д). К этому времени начинает влиять вторая компонента, которая вместе со стационарным значением первой компоненты описывает спад импульса.

Перейдем к подробному исследованию выражения (2.12), описывающего фронт и вершину импульса.

2.2. Фронт и вершина импульса на нагрузке, согласованной с характеристикой ячейки р

Рассмотрим случай, когда сопротивление нагрузки/? равно характеристике ячейки р, т. е. т — 1.

Операционное выражение для падающей волны Ui(p) согласно (2.12) при замене Е(р) = 1/р приобретает вид

Чтобы найти временное выражение Ui(t), соответствую­ щее «і(р), проведем в (2.14) необходимые преобразо­ вания, после чего получим

(2.15)

• + р 2 - О -

Дальнейшие преобразования этого равенства могут быть различными в зависимости от того, в какой форме мы хотим получить временное представление u\(t). По­ скольку равенство (2.15) является произведением некото­ рых операционных выражении, розможно применение свертки во временной области. Одиако поскольку пер­ вый сомножитель есть отрицательная степень операто­ ра р, то возможна его интерпретация как многократного (в данном случае трехкратного) интеграла по времени/. Наконец, второй сомножитель содержит радикал, что дает возможность интерпретировать это выражение при помощи функций Бесселя. Для разных вариантов вы­ ражений с функциями Бесселя существуют разные опе­ рационные представления, и потому выражение в скоб­ ках в (2.15) может трактоваться различным образам.

Рассмотрим различные варианты решения равенства (2.15). Начнем с того, которое представляется наиболее важным, а именно с привлечения следующего операци-

онного соответствия между радикалом' V 1+рг и функ­ цией Бесселя первого порядка:

(2.16)

24

Чтобы использовать это соответствие в (2.15}, -лрпбавіі-м к радикалу и отнимем от него оператор р и, перегруппи­ ровав плены, запишем

.'Применив известное операционное соответствие между отрицательными степенями оператора р и параболиче­ ской временной функцией {23]

а также свертку во временной области, получаем сле­

дующее представление временной функции:

і

ц,(*)=*--т+| (2Л9)

Ту же временную функцию можно получить и в дру­ гой форме, если трактовать деление последней компонен­ ты в (2.17) на р как многократный интеграл во времен­ ной области:

Обе записи (2.19) и (2.20) эквивалентны.

Другой способ преобразования равенства (2.15) со­ стоит в использовании операционного соответствия меж­ ду радикалом и функцией Бесселя нулевого порядка

На основании встречавшихся ранее операционных соот­ ветствий и теорем операционного исчисления получаем

** oJ

25

Для построения фронта и вершиііы импульса целе­ сообразно исходит из выражения (2.19). Однако омо не­ удобно для непосредственных вычислений, поэтому пре­ образуем его. Развернем двучлен под интегралом и про­ ведем почленное интегрирование, тогда лолушм

В этом выражении содержится три интеграла от функ­ ции Бесселя. Наиболее подробные таблицы имеются для первого интеграла, поэтому целесообразно свести два 'последних интеграла к первому.

Из теории функции Бесселя (25] имеем

Это равенство приведено в приложении 3 под номером

27

Тогда выражение (2.29) приобретает вид

«, (о = - 4 + 4 + (о + 4 - w +

Таким образом, мы получили выражение, описывающее фронт и вершину импульса, в котором содержится толь­ ко один интеграл. В [26] существуют подробные таблицы для интеграла с тон же подынтегральной функцией, но с другими пределами (t— >-оо). Поэтому сделаем замену пределов интегрирования по схеме

Как отмечалось раньше, безразмерное время t связа­ но с реальным Л равенством

При анализе влияния числа ячеек ИЛ на форму импуль­ са на нагрузке наряду с этой нормировкой времени иног­ да будет применяться другая. Для этого используем связь соо с заданной длительностью импульса т п числом ячеек п, которую можно установить из (2.3). Когда ча­ стота среза достаточно высока, соо— >-оо, то можно со­ гласно (2.1) считать р—>-0. При этом из (2.3) следует у/2—р, и множитель в (2.10), учитывающий двойной пробег волны по линии, будет е-4пР. Известно, что время двойного пробега но идеальной линии выбирается рав­ ным длительности импульса т. Изложенные рассужде­ ния приводят к выводу, что частота среза должна быть связана с длительностью импульса и числом ячеек соот­

28

Таким образом, получаем следующую связь безразмер­ ного времени t с обычным временем t\:

(=4и(і/т. (2.41)

Это равенство показывает, что если за масштаб времени принять длительность импульса т, формируемого иде-

Рііс. 2.3. Фронт н вершима импульса па нагрузке R в схеме на рис. 2.1, вычислен­ ные по (2.38).

альноп линией, то безразмерное время t зависит от числа ячеек.

На рис. 2.3 представлен график m(t), вычисленный по формуле (2.38). Для построения графика сначала на­ ходим значения t, при которых функция (2.38) прини­ мает экстремальные значения. Для этого вычислим 3-ю производную от (2.38):

которых в [26] имеются таблицы. При достаточно боль­ ших t нулевые значения функции (2.42) будут соответ­ ствовать экстремумам исходного выражения (2.38), так как функция Бесселя при значениях аргумента, превы-

29