книги из ГПНТБ / Евтянов С.И. Импульсные модуляторы с искусственной линией

Структура этого выражения аналогична структуре выра­ жения для напряжения на нагрузке, например в форме (3.1), если считать т = 1, р .= 1 и не учитывать множи­ тели, характеризующие волны, пробежавшие по линии 4

е*)1. Казалось бы можно использовать те же пре­

образования, что и іпрп исследовании формы импульса на нагрузке согласно (3.1). Однако .в данном случае старые приемы не (позволят получить формулы для определения тока через индуктивность при разных значениях /г. На­ пример, если /г заметно 'больше единицы, то первый мно­ житель в (5.21) ‘можно интерпретировать ікак единичный скачок, а экспоненты в квадратных скобках— как инте­ гральные функции Бесселя согласно (2.45). Однако такой подход дает неудовлетворительный результат для звень­ ев с малым номером, например когда /г = 0, 1, 2. Поэтому необходимо найти более универсальное решение, пригод­ ное для значений k, изменяющихся от 0 до (п—1). Ниже излагается это решение задачи.

Считая в (5.21) т= 1, освободимся от радикала в зна­ менателе, а в числителе заменим (выражение с радика­ лом согласно (5.2), тогда получим

Для сокращения записи введем обозначение

После простых преобразований получим

Из сопоставления (5.2) и (5.23) следует равенство

Учитывая сказанное, запишем выражение (5.22) следую­ щим образом:

120

Компоненты этого выражения можно выразить -во вре­ менной области либо через двукратные интегралы от интегральных функций Бесселя разных порядков, либо как свертку этих функций с функцией t. Тогда каждая такая свертка -распадается на сумму интегралов от -про­ стых и интегральных функций Бесселя. Существует еще и другой способ, который состоит в следующем. В выра­ жении (5.26) содержатся разности четных и -нечетных степеней функции X, которые можно выразить через суммы нечетных и четных степеней X. Для этого перепи­ шем тождество (5.24), умножив его на Х2к затем на Х2,'+2 и Х2,і+4 и т. д. Получим систему равенств

(5.27)

Если сложить -равенства (5.27), то в левой части уничтожатся все члены, кроме самого первого и самого последнего, и мы -получим

(1,12p) (X 2,1— Х2'і+6) = Х 2к+1 + Х-к+3 + X2ft+5. (5.28)

Равенство (5.28) легко -поддается обобщению -при лю­ бом числе -слагаемых и позволяет записать выражение (5.26) в следующем виде:

Необходимо -подчеркнуть, что из -вывода -равенства (5.29) следует, что оно справедливо только для k ^ n —1. Для k = n равенство (5.29) становится неверным, так как в этом случае г„=0. Это замечание следует иметь в виду и для -последующих -формул, вытекающих из (5.29).

Заменим X операционным выражением в соответст­ вии с (5.23):

2n—k—i

М/>) = 2 J ] [((Л + F ~ p f + ' ~ ( / l + P 2- p f +2] - у .

(5.3C)

121

\

Временные функции для входящих в (5.30) операцион­ ных выражении хорошо известны — это интегральные функции Бесселя:

зоваться для построения графиков тока, однако омо не­

ѵ= Л

Вэтом же приложении приводится п другая приближен­ ная формула, аналогичная (5.32), но с заменой в индексе 3/2 на 1:

ѵ=/г

Замена индексов приводит к некоторой ошибке во вре­ менном сдвиге. Формулой (5.32) можно пользоваться для определения токов через индуктивности ИЛ с числом звеньев п ^ 5 , так как имеющиеся в [30] таблицы сфери­ ческих функций Бесселя обрываются при t = 25. Форму­ лой (5.33) можно пользоваться для определения токов через индуктивности при п^ЗО, так как в [31] имеются подробные таблицы для функций Бесселя целого по­ рядка.

На рис. 5.3 показан график тока на выходе девятого звена ИЛ, рассчитанный по (5.33), при числе звеньев п= 10. Для удобства сравнения графиков токов с осцил­ лограммами на рис. 5.8 здесь и далее вместо 4 строи­ лось (—4). На рис. 5.3 пунктиром построен импульс тока, рассчитанный по приближенной формуле (5.20),

122

в которой не учитываются искажения фронта импульса при распространении волн тока вдоль звеньев ИЛ. Ина­ че говоря, показанный пунктиром импульс на рис. 5.3 подобен одному из импульсов на рис. 5.2 с надлежащим изменением нормировки времени, о чем будет сказано позже. Из рис. 5.3 видно, что графики, вычисленные по

Ч/і

0,2

О

-0,2

-ол

-0,6

-0,8

- 1,0

Рис. 5.3. Ток через индуктивность девятого зве­ на *9 пли емкость іс ю десятого звена ИЛ при

и =10 (5.33).

Пунктиром показан ток, рассчитанный по приближенной формуле (5.20) в предположении, что звенья ИЛ вносят только запаздывание.

приближенной и более точной формулам, не совпадают. График тока, построенный по (5.33), отображает осцил­ лирующий ирощесс, частота которого возрастает с тече­ нием времени, а амплитуда затухает. Причем момент пикового значения тока через индуктивность совпадает с серединой импульса, рассчитанного по приближенной формуле, однако высота пика отличается от высоты иде­ ального импульса и составляет 80% от тока нагрузки.

Отметим, что на рис. 5.3—5.6 вместо ‘безразмерного времени / = соо/т (рис. 5.2) применяется безразмерное вре­ мя t = tl/r, отнесенное к длительности импульса т, фор­ мируемого ИЛ,, состоящей из п звеньев с идеальным за-

123

Lci/l

Пунктиром показан ток, рассчитанный по приближенной форму­

ле (5.20) в предположении, что звенья ИЛ вносят только за­ паздывание.

паздываинем. Указанные безразмерные времена связаны между собой следующим соотношением:

Исследуем выражение для тока через емкость (5.14). После замен, аналогичных тем, которые делались при

124

С учетом (5.25) запишем это равенство следующим об­ разом:

^•СА+,(Р) = 1^ 1 (1 - Х Н Л ^ + Х М - 2) ^ . (5.37)

Заменим -первый сомножитель этого равенства согласно (5.24), тогда -получим

Переходя к временным функциям, получим выражение, содержащее интегральные функции Бесселя различных порядков:

ставляет известные трудности, поскольку отсутствуют таблицы для интегральных функции Бесселя высокого порядка. Для нахождения этих функций мы применяли формулы, выражающие их в виде рядов, членами кото­ рых являются простые функции Бесселя. Этот вывод при­ веден в приложении 5.

Формулу (5.39) можно записать -приближенно в более компактной форме через функции Бесселя с полуцелым индексом, подобно тому, как это делалось -при переходе от (5.31) к (5.32). Это -приводит к следующему резуль­ тату:

У2 ic É+I (0 = (2/е + У2) Л*+ѵ, № + 4n!Jw (t)ft, (5.41)

где 4n' = 4п—(2/г+ '/а) •

Формулой (5.41) можно пользоваться при-вычислении эффективного значения токов через емкости ИЛ, о чем будет сказано дальше.

Рассмотрим графики токов через различные емкости ИЛ, рассчитанные по формуле (5.39) (рис. 5.4—5.6).

126

Заметим, что поскольку на рис. 5.3 изображен график тока на выходе предпоследнего звена IIЛ, то его можно рассматривать как трафик тока через последнюю емкость

ИЛ (іс?і = /п—О* На рис. 5.4—5.6 пунктиром показаны графики токов,

рассчитанных но приближенным формулам, как на рис. 5.2. Из рисунков следует, что форма токов, получае­ мая при замене звеньев ИЛ звеньями с идеальным за­ паздыванием, существенно отличается от истинной.

Сравнивая рис. 5.3—5.6, можно отметить, что высота и 'форма импульса тока через емкость зависит от ее по­ ложения в ИЛ. В частности, только в первой С1 (рис. 5.4) и последней СЮ (рис. 5.3) емкостях пиковое значение тока близко к величине тока в нагрузке / и достигает 0,86/ и 0,8/ соответственно. В промежуточных же емко­ стях оно меньше и достигает для СЗ (рис. 5.5) 0,62/, для С7 (рис. 5.6) 0,5/. Кроме того, проведенные расчеты

С9 — 0,5/. Из сопоставления графиков, рассчитанных по точной и приближенной формулам, мы видим, что пико­ вое значение тока в идеальном импульсе близко к ре­ альному только для первой и последней емкостей (14% и 20%). Для других емкостей пиковое значение тока почти вдвое меньше.

5.4. Расчет эффективных значений токов

вэлементах ИЛ и потерь в индуктивностях

Впредыдущих параграфах токи в элементах ИЛ определялись в предположении, что эти элементы чисто реактивны. Можно ожидать, что эти токи не изменятся при учете малых активных сопротивлений элементов ИЛ. Следовательно, выведенные формулы можно использо­ вать при определении мощностей, теряемых в активных сопротивлениях элементов.

Определим эффективное значение тока //ш через индук­

тивности ИЛ. Учитывая, что полученные .формулы опре­ деляют безразмерный ток іь/І, а время t в этих форму­ лах также безразмерное (/ = ыо/і), получим

127