книги из ГПНТБ / Бескровный Н.Т. Экономика и оптимизация надежности и ремонта горношахтного оборудования

распределения отказов различных видов; создаются предпосылки для углубленного анализа причины и следствий отказов и т. д.

При наличии значительного числа наблюдений обработку исход­ ных данных удобно проводить с помощью ЭВМ по специальным про­ граммам [6]. Это позволяет сократить время на проведение исследо­ ваний.

Виды функций распределения случайной величины (распределения наработки) и связь между основными параметрами надежности

Наличие в современных горных машинах н средствах автоматики разнообразных узлов, среди которых встречаются механические, гидравлические, пневматические, электрические, радиоэлектронные и другие узлы со свойственными им условиями работы, приводит к тому, что при изучении надежности возможно рассмотреть различ­ ные виды распределений отказов.

В теорип надежности наиболее часто встречаются следующие распределения отказов: экспоненциальное, нормальное, Вейбулла, логарифмически нормальное, гамма, Релея и др.

По данным литературы [21], [47], наработка на отказ многих невосстанавливаемых изделий — элементов средств автоматики и радиоэлектронной аппаратуры, а также тканых сит для углеобога­ тительных фабрик, радиально-поршневых насосов НП-120 в гидра­ влических механизмах подачи [1], магнитных логических элементов типа ЭПМ и основной части транзисторных элементов серии ЭТ аппаратуры горной автоматики [51], подчиняется экспоненциаль­ ному распределению. Это распределение используется при рассмо­ трении внезапных отказов в тех случаях, когда явления износа п старения настолько слабо выражены, что ими мояшо пренебречь.

В работе [25] имеются указания на то, что для узлов и агрегатов, отказ которых происходит главным образом в результате трения и действия коррозионных и эрозионных процессов, характерно нор­ мальное распределение наработки на отказ. Имеются сведения, что отказы шахтных насосов главных и участковых водоотливных уста­ новок и отказы центрифуг на углеобогатительных фабриках распре­ делены нормально.

Наработка на отказ у многих невосстанавливаемых изделий имеет распределение Вейбулла и логарифмически нормальное. К этим изделиям относятся, например, подшипники качения, рабочие колеса шламовых насосов, некоторые типы электронных ламп, некоторые полупроводниковые приборы, некоторые изделия, у которых отказ наступает вследствие усталостного разрушения. В работе [2] отме­ чено, что наработка на отказ основных узлов шахтных вагонедок хорошо согласуется с распределением Вейбулла.

Гамма-распределение используется при оценке надежности эле­ ментов и систем в начальный период эксплуатации, при исследова­ нии надежности механических и электромеханических устройств,

10

элементов высоконадежной электронной аппаратуры с интенсив­ ностью отказов, уменьшающейся во времени. Кроме того, гаммараспределение описывает распределение времени отказов систем, резервированных способом замещения, если наработка на отказ основной и резервной систем подчиняется экспоненциальному за­ кону.

Распределение Релея часто используется при исследовании надеж­ ности электронных ламп.

На практике возможны и такие случаи, когда имеют место более сложные законы, например, композиции нормального и экспонен­ циального распределений.

Такое распределение более всего удовлетворяет слу­ чаю, когда узлы и детали подвержены как постепен­ ным, так и внезапным от­ казам [36]. В реальных условиях весьма вероятны и более сложные компози­ ции и суперпозиции раз­ личных законов.

Ниже приводится кон­ спективный перечень об­ щих сведений и основных уравнений распределений, наиболее часто встреча­ ющихся в теории надеж­ ности. Таблицы для этих распределений приводятся во многих книгах по тео­ рии надежности и матема­ тической статистики. В

дальнейшем будем рекомендовать таблицы Я. Б. Шора и Ф. И. Кузь­ мина [72].

Нормальное распределение. Плотность вероятности нормального распределения находится по уравнению

Изучение нормальной кривой показывает, что она определяется некоторыми основными характеристиками, приведенными на рис. 1. На этом рисунке видно, что 99,73% площади под кривой лежит в пределах шести квадратических отклонений, т. е. по три средних квадратических отклонения по каждую сторону от среднего значе­ ния. Аналогично 95,49% площади лежит в пределах четырех сред­ них квадратических отклонений и 68,26% в пределах двух подобных

11

отклонений. Кроме того, можно заметить, что среднеквадратическое отклонение равно х/6 размаха. Это очень хорошая оценка, так как на рисунке видно, что за трехсигмовыми пределами остается по 0,135% площади на каждую сторону.

В практических приложениях удобно пользоваться нормирован­

Для центрированного и нормированного распределения плот­ ность вероятности табулирована и приведена в [72, табл. 1].

Переход к / (х) на основании уравнений (1), (2) можно осущест­

Пример. Пусть заданы а — 50; т = 10; х = 40. Требуется опре­ делить плотность вероятности. В соответствии с уравнениями (4), (3), и [72, табл. 1] находим

Для нормированного и центрированного распределения имеем функцию

Эта функция табулирована и приведена в [72, табл. 1. 21. Из уравнения (6) следует, что

Переход к F (х) на основании уравнений [см. (5), (6)1 можно осуществить по формуле

12

Если наработка я до отказа распределена по нормальному закону, то вероятность отсутствия отказа на промежутке от 0 до ж нахо­ дится по уравнению

Пример. Пусть наработка до отказа имеет нормальное распреде­ ление с параметрами а — 500 ч и о — 100 ч.

Определить вероятность безотказной работы для наработки х = = 200 ч и X = 700 ч.

По уравнению (9) находим

Р (20О)= ^ ( 50° - о200 ) = ^ о(3).

На основании [72, табл. 1.2] находим

Р(3) = 0,998650.

Аналогично находим

P (700) = ^(500^700 ) = JP ( _ 2)I

На основании уравнения (7) и [72, табл. 1.2] находим

Р (700) = 1- F0(2) = 1 - 0,97725 = 0,02275.

Таким образом, можно утверждать, что в первом случае отказа практически не произойдет, во втором случае вероятность безотказ­ ной работы на интервале от 0 до 700 ч мала.

Интенсивность отказов находится по уравнению

табулированная функция [72, табл.. 1.4].

Аналогично находим

13

Экспоненциальное распределение. Распределение случайной поло­ жительной величины называется экспоненциальным, если его плот­ ность вероятности имеет вид

где X — постоянная (параметр распределения).

Функция экспоненциального распределения находится по уравне-

ншо F{t) = 1—е-м. (13)

Если t — наработка, то вероятность безотказной работы на интер­ вале от нуля до t будет

Знак ехр читается экспонента и обозначает число е в степени, приведенное за ним в скобках.

Вычисление по уравнению (14) удобно производить по функции

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины t, распределенной по экспоненциальному закону, находится по фор­ мулам

Пример. В условиях предыдущего примера определить среднюю наработку до отказа Тср и дисперсию.

По формуле (15) находим

Коэффициент вариации для экспоненциального распределения

Распределение Вейбулла. Случайная положительная величина t имеет распределение Вейбулла, если плотность вероятности ее запи­ сывается в виде

где а и Ъ — положительные постоянные.

14

Плотность вероятности, умноженная на постоянную а, табули­ рована для различных значений Ъ и t/a [72, табл. 3.3].

Для отыскания плотности вероятности для конкретных значений необходимо табличное значение af (t) разделить на а.

Пример. Найти плотность распределения в точке t = 200 ч, если наработка изделия до отказа распределена по закону Вейбулла с параметрами а = 900 ч, Ъ = 2,5.

Определяем \

По [72, табл. 3.3] для этого значения и Ъ = 2,5 находим а/ (t) = 0,8380.

Отсюда определяем

/(« ) -- 2^ - = 0,0°0931.

Функция распределения Вейбулла записывается в виде

На основании этого уравнения можно записать выражение для определения вероятности отсутствия отказа на промежутке от 0 до t.

Значения вероятности Р (t) в функции от t/a и Ъ табулированы

Для математического ожидания и среднего квадратического откло­ нения величины t, распределенной по закону Вейбулла, справед­ ливы формулы

15

Значения величины К в, Св и ѵ в функции от Ъ приведены в [72, табл. 3.5].

Гамма-распределение. Случайная положительная величина под­ чиняется гамма-распределению, если ее плотность вероятности имеет вид

где к и т — положительные постоянные, причем пъ — целое число. Это уравнение при х = 2kt можно записать в следующем виде

Функция / (х) зависит только от одного параметра т, табулиро­ вана и приведена в [72, табл. 4.1].

Переход к f (t) осуществляется по формуле

Значения Р 0 (х) в зависимости от я и т приведены в [72, табл. 4.2]. При помощи функций (29) и (31) можно вычислить интенсив­

ность отказов

Пример. Определить интенсивность отказов в точке t = 500 ч, если наработка изделия имеет гамма-распределение с параметрами

16

Математическое ожидание величины t, ее дисперсия и коэффи­ циент вариации находятся по уравнениям

Логарифмически нормальное распределение. Положительная слу­ чайная величина у имеет логарифмически нормальное распределение, если ее логарифм распределен нормально.

Для плотности вероятности распределения имеем

где М = 0,4343 — коэффициент перехода от натуральных к деся­ тичным логарифмам; ln yQ, lg yQ— математическое ожидание лога­ рифма случайной величины у\ аг, а 2 — среднеквадратическое отклонение логарифма случайной величины у, соответственно, для натуральных и десятичных логарифмов.

При этом имеют место соотношения

Значения функций ф0 (х) и FQ(х) находятся по таблицам для нор­

Распределение Релея.

Случайная положительная величина t имеет распределение Релея, если плотность вероятности ее записывается в виде

Бели t — наработка, то вероятность безотказной работы на интер­ вале от 0 до t будет

Математическое ожидание и коэффициент вариации определя­

Практически модель закона распределения обычно выбирается на основании некоторых общих соображений. Однако правильный выбор исходной теоретической модели закона распределения в зна­ чительной степени определяет необходимый объем статистических исследований, требуемых для оценки показателей надежности с заданной достоверностью. Например, когда было доказано, что закон распределения времени отказа полупроводниковых приборов лучше согласуется с законом Вейбулла, чем с экспоненциальным законом [49], стало возможным сокращать объемы выборочных испытаний в 4—6 раз.

Характер зависимостей показателей надежности во времени для рассмотренных законов распределения приведен на рис. 2. В случае нормального, Вейбулла (при 6 > 2), гамма (при т > 1) и логариф­ мически нормального распределений интенсивность отказов с тече­ нием времени ускоренно возрастает. В случае распределения Релея и Вейбулла (при Ъ — 2) интенсивность отказов возрастает пропор­ ционально. времени наработки. В случае распределения Вейбулла (при 1 <; Ъ<; 2) интенсивность отказов возрастает с замедлениемЭкспоненциальное, Вейбулла (при Ъ = 1) и гамма (при т = 1) распределения имеют постоянную интенсивность отказов.

Эти свойства интенсивности отказов могут быть использованы при практическом выборе модели закона распределения отказов, для описания характеристик надежности в широком интервале вре­ мени, включающем периоды начальных отказов, нормальной экс­ плуатации и старения. В этом случае используются композиции законов. Обычно для начального участка эксплуатации применяют закон Вейбулла, для периода нормальной эксплуатации — экспонен­ циальное распределение, а для периода старения — распределения нормальное, логарифмически нормальное, Вейбулла и Релея.

2 *