книги из ГПНТБ / Сильвестров Д.С. Предельные теоремы для сложных случайных функций

М

а Е(0 = 2 Т(8’ ^ ’

t > 0 '

4=1

например,

если

ѵЕ=

ѵе (а) = inf (s : а е (s) >

a) =

min

I n : ^

т (e, k) >

a

\ 4=1

Предельные распределения

для

случайных

процессов,

останов­

t >

0 для случая,

когда процессы | 8

(t)

центрируются неслучайны­

ми функциями. Для простоты будем предполагать, что т = 1.

Теорема 3. Если выполняются условия

/

—

(el

\

>0

рДДІГ 1 ’

2 (Т(в,*)-Ме))

, />0=Ф(ѵ,ѵ(0), t

4=1

при 8 —>■О,

где

а) V — неотрицательная

случайная

величина, у (t),

t

> 0 —

стохастически

непрерывный

процесс с

независимыми

прираще­

ниями;

б) и (е), V(е) — неслучайные

неотрицательные

функции

такие,

что

и (е),

ѵ(г) -> оо

при

е -> 0 и

-> 0

при

е -> 0;

в)

ak (8), k >

1 — неслучайные числа

такие,

что

для

функции

ае (х) =

V

ah(е),

х в Ri,

для

каждого

s > 0

имеет

место

со-

4=1

отношение

lim lim

sup

I ae (s (и (s) +

(u +

1) v (e))) —2e(s) — cs {t) | = 0 ,

t 6 Ri,

c - * 0 e -X ) | a |< c

г >

0 — некото­

где

cs(t), td Ri — непрерывная функция, ze (s),

рая

неслучайная функция;

[ f o ( ') ]

[(< + s) о (е)]

(H): lim lim supP

2

(ѵ(в,*)—ak(e)) —

2

(Y(e.fc) —

c - * 0 e - M | s | < f

4=1

4=1

— ßft(e))

>

6

=

0

,

i >

0 ,

TO

[sve]

о

C

e ( S ) =

2 y(S’k) ~

2 * (s)*

S >

0

у (s) - f - C8 (v),

S >

при 8

-»-0.

4 = 1

тельно, для любого набора

моментов времени

slt I =

1,т для

слу­

чайных процессов

[ s / t r ( e ) )

\

(2

v (8,ä) , /

= I 7 ^ J ,

t >

о

и случайных векторов ѵ' =

(vgi = ѵ

і = l,m)

выполняются условия

(С), 1) и 2) теоремы

3.4.2

(функции дс( (е),

у( (г), і =

\,т

можно

выбрать тождественно

равные 1). Выполнение условия

(С),

3)

при

k и

Замечание 4. Если константы ak (е) = а (в),

k > 1

не

зависят

от

а (е) V(е) —*■а = const 6 Rj при s

0, то условие

(G),

в) очевид­

но

выполняется, причем ze (s) = а (е) и (е) s,

сѣ(t) =

ast,

16 Rx

и

утверждение теоремы примет

вид

[ s v e]

2 v ( e . * ) — a(e)u(e)s,

s > 0 =4>у (s) +

asv при

e - > 0 .

k=\

§ 7.

Сходимость распределений случайных процессов,

остановленных в случайные моменты марковского типа

Пусть

для

каждого

е > 0 £е (/),

t

> 0 — случайные

процессы,

траектории

которых

с

вероятностью

1

принадлежат

пространству

D<m) и Tgг,

г =

1, 1— неотрицательные

случайные

величины

такие,

что

выполняется условие

(А):

Р{| | . (t + s) - &

(/) I > д т Г , X (Ter € [и, 0)} =

s, Ö), t ,s > 0 , ___

= P{|g8 (/ -4-s)— Бв (0 |> 0 /Э П |8)К

q>8( U +

фе (t, t +

s, 6) — неслучайная измеримая по (t, t

r = 1,1,

где а)

-f- s) функ­

ция такая,

что

q>g (/, t -f- s, 6) <

1

для

всех

t, s >

0,

6 > 0;

6)

^ > 0 — некоторое семейство ст-алгебр

случайных

собы­

тий (в исходном вероятностном пространстве,

на

котором

опре­

делены случайный процесс £е (/)

и величины

ѵ ,

г = \,1).

образом.

процессы Се (t)

= (ё? (f),

Имеются некоторые «двухкомпонентные»

а , (/)), t > 0, принимающие значения в пространстве Y =

Rm х X

(с соответствующей

а-алгеброй подмножеств

ЯЗу =

®(m> хЯЗх), т^.,

г = 1 , 1—неотрицательные случайные величины,

для

которых выпол­

няется условие

(В): P{Ce (t + S) - Ь

(0 6 А/«е (0, X (Тег € [И ,

0)} — P{5e (t +

s ) -

— le(t)eA/ae (t)} = Pe (ae(t),t,t+s,A),

0 < u < t , t ,s > 0,

6-4-143

81

вие (В).

1.

£в (0 — (£е (0> Ое (0)> ^ > 0 — процесс с

независимыми прира­

щениями, принимающий значения в

Rmx R ft,

т8Г, г ==1,1 — марков­

ские

моменты времени для процесса

ае (/),

t >

0.

В

этом случае

Л (X, *, f +

S , А) = Р {Ь (t + S) — Ь (0 е А} =

Р (t, t +

S , А).

2.

Се (0 = (g(aE (0). “ е (0)>

^ > 0 ,

где ос8 (/),

0 — марковский

процесс, принимающий значения в пространстве

(X, 23х) с переход­

ными вероятностями Qe (х, t,t

-f s, В),

измеримыми по совокупности

аргументов (х, t, * + s); g(x) — измеримая функция,

определенная на

X и принимающая значения в Rm

такие,

что

траектории

процесса

Ъе (t) =

g ( 7B(0)

с вероятностью 1

принадлежат

пространству D(m),

%sri г =

1,1— марковские моменты времени

для процесса

Og (t),

В этом случае

Рг (х, t,t + S, А) = Qe (Х, t,t

+ s,

g~l (А +

g (х)).

Если <хе (t)=(le (t), т8 (t)), ^ > 0 —марковский процесс, принимающий

значения в X =

Rmx X ' и функция g(x)= у для

л: = (у, г) 6 RmXX,

то процесс ge (f)

представляет собой одну из компонент процесса а 8 (t).

В

этом случае

Р8 (*, t, t+s, А) = Qe (х, t, t+s,

{А + у} xX'), X =

(у, z) 6 Rm xX'.

3.

С8 (0 = (g(а е (0) + Уе (0, а 8 Ш 1 > °.

где процесс ае (0, t > 0

и функция g(x) те же, что и в примере 2: ye(t),

t >

0 — случайный

процесс, траектории которого с вероятностью 1

принадлежат D(m>, не

зависящий от процесса а8 (t),

0, v ,

г =1,1 — марковские

моменты

времени для процесса сс8 (t).

В

этом случае

Р, (Х, t,t + s, А) = J Qe (X, t,t + s,

g - 1(А + g(x) + у) X

xP{Te(/ +

s ) - Y eW 6 ^ } .

(C):

(Т 8Г, І8 (^-)>

Т= 1, I) =Ф(Топ

(//■)> г= 1 >О прИ 8 ~*"

tr ^ О,

г =

1,/,

(D): lim lim

sup

<pe (s, s +

u, 6) =

0,

/ > 0,

TO

ft-W e -* 0 <— b ^ s ^ s + u ^ t + b

____

( i e ( t e r ) ,

Г =

U

) ^ ( l o ( t o r ) , /■ =

1 , l )

П р и e - > 0 .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Введем

в рассмотрение случайные величи­

ны т* = {(я + 1) А, если тег 6 [«/г, (я + 1)А), я = 0 , 1

,

;

А>О,

г = 1, /.

Очевидно,

Ю -

( t j

=

g. (V +

( t j )

-

le(T j

=

lhs (XEr),

где

éa8(0 =

U *

+

& ( * ) ) - U * ) .

t >

0.

В силу

непрерывности

справа

процесса

| 8

(/),

а следовательно, и

процессов

lg (t), t > 0

величины

6*Ю

—

I* ( t j

при h'-yO,

А > 0 ,

г =

ГГ/.

(1)

Используя основные свойства условных математических ожида­

ний, имеем

Р{і Й ((« +

1) А') I > б,

те € [яА',

(я + 1) А')} =

= ММ (х (IÈJ ((я +

1) h') I >

б) X (

t e 6 [яА',

(Я +

1) / 0 ) т Г \

X (te € [яА', (я +

1) А'))} =

=

М (X (те 6 [яА', (я + 1) h'))) М {X (I I, ((я +

1) h') | >

булі^Х (т8 6

€ [яА', (я +

1) А'))}) <

MX (те 6 [яА', (я +

1) А')) <ре ((я + 1) А',

(я +

1) h'

+

gh((я +

1) h'), б) = фе ((я +

1) Л', (я + 1 ) А '

+

+

&((«

+

! ) Л'). 6) Р {t8 6 [яА', (я + 1) А')},

(2)

и используя (2),

получаем

Р{| 6J Ю I

>

6} =

2

Р{| II((я +

1) А') I >

б,

п = 0

t e6 [ЯА', (я +

1)Л')} <

2

((" +

^ Л'* (" +

D К +

л-=0

6»

83

+ 8h « я + 1) П

ft) P К

6 1nh', (n + 1) А')} =

=

J v e(^^ +

^ ( 0 , ö ) P { x eft’ € ^ } <

о

<S У

sup

cpe (t, t +

gh (t), 6) P {xf 6 [nh, (n +

1) h)}.

(3)

/€[лй.(л+1)й)

Ряд

справа в (3)

сходится равномерно

по A' <

ft,,,

так как

У

sup

фЕ(t, t +

gh (t), 6) P {т£ 6 [nh, (n +

1) A)}<

<

2

P ^

€ lnfl’

+ О A)} <

P{xer >Nh — h0}-* О при ІѴ-ѵоо.

n=N

Так

как

по определению тел <

<

т8л -f- h'

и,

следовательно,

X (т£ € [лА, (п +

1) А))

X (тгг в [nh, (п +

1) h)) при

h' -*■0,

то,

переходя

в (3)

к

пределу при h ' -*■0, имеем

Р { I 6* (V ) I >

6} =

Hm Р {|

(г*') I >

6} <

ft -►О

< lim У

sup

фе (t, t +

gh(0, б) Р {т£ 6 [лА, (п +

1) Л)} =

А'-*0

(е[пА,(л+1)й)

=

У

sup

фе(t, t +

gh (t), б P {т

6 [nh, (n +

1) A)}.

(4)

Пусть Ar , l'

> 1 — последовательность положительных

чисел та­

кая, что hL, —> 0

при /' -*■оо и все точки nhi>, п > 0, /' >

1 являют­

случайных величин т0г,

г = 1,1 не

более чем счетно,

такая

после­

довательность h[r, I' >

1 всегда существует).

Ряд справа в (4) сходится асимптотически равномерно

по

е -*

0,

так как

lim

У

sup

+

6)P{Tgr6 [яА / , (л

+

1)

А ,)}

<

«■*0

~ N /€[лй,,<л+1)й,)

<

lim Р{т8, >

WA,} = P { v

> WA,} -> 0 при N - +

oo,

e-M)

<

sup

фе (s, s + u, 8),

t£ [nh, (n -f

1) h),

t—f t « s < s + u « + f t

получаем,

продолжая

(4),

lim

"V

sup

cpe (t, t +

gh (t), 6) P {x^ 6 \nht, (n +

1) h,)}

e-*0

<€|nfcj,(n+l)b{)

: "V lim

sup

фЕ (t, t +

gb(t), 6) P {x0r 6 [nhL, (n + 1) A,)} ■

e->0

t£lnbi,(n+\)bi)

(n+l)ft/

Ф*(s> s + и, 6) P{x0r 6 dt} =

< У

f

lim

sup

n=0

nhi

e-»0 <—ft<J<s-fU 4(+ft

со___

и, 6) P {x

6 &},

= f lim

sup

ф (s, s +

J e-M t—ft<:s<s+u</+ft

откуда

в силу теоремы Лебега

и условия

(D) имеем

lim llmP { Il\l ( x j I >

6} <

E->0

o o ____

<

lim f lim

sup

фе (8, s +

u, б)Р{хПг6 Л ) =

A /-M ) J e - > 0 <— f t < s « s + u < / + f c

OO

ф (s, s -f- u, 6) P (x^ £di) = U.

=

f

lim lim

sup

(5>

J ft j- * 0 е - Ю <— f t < s s « s + u < f + f t

r = ~ l

Поскольку

i

oo

P{le (tlT) <

Г = П }

=

__

= 2

2

Р{?й {(П'

+

l)hl,) <

“ r*

6 ІЛ>

. ^

+

i)hl,)'

r =

U >’

r =

1 л ^ = 0

то в силу выбора точек Аг», /'

> 1 и условия (С)

(le (т*),

г = 1,1)=Ф(Ъо (Хог ),

/■== 177)

при

е ->0,

/' >

1.

(6)

Наконец, в силу

непрерывности

справа

процесса

(f), f >

О

Іо

(То /’ )

“ -*• ІО (Т ое)

при ht.

О,

Г =

1,/

и, следовательно,

(М то/ )- г =

1. О =*(Ео (V )’ г =

1) ПРИ h‘r °-

(7)

Утверждение теоремы следует теперь из соотношений (5)—(7) и

леммы 2.2.2. Теорема доказана.

^ > 0 — случайные

Пусть для каждого

е > О (|8 (0. ае (0).

про­

(k' +

W = k).

В этой ситуации при некоторых дополнительных предположениях

можно ослабить

условие

(D).

Теорема 2. Если выполняются условия (В), (С) и

(Di): (V*

a é (хJ -

г = М ) = ^ ( т 0г, S (V )>

г =

1,1) при 8->0;

(D2):

lim lim Р {а' (0 € Dn,

7” } = 1,

Т'

>

0

для

некоторой

после-

Г1_*'007:нГ

борелевских

множеств

Dn С

D„+ i с : Ra»,

п >

1

довательности

оо

такой, что

[ J

Dn = RÄ»;

П—1

¥ е (s, s + u\ x, d; D„, 6) = 0, t >

x 6 Ras

(Оз) :

lim lim

sup

0,

n - * 0 e - * 0 t — h K s ^ s + u ^ t + b

sup

sup P ((x, z),t,t + s, Ve)

n >

1,

где

(t, t + s\x, d; D;8) =

ДЛЯ

(x, z) 6 Ra- XRa',

DC Ra»,

\y—* |< d

z € D

to

___

__

( U Ter)>

Г = 1,/)=»(£„ (Tq,),

1,0 при 8 ->0 .

Замечание 1. Формулировка теоремы очевидным образом изме­

няется, если одна из компонент а ' (і)

или

а "(/) процесса ae(t),

0

отсутствует.

В

частности, если

отсутствует

компонента

а'(/),

то

(D4): lim

sup

sup P (x, s, s +

u, V6) = 0,

t >

0, n > 1.

e - * 0 t — h ^ s ^ s + u ^ t + h x € D n

n > 1,

При этом,

если D„ =

Rft,

то условие

(D2)

автоматически

выполняется,

а условие (D4)

просто совпадает с

условием

(D), если

в качестве функции фе (/, t

s, б) выбрать функцию

Ф (t, t +

s, б) = sup Р (х, t,t + s, Ѵб).

*€Ra

Д о к а з а т е л ь с т в о

теоремы 2.

Используя

основные

свойства

условных математических ожиданий, аналогично (2) получаем

Р { |^ ((п +

1 ) Л ') | > 6 , ѵ € [ п А ' , ( л +

1) ä')} =

=

М (X (т.г е [ЛЛ',(« +

!) h')) М {X (IЦ (п +

1) h') | >

6)/osg ((п +

\)h'),

Х(тег € fnA', (n +

1) h'))) = MX (V 6 Inh', (n +

1) h')) x

x P eК

((л +

1) A'). (« + 1) h', (n + 1) h' + gb((я +

1) A'). Ve) =

(8)

(n+l)h'

=

j

j

^ ,((y,z),{n + l)h',(n + \)h' +

RÄ,XRfc* nk'

+

gh(Я +

1) л'). Vö) P {«; ((n -f 1) h') 6 dy,

a" ((« +

1) A') £ dz, т^. 6 dt}.

Используя (8),

имеем

P (I Ъье( О I >

6} =

2

Р {|

({П + 1}h>) 1>

б’

6 {nh'' (" +

h'» =

п==0

oo

(я+1)А#

= 2

[

J

^ ((0 ,*).M + & (O .V ft)P{a;(x£)6dy,

n= 0 Ré'XRfc'

nh’

«é Ю € dz, Тег e Л} =

J

J p (dt, z),t , t

+ gh (t),

v6) p{«;(T^)6 dy,

Rft'XRft" о

cs" (г*') € dz, V 6 d^}С

«S

f 7 sup P ((y, z), t , t + g h (t), V6) P {« ;Ю € dt} +

P {a' (t£ ) g Dn/}.

V VJ

zé6 D„'/

R*' о

n

0 )

Покажем

прежде всего,

что

lim lim lim P {a" (t^) g

D J =

0.

(10)

n+oo e-»0 ft'-»0

Действительно,

выберем

произвольное

os >

0.

Поскольку

т^. ^

< т еr-\-h', то

в силу условия (Di)

lim lim lim P {x*' >

T1'} < lim lim P Ir

>

-y l = 0.

T '-*< x > 8 -» 0 f t'- » 0

e r

Г '- » 0 e - » 0

I

z J

Выберем V

так, чтобы

ТЕГІЕГР {т£ > Г'} < a.

e - » 0 h '- » 0

Имеют место простые оценки

p { < e £ ) g D „ K

Г )

<

р к

(■£) е D„, г*' < Т1'} +

Р{т^ >

следует, что ряд в

(11) сходится асимптотически равномерно по /

и п при h' -*■0, и

так как в силу определения

т^ <

<

тег +

А'

и,

следовательно, %(т£ g [nh,

(п +

1) Л)) ^ х (тег £ [пА, (п +

1) А) при

Л '-> 0, то учитывая также выбор множеств \ tj,

і, / > 1,

получаем,

переходя в

(11)

к

пределу при А' -> 0

под знак

ряда,

р {| ф (V ) I >

р О Ф Ю I > 6} <

ео

со

sup Р ({у, z)t,t + gh(0, ve) X

(V V

sup

sup

j“ 1â

' e[nAi,(n+1)fci)i/ev<v2eD"'

ö

X p к

(т£) e Vy, T*; e [nAy (n + 1 ) Л,)} + p К

(теЛ;) e

<

( 12)

<

у

V

sup

sup

sup

Pe((г/, z), M

(0. v6) X

^

( е С п А ^ Д п + П Ь ;) » e v у z € D „ .

X P К

(TJ 6 Vy, V

6 [лА,, (n +

1)A,)} +

H rnP{a;(t £ ) gD„,}.

Выберем теперь

n0 так,

чтобы

Hin lim P (a" (т*') g Dn } < a.

(13)

S“>0

°

Это можно сделать в силу соотношения (10).

В силу

условия

(DjJ ряд справа в (12)

сходится асимптотически

равномерно по / и п

при е - > 0 .

Действительно,

lim

У

sup

sup

sup

Pe ((у, z), t , t

+ gh(0. v 6) X

e,+0 max!/!n)>JV

</€Vy z€D„

X P К

(V ) eVi/- V

e [nhp (tl +

1) A,)} <

Ш (pj «; (T „) >

VJ

+

+

P к

> AfA,}) =

P ja ; (V ) €

V{/} +

p K >

Nht} -*0

U N-+oo.

при

Учитывая также

простое

неравенство

U

sup

sup

sup

Pe((у, z), s,s + gb(s), Vj) <

s€[nft,(n+l)h)

у € \ ц z€D „,

<

sup

г|эЕ (s, s +

u; x, d.\

Dn„ 6); 16 [nA, (n + 1) A), x € Vi/f

t—h<?<s+u<f+A

получаем,

продолжая

(12) и

используя

(13)

и условие (D3),

lim

1 і ш Р { | ^ ( ѵ ) | >

б }<

Ь;-М e-»Q