Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Сильвестров Д.С. Предельные теоремы для сложных случайных функций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

10.27 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 338 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Сформулируем задачу более точно. Пусть £ , п = 0, 1, . . . — последовательность случайных величин, принимающих значения в

Rm и ѵ8, е > 0 — случайные				величины, принимающие целые						неот
рицательные значения.
Будем предполагать выполненным							условие			Іп
(А): для каждого п = О, 1 , . . .					и е >		О случайные величины			Іп	и
ѵЕ	независимы.
В этом случае, очевидно,				для А £ 33<т )
			р {5Ѵе е А} =	2	р {£„ е а } р К			=	«}•
				П=о
Нас интересуют возможные					предельные распределения для слу-
чайных величин 5Vg при е -> О					так,		р	оо	при е -*• 0.
чайных величин 5Vg при е -> О					так,	что ѵе		оо	при е -*• 0.
Рассмотрим			вначале случай,		когда		случайные		величины	£Vg	не
центрируются.
Теорема 1.			Если выполняются условия (А) и
	I
(B): ------— =$>5 при П-+00,
nah (п)						принимающая значения				в Rra;
где а)		і — случайная величина,				принимающая значения				в Rra;
б)	а =	const > 0;
в)	h (х), х > 0 — медленно				меняющаяся функция, интегрируе
мая в каждом конечном промежутке;
(C):		ПрИ 8_>0,						1 случайная величина;
где а) V — положительная с вероятностью								1 случайная величина;
б)	V (е)—неотрицательная			неслучайная функция такая, что п(е)->-
-> оо		при е - у 0,
то
				=Ф\|ѵа при е				0,
			V(е )“ /і (о (е ))

где случайные величины £ и ѵ независимы.

Д о к а з а т е л ь с т в о .	Воспользуемся «принципом эквивалентнос
ти» (теорема 1.1.1) и построим		на некотором вероятностном про
странстве ( й \ F', Р') случайные		величины Іп' , п = — 1, 0, 1 , . . .
так, что
	ДЛЯ	п >	1,
nah (п)
Іп	для п =		— 1, 0 (1_, - 1)

5' 51, при П—V оо,

и на некотором вероятностном пространстве (П", F", р ") — случай-

ные величины ѵе, е > 0 так, что

Vе

для

8 > 0 *

ДЛЯ 8 = 0

Ѵ'

Vq при

е -► 0.

Определим теперь

случайные величины

l'nnah(n)

для п > 1,

для п = — 1,0

Гѵ'о (е) для

е >

ѵ'

для е =

Построим

теперь

вероятностное

пространство

(Q,

Р) следую

щим образом:

Q =

{со =

(со',

со"):со'бй', со"£Q ”};

F — минимальная

о-алгебра подмножеств Q, содержащая

все множества

вида

А х В,

А £ F',

В £ F";

Р(.) — мера на F, определяемая для

прямоугольников

А X В,

соотношением Р (А х В) =

Р ' (А) • Р" (В).

Определим

на пространстве (Q, F,

Р) случайные величины | п(со)=

((о ), п =

— 1, 0 , . . . и vg (со) =

vg (со"),

е >

для

всех

со =

(со',

со")ей.

-V

В силу построения

случайные

величины

— 1, 0, . . . и

| п, п =

ѵ8,

8 >

0 удовлетворяют следующим

условиям:

а) для каждого п = — 1,

0, . . .

е > 0 величины

Іп и ѵе

неза

висимы;

б) \

для

всех

п =

1, . .

. и

ssg;

в) ѵе=іѵ,

для

всех

8 > 0

ѵ0=:ѵ;

г)

при

ос,-

Ѵ8

Д) ^

ѵо ПРИ 8_>0-

В силу соотношений

а) — в),

очевидно,

= ; £„

для всех е >

ѵ8

ѵ 8

Поэтому для доказательства теоремы достаточно было бы пока зать, что случайные величины

u
v?	£_,v“ при 8 —> 0.	(1 )
o(e)ah(v(e))	£_,v“ при 8 —> 0.	(1 )
o(e)ah(v(e))

Пусть А — множество из F, на котором выполняются соотноше-

ния р) и д), а В —множество из F, на котором ѵо(со)>0. В силу со отношений г), д) и условия (С), а) P{Af|B} = 1. Для всех А П П В, используя правила вычисления пределов для неслучайных функ ций, получаем

Ѵв (со)	Ѵ0 (со) V (б) ->	ОО	при	8-Э-О
и, следовательно,
L	(ш)
<ш> ^ -------- >■?_, (со)			при	8->-0.	(2)
ѵе ((0)аЛ(ѵг (ш))
В силу условия (В), в)
	при	г/-> оо			(3)

равномерно по t в каждом конечном промежутке, отделенном от 0. Используя (3), нетрудно показать, что для всех со € Af|B

h(yem

		/1(0(8))		ПрИ	6	0.	(4)
Из (2), (4)	и соотношения д) получаем					для	всех to £ А f\| В
Ü	«*»	ѵ е (ш)	(®)		Ѵе (О) \		ft(ѵЕ(Ш))
Vg(tü)		ѵ е (ш)			Ѵе (О) \		ft(ѵЕ(Ш))
V(e)°7i (О(e))		(со) “ft(v_ (ш))		V v		I	h(v <6))
		• l_i (®)	M “	при	e -> 0,
которое в силу построения A fj			В эквивалентно (1).

Последнюю часть доказательства можно было бы провести, ис

пользуя теорему	1.2.2.
Определим случайные процессы
І е (0.	* > О	V (s)ah (о(е)) ’ t >	0 для	е >	О,
І е (0.	* > О
и случайные величины		і >	0 для	8 =	0
и случайные величины

шдля * > 0 ’

Ѵ0 ДЛЯ 8 = 0.

В силу построения процессов | е (f), t > 0 и величин ѵе

2-	~	!	-----------------------	ДЛ Я		8 >	О ,
M	v e ) ~ j		o(e)ah(v(e))
		[	ili'V'ö“	ДЛЯ		6 =	0.
Поэтому для доказательства теоремы					достаточно показать,			что
		І^(ѵ;)=Ф?0(ѵ^ при			8 —> 0.			(5)
Из (3), очевидно,		следует, что
[ v ( z ) j r . h _ ^ t v m ^ ta					при е _ 0			(6)
(і> (8) t)a			h (Р (в))

равномерно по t в каждом конечном промежутке, отделенном от 0. Используя (6) и соотношение д) для t > 0 и определение процес

са і е(0 для t — 0, получаем соотношение

с	[P(e)f]aM[fo(e)D	I {tv (e)1	_	при 8	0, t > 0.
8	( р (е) t)ah (р(е))	[fp (e)]“A([*p(e)l)		_1	(7)
					(7)

Поскольку для каждого e > 0 процесс £g (t), t > 0 и величина

ѵ' независимы, то выполняется условие (А) §2.1 и в силу соотно' шений (7) и г)—условие (В) теоремы 1.2.1. Остается проверить, что

для	случайных		процессов £е (/),	t > 0 выполняется условие	(С)	тео
ремы 1.2.1.		Но,	действительно,	в силу соотношений д) и	(6),	если
0 <	а < b <	с»,	то

su p 1 6 , ( 0 - ^ . К

(6[а.г>1

^reff*]

+sup f€[o,f>]

[fp(B)1nft([fa(8)l)		W e)]
к (е)аА (и (е))	[tv (e)]“ h « fp (e )]) - E - . +
[*0(e)]aft([/p(e)D	_ f	. Wln	([<p(e)]nA ([fo (e )])
p(e)“ A (o (e))		S e j i f t ]	V(e)“ ft (V(e))

X sup	------ 6_i	+ I 6 _ i l SUP	Гto (e)]g A ([<p (в)]) _	ta
X sup	------ 6_i	+ I 6 _ i l SUP	V (e)“ A (о (e))
a»(e)] nah (n)		<€[a,ft]	V (e)“ A (о (e))
			0 при e	0.

	Так как для всех / >			О и с <			t
	sup U~(0 — M * +			s)l > 2		sup Ife (^ + s) — (* + s f L iI +
	I s\| < c					\|s\|<c
		+	1?_i M			+	c)a	— c)a I»
то из (8) следует, что			для всех				t >	О
lirn Tim sup		P { \|! e (t)		(t +	s) I >			6} <
r - * 0	e -* 0 \| s\| «r
<	lim ШГ P { sup I i E( 0 — f ^				+	s ) \| > 6 } <
	0 * 0 £ -* 0	\|S\|<C
	< ІІШ Шп (p (2 sup \| £					(* + s) — (Ң - s)af _ , I >			4 1 +
		+ p { i L 1M ( ^ + c ) a - ( ^ - c ) a i > 4 } ) =							4} = 0.
		=	P j I il J I .I (/ +					c)a — (/ — c)a I >	4} = 0.	(9)

Таким образом, выполняется условие (С) теоремы 1.2.1, восполь зовавшись которой получаем соотношение (5).

Замечание 1. Для доказательства теоремы можно было бы вос пользоваться и теоремой 1.1.1, причем в том варианте, когда пре дельный «внешний» процесс непрерывен с вероятностью 1. Ком

пактность процессов fe (i), t > 0 в равномерной топологии можно проверить, используя соотношение (8). Ее нарушения в 0 можно

обойти, переходя к величинам ѵе с = шах (с, ѵ'), для которых, исполь

зуя теорему 1.1.1, устанавливается соотношение £ g (ѵе с) ^	х
'"Ч.	""ч

X (шах (с, ѵ0))а при е -V 0, а затем, используя оценку	Р { \| \| е (vg f) —
— С (vé) I > °> < р К < с)> показываем, что и (v')	при
8 —* 0.

Замечание 2. Второй вариант доказательства теоремы 1 более

громоздок, но он интересен тем, что хотя для исходных «внешних»

процессов £g (t) =

^ *t > О приращения могут быть велики,

но возможно построение на одном вероятностном пространстве про-

»V

>Ѵ

цессов £е (/), t > 0 и величин ѵ' таких, что распределения величин

^ -ч	/ V \
Іг (v')	и 1е \ДГ(І)J совпадают, а для случайных процессов l e(t), t >

> 0 выполняется условие (С) § 2.1. и более того, эти процессы компактны в равномерной топологии.

Перейдем теперь к случаю, когда случайные величины цент

рируются неслучайными функциями. Для простоты предположим,

что т = 1.

Теорема 2. Если выполняются условия (А) и

(D):

(Е):

(F):

— а (n )	^ t	.	fc
	-=$>\| при	п-*~ оо, где a)	§ — случайная величина,

nah (п)

принимающая значения в Rx; б) а = const > 0; в) h (х), х > 0— медленно меняющаяся функция, интегрируемая в каждом ко нечном промежутке; г) а («), п > 0 — неслучайная последова тельность чисел;

V— и (е)

^— =$> V при е-»-0, где а) ѵ — случайная величина, при

нимающая значения в Rx; б) и (в), ѵ(е)— неслучайные неот рицательные функции такие, что ы(е), ѵ(в)-^<х> при е - > 0 и

V (е)	■0 при	■0;
и(е)	■0 при	■0;
и(е)
для функции а{х) = а ({\ хѵ (е) \| ]),			имеет место	соотно-
		а ((s + /) V (8) +	и (е)) — ге	0, /GRx
шение Нш lim sup			■с(і) =	0, /GRx
	с-М ) е - Ю	\|s \|^ :c

где: а) с (t), t£ R, — непрерывная		функция;		б) уг,	zg — неслу
чайные неотрицательные функции такие, что уе,					гв	оо при
■0; в) ' 7 ^ Г 7 ^ Г " " > р е і 0 , 11 при			е " * ° ’
и (е)“Л(и (е))+1/е
ТО
ге	-f (1 — р)с(ѵ)		при	е	0,
и (z)ah(u(B))+yt	-f (1 — р)с(ѵ)		при	е	0,
и (z)ah(u(B))+yt
где случайные величины	£ и ѵ независимы.
Д о к а з а т е л ь с т в о .	Аналогично	тому,	как	это было		сделано

при доказательстве теоремы 1, можно построить на некотором веро-

ятностном пространстве случайные				величины		£п, п = — 1 , 0 , 1 , . . . и
'-ч»<		так, чтобы выполнялись		условия:
ѵе, е > 0		так, чтобы выполнялись		условия:
а)	для	каждого п = — 1 , 0 , . . .		и	8 > 0	величины	и ѵе не
зависимы;
б)	tn~	Іп для	всех п = 0 , 1 , . . .	и	~
в)	vg ~ vg для		всех е > 0 и ѵ0 ~		ѵ;
	Е	— а (п)	~
	ѵ„ — и (е)		~
Д)	— F(ij---- “^		Ѵ° ПРИ 8 _ ^°-

Воспользуемся теоремой 3. 4.2. Применяя дословно рассуждения приведенные при доказательстве теоремы 1 для величин gn> п =

— 1 ,..

величинам

\п— а(п),

п = 0, 1

, ,

получим аналогич

ное

(9)

соотношение

lim

lim P {sup I

((1 + s)u (e)) — fé (1) | >

8} =

(11)

где

C-+0

e -> 0

ls|< ?r

/л

£ [tu (в)]

а([tu (e)J)

l * {t)- ~ u ( e ) 4 ( u ( e ) ) ---------’

> 0 '

Таким образом, для случайных процессов

(t)

t >

вы

полняется

условие (С), 3) теоремы

3. 4.2.

Из соотношения

г)

сле

дует (см.

доказательство

соотношения (7)),

что

І р’ (/) ^

при

e-> 0,

(12)

откуда,

силу

независимости

процесса

£е (t),

величин vg

для каждого

е >

0 следует соотношение

/ %,(tu (г)) —а ([tu (е)])

ѵе — и(е)

и (е)“ /і (и (в))

’

ѵ(8)

0 =Ф (/“£_,,

v0),

/ >

при

е -*• 0.

Наконец, условие (F) просто совпадает с условием (С), 2) теоре

мы 4.3.2.

Воспользовавшись этой теоремой,

получаем соотношение

М ѵе ) - гв

= _ _ ! l k Z j L _ _ =ф

и(е)“ Л (и (г)) + I/е

и (е)“ Л (и ( е ) ) + уг

=г> Рё_, +

(1 — р) с (ѵ0)

при

е -> 0.

Замечание 3. Если а(п) = ап^,

где а ф 0

и ß =

const >

а,

при

чем и (е)^- 'u (е)

оо

при

е — 0,

то

а (и (е) +

tv (е)) =

au (е)е +

aß« (e)ß

'o (е) t (1 +

о£ (t)),

где

оЕ (0 ->■ 0

при е -*■0

равномерно по і

в каждом

конечном

про

межутке и, следовательно, выполняется условие (F), причем

ze = au (e)ß;

уе = и (e)ß-1u (е),

с (t) = aß/,

/ 6 Rt.

Утверждение теоремы в этом случае примет вид

£ve~

аи(8)ß

=ФрЕ +

«ßv при е

и(е)аЛ (и

(е) +

и(е))^- 1 « (е)

§ 6. Условия сходимости распределений процессов ступенчатых сумм случайного числа независимых случайных величин

В этом параграфе изучаются условия сходимости распределений процессов ступенчатых сумм случайного числа независимых равно мерно бесконечно малых случайных величин, задаваемых соотно шением

[<ѵе]
\| в(0 = 2 ѵ (в.А), t > 0,	(а)
4 = 1
где а) у (е, k), k > 1 — последовательность независимых	в совокуп

ности случайных величин, принимающих значения в Rm и удовлет

воряющих условию max Р {| У(е, k) | > 6} ->■ 0 при е -> 0; б) ѵе,

е >

а» і

> 0

— неотрицательные случайные величины такие,

что ѵ£ -► оо при

8 —*■0.

случайный процесс

Введем в рассмотрение

[tü(e)]

с , ( о =

yi&’k)’

t > 0

и случайную величину

4=1

—

ѵе

ѵ8 =

о(ё)’

где

V(е) — здесь и ниже

некоторая неотрицательная неслучайная

функция такая,

что ѵ(е) ->■ оо

при е ->■ 0.

Очевидно, процесс

ступенчатых

сумм

случайного числа случай-

ных величин

(/) =

'"w

можно рассматривать как суперпо

(/vg), / > 0

зицию процесса ступенчатых сумм неслучайного

нарастающего

чис

ла

случайных величин

£е (t),

/ > 0

случайного

процесса tve,

t >

> 0.

Поэтому

условия сходимости

распределений

процессов

(t),

t >

являются

более

или менее

простыми следствиями общих

ус

ловий сходимости распределений суперпозиции случайных процессов,

приведенных в §§	1 — 5.2.	Однако	в отличие	от общей ситуации,
когда число слагаемых в сумме £е (0			определяется величинами v£ (t)
и суммируемые величины		у (г, k), k > 1 зависимы, в рассматривае
мом случае условия	сходимости распределений			процессов \| g (t) при

обретают законченную форму, аналогичную условиям сходимости

процессов ступенчатых сумм неслучайного				числа независимых слу
чайных	величин.
Теорема 1.		Если	выполняются условия
	1*0(8)]		\
(А):	2	Y(e.Ä)J, t > 0 =Ф(ѵ, у(0),		при е - * 0 , где

V — неотрицательная случайная величина; у (t), t > 0 — стохас тически непрерывный процесс с независимыми приращениями;

(В):

lim

sup

= 0,

т > 0;

c'-»0e->0 0 < S t — c ^ t ' ^ t K T

(С):

процесс у (f),

t >

0 — непрерывен с вероятностью

в точке sv

для

каждого

s >

(для

чего, в частности,

достаточно выпол

нения одного из условий:

а) процесс у (t),

/ > 0

величина ѵ

независимы; б) у (і),

0 — гауссовский процесс;

в) величина

то

имеет дискретное распределение),

[* v 8J

£„(*) =

2 ?

(е,£),

t>Q=$>y(tv),

t > 0

при

е -> 0 .

*=і

Если,

кроме того, ѵ >

0 с вероятностью 1 и случайные величины

у (s, k),

k > 1

можно

представить в виде

у (е, k) =

у' (е, k)

> 1,

V (e)ah(V(е))

где а =

const > 0 ,

h (х),

х >

0 — медленно

меняющаяся функция,

интегрируемая в каждом конечном промежутке, то

[*ѵе ]

К (fl

= У

ѵ “ А (ѵ (е))

. t> 0^> y(tv)v~a,

t > 0

п р и е л о .

Теорема 1 является очевидным следствием теоремы 4.1.2 и тео

ремы 1.4.1,			устанавливающей		условия	компактности		процессов
Се (О в топологии J в виде условия (В).
Замечание			1.	Для случая,	когда предельный		случайный про
цесс у (fl,	t	>	0	и величина ѵ независимы,		условие (В)		может быть
ослаблено	и заменено условием
(B'): limllrn		supP{\|C8 (0 — £e (* + s ) l > 6 }				= 0, t	> 0.
o-0e-0 IsKc
Действительно, для доказательства слабой сходимости случайных
векторов (Се (/,ѵе),				1= 1 ,m) для	любого набора 11>		0, I = \,m мож

но в данном случае воспользоваться теоремой				1.З.2., поскольку, как
следует	из результатов, приведенных в [16], условие (B') при выпол
нении условия (А)		является	достаточным для	того,	чтобы для всех
/ > 0	__		(t) — £е V -f s) \| >
	lim lim Р {sup I £		(t) — £е V -f s) \| >	6} =	0,
	o > Oe-M)	IsK t

то есть выполнялось условие (A), 2) теоремы 1.3.2.

Замечание 2. Условия сходимости распределений сумм случай ного числа случайных величин изучались многими авторами [19,

74, 76, 80, 83, 101]. При этом особое внимание уделялось так назы ваемым теоремам переноса (второе утверждение теоремы 1), устанав ливающих в тех или иных случаях тот факт, что сумма случайного числа случайных величин при соответствующей случайной норми ровке имеет то же предельное распределение, что и соответствующая сумма неслучайного числа случайных величин £е (О-

В рассматриваемом нами случае для этого необходимо, чтобы имели одинаковое распределение величины у (tv)v~a и у (і). Нетруд но понять, что это всегда будет так, например, если у (t) однородный устойчивый процесс с показателем а и величина ѵ не зависит от про цесса у (t). Действительно, используя каноническое представление для характеристической функции однородного устойчивого про цесса [25], получаем

ОО

М ехр {і sy (tv) V- “} = £ M exp {i sy (t x ) x ~ a) P {v 6 d x ) —

=j M exp {i sy (0} P {v 6 dx} — M exp {i sy (/)}.

Рассмотрим теперь случай, когда			для	случайного		индекса	сум
мирования ѵ8	и	величин у (е, k), k >	1	выполняется		условие	(D):
для каждого	t >	0 событие {ѵе <	не зависит		от величин у (е, к),
k>[t] + 1.
В этом случае можно ослабить условие (С)					теоремы 1. Для про

стоты сформулируем только условия сходимости распределений ве

личины Ее (1).
	Теорема	2. Если выполняются условия (С) и
	/	Г<о(е)1	ч		=Ф(ѵ, у (/)), t > 0
(E)	: I	, £	у ( 8 , Ы , / > 0		=Ф(ѵ, у (/)), t > 0			при е -► 0,
	где V — неотрицательная			случайная величина,				у (t), t >. 0 —сто
	хастически непрерывный процесс с независимыми приращениями;
(F)	: для всех / 6		в „, где	Вл,	п > 1 — последовательность				боре-
		ns»1			такая,	что	lim Р { ѵ 0 В „ } =		О,
	левских подмножеств [0, оо)				такая,	что	lim Р { ѵ 0 В „ } =		О,
	____						п->оо
	lim lim	sup Р (I £е (0 — £ (/ + s) \| >				6} =	0,
	c-0 k-0		e	e

[Vg]

2 Y (e, k) =Фу (v) при e -> 0. A=1

Замечание 3. Рассмотрим один характерный пример построе ния величин ѵе, удовлетворяющих условию (D). Пусть (т (е, к), у (е, /г)), к > 1 — последовательность независимых случайных век торов, принимающих значения в Rx X Rm. Легко понять, что ус

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 338 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ