книги из ГПНТБ / Сильвестров Д.С. Предельные теоремы для сложных случайных функций

Пусть, как

и раньше, для

каждого

е >

0

vg (t) = (ѵр. (/),

і =

= 1, т),

t > 0 — случайный процесс такой, что

vg(. (t) > 0 ,

і =

\,т

с вероятностью 1 для каждого t > 0.

Сформулируем только аналог теоремы 4.1.2.

Теорема 4. Если выполняются условия

(C) : 1)

(ѵЕ (/),

g8(f)), *>0-4>(v0(f),

t >

0

при е->-0;

2)

1ішШпР{ sup |^(^ +

S) — Égt.(0l > 6} = 0,*>0,

і = \ Г т \

с->0 e-W)

[sKc

мы 5.1.1.

Лемма 1. Пусть £e (0» t > 0 и т]е (t), t > 0

для каждого е > 0

— случайные цроцессы, принимающие значения

в Rm, для которых

выполняется условие

(D): 1)

l e(t),

t>Q=S>t0(f), t > 0

при

e-»-0;

2) HeW -»■'По(t) при

е -> О,

* > 0 ,

где

т)0 (t), i

>

О — неслучайная

функция.

Тогда случайные процессы

(У0>

Ие (0).

* > 0= Ф (£ 0(0. По(0). ( > °

при е-ѵО

и, следовательно,

М О +

И*(О. f >

0=4>5o(0 + П 0(0, t > 0

при 8 -+ 0 .

Пусть для каждого е > 0

£е (0 =

(ІЕІ (0. і

— Um),

*>0 — слу­

чайный процесс, траектории которого с вероятностью 1

принадле­

жат

пространству D(m)

и ve(t) =

(ѵщ. (i), i= \,tn ),

t~^>0

случай­

ный

процесс,

принимающий

значения

в

Rm,

такой,

что

ѵе(. (/) >

О,

і = Tjn с вероятностью

1 для каждого t > 0.

Теорема

1. Если выполняется условие

(А):

1)

р

при

е - > 0 ,

і > 0,

\

ѵе (/)->ѵ0(0

где

ѵ0 (f),

t >

0 — неслучайная

функция,

2)

lim lim Р { sup I l ei (ѵм (0

+ s) — ЕЕ[. (ѵог (/)) | >

6} =

0,

с -* 0 8-W )

l s |« e

то

і = 1 ,m ,

/ >

0,

È* (ѵе( (0) — м

(ѵ„ (0) -► 0

при в -> 0,

і =

ГТт,

* >

о

и, следовательно, каждое из следующих

соотношений

влечет за

со­

бой выполнение другого:

(М (ѵи (0), і

=

1 .« ),

0 =з>

(І0£ (ѵ0( (0),

1

=

Ы -

/ > 0

при

е -> 0 ,

(а)

(Sgi (ѵе£ (0),

г =

l,m),

t

> 0 =Ф

=г>(|01. (vw (0),

і =

Т7й), / > 0

при

е-*-0. (б)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Имеют место следующие оценки:

Р { IМ (ve< (0) -

6* (ѵог (0) I >6} <

Р { I ѵег (0 -

Ѵ0£ ( 0 1> с }

+

+

Р { SUP I М (Ѵ0г (0 +

S) -

І еі. (Ѵ0І (/)) I > б,

I ѵе£ (0 -

ѴМ (0 |< С) <

< р {I ѵеі (0 -

Ѵог ( 0 1>

с} +

Р { sup I Іе( (Ѵ0І (0+S)

(ѵм (0) I >

б},

откуда в силу условия (А) для произвольного

6 >

0,

для

всех

достаточно малых с >

О

ita

Р { I І гі (ѵеі. (0) -

І гі; (ѵи (0) I >

8 } <

<

I ™

р { SUP I Ей К

( 0 +

s) —

( v w ( 0 )

I >

6 } <

a.

e - M

l s l « c

Замечание 1. Если для случайных

процессов

/ > 0

и

vg(/),

7 >

0 выполняется условие

(Е]): для

всех

s >

0

и і = l,m

для каждого

событие

{ѵ .(«)<

< /}

не

зависит

от а[ £е< (и) — £еі (0, u > / ] ,

то условие (А), 2)

в теореме 1

можно ослабить

и заменить

усло­

вием

(A '): Hm П т sup

P { | l el (voi (Q +s)—g* ( ѵи (f))|>6}=0,

i= U n ,

t> 0.

c -W e - X ) |s l < c

Действительно,

в этом случае для любого s >

0 для

случайных

процессов

'"'О

г =

1, m,

t >

О

и

%(0 = (Eei (vw (s) + 0 — £е(. (ѵй (s))),

случайных

векторов

vg = (yEi (s) — ѵоі (s), i = 1, m)

выполняется

ус­

ловие (A)

§ 2.2.

Выполнение условий (В) и (С) теоремы 1.2.2 при выполнении

условий (Ах), 1)

и (A') очевидно.

Воспользовавшись этой теоремой,

получаем

соотношение

(£е<(ѵеі (s)) —

(v01(s))> 1=

1 - m) =S> о при

e

0,

s > 0,

В том случае, когда

случайные процессы

£gi (t),

0,

i =

\,m

монотонно не

убывают, полезной

для проверки

условия (А), 2)

яв­

ляется следующая лемма.

Лемма 2.

Пусть

£е (f), t £ [0, Т\ для каждого е >

0 — монотонно

не убывающий с вероятностью 1

случайный

процесс. Если выпол­

няется условие

16 [0, Т\ при е

(t) —стохасти­

(F): £е (/), t 6 [0, Т] =ФЦ (/),

0, где ^

чески непрерывный случайный процесс,

то

Ііш Ііш

sup Р{

sup

IСе (^ + S) — £g ( 0 1>

0} =

0.

с -* 0 е - Х (бСО .Г]

|s |« s c ,

s + i € [ 0 ,7 - ]

8

8

'

Д о к а з а т е л ь с т в о .

В

силу

монотонности

процесса

(0

sup

Р{

sup

I £е (* +

s) — £е (0 1> 6} =

( 6 (0 , Г ]

и к с , S - H € [ 0 , r j

=

sup

P {max ( I £

(t) — £ (t+) |,

| £e (0 -

Ce( Q

I) > «} ^

(€[О.Г]

< 2

sup

Р { К ( П - £ , ( П І > в } .

ö > 0 ,

(1)

ir—i”Kc, f',re[o,r]

где

— min (T, t + c),

t7 — max (0, t — c).

Поэтому для доказательства леммы достаточно показать, что

lim

lim

sup

Р { | £е (О — £е (О I >

6} =

0,

б >

0.

(2)

г-*0 е -* 0

Г |« с , ( ', Г € [ 0 , Г ]

Так как

случайный

процесс £о(0 стохастически

непрерывен,

а,

следовательно,

и равномерно

стохастически

непрерывен на

[0, Т\,

то для произвольных а, а' >

0 существует

номер

N = Naa, такой,

что

i -{-* 2

(3 )

В силу

условия (F)

всегда

найдется

<f € [a, 2aJ

такое, что

elim-*0

P (

^

1+

2 '

о Г

N

і + 2'

* = О.ЛГ-2.

(4)

= р { | ? о ( т ) - ^ о ( ф - ) | > ^ } .

Продолжая для с <

оценки (1),

получаем

|і'—

sup

P { i u n — У О І > 0 }

=

(',("6[0,Г]

=

sup

P { | £ e (* + c ) - £ , ( 0 l > S } <

і€ [0 ,Г -с ]

,-0^-2 Р { I Се (^ ) ~

1г (± ^ g~) 1>

б} ’

б > 0 '

(5)

Переходя в (5) к пределу

при г-»-0, и используя

соотношения

(3)

и (4), получаем

НЕ

sup

P { U e( n - S e ( O I > 2 a K

е-»0

|('—П < с ,

i',("g[0,7]

•* ST,

Р{I£*(т)-«.(-Т1)\>*}-

=

l=0,NBEL—2 Р{I Ы' ^)~' Ч'±^ ')|>1

< б'-

Из последнего соотношения в силу

произвольности выбора о и

1

01

о '

следует

(2).

для процесса (£g,(v gt(0).

t = l,m ), i > 0.

Теорема 2. Если выполняются условия

t > 0,

(В,): 1) для каждого

е > 0

случайные процессы

ѵеі (/),

i =

\,т монотонно не

убывают с вероятностью

1;

2)

для всех 0 <

f <

/ <

f < оо,

і = 1, т sup

lg , (v . (s)) —

k,('■« (0) I

sgft'.t')

-

-

,,r

,f“P

15« <>)-

5« <vM(0) I;

P

s€ [v 8* (t'). ѵ е £ ( П )

_____

(B2) : 1)

при

e -* 0 , t >

0, i =

vg(. (t) — vfl£ (t)

\,m,

где v0. (t),

t >

0,

i = \,m — неслучайные

строго

монотонно

возрастающие функции;

2)

lim lim

Р { sup

I gef (vg£ (f +

s)) — gg. (v

(0) I >

6} = 0,

C->0 е-Ю

|sl<c

lel (v8i (0) — Ъгі (v0i (0) -> о при

e -> 0,

t >

0,

t =

17m,

(5е, (ѵ„ (0).

1‘ =

й я ) .

* > ° ^ ( Ъ 0і (ѵ0г (0).

г =

П т ),

/ > 0

при

е -^0,

(а)

(£еі(Ѵеі(0)’

1=

Гт).

1 >0=i>(g0£(v0£(/)), І =

іТт),

/ > 0

при

е->0.

(б)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Используя условие

(В),

получаем оценки

Р{ I$.<(*.<(*)- 6 et(vM(0) I > 6} <

<

P

{

£

SUP

K

i

( V8< (I 0 -

^

(S) I > 6 } .

s€[v8j(<—a), v8t(f+cr))

V0l- (0 6 [Ѵг£ (t -

a),

Vei (t +

a))} +

P{v0. (t) g [vei (< _

or),

(6)

v8i (* + *))} <

P { sup

I ge( (ve£ (0) -

lel (vg. (t +

s)) I >

6} +

+

P{l vei(* — a) _ v o;(/ — °)l >

y } +

+ P { |v e£(/ + a ) - v 0£(/ + a ) |> A j ,

где A = m in( | v0(. (/ +

cr)

v0£ (/)|, | v0£(t - a )

-

vQ.(01) >

0.

Переходя в (6)

к

пределу

при в -»-0,

получаем в

силу

усло­

вия

(В2)

Пй Р { I l R[ (ѵ8, (0) - £

e, (vw (0) I >

6} <

С

lim Р { sup I g ( (ve. (0) — l ei (vp[ (t +

s)) I >

8}

0

при c

0.

e->0

|sl<c

Как уже отмечалось

выше,

для

случая,

когда

моменты остановки

«внешнего» случайного процесса

асимптотически вырождены,

можно

получать предельные теоремы,

в которых сложные случайные функ­

ции

ье(ѵе (0),

t > 0

центрируются

неслучайными функциями.

Пусть для

каждого

е > 0

vg =

(ѵ£., і =

1, т) — случайный

век­

тор, компоненты которого неотрицательны с вероятностью 1.

Теорема 3. Если выполняется условие

СВ:«

— • ^

Г 1 - - щ .

=»(£„, (0. ѵ0і, i =

t >

0

при

г —*■0,

где

____

а)

щ (е),

о,(8),

x t (е), і =

1, т — неслучайные

функции

такие,

что

«, (е),

о, (е) -*■ оо

при

в-»-0 и

lim*, (в) > 0;

V, (г)

------

е-К>

б)

8 —►0,

‘ ,ог -»-0 при

і = 1, т;

аеі“ , (е )

____

в)

t £ R v

i =

1, m — измеримые неслучайные функции;

(t),

2)

агі К

(е) +

V +

s) vi(e))—2t (e)

' ci (0

-o,

t e R lt

limlimsup

*/, (e)

f->0 6~>0 |sl<c

i — 1 ,m,

где

___

а) у. (e), гДе),

i =

1, m — неслучайные

функции

такие,

что

Ит_г/г(е) > 0;

е-*0

б)

X, (8)

-► рбі0,

11 при

е-ѵО ,

і =

1 ,т ;

*, (8) + !/, (е)

1 ,т — непрерывные

в) с, (0,

f € R i,

і =

функции;

3)

Ііт Т іт Р ( д |с) ( ^

>

а) =

0,

і =

ТО

(?->0 е-*0

I

\

* , V8J

I

I

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Введем

в

рассмотрение

случайные

про­

цессы \

(t) =

(le{(t),

i =

1, т),

t >

0 и случайные векторы vg =

(vg£,

і =

1 ,т),

определяя

~

—о8Д ^Д е)) t

yt (е)

—

*f (e )+ i/j(e )

■*”

xt (е) +

yt (е)

С'

\

ti,(e)

/ ’

И

В силу

условий

(С),

1)

и (С),

1),

б), очевидно,

~

р

____

vg£ -> 1

при е -> 0,

і = 1, т.

(7)

Таким

образом,

для

случайных

процессов

r*j

t >

0

вы­

vg (f) — ve,

полняется условие (А), 1) теоремы

1.

Поскольку

Д(с) (I

(fl) = -------** ^ ------Д(с) (

£»t (tui (е)) — а„л (Щ( г))

.

и,

с :

О,

Ke(lW

xl (e) + i/l (e)

“

\

*t (e)

'I

(8)

то в силу условий (С), 3) и (С), 2), б)

для

процессов

ge (f)

выпол­

няется условие (А), 2) теоремы 1.

Наконец,

условия

(С),

1) и (С), 2),

б)

и в)

обеспечивают

(см.

лемму 4. 1. 1) для

гѵ

/ > 0 выполнение соотношения

процессов £е (0>

Ге (t), t >

0=$>(р(| 0£ (0 +

(1 — р,) с,. (ѵи ),

і =

1, m),

t

>

0

при

e

0.

r*w

Cs»

(9)

Применяя

к

процессам

t >

vg (t) =

vg,

t

>

0 теорему

£g if),

0 и

1, получаем соотношение

/

(ve i ) - ae i(^ )

У» (e)

C»Bt — ttt (e)

\

, _ -j—-

\

*Де) +

!/{(8)

+

*г(е) +

t/t (e)

C* \

vt (e)

/ ’

’

,

_

/

£ e t ( v e i ) — z i (

e )________________ ( e )

— \

(e) +

i/j (e)

X. (e) +

yt (e)

X

I ae((vei) — zc(e) __

Лѵв< ~ M

e>

Y\

=Ф

l

У, (e)

C< I

u, (e)

//'

=Hptl 010) +

0 — Pi) с, (ѵог)>

i =

при

e

0.

(10)

Доказательство теоремы 3 следует теперь, в силу

леммы 1, из

следующего утверждения.

i

1, т) — слу­

Лемма

3.

Пусть для

каждого

е > 0 vg = (vg(,

=

чайный

вектор,

принимающий

значения

в

Rm,

и

ае( (t),

t £ Rp

(Gx): ( УгІи

‘ = 1

, « ) = ^ ѵ 0 =

(ѵ 0іІ=,

1,/л) при

е->-0,

где Ui (г),

Ѵі(г),

і=

1 , т —неслучайные неотрицательные функ-

ции такие,

что щ (е), и;(е)->- оо при е->0 и

V . (в)

при е -*■0 ;

, , ->■ 0

u.(e)

a e i

К (e) + V + s) V j ( e ) ) — z i (8)

— 0, t £ Rx,

(G2) : lim lim sup

M 6)

o>0 e->0 |s|<c

i — l, m,

____

где ct (t),

f^R ,,

i =

Um — непрерывные функции,

z( (e),

у. (e),

i = 1, m—неотрицательные функции такие,

что z. (е), y t (е)->оо

при е -> 0 ,

то

grf(v8f) —М 8>

, ( ѴгІ — иі (В)

■0 при е->0, 4 = 1 , т ;

г/г(е)

с4

иг(е)

и, следовательно, случайные векторы

/ а„ (ѵ.Л —z,(e)

г =

------\

------

е -> 0 .

(------ ------------ ,

1, т]= Ф (сг(ѵог), і =

1,т) при

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Определим

случайные

величины

л

ѵеі — “і(е)

ДЛЯ е >

0,

иг (е)

ДЛЯ 8 = 0 .

Поскольку

в силу

условия (G[) случайные

векторы

л

л

ѵе=5>ѵ0 при

случайные

векторы vg = vg (a>) =

(vg. (со), i = l , m ) , e > 0, для

ко­

торых

выполняются условия:

а)

•V»

л

для

каждого в >

0;

vg sü Vg

ОО

при 8 -*■ 0 .

б )

V “ ->■ ѵ0

Очевидно,

для

всех

г >

0

/ ° е і ( v e t ) —

гі (е)

( Vel —

Ч (в) \

\

г/Де)

Ci \

vt {e)

) ’

a ei

(«< (в) +

ve^t (g)) — гі (e)

ci K i).

1,

m

)-

У I

( e )

5*

67

Уі (в)

— сі ( v

e t )

"“ *■О ПРИ

е

0, і =

1, т.

rs,

гч.

( И )

Пусть со 6 А — множеству

из

F',

при

на котором ѵе (со) -► ѵ0 (со)

е-*-0. В силу построения величин vg

Р' (А) =

1.

Для

каждого с > 0

для всех достаточно малых е

f*4>

CNJ

<

в. Поэтому

| vgi (со) — ѵ0£ (со)|

агі («і (е) + Ѵеі (©) ѵі (е)) ”

гі (е)

■с,(ѵв<(©))

lim

Уlie )

е-ю

lim sup

a ei

((^01 (°>) + s)v i je) + »t (6)) — Zj (8)

— сг(ѵог(со) + s )

e-*0 |sKf

У і

( e )

< lim sup

aei ((v0fM

+ s) PI (g) +

Ul (e)) —Zj je)

— С,(ѵЛ И )

+

Уlie)

e-M) lsl«c

+

sup I Cl (ѵог (со) +

s) — ct (v0, (co))|,

i =

1, m.

(12)

|s|<C

Поскольку

с в (12)

можно

выбрать произвольно,

то из

(12) в

силу условия (G2) и непрерывности

функций

ct (t), (£ Rx, i — 1, m

следует,

что для

всех cog А

аеі (ѵгс

(M) vi (g) + ui («)) — 4 (e)

ct ( \i H ) -> 0

У I (e)

при 8

0, l =

1, m.

Последнее соотношение эквивалентно (11). Лемма доказана.

Замечание 2.

Если для случайных процессов £е (/),

t > 0

и слу­

чайных векторов ѵр выполняется условие

(D*): для всех і

= 1, m,

для каждого

t > 0 событие

{vg£ <

fl

не

зависит

от

о [£е£ (и) —

(fl, и >

fl,

(C'): lim lim sup P I

teiiul (8)) — агі іиі(8))

c-M 8->0 ls|<c

xf (e)

йі ((1 + s) Utie)) —aei ((1 + s) u{(e))

> oj = 0,

о > 0, I = 1, m.

xt (e)

Действительно, как нетрудно понять, в этом случае для случай-

ных процессов £g(fl,

/ > 0 и случайных

векторов vg,

введенных при

доказательстве теоремы 3, выполняется условие (А)

§ 2.2,

Замечание 3.

Если

функции

аг1 (і) =

ael 11|“ г,

t 6 R,,

і =

1, т,

где агі = const £ R,,

i =

1, m для

каждого

e > 0,

причем для

всех

і =

1, т

е-М

і ѵ'

> 0 ,

то условие (С), 2) выполняется и

z£ (е) = айіиі (8),

Уі (е) =

аРіиі ( e f '

,

cL(t) = att,

t G Ri,

* =

1> tn-

Утверждение теоремы 3 в этом случае примет вид

/ Ій (ѵв») — аеіиі(е)аі

i = 1, m

=Ф

\

Xt (8) + yt (8)

=»(PÄm0) +

(1 — Pi) aivoi> t =

1. m) при e -*• 0.