книги из ГПНТБ / Сильвестров Д.С. Предельные теоремы для сложных случайных функций

lh = {l((n+l)h)

если

V(Е[nh, (n -f

1) А),

я =

0 ,

1 ,

,

А > 0 .

Очевидно, в силу условия (D)

P{lh <v} = ^ P { U ( n + l)h)< v,veinh,(n + l)h)} =

n=0

=

j ^ P №

+

1)Ä) < ö}p {v6InA. ( я +

DA)} =

n=0

=

J / 4 P,0)P{V6Ä},

(1)

где

0

fh(t>ö) =

{P {I (0 < ü}, если

16 (nh, (n +

1) A),

n =

0 ,1 ........

В силу

непрерывности

справа

процесса

| (/),

t >

0

для

всех

» É R m и / > 0

fh(t,v ) - + f(t,v )= ? { lt< v }

при А - > 0

(2)

lh—

|(ѵ)

при А

0.

(3)

Используя соотношения

(1) — (3)

и теорему

Лебега,

получаем

для

всех

o € R m

Р{І(ѵ) <. ö} = lim Р {£л <

ö} =

ft-W

оо

ѳо

(t, v) P {v € dt)

=

lim \

=

f / (/, v) P {v 6 dt}.

0J

Д о к а з а т е л ь с т в о

теоремы

1.

Определим

величины

| е, (ft) =

{lg; ((n + 1) А), если vei 6 [nh, (n + 1) A);

Очевидно,

л =

0,1, ... ,

t =

1,m, A > 0 .

где

Ig i (Л)

le i

(v ef) =

Sei

(Vei)» 1

=

m >

C

(0 =

Sei (< + f t W) — Sei (0.

( > ° .

i =

l. m

ftW==([ir] + 1)A’

*>°-

Для

случайных

процессов

(/),

/ >

0,

i =

1, m

и

случайных

условия

(А)

о К * (s). 8 > t\ G о [£ei (и) — Ъг1(и), и, V >

t\ =

= 0 ß Ei(s) — Іеі (f ) , s > t ].

Поэтому, используя лемму 1, получаем

Р {IС

(ve<) I >

6} =

\ Р {I

(О I >

6} Р {ѵе£ е dt} =

о

ев (л+1)й

= 2

'

р < I

((« +

D, Л) — gei (О I > 6} р {Ѵеі € d/>,

i = ТТТМ4)

n=0

лЛ

Всегда

можно

выбрать

последовательность

положительных

чисел

Лг -> 0

при Z-voo так,

чтобы

точки

/ггй для

всех

Z, /г >

0

являлись

точками непрерывности функций распределения величин ѵоі,

і= \,т .

Очевидно,

для любого t£\nh, (n + 1)Л)

Р І І і е Д ^ + П

^ - ^ Д О

^ б Х

sup

Р { 1ge£ «n +

1) А) —

se[/tft,(n+i)/i)

-

lei (s) I >

6} <

sup

(p (I lel((n +

l)h) - le. (t) I > 4 )

+

stln h ,(n + l)h )

\

I,

+ P {l bt (s) -

ltl ( 0 1 > | } ) < 2 sugP { 11

(Іt) -

§e (/ +

Ц) I >

4 } •

(5)

Используя соотношения (4) и (5), получаем

Ш і Г Р { | ^ Ы | > 0 } <

е-М>

<

lim 'S

sup

Р {

l R. ( ( n + l) h l) - l ei(s)\>è}

X

е-Ю

s€[nfc/,(n+1)Aj)

X P K < € [n/iz, (n +

1) ht)} =

У

Hin

sup

Р{|£ег((п +

1)Л,) —

г-Ю s€[nfcz,<n+l)A />

— 5гі (s) I >

ö} P {v0£ € [nh,, (П+

1) ht)} <

(6)

£

<л+1)й/

I

2 H r n s u p P { | i . , ( ( ) - i , , p + 1, ) | > 4 j P { , „ , € « S } _

RaO

nh^

-

i

2'Рѵ

(/,в )Р { ѵ „6 Л } ,

4*

51

'IV (t, б) = lim sup P j I l ei (t) — lel (t +

и) I > - |Л .

E-*0 IиЫЬі I

* )

Ш У

sup

Р { | £ еі( ( « +

1)Л) — gei(s)| > б>Р{ѵе, €

t -И ) „ ^ д г s € [(n ft/i(n + l ) ft/]

6 [nh, (n +

1) h)} < lim P {vei >

NhJ = P {^0l>Nht} ->-0 при N-+oo.

e - * 0

<

П т

Г 24ffti,i (*, б) Р {V

€ dt) +

2Р {ѵ0(. 6 Bm.} =

=

_

2P {vw e

Bm.} = 2P {vot 0

С7)

f lim 2ТЬі>( (t, б) P {v„ € dt) +

B J .

Для произвольного б' > n

выбором n всегда можно добиться,

чтобы 2Р{ѵое0 Д „ і} <

б'.

Поэтому

из

(7)

следует,

что

Й т‘ Ит’Р {| f

j

(vei) I >

6} =

0, б > 0, t =

ТТ^Г

(8)

fy-W) е-Ю

Так

как

т

со

Р {%е(W <

п ., і =

1, т) =

2

2

Р

({"‘ +

])

ѵ8і € [ПіН, (n , +

1) h),

i =

1 , m ) .

т о в с и л у в ы б о р а h t, I > 0 п ри в ы п о л н е н и и у с л о в и я (В )

(Ъе1 (hi), і =

IT m j = ч ! 0; (Л ,). i =

T m )

п ри

e

0 , /

= 0 , 1

, . . .

(1 0 )

Н а к о н е ц , в с и л у н е п р е р ы в н о с т и с п р а в а с в е р о я т н о с т ь ю 1 п р о -

(V

^

__

ц е с с а І о (t) и

о п р е д е л е н и я

в е л и ч и н

| 0,

(h),

i =

] , m ,

h > 0

Х і

Ф і ) І о і

(ѵоі)

ПРИ h i “»“О. » =

и, с л е д о в а т е л ь н о ,

( lo t

(А ,),

г = Т 7 т )

= і> ( І ог (ѵ 0(.),

і =

І7 7 л )

п р и

ft, -> -

0 .

( 11 )

Лемма 2, Пусть для каждого s > 0

£g =

(£еі,

і — \,т) — слу­

чайные

векторы,

принимающие

значения

в

Rm и

представимые в

виде

£е =

Üv +

Q

Для N > \ ,

где

t,*N =

(Z*Ni, i =

17m), N >

1 —

случайные

векторы,

принимающие

значения в

Rm,

для

которых

выполняются

условия:

а)

ПРИ

8N- >>0 І>;

б )

^

=

^

0

ПРИN - + 0 O - ,

в)

Нш lim Р { I Z^NI >

6} = 0,

б >

0,

іѴ->со 8“>0

Тогда

и

£е = К 0

при

е ->0 .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Для

каждой

точки и =

(иг, ,,

.,ит ) не­

прерывности

функции распределения случайного

вектора

£0

можно

выбрать

последовательности

положительных чисел

8lk — 8ik (ut) -> 0

при k~+oo,

i =

1 ,m

так,

чтобы

все точки

(щ — 8ih,

і =

1,/и),

были точками

непрерывности функций

распределения

случайных

векторов

£0

и

N > 1.

Воспользуемся

теперь оценками

Р (S£l. <

и(, і = Т7^}> P {S+ 1+

1

I <

i =

^

^

®Ik <

U f>

I

N1 I ^

^lk’

* ~

l<m }

^

m

^

^ (Övi <

u i

^ t k ’

1 — 1 >m )

2 ^ ^ I ^еЛН I >

i=l

( 12)

Переходя

в

(12)

к пределу

при

е ^ О

и

используя

условие

а),

получаем

иt, і =

ut -

і =

\7m} —

lim Р {£еі. <

17^7} >

Р {£+,

<

б

е-*0

m ___

- У

і і т Р {

| Щ

>

б (.Д.

<13>

S

8-*”0

Переходя в (13) к пределу

сначала

при

N -*- оо, а

затем

при

k-+-oo, используя

условия в) и б) и

выбор

точек

(иіг

і =

1 ,пг) и

(uih — 8ik,

i =

l,m),

1

получаем

lim p {lei <

i = 1, m} > lim lim (P

<

«. — blk, i =

1, m} —

e-*o

Ä->co N-+CO

m ___

P { I t~m I > 8tt}) = lim P {£0. < ut — èik, i = I7m} =

- У I'm

e*>0

k-+Go

£ = 1

Аналогично можно показать, что

=

P {l0l<Ut,

i = hin}.

ПЙГР {£ , < и£, і = ГТт} <

Р {£0І <

ult i = l7m}.

e-*0

ся на тот случай, когда для

функции

распределения случайной ве­

личины С*** (vgf)

(і =

1, т)

имеет

место

представление

Р ( С

е .А} =

]

J ^

е> (X.

* +

8Н(0. А) р {ѵг£ 6 dt, ael 6 d*},

(а)

0

r*

где a g£,

t =

1, m — случайные величины,

принимающие

значения в

R*, Р\е) (х, t,t +

s, А) — измеримая

по

совокупности

аргументов

(х, t,t 4- s) функция,

являющаяся

при

каждых

i, х, t, t -f s

вероят­

ностной мерой на 99(1).

Действительно,

из

представления

(а)

очевидно

следует

оценка

Р {IÜ? K t) I

>

6} <

J <р{8) {t, t +

gh(if), Ve) P {ve/ 6Ä},

(14)

где

о

ф!8)(/, t + s, Ve) =

sup P f] (x, t,t + s, Ve)

V0 =

{«/€Ri :|« /|> 6 } ,

которая заменяет в данном случае равенство (4).

Если

потребовать

выполнения

условия

(C'): lim

lim

sup ф<е> (/, t +

и, V ) =

0,

б >

0,

для

t £ В„„

п > 1,

с-*0 е-Н)

п >

1 — борелевские

множества

на

nt

такие,

где

Bni,

[0, оо)

что

lim P{voie

Bni} = 0 , t =

l,m,

которое

заменяет в данном

п-*-эо

случае условие (С),

(В) имеет место соотношение

то при выполнении

условия

(Set(ѵе.)*i =

=*>(£«(vo<)>1=

Г й ) при е -► 0.

Доказательство проводится дословно аналогично доказательству

теоремы

1

с

заменой

в

соотношениях

(5) — (7)

вероятностей

процесса сс8 (/) = ( |8 (t),

ßE (t)), t

> 0,

принимающего

значения в

RmXR/t, а моменты остановки ѵеі,

і — \,т являются

марковскими

моментами времени для

процесса a g(fy

При этом величины аЕІ =

а е(vg£), і =

\,т и функции

P f

(X, t,t + s, А) =

р

(/ +

s) -

5« (/)

е а /„е(()=Л =

Q<e) (X, г,

+

s, А(. + х),

где

Q (х, t, t -f s, В) — переходные

вероятности процесса а е (/) и А. =

= R;_l X А X

* = Up • • •.

ния процессов \гі

(t) «в будущем» зависят от моментов остановки че­

рез некоторые фиксированные случайные величины.

В качестве простого следствия теоремы 1 может быть получена

следующая теорема о сходимости распределений

полунезависимых

случайных

процессов.

Пусть для каждого е > 0 vg (t) =

(vgi. (t), i =

1 ,m), t

> 0 — случай­

ный процесс такой,

что vg£ ( / ) > 0,

i = l,m

с

вероятностью

для

t >

0. Будем

предполагать,

что

случайные

процессы | 8 (/), t

>

0

и ѵ£ (0, t >

0 удовлетворяют следующему

условию

(E)

: для

всех

s > 0 и і =

\,т

событие

{vgi (s) <

/}

не

зависит

от

<т{£Е1- (“) — Ійі (0.

u > t \

для каждого

t > 0.

Теорема 2.

Если

выполняются

условия

(Е) и

(F)

: (ve W J , №

t > 0 -Ф(ѵ0 (t), ^

(t)), t >

0

при e

0;

___

(G)

: limlimsup

P{|£ .(f) — I At + u) | >

6} = 0,

t >

0,

i = l,m,

C- * 0 e - * a I a |< c

T O

(£« Uei (0).

I =

1, m),

t > 0 =ф(g0£ (v0. (/)), t =

1, /Я),

f >

о при 8

0.

несколько

ослабить общие условия сходимости распределений вели­

чин Ejg

(ѵе),

полученные в §1.2.

te(t) =

(iei (t),

i —

Пусть,

как и

раньше,

для

каждого

е >

О

= l,m),

^ > 0 — случайный

процесс, траектории

которого

с

вероят­

ностью 1

принадлежат пространству D(m>, и ѵе =

(ѵеі, і=\,т) — слу­

чайный вектор, принимающий значения в

Rm

и такой,

что

ѵ£[. > 0,

і =

\ ,т с вероятностью 1.

Основным результатом параграфа является следующая

теорема.

Теорема

1. Если выполняются условия

(A)

:

1)

( ѵ , | е (0), t > 0= И ѵ 0, lQ{t)),

0

при e-xO;

2)

для

каждого

i = \,m

существует

последовательность

Bni,

n >

1

борелевских подмножеств

[0, oo) такая,

что

limP{voig

Д'>сс

е В „ г} =

0 и для всех

Hm lim Р {sup

| i e£ (*) — ^

(*+

,

c-W)e-X>

|u |< e

+ и) I > 6} = 0, б > 0;

njH

'

(B)

t >

0

и случайный

вектор

ѵ0

незави­

: случайный

процесс i0 (t),

то

симы,

<5е£(ѵв/)-

і== 1, "г) =^> (І0г (ѵо/)*

і =

в

при

е -х 0.

Замечание

1.

Для каждого

і — \,т

случайный

процесс

Іоі (0-

t >

0

стохастически

непрерывен

для

всех

t £ {_J Впі.

Это

следует

из

простых оценок

P { I M * +

s) - M

* ) l > 6K

^

p { I U *

+ s) - ^

( 0 1>

26} ^

< Ë m P { s u p |i

, ( г + ц ) — I Д 0 І > 2 б } - > 0

при

s - x 0 .

Е-Х>

|U |<S

Поскольку

процесс £0 (i),

t >

0

и

случайная

величина ѵ0 неза­

висимы, то отсюда следует

в

силу

леммы 2.1.2,

что

для

каждого

і =

1, т процесс £оі (/), t >

0

непрерывен

с вероятностью 1 в точке

ѵоі, то есть

в данном случае выполняется условие (В) §1.2.

Замечание 2.

В

силу

леммы

9.2.1

при

выполнении

условия

(Aj) §1.2

для

каждой точки

стохастической

непрерывности

t

про­

цесса іоі (t),

t

> 0

lim Hm P {sup I lei (t) — igi (t +

и) I >

6} =

0.

oX O e-X )

|и|<ге

Поэтому,

если

выполняется

условие

(Ах) §1.2 и для каждого

і = \ , т

существует

последовательность

Bnj,

п >

1

борелевских

подмножеств

[0, оо)

такая,

что

для

всех t £ и

впі — случайный

лабления

условия (А), 2) компактности

процессов

| 8 (t), t >

0 в

топологии

J.

теоремы 1.

Очевидно,

в силу условия

Д о к а з а т е л ь с т в о

(А)

и теоремы Лебега

lim

f Р {I

(/ ) <

и і = ГТпг) Р {ѵ0£ € dt.,

i = l"7m} =

е -ю

J

= j

p {ioi (<i) <

“ i. t = Г™} P K i e Ä,,

t = T7m}

(1)

в точках

непрерывности предельной функции распределения.

Теперь воспользуемся следующей леммой, представляющей со­

лентности» (см. теоремы 1 и 2 §

1.1).

Лемма 1. Если выполняется

условие

(I): (ѵе, Іг Ш t >О=Ф(ѵо,Іо(0).

* > ° ПРИ

е _ > 0» где случайный

процесс g0 (f), t > 0 и случайный вектор

ѵ0 независимы,

случайные процессы

g' (t) =

(g\ (/),

i = 1, т), t > 0 и случайные век­

торы

ѵ' = (v'., i

=

l,m)

и

v' = (v"., i =

l,m) такие, что:

а)

(v', £' (0),

t > 0 ~

(ve, ge (/)),

t > 0

для каждого e >

0,

б)

£’ (0. t > 0

и v' независимы

и v' ~

vQдля каждого

e > 0,

в)

P

8 -*■0.

v ' — v' —>■0 при

Р {I Кі К г) -

Кі K t) I >

6} <

Р {sup I Kt K t + s) — Ki Ю I >

6-

Iк - к 1<

c> +

p ( I k - k

\> c}

< j p

щ ? ( o > 6 } p {v ; € dt} +

где

+

p K

t e B J + P {I v , — v*| >

c},

(2)

sup I lit (t) -

й і (t +

й сі

(0 =

S) \ , t

> о

|sKc

(поскольку,

очевидно,

процесс £<£с>(t), t >

0 непрерывен

справа с

преобразования

вероятности

Р

(ѵ".) >

6}

мы

воспользовались

леммой 1.2.2).

t > О

Пусть <р$ =

lim Р {££> (0 >

Ö}. Очевидно,

| ф<с>| < 1,

и в

силу условия (А)

£->•

*

Ф<^

О ПРИ

с

0 Для всех

16 U Вш„

л>1

Для произвольного б' >

0

всегда можно выбрать в силу условия

(А)

п так, чтобы Р{ѵ"г0 В т.} = Р{ѵОІ0 В л£} < б'.

Переходя

теперь

в (2) к пределу

при е -> О,

получаем,

используя

соотношение в)

леммы 1, соотношение (3) и теорему Лебега,

й й Р {| К Ю ~ К Ю 1>б> < б' +

Ш Г

Р

(О >

6} Р {ѵОІ 6 dt} <

e-W

е-+0 J

в п і

<

б' +

j

P {ѵог 6 dt} -> б'

при с -> О,

*пі

откуда в силу произвольности выбора 6' следует, что

Кі (vÉi) — Ki (\i) -

0

при е -> О,

і = 17 т ).

(4)

Из соотношения (4) следует в силу леммы 5.1.1, что случайные

векторы (|'і(ѵ 'г),

і — \,т)

и

i = l , m )

имеют одинаковые пре­

дельные распределения при е->-0.

Доказательство теоремы следует теперь из соотношения (1), так

как

в силу соотношения а) и б)

леммы

1,

очевидно, для всех е > О

И

< £ К ,),

і =

І »

Ä

(Kl (Vel)>

і = П > )

p (Kl (\i)

<

i =

ITS) =

J P {Eei (*,)<

o+

Km

i = 1, m)} P {vw € dt,

i = 17m}, и 6 Rm.

Следующие две теоремы представляют

собой аналоги теорем 2

и 3

§ 1.2.

Если

выполняются

условия

(А) и (В) теоремы 1,

Теорема 2.

то для любой

функции

/ (хи уь f = l, т),

непрерывной

для

всех

точек (хі,Уі, і =

1, m), где

G — некоторое подмножество

R2m такое,

что

Р {(ѵ0іЛ і К .) .

t = l,m)eG}

= l,

/ (ѵгі- kl (ѵе()- 1=

t =17m )

при e -> 0 .

(В)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Очевидно,

выполнение

условий

(А),

1)

и

для случайных

процессов

£е (t),

t >

0 и

случайных

векторов

ѵе

обеспечивает

выполнение этих условий для процессов | Е (0 = (а,ѵе,+

+

ß .|E. (t),

i = Г7m),

/ > 0

и векторов ѵе для всех ar ß( 6 R,, t =

1,m.

Выполнение

условия

(А),

2)

для

>4',

случайных процессов

lg(t),

t >

0 для

всех oo(.,ß; 6R p

і = 1 ,т

при

выполнении

этого условия

для

случайных

процессов іе (0. t >

0

следует из следующего

про­

стого

неравенства:

sup

I осх(t) +

ß^ — ctx (t +

s) — ß it -f s) I <

|s l « r

<

|a |

sup

|x ( 0 — x(t + s)\ +

|ß | c ; a , ß g R p

< , c > 0 ,

|s|«C

используя

которое

получаем

для

произвольного

б

0

для

всех

f £ U

Впі в силу условия

(А), 2)

п > - !

Й т Р { sup I а£е( (t) -f ß^ — а£е1 (t + s) — ß( (t +

s) | >

ö}<

£-+■

IsKC

<

Ihn P { I a £I sup I le{(0 — lei (t +

s) I >

б — I ßJ с} -> О

при c -* 0.

e-*0

ls|«se

rsj

t >

0

и

случайным

Применяя к случайным процессам £е (t),

векторам ѵе теорему

1, получаем

( « Д е і Ы + ß i V г = 1' т ^

( « Д о і ( ѵ о;)

+

ß <

V

=

1 - m >

ПРИг ~

* ° д л я

в с е х

a

p ß

i ^

Ri i’e

l

- Ä

Последнее соотношение эквивалентно утверждению теоремы.

Теорема 3.

Если выполняются

условия

(А), (В)

теоремы 1

и

где

___

___

а) а. = const > 0 , і =

1 ,т , ѵгі, і =

1 , т — неслучайные

неотри­

цательные функции

такие,

что vgt -> оо

при е -> 0;

б) hc (х), X >

0,

і = \,т — медленно

меняющиеся

функции ин­

тегрируемые в каждом конечном промежутке;

в) ѵ0£ > 0 , і =

1, т с

вероятностью

1,

то

ігі ( v e t)

i = l , m

\ =5>(І0І (voi) у“ “', i = 1,m)

при

в ->0.

'at

, ’ .

v8i hi

(vEi)