книги из ГПНТБ / Сильвестров Д.С. Предельные теоремы для сложных случайных функций

Го(Я) -> (i0£ (Vw), і = 1,т)

при га -* оо,

откуда

получаем

р {І0/ («) <

И/, t =

1, т } -*- Р {І0/ (ѵ0/) <

ut, i=

Cm} при га-*оо,

(5)

Р {іо /

(я) <

И/, і =

1, гаг} -*

Р {£0/ (ѵ„) <

и(, і = 1, гаг}

при га -> оо

для всех точек

(и ,.........u j

£ Rm,

исключая,

быть

может,

точки

( « , , . . . .

6 Ц ,

где

U, — подмножество

точек Rm,

для

которых

хотя бы одна координата принадлежит множеству

Ѵ. =

Ь / ^ 1:2Р {іо/(Ѵ о/)

= ' / } > 0

I

/= 1

(очевидно, множество V, не более чем счетно).

Последовательности

разбиений

уп і, га >

1, і = 1, гаг всегда можно

выбрать так, чтобы в дополнение

к (С) выполнялось

условие

(Сг): Z; (k, га) 6 S£ для

всех k =

ОТп, га >

1, i =

l,m.

Поскольку, очевидно,

m

n

p {%i (П) <

i=*l,m} =

2

2

P К / € (гі (kr n)’ 2i (*/ +

n)),

/=1 */=°

sup

Іе/ (t)< ur i = 1, гаг},

•*/(*/+!•”»

P {Іе/ (я) <

w„ i =

1, m} =

2

2

P {ѵег € (z, (Ä , ra), z, (£y +

1, ra)),

/=1 kj=о

inf

іе/ (0 < W / , i =

1, гаг},

;€[г/(*/.л) ,г£(*у+ 1,/j))

то в силу условий (А) и (С,)

Иш |Р{£^ (Я) <

и{, і =

1, гаг}

е-*0

— Р {£(>/ (л) <

«/, і

= 1, гаг} I <

2 2

Р {v0t. >

zt (га, га)}, га >

1;

(6)

/=1

lim I Р {іе/ (га) < «г, і =

1,гаг} —

Е-*0

— Р {Іо/ («) <

“ /.* =

1. гаг} I <

2 2

Р {ѵ0/ > г{ (га, га)}, га >

1

г=і

Р

(VJ < ur i = 1, m) — P {gM(vw) < u{, i = 1, m) | <

< | P { ^ . ( / i ) < u p i==T7m} — P { 6 ^ ( « ) < “/, * =T7m}| +

+ I P

(n) < u., i = TJn) — P

(n) < u., i = I m } I <

(7)

C 2 ( I P {l'Ei (n) <

u., i = hm} — P {i;,. (n) <

u., i = 77m) | +

+

|P{6^(n) < Щ, i =

TT™} — P{Éw(n) <

Щ, i =

T7wT}| +

+ IP {Éw (П) <

Ut, i = T7m} — P {g'( (n) <

u., i = TTm} |).

Для

каждой точки (up . . . ,

um) 6 Rm\ ( U 1

у U2) для произвольного

б >

0

выбором достаточно большого п в силу соотношения (5)

последнее слагаемое в сумме

справа можно

сделать меньше

у6 .

котором счетном всюду плотном в Rm множестве).

Замечание 2. Как следует из доказательства теоремы

1,

усло­

вие, что случайные процессы

£е(/),

О

не имеют

разрывов

вто­

рого рода, несущественно, и

достаточно

было

бы только

потребо­

вать, чтобы «выражения» 1ЕІ (ѵЕ(.),

sup

lEi (t),

inf^

£гі (0,

t\,

S(,

Д о к а з а т е л ь с т в о

леммы

1.

Очевидно,

для

случайных

про­

цессов

іе (t),

t >

0 и

(ѵе, Іе(/)),

t >

О

Ь 3 {Ъе Ц ) , с , Т ) Д=л ((ѵ е,

с , Т ) .

Поэтому условие (А) в силу теоремы В § 2.1

достаточно для того,

чтобы для любого функционала

/ ( • ) €

J ( v l (0)іГ для

всех

7ДТ*

f ({ѵеЛ еШ=$>!

при е -> 0.

В

частности,

для всех

и., vt £ R,,

i = l , m ,

если

только

t[, f.,

1 — 1, m — точки

стохастической непрерывности случайного процесса

| 0 (/), t

> 0 (заметим,

что множества

точек стохастической непрерыв­

ности процессов

| 0 (/), t >

0

и

(v0, lQ(t)), t > 0

совпадают),

m

m

2

UiVeC+ Vt

SUP„ Ki (*) =» 2

“<VW+

SUP„

(0

ПРИ 8 -> 0,

t= I

i€[f^.)

m

m

2

“ivet +

vi in,f„ 5« (*)=* 2

u‘v0‘- +

^ in,f . toi (о

при e - ^ ° .

i=l

i=l

откуда

в

силу

произвольности

выбора

и., и£6 R,,

і = 1 , т

следует

выполнение условия (А).

Д о к а з а т е л ь с т в о

леммы

2. Достаточно, очевидно, показать,

что при выполнении

любого

из

условий

(ВД

/ =

1,3

% (А- ѵоі)

0

приh -*• 0,

(8)

где, как

и раньше, обозначено

%

{К X) = sup 11

(t + x) — Ъоі (х) I,

х > 0 .

Itl<h

Так как величины г]0i(h,x) по определению монотонно не воз­

растают

по

h

для

каждого

х > 0 ,

а следовательно, и величины

%

У1' ѵ о і )

монотонн°

не

возрастают

по h, то для доказательства (8)

достаточно показать (см.

следствие 2 леммы 1.1.1), что

% (Л- ѵо<)

0

при Ä-*-0.

(9)

Предположим вначале, что выполняется условие (ВД В силу

независимости

| 0t(0.

t > 0

и vßi,

учитывая лемму

1.2.2,

получаем

оо

Р {% (А*ѵо<) >

б> = J Р {% (h<х) >

6} Р {ѵ0£ £ d*} <

0

< J%впі W Р{% (й- *) > 6} р {ѵ„ 6 d*} +

Р {v0i.е B J.

(10)

тц. (А, х) ->- 0 при А -*0 .

(11)

Переходя

теперь

в (10) к пределу

при е-»-0 и используя

(11),

в силу теоремы Лебега получаем

П т Р {т]01. (А, ѵ0£) >

6} < Р {vw е

B J

+

Н-*о

+ Йш ?Хв , М р {Лог (А. *) >

б) Р {Ѵ0І 6 dx} = Р {Ѵ0(. е B J -V 0

h-¥ОJ

^

СО

р к , (А, ѵм) > 6} = 2 р {ті0і. (A, yki) >

б, ѴМ= ykl) ^

k=i

( * • » * > > « > +

(|5,)

А=1

к=п+1

Для произвольного б ' > 0 можно выбрать л так,

чтобы послед­

нее слагаемое справа было меньше б'.

Учитывая соотношение (11)

и переходя в (12) к пределу при h -> 0, получаем

(хс, у.,

і = 1 ,m) £ G,

где G некоторое

подмножество

такое, что

Р { ( V

5оі (ѵоі)> і =

ІTm) € G} = 1,

/ (V Sei. (vet), i = T^T) =*> f (v„, £0i

(voi), i = I7m)

при e -V 0.

выполняются

для

случайных

процессов

(/) =

(іеі (0.

t = 1, m),

^ > 0 и случайных

векторов

vg = (vgi, t =

1, m),

то

эти

условия

выполняются

и

для

случайных

процессов

Іе (0 =

(t) + ѵл'гі,

i = l,m), / > 0

и случайных

векторов ѵе при любом

выборе кон­

стант и., V. £ R p

i =

1, m. Поэтому в

силу теоремы

1

( и к і

(Ѵг .)

+ У£Ѵеі-

1

= і , ОТ) = » ( ы Д о , ( ѵ0£> +

° ( Ѵ * =

1,ОТ)

при е->-0

(13)

для

всех

ы., V. £ Rp

г = 1,т. В силу

произвольности

и., ѵ.,

і = Yjn

(13)

эквивалентно соотношению

(£ег (VEt)> V

* =

1, Ш) =Ф (50( (Ѵш), Ѵ0£,

і = 1, т)

при е

О,

в) ѵо£ > 0* 1 = 1

с

вероятностью 1,

то

(ѵе£)

1, m

=Ф(L, (V .) vQ.a', i = l, m) при

0.

I =

/ (хр у{, і =

1, т) =

2 иіхі аіу.,

£=1

где

m££R,, i = \,m.

Функция f{x£, z/£, i — 1, m)

непрерывна для всех точек г=(хр z/£,

i =

l,rn)£ R2m,

исключая

точки г,

принадлежащие множеству

Н = I2 : П хі =

• Но в силу условия в), очевидно, Р{(ѵ0£, | 0£(ѵ0£),

__ г=і

)

і = 1, т) £ Н} =

0. Поэтому,

применяя

теорему 2, получаем

m

t'

/ ' V

rn

“1 при e -> 0, щ 6 Ri,

i =

1, tn.

S

“ *' 4*

Vgi

=* S “ i£ot(v0i) %

Z\

V*<M V.<>

,“ І

______

( H )

В силу

произвольности выбора u{ 6 Ri» i =

l,m

соотношение (14)

эквивалентно соотношению

& К г)

,

1

і =

1, т)

при е -> 0. (15)

, і = 1, т ] =Ф (goi (ѵ0() % “*,

ve“K К

і)

Покажем теперь,

что

(ѵ;,) р 1

при

е

0,

і =

1,т.

(16)

fy К «)

Так как v0l- > 0 ,

і — \ ,т

с

вероятностью

1,

то

для

любого

б >

0 можно выбрать точки

непрерывности

функции распределения

случайной величины

ѵ0/ zx и z2

(0

гх < г2 <

оо)

так,

что

P{v<K efa,z*l}<

Y '

(17)

тельно X в любом

замкнутом

промежутке, не

содержащем

0

(см. [65]). Следовательно, для

произвольного б' >

0 найдется е„ > 0

такое, что для е < е0

h i (х ѵ г і)

— 1

б'

для всех X 6 [zlt z2].

(18)

hi Кг)

€ [Zi, Z2]| — Р {ѵог 6 [2lt z2]}

_6_

(19)

2

‘

uei

Учитывая соотношения

(17) — (19), получаем

для

е < е0

со

мѵ;<)

И1

hi (*ѵег) — 1 >

6M p ' _ i L e d x ( <

> 6 '

hi Кг)

hi Кг)

<

р

е

к ,

z2]j < p {volg [Zl, z2]} +

+

p<vol e f c ,

z2i — p 1-^- e [zlt z2]

ei

Из

соотношений

(15) и (16)

в

силу

леммы

5.1.1

(функция

f{xn у {,

і = \,т) = (xiyl,

і =

l,m ),

определенная

на

и

прини­

мающая значения в Rm, непрерывна) следует, что

1ѵгі)

і = 1, m I =

^ei (V8i)

^

(V8f) 1—1

i = 1, m j

’Ѵ£І h i

1Ѵ8і)

(we<)

V tf'h i (»ei)

^ ( ^

(v0f) ѵо Л

і =

при

e-> 0.

Теорема

доказана.

Теорема 1 позволяет перенести соответствующие результаты на

случай суперпозиции случайных процессов.

Пусть для каждого е >

0 le(t) =

(lei (t), i = 1, m),

t >

0 — слу­

чайный процесс, траектории которого

с

вероятностью

1

принадле­

жат

пространству D(m),

и vg (t) — (vg. (i),

i =

1, m),

* >

0 — случай­

ный

процесс,

принимающий

значения

в

Rm,

такой,

что vei- (t) >

0,

i =

1, /п с вероятностью

1

для

каждого

t

>

0.

Теорема 4.

Если

выполняются

условия

(С): 1)

(Ів(*), ѵе (0), t > 0

(g0 (0, ѵ0 (0),

^ > 0

при е ^ 0 ,

2)

lim lim

Р {Aj (g8 (0,

с, Г) >

6} =

0,

б, Т > 0,

(D):

для

всех

і =

1 ,т

случайный

процесс

loi(t),

t >

0

непреры­

то

вен

с вероятностью

1

в

точке voi (s)

для

каждого

s >

0,

1, m),t >

і =

lTmj, t >

(lei (v8t. (0), I =

0 =Ф(£0(. (V0l. (0),

0

при е

0.

Замечание 3. В силу

леммы

2

для

выполнения

условия

(D)

достаточно, чтобы для каждого

і =

1, m выполнялось одно

из усло­

вий

| оі (t),

t

(DJ : случайный

процесс

>

0

стохастически

непрерывен

и

не

зависит

от

процесса

ѵог (J,

і

>

0;

(D2) : случайный процесс

| oi (t),

t >

0

непрерывен с вероятностью

1;

(Ds) : случайный

процесс

| ог \t),

t

>

0

стохастически

непрерывен,

а

случайные

величины

\ оі (t),

t

>

0

имеют дискретные

распреде­

ления.

Сформулируем теперь аналог теоремы 3.

Теорема

5.

Если выполняются

условия

(С) и (D)

теоремы

4

и

ѵ,і (0 = '

(О

U

0

Kl (tve.j)

t >0,

1 = 1 ,m,

иеі

vV ih i

(v ei)

где

a)

at = const > 0 ,

i = l , m ,

vei,

i =

1, m — неслучайные

неотри­

цательные функции

такие,

что ѵеі -> оо

при е -> 0;

б)

ht (х),

X > 0, і

= l,m —медленно меняющиеся функции, интег­

рируемые на каждом конечном интервале;

в)

ѵоі (0 > 0, і =

1, т с

вероятностью

1 для

всех t 6 Т с ;

[0,

с»),

то

^Et (ѵеі (О)

i

=

1, т

t e t =s>

véi(0a4 ( v 'i( 0 )

=4>(£оі Кг (0) ѵог (0

“г. і =

1,от),

* е Т при е->0.

Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы

4.

Достаточно

заметить,

что

для

любого набора моментов времени sk, k = 1, п для случайных

векторов

'S»

i =

____

k =

—

и

случайных

процессов

(i) =

v8 = (vg(. (st),

l,m;

1, n)

— (Izik

=

\zi (0.

t =

1, m,

k ~

1, /г),

t > 0

выполняются

условия

(АО и (В). Выполнение (Аг), 1) и (В)

при выполнении условий (С), 1)

и (D) очевидно, а то,

что при (С), 2)

выполняется

условие (AJ. 2),

следует

из того,

что

Aj (Ie (t), с, Т)

= KnAj (Ее (0, с, Т) для

всех

с,

Т >

0.

Аналогично теорема 5 может быть получена как простое следст­

вие теоремы 3.

Возникает вопрос:

насколько

необходимыми

являются

условия

(А) и

(В) теоремы 1? В частности,

не является

ли условие

(Aj), 1)

сходимости совместных распределений случайных процессов

lR(t) и

величин vg достаточным для выполнения соотношения

(а):

Ее (ѵе)=5>

=ф£0(ѵ0)

ПРИ е - > 0? К сожалению,

в

общем

случае

это

предполо­

жение

неправильно даже, если случайные

процессы

£g (/), t >

0 и

Пусть т)А, k =

0 , 1 , . . . — последовательность

независимых одина­

ково распределенных

неотрицательных случайных

величин

с непре­

рывной функцией распределения

F (х) и

g - m a x

ті* = Лѵ,

0<А<л

п

где

ѵп =

min (г : 0 <

г <

п : х\г >

т)А, к =

0, п).

Нетрудно понять,

что Р {ѵ„ =

/} =

1

I — 0, п, поэтому

п + 1

-^-=S>p при п —►оо,

(20)

где

р — равномерно

распределенная

на

[0,1 ]

случайная

величина.

Так

как, очевидно,

а (я)

при я-»-оо, f >

0

для любой функ-

ции а(п)

такой, что ос(я)->-оо при п-^-оо, то из (20) в силу лем­

мы 5.1.1

следует,

что

-

гсГ'П]) . t > 0 =5>(р» 0), t > 0 при п -> оо.

Однако

P{tn <x} = F(x)n

если, например, выбрать F (х) = 0 для

1; 1 ----- —1 для

1.

У X

ловие (В).

Достаточно определить ѵп =

(— 1)"-^-

и

ln(t) = х(0іСО) (0.

t >

0

для п >

1. Условие

(А) в этом

случае,

очевидно, выполняется,

но

Іп(Ѵп) =

т ( 1 + ( ~

1)")-

Однако условия теоремы 1, конечно,

не

являются необходимы­

ми, и соотношение (а) может

выполняться даже в том случае,

ког­

да случайные процессы \ п (t)

и величины ѵ„

вообще не имеют пре­

дельных

распределений. Пусть, например,

= Х(о.«,) ((— 1)"0>

t > 0 и

ѵп =

(— 1)п. Очевидно, £„ (ѵп) — 1

для всех п > 1.

§

2. Сходимость распределений суперпозиции

полунезависимых случайных функций

ращений «внешнего» процесса в будущем.

Пусть для каждого е > 0

і е (0 = (£g/ (t), j =

1,m),

t >

0 — слу­

чайный

процесс,

траектории

которого

с вероятностью

1 принадле­

жат пространству D*"0, и vg =

(ve/, j =

1, т) — случайный

вектор,

принимающий значения в Rm,

такой, что ѵ . > 0 ,

j

=

l,m

с вероят­

ностью

1.

Будем предполагать выполненным

условие

(А): для каждого

і =

1, т и t > 0 событие

{ѵе. <

t}

не зависит от

о t^ei (s) ~ ?е£ (0.

s > ^ — минимальной

ст-алгебры,

натянутой на

приращения

процесса | ei (s), s > 0

после момента времени (.

Замечание 1.

Условие (А) выполняется,

например,

если | gi. (t),

t > 0 — процессы

с независимыми

приращениями и

ѵеі — марков­

ские моменты времени для процессов

%гі (t),

t > 0.

го і = 1, т.

Более сложные примеры рассматриваются в главах 4 и 6.

Основным результатом этого параграфа

является следующая тео­

рема.

Теорема 1. Если выполняются условия

(А) и

(в ) : ( V

L (А-)> 1=

1,т)=Ф (ѵ„, 10С(/,), і =

1 ,т)

при е -> 0

для

всех

it >

0,

і = 1, т,

(C): lim

lim

sup Р {| £g(. (t) — l ei-{t + u) | > 6} = 0,

S >

0, i =

\,m

c-M> e-M |ul^c

для

16 B„;,

1,

i = l,m, где Bni — борелевские

множества на

[0, oo) такие,

что

lim Р {ѵог0 Bni} = 0;

i =

\,m,

TO

n<+CO

____

____

( M

vei)'

i= l,m )= * > d o г(ѵог)> * =

при e->0.

Замечание 2.

Результат, сформулированный

в теореме

1, су­

которых

имеет место сходимость распределений

величин

( ѵ о і ) ,

і =

1, т.

Доказательство теоремы 1 основано на

применении следующей

леммы, которая представляет некоторый

самостоятельный инте­

рес.

Лемма 1.

Пусть £ (/),

/ > 0 — случайный

процесс, принимаю­

щий

значения в Rm, непрерывный справа с

вероятностью 1 и ѵ —

неотрицательная случайная величина такие,

что выполняется

условие

(D)

: для

каждого t >

0

и и 6 {0, t), ѵ 6 Rm

события

{v 6 [ы, /)}

и

{£t <

и}

независимы.

Тогда

P{g(v)<ö} =

J P { g ( 0 < ü } P { v € ^ } ,

Ö€Rm.

è

Замечание 3. Очевидно,

условие

(D)

выполняется

при выполне­

нии

условия

tl

(D') : для

каждого / > 0

событие

{ѵ <

/}

не

зависит от о [| (s), s >

— минимальной а-алгебры,

натянутой

на

траекторию

процесса

£(s)

после момента

t.

4-4-143

49