книги из ГПНТБ / Сильвестров Д.С. Предельные теоремы для сложных случайных функций

§ 4.

Сходимость в топологиях U и J процессов

с независимыми приращениями

Пусть для

каждого е > 0

| g (0. t £ [0, Т\ — случайный процесс с

независимыми

приращениями,

траектории которого с вероятностью 1

принадлежат

пространству D*/1*.

Теорема

1. Если выполняются

условия

(А,):

l e(t), ;g[0, Л = 4 .І0(0, /£[0,

Т\ при е - ^ 0 ,

(А2) :

lim П т

sup

Р { | g (t') — | g (Г) | > о} = 0, 6 > 0,

J

С-+0 Е - * 0 O ^ t ' ^ r ^ t V r C ^ T

8

8

то для всех

функционалов /(.)£ .!,'ы п .г

бесконечно малых

случайных величин, задаваемых соотношением

[(0(e)]

(0 =

2 V (е>

1^ 0’

(3)

*=1

где: а) у (г, k), k >

1 — независимые случайные величины такие, что

max Р { I у (е, k) | >

6} -*■0 при е -ѵ 0,

б > 0; б) ѵ (е) — неотрицатель-

k

ная неслучайная функция такая, что ѵ(е) ->■ оо при е -*■0.

Как известно [64], для

характеристической функции стохасти­

M exp {i (2, S0 (0)} = exp

i (2, a (0) — j (В (t) г, г) +

+

где a (t), В (t), П (i, A) — непрерывные

функции,

удовлетворяющие

условиям:

а)

а (t) — принимает значения

в Rm;

б)

значениями В (і) служат неотрицательные

симметричные

ли­

нейные операторы в Rm, причем для всех t' > t"

В (t') — В (t")

так­

же неотрицательные операторы;

Ъ(т) такая, что

в)

П (t, А) для каждого

t мера на

1 +

Iх! 2

П ( / г dx) < оо,

U I 2

Если

£0 (t) — однородный процесс с независимыми приращениями,

то необходимо

а (t) — at,

где

а = const £ Rm,

В (t) =

Bt,

В — не­

отрицательный

симметричный

оператор

в

Rm,

П (t,

А)

= Ш(А),

П (А) — мера на Я3(т) такая, что

П (dx) <

оо.

2

Теорема 2. Для выполнения условия

(A,):

/(ДО, T ] ^ 0(t),t£[0, Т} при е ^ О ,

где £0 (t) — стохастически

непрерывный

процесс с независимыми

приращениями, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось

(ВО:

условие

что

| х | > 6

для всех

1)

для всех множеств U6£93(m) таких,

х £

Ue и П (/, Гр. Щ = 0

[*»(£)]

и б) при е -> 0,

б >

О,

2

P{y(e,fe)€ и 6}->П (^,

2)

k=i

0

для некоторого б0 >

дельные соотношения в условии

(В,) выполнялись

равномерно

по

t 6 [0,

71.

Теорема 3.

Если выполняется

условие (В), то для выполнения

(А) достаточно,

чтобы выполнялось следующее условие:

(В2): 1)

Ѵ'ѵ{г)]

lim lim

sup

2

Р { \ у ( г , к ) \ >

8} = 0,

6 >

0;

с-*0 е-М

2)

lim lim

sup

[('0(e)]

2

Mv») (e, k)

=

0;

c-W) e-K) (>«(<;(

ft=[fo(e)]+l

3)

lim lim

sup

[('0(e)]

=

0.

2

Dy(6) (е, k)

с-Ю e->0 0 « < :( '^ ( + c < r

4=Г(»;еП4-1

выполнении (Bj).

В том случае, когда процесс £0 (t),

t € 10, 7] непрерывен с веро­

ятностью 1 и, следовательно, представление (б) имеет вид

М exp {і (г, % (0)} = exp !і (г, a (/))

(t) г, г)] , t£ [0, 7],

(в)

2) для некоторого б > О

[іо(е)]

_

lim sup

V

Му(Л) (е, k) — a (t)

= 0,

e-W (€[0,Г]

[(»(e)]

_

_

lim sup

У D (y<ö>(e, k), г) — (В (t) г, г) = 0, 2 6R m,

е-м> (€[0.Г]

f (Іе (0) =*> f

(So W) ПРИ

e -> 0 -

Замечание 4.

Если_ случайные величины

у (е, k),

k >

1

одинако­

во распределены,

то

а (t) = at,

где а =

const € Rm,

В (t) =

Bt,

где

В — неотрицательный

симметричный

оператор

в

Rm,

t £ [0, Т\,

и

условие (С) примет вид

(C '): 1)

V(е) Р {I у (е, 1) | >

6}

0 при

е

0,

б >

0;

2)

для некоторого б > 0

V(е) Му<б) (е, 1) -*■ а при е ->■ 0,

о(е) D (у(6) (е, 1), г)

(Bz, 2) при

e->- 0,

2 6

Rm-

чайных величин, который потребуется нам в дальнейшем.

Лемма

1. Пусть у (е, k) = (у. (е, k), j =

1 ,m), k >

1 (m >

1)

для

каждого e >

0 — последовательность

независимых случайных вели­

чин таких,

что max Р { | у (е, k) | >

6}

0 при

е -► 0.

б >

0.

k

Тогда, для того чтобы имело место соотношение

По(е)]

____

t >

2

У (е, £)=$>£(/) = (ё/ (0.

/

=

! . т )

при е-»-0,

0,

(1)

А =1

где 5 (t),

t > 0 — стохастически

непрерывный

процесс с

независи­

мыми приращениями, для которого:

а) процесс

(t) =

(g

(/),

j =

1, г), t >

0

непрерывен

с вероят­

ностью 1, т. е.

Мехр (і (г, ijr] (0)} =

exp Ji (z,a(t)) — у (ß (/) 2, i)J,

z £ R,, t >

0,

где a (t) — непрерывная

функция,

принимающая

значения

в

Rr,

В (t) — непрерывная функция,

значениями

которой

служат

неотри­

цательные

симметричные

операторы

в Rr,

причем

для всех V

В (V) — В (f)

также неотрицательные операторы в Rr,

3-4-143

33

б) процесс Е1' 1(0

= (£. (О,

/' =

г +

1, т), t

> О не имеет диффу­

зионной компоненты, то есть для всех t > О

Мехр {і (г, Еи (0)} =

ехр |і (г, с (0

+

+ J И " - 1— 7 W n < H -

R/7I—Г

где с (?)— непрерывная

функция,

принимающая

значения

в

Rm r,

П (/, А) — непрерывная функция по t для

каждого А 6 33(m_ r)

такая,

что П (Г, А) — П (Г, А) >

0 для всех

>

Г,

А 6 S3(m_ r),

причем для

каждого * П (t, А) — мера на

S3(m_ r), для

которой

\

i + U P

П (t, dx) < сх>, f > 0 ,

J

необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения

2 (V/(е»Ä).

І =

Ur)=$>\r](t)

при

e -* 0 , ■> 0

(2)

Âr=l

и

_______

t№(8)J

2

(У/ (8<^)>

/ =

r +

1, m =4> | [r] (0 при e -* 0, t

>

0

(3)

*=i

Замечание 5.

Очевидно,

характеристическая функция

процесса

Е(/) имеет

вид

М ехр {і (2,6 (/))} =

exp {і (z[r], а (*)) — у

(ß

(О\ , ѵ 2[Г])} X

X ехр {i(ér\

~с(0) +

j

(е,Гг'Г]- J , -

l -

Rm—г

где

z = (г,, • . •, zm) 6 Rm,

Z[f] = (zp »• •» zr)>

z^ =

(zr_j_i»

• • •»zm)>

следовательно, компоненты £[r] (t), t >

О и E[r] (0,

t > 0

предельно­

го процесса

£ (f),

/ >

О независимы.

Доказательство леммы приведено в приложении 1.

§ 5. Сходимость в топологиях U

и J

марковских процессов

Пусть

для

каждого

е > 0 l e (t),

t 6 [О, Т] — марковский

процесс,

принимающий

значения в

Rm c переходными вероятностями

Pe(x,t,

f + s, А),

X g Rm, /, s >

О,

А £ Я3(т),

траектории

которого с

вероят­

где

а (I (0, с, Т\ 6) =

sup

sup Р (X, t,t + s, У6 (х)),

O^t^t+s^t+c^T

x€Rm

то для всех функционалов / (•) €

(t) т

f ( £

e ( f ) ) = b f

(&>(*))ПРИ

е “> 0

-

Доказательство теоремы можно найти в [16].

Замечание 1. Если

процесс £0 (/) непрерывен

с

вероятностью

1,

для

чего достаточно, чтобы Ііш — a (L {t), с, Т, 6) =

0, то теорема

1

дает

условия сходимости марковских процессов без разрывов второ­

го рода в топологии U.

В дальнейшем нам потребуется также следующая лемма.

Лемма 1. Пусть I (/), 16 [0, Т]

(Т <

оо) — сепарабельный марков­

ский процесс, принимающий значения в

Rm, и a ^

j = a^£(/),c, Т\

< 1. Тогда для

Т — с

Р{ sup

I і (*) — £(* + s) I >

б/А(}<

3*

35

Пусть для каждого е > 0 і е (0 =

(£е/ (0, / =

l,m ),

t > 0 — слу­

чайный процесс,

принимающий значения в Rm, траектории которого

с

вероятностью 1

принадлежат D — пространству

функций на [0, се)

без разрывов второго рода, непрерывных справа; vg =

(vg/, j = l,m)—

случайный

вектор, принимающий

значения

в

Rm,

такой, что

V

> 0, j — \,т с вероятностью 1.

Нас интересуют условия, которые достаточно

наложить на про­

цессы gE (t)

и случайные векторы ѵе для того,

чтобы

выполнялось

ІІеі (ѵе/), І = Г т ) =Ф (|0/ (ѵ0/), / = Г т ) при е 0.

(а)

(ѵ , Іе(0), t > 0 =Ф (ѵ0, | 0 (0), t > 0 при в -> 0.

(б)

(А): для

всех

t\, t'i 6 Sit

i = 1, от, где

S, для

каждого і — \,т

— некоторое счетное,

всюду плотное в {0, оо)

множество,

содер­

жащее 0

и такое, что Р {ѵ0. 6 5>і\{0}} =

0,

(ѵеі>

SUP

?Еі(0. і = U )= 5 > (v oi,

sup

l 0i(t),i = üm)

при

т'ѵО

8 -> 0,

W..I])

ve/>

inf

Sei (О, І =

1. rn) =5>(V0(.,

inf

lol (t), i= 1 ,m) при e

0;

tett'.t')

mU])

(B): для

каждого

i =

\,m

случайный

процесс £0i(t), t ^ O

непреры­

вен

с

вероятностью

1 в

точке

v

P {HmL(. ( v — t) —

= e,„ ( V ) = 1,

i->о

___

___

TO

(Sei (vei)> * =

1, m) =Ф (g0( (V0.), i =

1, m) при e -* 0.

В следующих двух леммах сформулированы простые достаточные

для выполнения (А) и (В) условия.

Лемма 1. Для выполнения условия (А)

достаточно выполнения

условия

(ve, lË(0), t € T* =Ф(ѵ0,

(/)), t € Т*

(Aj): 1)

при в

0,

где

Т* — не­

которое

счетное,

всюду

плотное

в

[0, оо)

множество

точек

стохастической непрерывности

процесса £0 (0, t

> 0,

содержа­

щее 0;

Р {Aj (і8 (t), с, T') >

2)

lim

lim

6} =

0,

б, Г

> 0.

с-Ю е-Ю

При

этом в качестве S; можно

выбрать

любые счетные,

всюду

плотные

в [0, оо)

множества

точек стохастической

непрерывности

процесса

£„ (/), t

>

0, содержащие 0 и такие,

что Р {ѵ0(. £ S ,\{0}} =

0,

і = 1 , т ( в

силу леммы 5.2.1

случайный

процесс і 0(/), і > 0

стоха­

стически

непрерывен всюду, исключая

не более

чем

счетное

число

точек).

топология J) топологии М2, введенной в [60].

(t), t > 0 был

Лемма 2. Для того чтобы случайный процесс

ного из следующих условий:

(В1):

случайный

процесс

(/), /

> 0 не

зависит от

случайной

вели-

чины \ 01 и стохастически

t£

ОО

непрерывен для всех точек

Впі

П=1

для некоторой последовательности борелевских множеств на

полупрямой

Вт. , п > 1

такой, что

lim P{vQ(. g ВП(.} =

0;

(В2):

случайный

процесс | 0(. (0,

П-Ьоо

вероятностью 1;

0 непрерывен с

(В3):

случайная

величина

ѵш

имеет

дискретное

распределение

( 2 Р { ѵ ОІ =

Укі) = 1

для

некоторой последовательности

точек

yki, k > lj,

а

случайный процесс £0І (0 стохастически

непреры­

вен в точках

yki, k >

1.

Д о к а з а т е л ь с т в о

теоремы 1.

Выберем для каждого і = \,т

последовательность разбиений промежутка [0, оо)

уп{ = (0=z, (0, п)<2г(1,п)< • • • < z (- (п, п) < z t (n +

1 ,п) = оо), п > 1

так, чтобы выполнялось условие

(С): hnJ =

max

\zt (k -\- \,n )— z( (k, n) |-ѵО,гг (ггл)-ѵоо при n -*■oo

—1

для каждого l —

Определим теперь величины

sup

lei (t), если vei 6 [zt (k, n),zc (k +

1, ft)),

Ki (n) =

f€[zf(*.

n))

k = 0,tl

inf

если

vE. 6 \zt (k, n), zt {k+

1, ft)),

(€[Zj(*. п),2;(<г+1, n))

k = 5 ji

И

с

(я) =

( i;

(/г), г = г а ,

s; с«) =

(s;t ч

* = r

a .

Пусть также

4 ei (ft- * )

=

SUPk Ii (* +

0 — S v

W

I- *

>

0 ,

t

=m .

1,

Очевидно,

условие (В) эквивалентно

соотношению

\ i ( h>V0i) " ^

°

Н Р И

h - * ° -

С другой стороны, в силу определения

величин

(ft)

и £",. (/г) для

всех і = l,m; я >

1

& (Я) — Si/ (") < 4 t (ѴіѵоЛ если

ѵо/ <

2І (»•").

Поэтому при выполнении условия (В)

p {l'oi (ft) — l"oi (ft) >

6} <

P {v0/ >

zt (я, я)} +

P {% (hn l,v0i) >

2- } ^ °

T. e,

при я -> сю, i =

1, m,

(2)

l'o(ft) — II (ft)

0

ПРИ ft -*■ °°-

(3)

Очевидно,

для всех t =

1, m, n >

1, e >

0

^ (ft) <

<

iéi (")•

<4)