Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Сильвестров Д.С. Предельные теоремы для сложных случайных функций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

10.27 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 3331 32 33 > Следующая >>>

Построим на отрезке [0, 1) систему замкнутых слева полуинтер валов

.... Ік =

....lk'

.....г*)> К = Ь тг' Г

К £ >

1, fl — 0,

1,,..,

для которой выполняются условия

(Cj): 1)

интервал

,ik лежит левее и не

пересекается с интерва-

лом J |'|

если

существует

г < k

такое,

что

і‘ =

і,

для

1 < Г — 1, но t', <

i';

k =

{J‘”L < a_ 1( если Ä >

1; [0, 1),

если

iA=i

(C2) : m ( j p =

JFn(0 ii>

X, X) =

«(»>,

Ѳ<,’

<л>

т д

а . ^

» ^

( в £1, в (1, e

j o ^

iiV

		........ * 3 ( * - 1 ) + 1 - гЗ /Ң - Г ® ' г ' г5 .........		гЗ ( * - 1 ) + 2 ’ ® ‘ 3 . i e .........	ІЗА^’
m (^lx....	<з+1'3+2) ~ т^1)—->‘зк+2
~ ^ n ^	l l ' U	........ * З А + Г	......... гЗ ( А - 1 ) + 2 ' гЗ А + 2 ’ ® '* . < в - - . ‘ з ^ *
т (', Ч ‘ -	‘ гЗА+2-іЗА+з) = m l t f - i h k + 3 ~
	а і ..........	( З А - н ’ ® г г *г8 ...........	J3 * + 2 ’ ® ‘ з > '	..............гЗ А -* З А + 3 ^ ’

і, = 1 ,« ,, r = 1 .2 .........
/г = 0, 1, . . . ,
здесь /п(-) — мера Лебега на [0,	1).
Если функции распределения Fn (А, В, С), А, В,				CgS3x,	л = 0 , 1,..,
определены, то интервалы J	іг =	1, mr,	/•=	Ё Х k > 1 опре
деляются однозначно.		ir =	1, mr, г =		1, k, k > 1*
Наоборот, если задать числа	m<n>	ir =	1, mr, г =		1, k, k > 1*
удовлетворяющие условию

300

(D,): 1) mWio,t >		0, ir = 1,mr,			r =	1, k,	ft > 1,		n = 0,1,
	mk
	2)	=			для			1 для ^ =		1.
то	очевидным образом		числа		/п<п>		tr =	1,	r =l , f t ,		ft > 1,
n =	0, 1, . . . однозначно определяют					на интервале [0, 1) расположе
ние	интервалов	J	ir =	1,тг, г =			1, ft, ft > 1,			n = 0, 1, . . . ,
удовлетворяющих условиям (Су),					/ =	1,2,	а	следовательно,			и функ
ции распределения Fn(А, В, С),					А, В, С 6 33х,			п =	0 , 1, . . .
	Выберем числа т\п)		, , і	— 1, т , г — l,k,					ft > 1	так,	чтобы

они удовлетворяли условию (DJ и ( D j ^ ^ p ^ e e ^ ,

т ? І2 = р ^ е ѳ ѵ ѵл е ѳ І2},

Р{ іп е ѳ 1}р{ѵ0 е ѳ з},

* т з/

2 2	= Р ^ ^1’«...гЗА+і’ Ѵ" ^ ®г2'г4....гЗ(+1)+2^
/=і г3у=і

Ат 3 /— 1

2	2	^!...,з*+і = р{ ^ ѳм .....^ ,> р<ѵобе(і, .....
і = 1 г З / - 1 = 1
k	mzI
2	2	тѴ--‘3А+2 =	P $ n Z % t t ....<3,+1- Vn £ \ U,....l3k+}>
/=1 i3/= 1
*-И m3y_,
2	2	mij!...,i3*+2 “ Pd.ee,,.,......«,+,)pK6«.,......... ,»•
У“1‘3/—1=1
ft+l	т 3/
2	2	н . з “	р <	^ ѳ ѵ , ..... ....... V* « e v . ..... % *>•
j=i	i3/=i
*+i	m3/-i
2	2	” !;!....l!W = p		i£» 6 e v ........<«+,>P {v » 6 e ‘.
)'=i	ly—1=1

301

Іг = 1 , m r, r =

, k , k > 1,

It--О, 1 , ■а • •

Условия (Di) и

(D2)

представляют

собой

для

каждого

k > 1

неполную систему линейных уравнений

и неравенств

относительно

чисел

ir =

1. mr,

г = l, k, которую после

соответствующих

переобразований (коэффициенты системы, каждый из которых

равен

0 или

1, обозначим atj (k), ß/y.(k) , . . . , свободные

члены — вероят

ности Р {ёп £ Ѳ^}, Р {|л 6 Ѳ£, ѵ„€Ѳ( } , . . . — y<«) (k) , . . .

и неизвест

ные — xjn>(k),.. ,)

можно записать в виде

nk-\

D + ?іл) (A).

2 a v (k) xj»>(k)

= 2 P« №x)n) (* -

-j—

y=i

(4)

* =

1,rh,

x]n) (*) >

І7яЛ,

(4) rk <

здесь

= П

m/> & >

и число уравнений

системе

/ = і

k > 1.

В силу построения для системы (4) выполняются условия: а)

коэффициенты системы ау (ß), ßy (k) >

/ = 1, ré, /

1, nk не

зави

сят от п, б) свободные члены

(k) >

/ = 1, rk,

k > 1

силу

условия

(а)

леммы 1

и условия

(В),

•V/"’ (k) -*■yj0) (k)

при

tt->oo,

= Т г к,

k > \ .

Так

как

rk <^nk, & > 1,

то

нетрудно

понять,

что решения си

стем (4)

всегда

существуют

и, если

для п =

0 решения систем (4)

xj0) (&),

j =

l,nk, k >

1 выбраны, то всегда можно выбрать

решения

систем (4)

/ =

1,ге4,

k > \

для

п = 1 ,2 , . . .

так, чтобы

х)л) (&) ->- х<0) (й)

при /г->-оо,

/ =

1, л А,

k > 1.

(5)

Для

п =

0 выберем функцию распределения

/ у А , В , С ) = Р { £ 06 А}Р{ѵ0(ЕВПС},

А , в , с е » х.

(6)

При этом условия (С;-), /

= 1,2 однозначно определят интервалы

К =• 1

г = ПТ,

& >

и величины

іГ=

1,/п„

r = l , k ,

k > 1,

которые, очевидно,

удовлетворяют

условиям

(Di)

и (D j.

302

В силу сделанных выше замечаний можно выбрать величины

l,m , г — \,k,

k > l ,

n = 0, 1, • • •

так,

чтобы

для

каждого

« =

0, 1, . . » выполнялись условия

(DJ

и (Da),

и в силу

соотношения

(5)

при « -> оо,

іг =

\,тг, г =

1, k,

k > \ .

(7)

Нетрудно

проверить, что функции

распределения Fn (А, В, С),

А, В, С 6 23х,

« = 0, 1, . . . ,

построенные

по

величинам

mj")

{ ,

іг =

___

« = 0, 1, . . . ,

удовлетворяют

1' ***' *

1, mr, г — I, k, k > 1,

условию

(Ах)

и в силу соотношения (7) — условию

(А2). Лемма

доказана.

Замечание 1. Приведенное доказательство с небольшими изме

нениями можно повторить и в общем случае, когда пространство X

некомпактно.

При построении разбиений Ѳг,....lk k

индексы

в общем

случае будут пробегать счетное число значений и системы уравне ний (4) также будут представлять собой счетные системы уравнений для которых все же, используя их специфическую структуру, мож но построить решения так, чтобы выполнялось соотношение (5).

Воспользуемся теперь леммой 1, чтобы доказать лемму 1.3.3,

которая следует из такого утверждения.					(/), t > 0 — случай
Лемма 2. Пусть для		каждого п =	0, 1, . . .
ный процесс,	принимающий значения		в Rm,		непрерывный		справа с
вероятностью	1; ѵп— случайный вектор,			принимающий		с	вероят
ностью 1 значения в Rm . Предположим,				что	выполняется		условие
(ѵ„,	(0 ), t >	0 => (ѵ„, £0()).	1 >	0	при « - > о о ,		(б)
где случайный	процесс	\| 0(t), t > 0 и	случайный вектор			ѵ0 незави

симы.
Тогда можно построить на некотором вероятностном									пространстве
случайные		процессы		^ (/), t >		0	и случайные	векторы		ѵ'п и ѵ",
« = 0, 1, . . .		так, чтобы выполнялись условия:
а)	(v', %'п(*)),		t >	0 ~	(ѵ„, \п(0 ),		t > 0 для каждого		« =	0, 1, , . . ,
б)	£'(*),	t >	0 и ѵ" независимы и ѵ" ~ vQдля каждого « = 0, 1,..,,
б)	ѵ; — ѵ” .»—> 0			при « ->- оо.
Д о к а з а т е л ь с т в о .					Пусть
	X =	{х = (х0, x „ . . . , x n, . . . ) : x k €Rm, k =						0, 1 , ... }
— метрическое			пространство с			метрикой
			р (*', хГ)		= 2	(! — 2 Г 1-11) 2“ *.
					k= о

Нетрудно проверить, что пространство X представляет собой полное компактное метрическое пространство.

303

Пусть

Т = {/0, tfx, . . . } — некоторое

счетное

всюду

плотное

'10, оо) множество, содержащее 0.

Введем в рассмотрение

случайные

величины

%п =

(£п (tk), k = 0, 1, . . . ) и ѵп =

(ѵя, е, е, . . . )

(здесь

е —

единичный вектор в Rm), принимающие значения в X.

Легко показать,

что при выполнении

условия

(б)

леммы 2

' W

’ 1» '

■\ \ (А- В) =

(А) Fve (В)

ПРИ п

°°, А, В е 33,

для

всех А, В 6 S3X

таких, что Р {І0€ Гр. А} = Р

£ Гр. В} =

Воспользовавшись леммой 1, можно построить на некотором

вероятностном

пространстве

случайные

величины

£я, ѵ'

и ѵ",

п =

0 , 1 , . . . , принимающие значения в X,

такие,

что:

а) (£', ѵ') ~

(Іп, ѵ„) для каждого п = 0, 1, . . . ,

б) £' и ѵ"

независимы и ѵ" ~

ѵ0 для

каждого п =

0, 1, . . . ,

в) \'п— ѵ"

►0 при п — оо.

При

этом,

очевидно,

силу условий а) и б)

ѵ'

(v', е,е, . . . )

и ѵ" =

(ѵ*, е, е, . . . )

для

каждого

п = 0, 1, . . .

ѵя — ѵ" «*-»■ 0

при

поо.

Построим теперь по случайным величинам £' = (£' (k), k —0 , 1,...) процессы g' ((), t > 0, п = 0, 1, . . . следующим образом

S<0 “	з д .		если	t = tk 6 Т,
S<0 “	lim (п. н.) Ъ'п (к),		если	f g T .
	1tk>t,tk-*t
В силу непрерывности справа		процессов		(/), t >	0 и	условия
а) пределы в (в) существуют.			процессы g' (t), / > 0
Нетрудно проверить, что случайные			процессы g' (t), / > 0			и слу
чайные векторы ѵя и	ѵ', л = 0,	1, . . .	удовлетворяют		условиям а)
— в) леммы 2.

БИ БЛ И О Г РА Ф И Ч Е С К И Е ЗА М ЕЧ А Н И Я

Кглаве 1

§1. Слабая сходимость мер в метрических пространствах систематически изу чалась в работах Ю. В. Прохорова [34—36]. Принцип эквивалентности установлен А. В. Скороходом [60]. Подробное изложение материала § 1 содержится в моно графиях [15, 16, 63—65, 74].

§2. Ю. В. Прохоровым в работах [34—36] предложен общий метод получе

ния предельных теорем для случайных процессов, основанный на критериях ком пактности мер в полном сепарабельном метрическом пространстве, и получены ус ловия сходимости случайных процессов без разрывов второго рода в равномер ной (U) топологии к непрерывным процессам. А. В Скороходом [58—60] предложен другой подход к предельным теоремам для случайных процессов, основанный на принципе эквивалентности (теорема 1.1.1) слабой сходимости и сходимости с ве роятностью 1 случайных величин, принимающих значения в полном сепарабельном метрическом пространстве, и получены условия сходимости случайных процессов без разрывов второго рода в топологии J. В недавней работе А. А. Боровкова [11] предложен еще один общий подход к предельным теоремам о сходимости функцио налов от случайных процессов, связанный с апроксимацией (в смысле близости рассматриваемых функционалов) траекторий процессов функциями из какогонибудь семейства. С помощью предложенного подхода основные результаты о схо димости случайных процессов в конкретных функциональных пространствах об общаются в направлении ослабления требования принадлежности допредельных процессов рассматриваемому пространству.

§ 3. Условия непрерывности различных функционалов в топологиях U и J изучались в работах [16, 60, 65, 74, 109]. Для функционалов на пространстве D(p

типа моментов перескока, величины перескока, числа пересечений полосы условия, аналогичные сформулированным в леммах 1—4, приведены в работе А. В. Скоро хода [60]. Вопросы непрерывности в топологиях U и J функционалов интегрально го вида подробно изучены в монографиях [15, 16, 65].

§4. Условия сходимости процессов с независимыми приращениями в топо логии U принадлежат Ю. В. Прохорову [36], в топологии J — А. В. Скороходу

[61]и подробно изложены в монографиях [15, 16, 64, 65].

§5. Условия сходимости в топологии J марковских процессов принадлежат А. В. Скороходу [62].

	К главе 2
Условия	сходимости распределений	суперпозиций	случайных функций
£е (ѵ8 (0).	0 изучались Н. Роббинсом, Б.	В. Гнеденко,	Д. Модьероди, С. Гуя-

шу, В. Рихтером, Р. Л. Добрушиным и многими другими авторами [19, 20, 38, 41, 51, 73—78, 80, 82, 83, 89, 95—97, 101—105] (подробная библиография работ до

1967 г. содержится в [82]), но в основном для случаев, когда случайные функции І е (0 и ѵе (0 независимы [19, 20, 38] или, когда для «внутренних», случайных функ

ций V (() предлагается более сильная сходимость по вероятности ѵЕ (0 — ►ѵ0 (t)

при е —> 0 [82, 83, 85, 95, 101—103, ПО].

2 0 -4 -1 4 3	305

Необходимо, однако, заметить, что, как правило, в конкретных схемах процес сы | Е (/) и ѵе (0 существенно зависимы. Это в значительной степени сужает об

ласть возможных применений результатов первой группы. Что касается предпо ложения о сходимости моментов остановки ѵе (/) по вероятности, то в том случае,

когда рассматривается схема серий, оно представляется достаточно естественным и выполняется в конкретных схемах, как правило, только в том случае, когда пре дельный процесс Ѵо (0> t ^ О вырожден (ѵ0 (<) = const с вероятностью 1, £>0). Тем не менее подход к изучению предельных распределений для различных схем суперпозиции случайных функций, основанный на применении общих условий схо димости распределений сложных случайных функций (при наличии более эффек тивных условий сходимости), обладает некоторыми преимуществами, так как по зволяет применить единый метод к качественно различным конкретным схемам и для ряда таких схем получать предельные теоремы при значительно более общих предположениях.

§ 1. Условия сходимости распределений суперпозиций случайных функций, сформулированные в параграфе, предложены в работах автора [4, 43].

Для случая, когда «внешний» предельный процесс s0 (0 непрерывен с вероят ностью 1, результат, эквивалентный теореме 4, получен другим методом П. Бил лингслеем [74]. Ряд более частных результатов содержится в работах [73, 77, 78, 104, 105].

§ 2. Результат, полученный в этом параграфе ранее не публиковался. Для случая, когда процесс | Е (t) и момент остановки ѵ£ (f) независимы, теорема этого

параграфа обобщает соответствующие результаты Н. Роббинса, Б. В. Гнеденко, Г. Фахима и ряда других авторов [19, 38, 103].

§ 3. Условия сходимости распределений асимптотически независимых слу чайных функций, аналогичные сформулированным в теореме 1, приведены в ра боте автора [41]. Для случая, когда «внутренние» случайные функции сходятся по вероятности, аналогичные результаты содержатся в работах М. Модьероди, В. Рихтера, С. Гуяшу (см. библиографию в [82]).

§	4. Условия сходимости распределений центрированных сложных случай
ных функций, сформулированные в теореме 3, ранее не		публиковались.
§	5. Результаты этого параграфа принадлежат Р. Л.	Добрушину [20].

§ 6. Условия сходимости распределений сумм случайного числа независимых случайных величин изучались в работах Д. Блюма, М. Розенблата, А. Реньи и ряда других авторов [76, 83, 95, 101—103, 108]. Ограничительным в полученных в этих работах условиях является требование сходимости по вероятности случайно го индекса, определяющего момент остановки суммирования (которое не в схеме серий автоматически влечет независимость предельного «внешнего» процесса и момента остановки). В работах С. X. Сираждинова, С. В. Нагаева, М. Маматова, Г. В. Оразова и других авторов [31,33, 56, 57]. получен ряд уточнений этих пре дельных теорем. В теоремах 1—3 условие сходимости индекса суммирования по вероятности заменяется более естественным условием сходимости совместных рас пределений «внешнего» процесса ступенчатых сумм случайных величин и момен тов остановки суммирования.

§7. Сформулированные в параграфе условия сходимости распределений слу чайных процессов, остановленных в случайные моменты времени марковского типа, ранее не публиковались.

Кглаве 3

§1. Условия сходимости суперпозиции случайных процессов без разрывов

второго рода, принимающих значения в в топологии U, для случая, когда «внут ренние» процессы ve (t) монотонно не убывают, получены П. Биллингслеем [74].

§2. Условия компактности суперпозиции случайных процессов без разры вов второго рода в топологии J для случая, когда «внутренние» процессы компакт ны в топологии U, получены в работе автора [47]. Общие условия, сформулирован ные в теореме 3, публикуются впервые.

§3. Условия компактности и сходимости в топологии J монотонных процес сов, сформулированные в теоремах 1 и 2, ранее не публиковались.

306

§4. Схема суммирования управляемых случайных величин, рассматриваемая

впараграфе, предложена в работе автора [55], в которой получены условия сходи мости процессов ступенчатых сумм управляемых случайных величин в топологии U и для случая, когда управляющая последовательность не зависит от суммируе мых величин, условия сходимости в топологии J. Общие условия компактности в топологии J суперпозиции многомерных процессов без разрывов второго родаг сформулированные в теореме 1, публикуются впервые. Формулировка теоремы 2 сообщена автору В. В. Анисимовым.

§5. Теорема 1 этого параграфа, устанавливающая общие условия сходимости

втопологии U обобщенных регенерирующих процессов, получена в работе автора

[44].Условия сходимости подобного рода процессов в топологии U к марковским процессам диффузионного типа изучались ранее в работах А. А. Боровкова [8—10] и И. И. Гихмана [13]. Сходимость в топологии U процессов, построенных по функ ционалам интегрального вида от диффузионных процессов, изучались в работе автора [42].

Кглаве 4

§§1, 2. Под обобщенным процессом восстановления в обычном смысле пони

мается	процесс уе(ѵе (t)), t ^ 0, представляющий	собой	первую компоненту
УЕ (t) некоторого «исходного» двухкомпонентного процесса			(t) =	(уе (t), t g (t)),
0,	остановленную в момент ѵе (і) = inf (s : тg (s)	f), f	0	перескока вто

рой компонентой xg (s) процесса £g(s) уровня t, играющего роль времени. Предель

ные распределения и условия сходимости в топологиях U и J процессов востановления vg (/) изучались многими авторами [27, 79,92, 90,93, 107]. Используемая терминология заимствована из работы А. А. Боровкова [8], в которой изучались условия сходимости в топологии U обобщенных процессов восстановления уе (ve (t)) для случая, когда исходный процесс | g (0 представляет собой процесс

ступенчатых сумм слабозависимых случайных величин (случайные величины, по которым построен процесс Tg (t), неотрицательны) к винеровскому процессу. Ранее утверждения типа центральной предельной теоремы для подобного рода процес сов были получены в работе В. Смита [27]. Общие условия сходимости распреде лений и условия сходимости в топологиях U и J обобщенных процессов восстанов ления у8 (vg (f)) изучались в работах автора [50, 55] для случая, когда для предель

ного процесса момент остановки ѵ0 (0 является с вероятностью 1 точкой непрерыв

ности процесса Ѵо (0- Для случая, когда для предельного процесса момент остановки ѵ0 (0 может яв

ляться точкой разрыва процесса у 0 (0> условия сходимости распределений обоб щенных процессов восстановления получены независимо автором [7,53] и В. В.


Анисимовым [7].	Обобщение на случай, когда моменты остановки ѵ8 (/) = inf.(s :
: цз (ig (и)) > 0 ,	< > 0 представляют собой моменты перескока, построенные по
однородным семействам функционалов [і = <jxg (•), s		0 > , содержится в работе

автора [53]. Условия компактности в топологиях U и J обобщенных процессов вос становления следуют из общих условий компактности в топологиях U и J супер позиций случайных процессов, о которых говорилось выше в связи с результатами

§1.3 и § 2.3.

§4. Общие условия сходимости распределений и условия сходимости в то пологиях U и J' обобщенных процессов восстановления, построенных по процес сам с независимыми приращениями, изучались в работе автора [55].

§5. Сформулированные в параграфе условия сходимости обобщенных про цессов восстановления, построенных по марковским процессам, ранее не публико вались. Результат, аналогичный сформулированному в теореме 3, получен неза висимо В. В. Анисимовым.

Кглаве 5

§1. Условия сходимости процессов ступенчатых сумм случайных величин, определенных на конечной цепи Маркова в топологии I) содержатся в работе

20*

307

A. А. Боровкова [81; сформулированные в теореме 2 условия сходимости в топо логии J — в работе автора [55].

§2. Общие условия сходимости распределений и условия сходимости в то пологии J процессов ступенчатых сумм случайных величин, определенных на ко нечной цепи Маркова, остановленных в случайные моменты марковского типа, ра нее не публиковались.

§3. Условия сходимости распределений сумм случайных величин, определен

ных на полумарковском процессе с конечным множеством состояний, изучались мно гими авторами [1, 21,84, 88, 91, 32] в основном для случая, когда время возвраще ния ПМП в фиксированное состояние принадлежит области притяжения вырожден

ного закона	(процесс т0	(t), фигурирующий в теореме 2, вырожден т0 (t) = т0t,
t ^ 0, где т0	= const >	0 с вероятностью 1). Используемые при этом методы пред

ставляют собой различные модификации известного метода Деблина. Наиболее общие результаты, относящиеся к этому случаю, получены в работах [1, 2, 5, 86, 91, 100]. Общие условия сходимости распределений и условия сходимости в топо логиях L и J процессов ступенчатых сумм случайных величин, определенных на ПМП с конечным множеством состояний, аналогичные сформулированным в тео реме 2 были получены ранее в работах автора [39, 45, 55]. Остальные результаты параграфа ранее не публиковались.

§ 4. Предельные распределения для сумм случайных величин, определенных на цепи Маркова с поглощением (до момента выхода), впервые изучались в работе

B. С. Королюка [28] и затем в [3, 4, 6, 29, 30, 45, 48, 49, 67]. Для случая, когда индикаторы остановки зависят от суммируемых величин, условия сходимости пуб ликуются впервые. Отметим еще, что в работах [4, 6, 67] условия сходимости сумм случайных величин до момента выхода изучаются для случая, когда цепь Марко ва в пределе не эргодична. Предельные распределения для сумм случайных вели чин, определенных на конечной цепи Маркова для смешанных моментов останов ки, аналогичных определенным в замечании 4, изучались в работах автора [40, 45].

Кглаве 6

§§1, 2. Условия сходимости распределений сумм случайных величин, оп ределенных на счетной цепи Маркова, в частности, на дискретном случайном блуж дании (не в схеме серий) аналогичные сформулированным в теоремах 1§1 и 1§2, получены в работах В. А. Волконского [12] и Г. Кестена [88]. Сходимость при соот ветствующих условиях J-непрерывных функционалов установлена в работе ав

тора [55].

§ 3. Закон больших чисел и центральная предельная теорема для сумм слу чайных величин, определенных на эргодическом ПМП, при выполнении условий, аналогичных условиям теорем 1—3, доказаны в работе Р. Пайка и Р. Сченфили [100]. В работе Д. Фридмана [81] принцип инвариантности установлен для про цессов ступенчатых сумм случайных величин, определенных на эргодической цепи Маркова. Общие условия сходимости процессов ступенчатых сумм случайных вели чин, определенных на ПМП, для которого время возвращения в фиксированное

состояние	принадлежит области притяжения устойчивого закона с параметром
а € (0, 1]	(в том числе для эргодических	ПМП), сформулированные в теоремах
1—5, получены в работе автора [52].		ступенчатых сумм случайных величин,
§ 4. Условия сходимости процессов

определенных на дискретном случайном блуждании (не нормированном в отличие от работ [65, 74]) в топологии U, получены в работе автора [52].

Кглаве 7

§1. Общая методика получения предельных теорем о сходимости распре делений сумм случайных величин, определенных на однородной цепи Маркова с дискретным множеством состояний, остановленных в случайные моменты времени

марковского типа, изложенная в параграфе, предложена в работе автора	[54].
§ 2, 3. Вспомогательные результаты о сходимости распределений некоторых
функционалов на асимптотически возвратных цепях Маркова, по-видимому,	пуб-

308

линуются впервые. Для возвратных цепей Маркова условия притяжения к без гранично делимым законам сумм случайных величин, определенных на счетной цепи Маркова за один цикл (между последовательными возвращениями в фиксиро ванное состояние), аналогичные сформулированным в условии (Н2), приведены в работе [5].

§ 4. Общие условия сходимости распределений процессов ступенчатых сумм случайных величин, определенных на однородной цепи Маркова с дикретным мно жеством состояний, сформулированные в теореме 1, ранее не публиковались. Для случая, когда суммируемые величины вырождаются в 0 вне некоторого конечного подмножества состояний, условия сходимости, аналогичные сформулированным в теореме 2, получены в работе автора [40] и ранее для возвратных цепей Маркова (не в схеме серий) — в работе Г. Крстена [88].

§5. Как уже отмечалось выше, предельные распределения для сумм случай ных величин, определенных на цепи Маркова до момента выхода, изучались в ра боте В. С. Королюка [28] и затем в работах [6, 49, 29, 30, 67]. Теорема 1 обобщает ряд результатов, приведенных в работах [6, 49, 29].

§6. Общие условия сходимости распределений процессов ступенчатых сумм случайных величин, определенных на ПМП с дискретным множеством состояний, приведенные в теореме 1, публикуются впервые. Для случая, когда суммируемые величины вырождаются в 0 вне некоторого конечного подмножества’состояний, ана логичные условия получены в работе автора [40]. Для эргодических ПМП (процесс

Vj	(0, фигурирующий в замечании 2, вырожден	(t) =	Vj t, t	0,	где	=
=	const )> 0 с вероятностью 1) соответствующие условия		сходимости		распреде
лений сумм случайных величин на ПМП получены в работах [5, 100, 71].

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 3331 32 33 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ