книги из ГПНТБ / Сильвестров Д.С. Предельные теоремы для сложных случайных функций

^здесь а)

а = (а0, . . . , а,) £ R/+1;

б)

|| bj k ||j ft=Q = ß — положительно

определенная

симметричная матрица;

в) П (А) — мера на

$В(І+

та-

кая,

что

(*

|-|2

_

оо;

г)

_

..., st),

_

+

J

' '

-2- П (dx) <

s= (sQ,

х = (х0, . . . , х ()£

R/+1 1 + ІХ

6

Ri+i^ > необходимо и достаточно,

чтобы:

а) для всеха=((Т0±,..», а*) таких, что erf > 0, / =Öf7 и Р {а7-= ± a f } =

=

0,

j = 0, /,

[ 0 ( e ) ]

_

_____ ___

2

Р{ос<0( (е, &) =

0}-»-П (Ѵг (а))

при е - > 0;

А = 1

б)

для

всех о =

(а * ,..., of)

таких, что of > 0,

; = 0, /

и Р{а, ■

=

±

o f } = 0,

j = 0,1 для каждого j = 0,1

[ 0 ( E ) ]

Ma]o t(e,Ä)->a/ —

j

| + ^ - у2- П (die)

при е -> 0 ;

4=1

___

[5]

в)

для

всех }, г — 0,1

[о(е)]

lim

lim

2 м (aja>(е, £) — Majc> (e, &)) (а/01 (e, é) —

0± > О . а± -Н ), )= c u e-w

fc=l

-

M af( (e, £)) — а =

0.

t(°) _

|0,

если I i I >

а,

1

lg,

если 111<

о,

и поэтому мы его опускаем.

•

Д о к а з а т е л ь с т в о * леммы 1.

Для доказательства леммы

1 (в доказательстве нуждается только

достаточность условий (В)

случайных величин у (е, &), £ > 1 выполняются условия а)—в) лем­

мы 2, причем: мера П (А) удовлетворяет соотношению:

П (V,fa]) =

П, (V Іа[г]]) для всех а =

( а * ,. . . , of), б? > 0 , j=0,l

(а)

вектор а =

(a.,

j = 0 jj и матрица

В =

|| a'jk ||^ =0, где o‘jk =

{ojk,

если j, k >

г +

1; 0, если j < г или k <

г.

__

Пусть вектор о — (of, j = 0, /)

выбран так, что of > 0 , j = 0,1

[ 0 ( E ) ]

--------------

[ 0 ( E ) ]

------------- --- -----

2

Р { т ( е .й ) € ^ [ а ] } =

2

(Р {Ѵ[г](е^ ) е Ѵ и |а [г]]} +

А =1

А =1

+ р {VW (е, Ф € V

^ ,

[0й ]} — Р {у[г] (е, k) € Vr fa^],

(1)

yM (e, k) 6 Ѵм

[äM]}) -> Пг (ѴДаи ])

при e

0,

так

как

___________________ ______

[ 0 ( E ) ]

_

2

P <ѴИ (e>k) € V,

<e-k) 6 V/-r- 1f1вИ ]> <

Ä=1

[ 0 ( E ) ]

------------------- --- --------

ПРИ e->0.

< 2

P ^ѴСГ] (e>k) £ ѵ;-л-і 1°И0 “»■0

Ä=1

Из соотношения (1) следует,

что для последовательности у (е,£),

k > 1 выполняется условие

а)

леммы 2 , причем для

меры

П(А)

Рек1 ) (х0.........xf) =

Р{у,

(е, k) <

Xj,

j = 0,1), k > \ .

Если j < г, то в силу соотношений

(В)

и (С) и леммы 2

Со(е)J

-

[0(e)]

2

щ \ а) (в, к) =

2

\

x,dFT (х0>.... * / ) =

*=1

*=1

ѴДС]

=

[0 (E )]

J

x}dFg

*(xQ, . , , , xf)

2

k = i

V,[0[r]XRi_,

*

Лемма 1доказана в работе автора [55].

19*

291

J

-------

*г- П, (dx, Л

Ѵг[0[,))

l + l * w l2

'

и '

= аі ~

j

t + Х/ - |2~ П (^ )

при е - » 0,

(2)

ѵДо]

так как в силу соотношения (В) и леммы 2

10(8,1

7I*)

2

$

Ixt \dF\

' (x0, . . . , x t) <

vrfb[r]]X V i- r - \

CoW]

шах af

[0( 8))

<

"V

Р{уИ (е,А)бѴ1_ ,_ 1[о[' 1]} - > 0

при * - > 0.

(3)

Если j > г -f-1,

то

в силу соотношений (В), (С)

и леммы 2

[ 0 ( 8)1

2

I

*jdF[k)(x»"->x i>=

*='

ѵг[5)

[0 (8)1

=

2

J

xtdF^

(хо’ •••**/)

* = ’

Rr+ iX V ,_ r+ 1

[ÖW]

[0 ( 8)1

“

2

j

x,dF™(x9........ xj->a,

Vrlo^] xv,_._, [5И]

= ai ~

J

1

ПрИ g ">0,

(4)

так

как

V/[o]

[o(e)l

1, (e,5j =

2

j

|x ,| dFlk\x a, ...,

при 8 -> 0 .

&■*!

v^ffW] xv,_,_, [öW]

(5)

Действительно,

для

произвольного б >

0

всегда

можно выбрать

О <

а' <

min

af

так,

что 2о'Пг (Ѵг (а[г]1) <

б.

)~7+и

Тогда

/, (8, О)

[о(е)1

dFl*>(x0. . . . r x) +

<

О'

k=l

V,[qf]] XVjJf,_i [a^]

+

max

of

dF'ft) {x0, . . . ,

xz) \

<

--- z.

_IVl v

I

V,[atr]]x<V|_f_ 1[airj] \ v z_,_,[<JLJ])

J

[o(e)]

_

<

o

'

2 P ^ ] ( e .Ä ) 6 V r [a[rJ3} +

*=i

max о*

[0(e)]

+

У

p {?W (e. *) 6 V ,_ _ , Iaw ]},

(6)

l= r + l, l

£ ? ,

здесь

aM

=

{ o f

=

o', / = r + 1, /).

Из

(6)

в силу соотношений (В), (С) и леммы 2 получаем

lim / (е, о) < а'П , (Ѵ„ (ст[ |) < б,

Е-М

J

что доказывает

(5).

Из

соотношений

(2) и (4) следует,

что для последовательности

у (е, k),

k >

1 выполняется условие б) леммы 2.

Покажем

теперь,

что если /, t >

г +

1, то

[о(е>]

lim

lim

2

Му)01 (е, *) Y;a( (e, 6) -

>0,О, afа±-Хi )

е-*0

*=1

[=57/

(et

= 0.

(7)

— Му|°’ (e, k) Myje>(e, £) — о

Действительно, в силу соотношения

(5) для /, і > г +

1

0(e)]

I хіхі I dFg J (^o» • • • I •Xj) <

2

J

* = 1 V ,[ 5 [r ]] X V Z_ , _ ! [S M ]

<

max

a flt (e, er) -> 0 при e -> 0

(8)

/=^+Ü

[o(e)]

.

I

2

IXj I dFe

(xQ, . . . , x{) X

t=1

ѵд5[г]] xvz_,_, [5И]

X 2

*=.1

V ,t f [r]]

X V i _ r _ i

[о И ]

<

max

af I{(e, a)

О при e -> 0. (9)

/=r+1, (

Используя ' соотношения (8)

и (9),

соотношение (С)

и

лемму 2,

получаем

[о(е>]

lim

lim

2

£

x

ix j d F e

*(^o’ ■• • » x if

o ± > ° , O jt-M

e-W

А=1

ѴДст]

i=o,i

— f

xtdFlek)(x0, . . . , x }

J x,dF(ek) (X0........ *,) -

о,

<

V/[c]

v,[ö ]

[0 (e)]

lim

lim

2

J

a p > 0 , a p ->0 e-M)

*=I

R r+ lX V ,^ .,^ ]]

X

I

xfdFg 1(^o» • • •»*■/)

ои И"

Rr+lXVz_r_i [оИ]

[ 0 ( 8)1

I xix, \ dFik) к

+ 2

$

.........+

*=1

vr[5[r]] xvz_ r_, £5И]

[o(e)]

I *£I dFlk) (xo>■■■>xi) +

Vr[a[r]] XVz_ r_ , [аИ]

\xi I dK k) (*„>•••. xt) +

[o(e)]

\xt \ dFik)(x0........X;) X

+ {

2

f

+ 2

I

V; [Ö]

X

j

*=1

V; [C]

= °-

vr[5[r]] xvz_r_, [5W]

/

Если i < r ,

то в силу

соотношений (В), (С) и леммы 2, исполь­

зуя соотношение (3), имеем

lim

lim

/ [ о ( е ) ]

_

_

N

м ( 2

(ѵ Г (8,^ )- М ѵ Г ( е ,Л ))

с ± >> 0,о арс ±-* 0 е-М

\ *=і

>

=

lim

lim

[0(e)]

2

(МТр , (в.Л)2- ( % Г ( в ,Л ) ) г)

C ± > 0 ,a ± -M >

e-H)

fc=l

/=0,i

lim

lim I

[o(e)]

/

2 (

I

>o,of-

o ±

* 0 e-*0

(A=1

0

±

'V, [oM]KRZ_ f

i<=öj

f

j

К -

• • • **/)'

+

[o(e))

I vr[ö[r]XR;_f

+

2

5

+

k=\

Vr [CT[r]]xV;_r_ i

[оИ]

+

f

I

j

X'dF<

1(x0, • • •. Xf)

x^F^ *(xQ, . . . ,

\V, [c^jXRj^

/

\ѵг [Ö]

_____

[o(e)]

______________ — —

<

lim

lim I max o f 2 'S

P {7 й (e, k) £ Ѵ ^ _ , [<jw ]} +

o ± > 0 , a± -»0 e-H) \l= Q ,r

i= ö 7 l

[ 0(e)]

[

I xi I dFe (x0, . . . , x^

\

+

2

X max 0 * j^

*=1

vr [^[r]]xv/—r—! [5И]

,=0,r

'

______

[0 (e)]

--------------------—

C

lim

lim ( max a f f

2

^ (y^1(8>Ф £ ^i-r-i 1аСЛ10

=

о * > 0 , a p -И)

e-H)

/="öi?

4_ i

/=<M

i,j таких,

Учитывая

соотношения

(7)

и

(10), получаем

для

что £ <

г

или j

< г

[0(e)]

lim

lim

2

(My|at (8, k) УІ°} (г, k) -

c ± > 0 . a p -X ), У=0,/

e-H)

*=i

(al

[0(e)]

k )

k ) )

lim

lim M

^

-

M Y;at (e,

M V]C1 (e,

2 (Y(,<Tl (e, k) —

<T±>0. a± -H ), ]= ( U

e-H)

fe=l

[0 (e )]

- M

y!al(e,k)) 2

(V/0> (e*

— MY|0> (e, k))

*=i

_____

[0(e)]

_

_

\2

lim

_lim

V

MI

2

(y1°* (e>

~

m y!CI (e»Ф) ) x

a p > 0 , o±-H>, ;= 0 ,(

e-H)

'

\

*STi

У

X

(y}*>(e, k)

(e, k)) = 0.

(11)

(Di):

1)

Уг(0, * 6 [0, Т\ =£>у0 (0. 1€ (0, Л

при е -> 0 , где

у0(0 — сто­

хастически непрерывный гауссовский процесс с независимыми

приращениями,

2)

limÜm

sup

Р {I Уе (^') — Ѵе (О | > 6} =

°, ö > °;

(D2):

1)

с->0 е-*0 \t'

-r\^c,t',r<r

при е - > 0, где

то(0 — сто­

тЕ(/), /610, Л =Ф т0(/), /6[0, Т\

хастически непрерывный процесс с независимыми приращения­

ми, гауссовская компонента у которого отсутствует,

2)

lim lim

sup

Р { | т ( 0 — тДГ) | > 6} = 0, б > 0,

то

е-М) е-*0 |f'—ГКе,<'.Г«Г

выполняется

условие

(D):

1)

(/), t € [0, Г ]= ф £0 (0, t € [0, Т]

при е -> 0,

2)

lim lim

sup

Р{ I £е(0 -

1е (П I > 6} =

0, б >

0.

£-W -W> |f>—f”|<c,f',r<r

lim lim

sup

P{ISe(*') — С ,(П І> в } <

f-XJ е-ХО |f'—п ЧС

( 12)

< lim lim

(

sup

Р ( ly

(t') — у ( Г ) |>

~ ) +

sup Р { |т з (t') —

с-*0

е-хО

\

|f'-n<c

I е

8

l )

If'-f'Kc

V.<“• *> - г . ( ' ш

) - s . (■' è w

) - к - ь й

® .

где ѵ(г) — некоторая неслучайная функция

такая,

что о (е) -> оо

при 8- > 0-

представление

Очевидно, имеет место

[0(e)]

£.(*)“

2 Tt (e.Ä )^ 6 [0,n .

lim max Р { | yt (в, k) | >

6} <

е-*0 к

< 1 Н

sup

Р {|С е(0 — СеЮі > б} - ^ 0 при С-* О,

е-Н>

Пусть X — полное сепарабельное метрическое

пространство,

5ВХ — борелевская 6-алгебра подмножеств X и

— случай­

стве (Q, F, Р) и принимающие

значения

в (X, ЭЗХ).

Будем говорить о случайном векторе f = (t,.........£„),

принима­

ющем значения в Xtnl,

и о

функции

распределения

случайного

вектора £

Рg,.....£п (Ар • • • I Ап) =

Р

£ Аг, і =

1, я}, Af £ 93х, і — 1 ,tn.

ное отображение f (х) пространства X на некоторое

измеримое

подмножество полного компактного метрического пространства U.

Лемма

1*. Пусть

(|п, ѵп), п = 0, 1 , . . . — последовательность слу­

чайных векторов, принимающих значения в Х х Х , таких,

что

^

(А- В) -

*Ѵѵо (А’ В) = F*o (A) FvoW "PH « -

~

(«)

для всех А, В£ ЯЗХ таких, что Р {g0£ Гр. А} = Р {ѵ0£ Гр. В} =

0.

Тогда можно построить на некотором вероятностном

пространст­

ве (Q' F', P')

случайные

величины ln, v', ѵ", п =

0 , 1 , . . .

такие,

что

выполняются условия:

а)

GB} = p {Sn GA. v„ £ ВЬ А>В £ $8Х для каждого п =

= 0,

1, . . . ;

б)

р {5л € А, v" g В} — р {5„£ А) Р{ѵ0£ В), А, В£$8Х для

каждого

п = 0, 1, . . . ;

в)

ѵ' — ѵ"

0 при п - > оо.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

В силу лемм 3 и 4 § 1.

1 для

последова-

r s j

n s j

f(vn)), п = 0, 1, . . .

тельности случайных векторов (ln = f(ln), ѵл =

также выполняется условие (а) леммы 1. Предположим теперь,

что

мы построили

на некотором вероятностном пространстве

случайные

г*ч» гч»

для которых

выполняются

(по

величины %п,

ѵ' и ѵ", п — 0, 1, . . , ,

отношению к

величинам

CNJ

r s j

0, 1, . . . )

условия а) — в)

лем­

%п и ѵп, п =

мы 1. Нетрудно проверить, что в этом случае для

случайных вели­

чин In = Г* (£')> \ = Г*

(v') и ѵ; =

Г 1К ) ,

п =

0, 1, . . .

также

и ѵп,

п — 0, 1 , . . . .

Таким

образом,

достаточно

ограничиться

случаем,

когда пространство X компактно.

Предположим,

что мы построили последовательность

функций

распределения Fn(А, В, С), А, В, CgS3x, п = 0,

1 , - . . ,

удовлетворя­

ющую условиям

(Aj): 1) Fn (А, В,

Х) = Р{£п£А,

ѵп£В},

А,

В£$8Х

для

каждого

п = 0,

1, . . . ,

2) Fn(А, X,

В) = Р {gn £ А} Р {ѵ0£ В},

А,

В £ ЯЗХ

для

каждого

/г = 0, 1, . . . ,

3) f 0 (а, в, с) = р{і0еА}Р{ѵ0евпс}

и

что Р {і0£ Гр. А} = Р{ѵ0£Гр. В}=

(А2) : для всех А, В, С£$8Х таких,

= р{ѵ0егр. с}= о,

Fn(А, В, С)- > F0(А,

В, С) при п -> оо.

В силу теоремы 1.1.1

в этом

случае

можно построить

на не­

котором вероятностном пространстве (й', F', P') (процедура построе­

ния описана в [60]) случайные величины £',

и ѵ",

п = 0, 1, . . . ,

принимающие значения в X, такие,

что

-^Y.v'.v" (А»

С) =

^„(А,

В, С); А,

В, С£$ВХдля каждого п = 0,1,.

( 1)

Іп = (£;,

ѵ;,

ѵ")

ій при п

оо.

(2)

Нетрудно

проверить,

что

соотношения

(1)

и (2)

обеспечивают

для случайных величин

и ѵ',

п = О,

1, . . . ,

выполнение

ус­

ловий а)

— в) леммы 1.

Таким образом, доказательство леммы сводится к построению

последовательности

функций

распределения

Fn (A, В,

С), А, В, Cg

€ 93х,

п =

0, 1,.. -,

удовлетворяющей условиям

(А,),

} = 1, 2.

Это

построение можно осуществить следующим образом.

Повторяя процедуру построения, описанную

в [60],

построим в

пространстве X систему борелевских подмножеств

Ѳ(і....ik,

іг =

1, mr,

г = TTk,

k > \

(mr < oo,

r >

1),

для которой выполняется условие

(В):для всех іг — 1, тг, г >

1

1)

Ѳ г.... ik

и Ѳг*

г< не

пересекаются,

если

i'kф ik\

1

А’*** *k

mk

2)

U

Ѳг .....ik =

{Ѳ,

f<

,

если k >

1;

X,

если k — \\

££=1

d(ß,

d(M) — диаметр

3)

шах

, ) - > 0

при &-»-оо

(здесь

ir= \ ,m r , r = l , k

1

*

множества М);

(4) Р {£„ € Гр.

....=

Р {vng Гр.

......... tk} = 0 для всех /г = 0 ,1,....

Пусть x[k\

, . . , ,

х^

— точки

из X

такие, что

каждая

точка

из X находится на расстоянии, не превосходящем

хотя

бы

от одной точки х}к>(напомним, что пространство X компактно).

Пусть S„ (х) =

{у g X : р {х, у) < и} (здесь р (л, у) — метрика в X).

Можно выбрать числа

vk :

<

vk <

так> чтобы

Р {lng Гр.

(*<*>)} =

Р {v„ g Гр. S0fc (*<*>)} = 0, i =

ü m k,

k > \ ,

n = 0 , 1 , . . .

(3)

Действительно, для каждого n = 0, 1 , . . .

и

i =

1, mk,

k >

1

значе­

ний V, для которых (3)

положительно,

не более чем счетное

число.

Как указано в

[60],

можно определить

£ -1

= V * « * > ) \ U V * W )

и

1=1

___

___

ѳ г,....n D ^ . . - П О ^ ,

ir =

l,m r,

r =

\,k,

k > \ .