книги из ГПНТБ / Сильвестров Д.С. Предельные теоремы для сложных случайных функций

Лемма 9. Если выполняется условие (В)

теоремы В, то для лю­

бого набора

tlt . . . , t n точек

стохастической

непрерывности

процесса

МО

lim lim Р { max sup | £e (tk -f u) — le (tk) | >

6} =

0,

6 > 0.

c->0 e-»0

|ul«c

Лемма

10.

Пусть

для

случайных

процессов

\

(()=(£„,. (0. / =

= 1,/п),

[0, Т\, принимающих

значения в

пространстве

Rm, вы­

полняется условие (А)

или

(В). Каждому набору индексов / = (іъ...

... , ir),

1

<

ij < m, j

= 1, г

поставим в соответствие случайный про­

цесс

___

Тогда

для

любых

наборов индексов

Ik =

{i\k), . .

i^),

k = 1, ( и

любых

функционалов

/А(.)

г,

1, / (здесь

S

— топология

U, если

выполняется

условие (А),

и топология

J,

если

выполняется

условие

(В))

(/* С * ’ (0). к =

ГТ) =$> (fk

(0), k =

T77)

при 8

о.

наиболее важных функционалов.

Пусть

ф (/, х) — непрерывная функция, определенная на

[0,

Т] X Rm

и принимающая значения в Rx. Для функций х (() £

D;-

Ya <X (S)) =

* Ctf (X (S)))> Уа (X iS» =

X (ТГ Iх Ш -

Замечание 1.

Функционалы

т± (я (s))

можно

определить следу­

ющим образом:

inf (s: х (s) £ Da s,

если

±

ф*

(x (s)) >

± a,

(x (s)) =

T,

если

±

ф* (x (s)) <

=fc a,

где Da,s s= { у : ±

ф (s, y) <

± a},

s£ [0, T],

то есть как

момент пер­

вого выхода функции х (s)

из «полосы» D =

{D„,s, s£[0, Л }.

Замечание 2.

Пусть cp (і, х) = х. В этом случае функционалы

Ф+ (X (s)) =

sup X (s) =

х+ (О

И

_

ФГ (* («)) =

inf

х (s) = X

(t)

'

seto.i]

представляют собой

соответственно

супремум и инфимум функции

X (s) на промежутке

[0, /],

а функционалы

inf (s : X (s) >

а), если

х+ (Г) >

а,

т+ (X (s)) =

Т,

если

х+ (Т) <

а,

*£ (•) и V (•)•

— непрерывная функция, то

Если q>(t, х) = x — a(t), где a(t)

inf (s : х (s) > а (s) + а), если

ф+ (х (s)) >

а,

(х («)) =

если

ф+ (х (s)) <

а

Т,

у + (X (S)) = X

(Т+ (X (s)))

мент выхода

за

криволинейную

границу a (s) +

а функции

х (s).

Пусть

хе (/),

е >

0 — функции

из пространства

DT такие,

что

ХЕ(t) -> х0 (0 при е — 0.

(а)

Лемма

1.

Если

выполняется соотношение (а),

то и

Ф (*. ХЕ(0) Ф (*, Х 0 (t)) при е

0,

и для каждой точки t непрерывности функции x0(s)

4>f(xe(s))-*-4>f(x0(s)) при е-ч-0.

Замечание 3.

Для выполнения

условия

(ІІ1*) достаточно,

чтобы

нашлось

такое

счетное,

всюду

плотное в

[0, Т]

множество точек

Т = {tk,

k =

1 ,2 ,...} , что

ни для одной

пары точек t'k, t"k £ Т,

t ’<

<

t"k не

выполнялось соотношение

ф± (х0 (s)) =

ф* (х0(s)) =

а.

Лемма 3.

{k

*к

Если выполняется

соотношение (а), условия

(ІІ1*)

и

(І(±2)) : если ±

ф± (х0 (s)) > ± а,

то ф±_0 (xQ(s)) Ф а для всех 16 [0, Т],

то

фЯ*

(Хе (S))’

V* (^е (s)))

ф (т± (^o (S)),

у± (ха(s)))

при е-> 0 .

Если кроме того выполняется условие

(J): для

всех

[0, Т\

и х £ Rm,

последовательностей tk£ [0, Т] и

xh(zRm,

1 таких,

что ф (4,* ь)-> -ф (^*)

и

th -*-t

при k-*-

то

— оо необходимо и xh-> х

при £ -ѵ оо,

Уа (Хг (S)) “»■Уа (Х0 ^

ПРИ

е

°*

~

Замечание 4. Очевидно,

условие

(J)

выполняется, если

ф (t.x) —

х — a(t), где a(t) — непрерывная функция.

Д о к а з а т е л ь с т в о

леммы

1.

Не

нарушая

общности,

можно

считать,

что

параметр

серии е

пробегает

счетное

число

значений

£h — 0 при k -*■ОО.

Покажем

прежде всего,

что

Ф (s, лгЕ (s))

ф (s, х0 (s))

при

е -> 0.

(1)

что

( I xe (s) — x0(A, (s)) | + I \ (s) — s |) =

0,

(2)

lim sup

е-Ю s6 [0 ,r ]

и для доказательства (1) достаточно, очевидно, показать, что

lim sup

I ф (s, (s)) — Ф fiE(s), Xq( \ (s)) I =

0.

(3)

e-»0 s€[0 , T]

Из соотношения

(2) очевидным образом следует,

что функции

хе (s), е > 0 равномерно ограничены, то есть существует такое Я <

оо,

что

вектор

(s, хе(s)) 6 [О, Т] х

SHдля всех е, где SH={#<E Rm: \у\<Н).

Функция ф (/, X)

непрерывна и, следовательно,

равномерно непрерыв­

на

на

[О, Т] X SH. Поэтому для произвольного

б >

0 найдется А > 0

такое,

что

как только | s' — s" | <

А и | х' — х" | <

А, то и

|ф (s', х’)— ф (s", х") I <

б, s', s" € [0,

Т], x', х" € SH.

В силу

соотношения (2) получаем,

что для всех достаточно малых

е

таких,

что

| хе (s) — xQ(ЯЕ (s)) | <

А

и | s — ХЕ(s) | < А для

всех

s € [0, Г],

и ! ф (s, хе(s)) — ф (Xg(s), х0

(s))) I <

б для Bcexs6{0,

Л -

Покажем теперь, что функции

УЕ(t) = Ф+ (хе (s)) ^

У0 {() =

Ф+ (х0 (s))

при е -> 0.

(4)

Действительно,

sup I уе (0 — Уо (К (0) I =

sup

I sup ф (s, xe (s)) —

(6[0,Г]

<€[0,Г] s€[0,i]

—

sup ф (s, х0 (s))| =

sup I sup

ф (s, xe (s)) —

s€[0AE(f)]

(€[0,7-] s6[CU]

— sup Ф (X, (s), X0

(s)))| <

sup

I sup I Ф (s, XE (s)) —

s€[0,f]

(€[0.T] s6[0,(]

— Ф

(S), X0 (\. (s)))| = sup

I Ф (t,

X

(0) — ф (XE(t),

x0{Xe(t)))\ -> 0

t€[0,T]

в силу соотношения (1).

при

8 —>• 0

Из соотношения (4) следует, что для всех точек непрерывности

функции

г/0 (0,

следовательно,

и

для

всех

точек

непрерывности

функции х0(0

УеМ^УоЮ

ПРИ

е ^

0-

(5)

Д о к а з а т е л ь с т в о леммы

2.

Так как, очевидно, что

(Хе(S)) =

(Уе (S)) =

(inf (s: уе (s) >

а,

если

уг (Л >

я,

Т,

если

г/g (Л <

а ?

утверждение.

0 —монотонно не убывающие, непрерывные справа

Если уе (/), 8 >

функции такие, что:

а)

Уе (*)-+ y0(t)

при е-»0;

t" таких, что у0 (t') = у0(Г) = а, то

б)

не существует точек t' <

(Уе (0) -►

(Уо (0) ПРИ е "^°-

Допустим, что

И т Та (Уе (*» <to = *f (Уо(*))■

Ііш sup (I у (/) — у0(Л (0)| + I Я£ (0 — 11) =

0.

(6)

е-*0 (€[0 , Г]

Из (5) следует, что для всех достаточно больших k >

&д А*

(/*)<;

Тогда

в силу монотонности

функции

у0(t) и условия

б) для

* > к

Уо

Уо ^ о —

С

а — ß для

некоторого ß > 0.

(7)

Д о к а з а т е л ь с т в о леммы

3. Заметим,

что

Ф Ctf (*е («)), YІ

(^e(s))) =

J/e(T+(t/e(s)))

совпадает со значением функции уе (s)

момент

перескока

ее

через

уровень а. Поэтому для доказательства леммы

3 достаточно доказать

следующее

утверждение.

Если yE{t), е > 0 — монотонно не убывающие, непрерывные справа

функции, для которых выполняются

условия а),

б) и

в) если

y0(t) > a y то у0(і — 0)Ф а для

всех

/ € [0,Т],

то

Уе = Уе^ЦУг Ш ^ У о ^ Уо№ (У 0Ш

Щ>И в-► 0.

Не нарушая общности, можно считать,

что параметр е пробегает

счетное число значений ей -*■0

при k -*■оо. Допустим, что

Уе^Уо

ПРИ

е -> °-

(8)

Так как

последовательность

yek,

k = 1 , 2 , . . .

ограничена,

то из

(8) следует,

что из последовательности

ей

можно извлечь

подпос-

ледовательность Enk -> 0 при k -»■ оо такую,

что

у&п

->Ь

при

k - y оо,

(9)

где

Ь ф у 0,Ь > а .

Так как при выполнении условий а)

и

б) т + (t/E(s))-> т + (t/0 (s))

при

е -> 0

и Xs (t)-^t

при

е -> 0 равномерно

по

t 6 [О, У], то, оче­

видно,

te =

Яе (т+ (ye(s))) -> /0 = т+ (г/0 (s))

при

s -> 0.

(10)

Из

(10)

следует,

что из последовательности

еП/г можно

извлечь

подпоследовательность

индексов

еп^

при

k -> оо так,

что

> ta

для

k > 1

или

ten'k <

для всех k >

1.

В первом

случае

Уо VeJ -*■ У (О = Уо

ПРИ k ~+°°>

а во втором

k

Уо(*Вв*)

Уо (* — °)

при А-ѵоо,

k

что

противоречит соотношению

(9),

поскольку

в силу

условия

в)

y0(t0— 0) < а,

если

у0> а, а в силу соотношения

а)

I

-

Уо (О 1=

1Ув(Та+ (Уе (S))) ~ У0

(S)))) I <

<

sup

I Уе (s) — yQ(Я, (s))|

0 при

e -> 0.

s€[0,n

Второе утверждение леммы очевидным образом следует из лем­

мы 2 и первого утверждения леммы.

s £ [0, Т],

Лемма 4.

Пусть

функция

<р (s, х) =

ф (х),

х 6 Rm

не

зависит от s.

Тогда,

если

выполняется

соотношение

а)

и

условие

(І(+3)): если ±

ф* (х0 (s)) >

± а,

то ф(^ 0(х0 (s)) ф а для всех t

6 [0, Л ,

то

Vа

(Хг (S)) “ ►Ye (*о (S)) при Ё-> 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Поскольку

при выполнении

условия (I± )

выполняется

очевидно

условие

(I ±*),

то

Xt К

(S)) -*■ V (*„ (S))

=

t 0

При 8 - >

0.

(П )

Функции

хе (s) -> х0(s)

при

б ^ О

и, следовательно, существуют

непрерывные взаимно

однозначные

отображения

(/) промежутка

І0, Т\

на себя такие, что Хе (t) -*■ t при е -> 0 равномерно по t £ [0, 7") и

sup

I хе (s) — х0 (Я. (s)) I =

sup

I хе (Х-' (s)) — х0 (s) I

0

при

е -* 0 .

s€L0.r]

s€[0,rj

sup

| ф ( х (X-‘ (s))) — cp(x0(s))|-^ 0

при е

0.

(13)

s € [0 ,r]

Поскольку в силу условия

(I+’)

sup

fp(х0(s)) < а,

0< s< („

то, используя соотношение (13), получаем

lim sup ф (ХЕ (ЯГ‘ (s))) <

sup ф (x0 (s)) +

e-*u 0-!?s<(a

0 < s< ?0

+

lim sup I ф (xE (ЯГ1(s))) — Ф (x0 (s)) I <

a.

(14)

e-W> 0 < s « o

Соотношение (14) означает, что для всех достаточно малых е

V

(*е ( К 1(s))) = і nf (*Ф (*e (\_1 m

> a) >

t0.

(15)

Далее,

заметим, что для

функционала т+(-),

для любого

не­

прерывного

взаимно

однозначного

отображения

Я (t)

промежутка

[0, Т] на себя

(такого,

что Я (0) = 0

и Я (Т) = Т)

и любой функции

X (і) 6 Dj-m)

имеет место тождество

Я (т+ (х (Я (*))) =

т+ (х (0).

(16)

Действительно, учитывая то, что функция Я~1(t) также

являет­

ся непрерывным взаимно однозначным отображением

промежутка

(0, Т] на себя таким,

что Я-1 (0) =

0 и Я-1 (Т) =

Т, получаем

Я (т+ (х (Я (t)))) =

Я (inf (s : ф (х (Я (s))) > а)) =

Я (inf (Я-1 (t):

:ф (х (0) >

а) = Я(Я-1 (inf (t: ф (х (і)) > а))) =

in f (t: ф (х (/)) > а) =

=

Т+ (X (0).

Используя

тождество

(16),

соотношение (11)

и

то,

что

ЯЕ (t) -> t

при в —>■0

равномерно

по

t 6[0, Т], получаем

Та (хе (Яе“ 1(s))) =

Яе (т+ (х8 (s))) ->- т+ (х0 (s)) =

t0 при е -> 0.

(17)

Из соотношений (15) и (17)

следует в силу непрерывности функ­

ции х0(/) справа, что

*о

(хв(ЯГ‘ (s)))) -► х0 (т+ (х0 0>)))

при е->-0.

(18)

I ж, (т+ (хЕ(s))) — х0(т+ (х0(s))) I < I *е (т+ (хЕ(s))) —

— *о (Ч

(Хе (S)))) I +

I *0 (К (Xt (Хе (S)))) — Х0 (Та (Х0(S)))l <

< sup

I хе (s) — x0 (K (s)) I + I x0 (t£ (xe (X7l (S)))) — x„ (T+ (x0(s)))| ->■ 0

s€[0,7*]

при e —»-0.

В некоторых случаях интерес представляют также функционалы

типа «числа

пересечений

случайным

процессом некоторой полосы»

[60].

(сверху) v ^a_,a+ (х (s)) (ѵг

Число пересечений снизу

Ws)))

полосы [а_,

а+ ]

функцией x(s)

на промежутке [0, Т\

будем

счи­

тать равным

k,

если

можно указать

k + 1 точку t0 <

Ч < • •

• < th

такие,

что

x (t0) < а_, X (tj >

а+,

х (t2) < а_,

. . . (х (/„) > а+,

х (^) <

а_,

Лемма 5. Если выполняется соотношение (а)

и

для точек а~,

а+ соответственно условия (/+1) и (/+'), то

Ѵг.а_,а+ {Хг (s))-+ Ѵг,а_.а+ («о (s)) ПРИ

6

°-

ленная на [О, Т\ X Rm.

Лемма 6. Если

выполняется соотношение (а), то

т

хг (s)) ds

т

\ ф (s,

j ф (s, х0(s)) ds при e

0.

è

о

Доказательство леммы очевидным образом следует из соотноше­

ния (1) и теоремы Лебега.

х £ Rm — интегрируемая

по Риману в

Лемма 7. Пусть ф (х),

каждом шаре SH = {х £ Rm: | х\ ■< Я}, Я > 0 функция. Тогда,

если

выполняется соотношение (а) и условие

т

(х0 (s)) ds = 0, где

(К ): I Хл

Лф — множество точек

разрыва

функ-

6

Ф

ции ф (х),

то

т -

т

Д

о к а з а т е л ь с т в о .

В силу условия (К) х0

(t) £ Лф только для

точек

і,

принадлежащих

некоторому множеству

Тх меры

Лебега

0.

С другой

стороны, в силу соотношения (а) хг (і)

х0 (t)

при е ->

0.

поэтому множество Тх и Т2 имеет

меру Лебега

0. Для всех

точек

f e T j U T , cp (хг (f)) -> ср (х'о (0)

при

е ->- 0. Так

как функции

xe(s)

равномерно по е ограничены

и функция ф (х) ограничена в каждом

шаре S h , то и

функции ф (хе (s))

равномерно по е ограничены.

Для

доказательства

утверждения леммы достаточно

воспользоваться

те­

случайных процессов без разрывов второго рода.

Пусть для каждого е > 0 і е (/),

t £ [0,

Г] — случайный

процесс,

траектории которого с вероятностью 1

принадлежат пространству

Drm). Будем предполагать, что для

случайных процессов

\ { t) вы­

полняется условие

(В) теоремы В §2.1 — сходимости в топологии J.

Как и выше, ф (t,

х) — непрерывная функция на [0, T ] x R m.

Теорема 1. Если выполняется условие (В), то случайные про­

цессы

Ф(t, 1е (0),

* € [0, Т\ -і ф (/, | 0 (/)),

t € [0, Т} при в

0

Теорема 2. Если выполняются условия (В) и

(ІО)); р {ф± (!о (s)) == ф± (|0 (S)) = а} = 0 для

всех 0 <

V <

і" <

Т, то

Ч (6, (s)) =$> т* (S„ (s)) при

е -> 0.

Теорема 3. Если

выполняются условия

(В),

(I**)

и

): Р<±ф^ ^

(Ео W) - ± “ < ± «р;* %т (Ео Ш - о, »

Ф ^ а ( U S))’У а

У(6ао(«Лk . Ш

ПРИ

8

° -

Если, кроме того,

функция ф (t, х) удовлетворяет

условию (J), то

Уа Йв (S)) =*> Уа <Бо (S)) ПРИ

8 0 .

Замечание 7. Нетрудно понять, что условия

(І**)

и

(I**)

вы-

вие (1<з>):

Р {cp*

(L (s)) =

а} = 0.

Ѵ *

lT T±(S0(s))-0 vs° v

’

Теорема 4. Пусть

функция

ф (s, х) = Ф (*),

* £ Rm не зависит от

s. Тогда,

если выполняются условия (В) и

А <л>

(1+ ), то

Та

(Іе (s)) =Фу* (Іо (s)) при

е

0.

Р <4?*« , »-о

(«)) =

ff (6о

ßo Ш ) ^

^(So К* (So 0 ) - 0))} =

0.

та (”0( ))

Тогда при

выполнении условия

А \

имеет место соотношение

(1+)/1

g (уа (S* <S»)

(уа (So (S)))

ПРИ 6 °-

Теорема 5.

Если

выполняется

условие

(В) и для всех точек

а_

ѴГ .а _ .а + (Se (S>) =* ѴГ ,а _ ,а +

(S»

ПРИ 6 ^ ° ‘

Теорема 6.

Если выполняется условие (В), то

т

т

| с (s)) ds

Ф (S, Ъг (s)) ds =5> £ ф (s,

при в -> 0.

о

о

Теорема 7.

Пусть

функция ф(х),

x £ R m

интегрируема по Ри­

ману

в каждом

шаре

SH, Н > 0. Тогда, если выполняются условия

(В)

и

= 1,

Ф (|„ (s)) ds =Г> £ ф (£0 (s)) ds при e 0.

о

0