книги из ГПНТБ / Сильвестров Д.С. Предельные теоремы для сложных случайных функций

при е-> О,

О < иг <

. . .

< и,, О < tx <

. . . <

th ...........щ 6 U,

tv ...

... J i £T,

l >

1.

что

Из соотношения (2) следует, очевидно,

ѵ(г)

=5>]Xj(t),

(£ Т

при е

О,

f

и поскольку случайный

процесс р ;. (f), t >

0

непрерывен с вероят­

ностью 1,

то

последнее

соотношение

в силу

леммы 2.

1. 3

влечет

выполнение соотношения (а).

ys (n,j)=>

Воспользуемся

теоремой 4 § 1.

Выберем

величины

= -уууу б (і, /),

у £ Н,

п > 0.

В этом случае

Ц л(е)]

м-â ([^п (в)], о

£8 («. ltn Ш =

S

у^уу б (г)£ (£ — 1), г) =

о(е)

+

<г=1

+

-^уу — б (т]ЕЦЫ (в)], г')).

Моменты остановки Те, = \tn (е)], t > 0.

Соотношение (а) обеспечивает

выполнение условия (В) при лю­

бом выборе точек

> 0, г = 1, т,

т > 1. Кроме того,

выполняет­

ся, очевидно, условие (Н2),

причем a}(s) — Мѵ0(/,

j,i)is.

Применяя теорему 4 § 1

и учитывая то,

что случайные величины

у^ууу (1 — 6 (г]е ([tn (е)]), 0)

^ 0

при е -> 0,

получаем соотношение

Ре (Вп <8)1. О

t >

0=ФМѵ0(/, /, OP, (0.

( > 0

при 8—V 0.

(3)

о(е)

Используя еще

раз представление

(1) и соотношение

(3),

имеем

[иЛМѵо(/,/.О 0(е )Н -і

I

{

2

Д!А)( е )< М ( е )];

r =

ü j x

X [1 — Q

(t

t)]t“iMvo</,/,0t’(8)1+1 = р |

Ре(Влл (6)1»0

^

>

(У, /, t),

г =

1, /> -> P {py (fr) >

ur, r = 1, /} =

у = 1, 2 Qe(t, i) V(e) ->

P(j'

у

при e -^ 0 ,

то

из

соотношения

(4)

очевидным образом следует

соотношение

[urMyo(/,/.()o(8)]+l

А

S

—L____и. £ U =$>X; (ит) и, £ U при 8->■(),

и (г)

4 = 1

из которого следует выполнение условия

(J3)

и для

состояния і£Н ,

а также соотношение (б).

процессы jx^ (t),

Следствие 1. Случайные

/ > 0

связаны

соотно­

шениями

Мѵ0 (/, /, і) Pj (0,

(t), t

> 0,

i, j £ H.

(в)

Теперь можно усилить утверждение теоремы 1.

Теорема

2. Если выполняются условия (J7-),

/ =

1,3

и (Hx)

или

(Н2), то для

всех і 6 Н

Іе(І, [tn (е)]),

t >

0 =Фtj (ру (t)),

t

> 0

при

е -> 0,

где а) случайные процессы

(t) и ц;. (t) независимы; б)

(t),

t > 0 —

однородный

процесс

с

независимыми

приращениями

с

характе-

ристической

a.(s)t

процесс

(t)

определен в

функцией е 1

, t > 0; б)

лемме 1.

t

Конечномерные распределения процессов £;. (р;. (£)),

> 0 не

за­

висят от выбора состояния

/ € Н.

В пояснении нуждается только второе утверждение. То, что ко­

нечномерные распределения процессов

(р/

(і)), /> 0

не зависят от

выбора /' £ Н

при выполнении условия

(Н2), следует из следствия 1

и замечания

3 § 3. Для

случая, когда

выполняется условие

(H^,

честве предельного процесса

может фигурировать и процесс

£і (Рг (0)» t > 0. Кроме того,

можно показать,

что соотношение,

приведенное в замечании 3 § 3 для функции а} (s),

имеет место и при

выполнении условия (Hi).

при г -> 0; Тз (е) = {Се (я, 0.

п > 0,

і 6 Н} — множество независимых

в совокупности случайных

величин,

принимающих

два

значения 0

и 1, таких, что Р {£е (п, і) =

0} = pt (е) для всех п >

0,

і 6 Н и

Ншшахр,(е) < 1.

(а)

е-м ;ен

Пусть

тЕ= m ax(n: f [

te(k— 1,ле (^ — 0) = 1

к=\

или шіп р (е) >

0 для некоторого Nn < оо).

i>Nо

Лемма 1. Если выполняются условия (Jj), / = 1,2 и

(Lj): 1) lim lim

V — v (e) ln (1 — p{(e)) Mv (/, /,

t) =

0,

N-+oo H O

i>N

2) — v(e) ln (1 — pt (e))->p. €[0, оо) при e -> 0 ,

t‘6H,

TO

- i ((Tf)’;) ^ ( P y + f l y ) при e - 0

,

здесь

Ѵ-1(V /) = іп с вероятностью

[1 — Ре(/, /)] Ре(/, /)",

п > 0,

где

І, І 6 н.

Рг (І, /') = Р {А„ (г) <

Те },

Р, (/. /) = 2 2

п п —Рг (е)ГР {Ѵв (/,/. Г) пГ»

л = 0 п , + п , +

. . . = л г € Н

=

2

2

6

ГбН

Р{Ѵе(Л/,г) = «г,

п=0 л,+л,+...=п

г =

1,2, .../Ду;(е) <

оо}Р{Дуу(е) <

оо} =

Me

l/(e) xQe (/,/),

(1 )

здесь

Xj (е) — случайная

величина с функцией

распределения

Р {X, (в) < Ы} =р

2

- 1п п -

(8)1 < и/д;7(е) <

сю

1 k=\

Условия

(Jj) и (J2)

эквивалентны

условию (Н2) (если суммируют­

ся случайные величины уе(п, і) =

— ln [1 — pt (e)J, n > 0,

i 6 H).

Поэтому в силу леммы 2 § 2

[Me

_> е sa'

при e

0,

s > 0.

(2)

Используя (1)

и (2), имеем

Р

Ѵ-'еЫ.І)

>

X

=

(Ме“ "/(е))[” (Е)]+1 Qg (у, y)[w(e)]+1

о(е)

-( a .+ Q -) *

x >

О

(3)

-e

/

1 при e -> О,

Соотношение (3) доказывает лемму.

усло­

Замечание 1. Можно показать, что 'если при выполнении

Замечание

2.

Как следует из

замечания

3

§ 3,

константы ah

у 6 Н связаны

соотношениями

а} = Мѵ0 (у, ], і) ah

i, у € H.

Замечание 3. Если в доказательстве леммы

1

воспользоваться

вместо условия (Н,)

условием (Нх), то

можно

заменить

(La) более

слабым условием

(Lt): 1)

lim IV(е) ln (1 — pt (e)) | <

oo, t € H;

e -W

_____

— Mve (y, y, i) v (e) ln (I — pt (e)) = 0;

2)

lim

lim

У

N->oo e-W> i>N

oo) V(e) ln (1 -

pt (e)) -

3)

2

-

M (ve(у, y', i)/A/y (e) <

ay при e - 0.

момента выхода

| 8

(/, те).

Теорема 1.

Пусть выполняются

условия (J,-), /

= 1,2,

а также

(НО, (Lj) или (Н2),

(Lg), и а. + р; >

0.

Тогда

6е (/» Тв)=* S/ (L (в/ +

Р/))

при 8 -> 0,

где а) |;(0 . ^ > 0

— однородный процесс с независимыми

прираще-

„

,

„ o .(s )<

б) L (а. + р .)__

ниями с характеристической функцией е

1

, t > 0;

показательно распределенная с параметром а. + р(.

случайная вели-

чңца; в) процесс

(0 и случайная величина L (а;. +

р;.) независимы.

Распределение случайной

величины

(L (aj + Ру)) не зависит от

выбора состояния /

6 Н.

m i n ( v e (f) , Т &п ( г ) )

£ в ( л в ( 0 ) , * ) =

2

где

*=і

ѵв(0 = т і п ^ я : 2 t 8(fe—

1)) > f j ,

t > 0,

я (е),

Тг — неслучайные

неотрицательные

функции

такие, что

я (е) -> сх> при е 0

и ГЕ

Т06 (0, оо] при

г ->• 0.

каждого t>Q

Моменты остановки ѵ' (/) = m in(ve (t), Т&п (е)) для

удовлетворяют, как

нетрудно понять,

условию (А3) § 1.

В дальнейшем постоянно предполагаются

выполненными условия

( J A /

= 1 , 3 .

Необходимость урезания

моментов

остановки

ѵе (t)

возникает

в

связи с тем, что в общем

случае

величины ve (t)

могут

быть

не­

собственными. Если цепь Маркова Ті(е) возвратна, то

нет необхо­

димости

урезать

величины

\ е (t).

Поэтому

будем

предполагать,

что

Тг < оо,

если

Qe (/', /) > 0,

и Те =

оо,

если

QE (/, /') =

0,

и

в

со­

ответствии с этим условием

Т0<

оо,

если

р;. > 0,

и Т0= оо,

если

р . = 0.

_

Теорема 1. Пусть выполняются условия

(JД

/ =

1,3

и условие

(Ні) или (Н2) (с функциями и (е) и п (е)).

Пусть также

первая

ком­

понента

тj(t)

однородного

процесса

с независимыми

приращениями

%}(t) = (т;-(*), СЛО),

t > 0

(принимающего значения

в [0, oo)xR /-i)

с характеристической

функцией

е

'

,

s 6 Rj,

t >

0

строго монотон­

но возрастает с вероятностью 1. Тогда

t,e(i,t),t

>

0

(*))),

0 при е->0,

(а)

где случайные процессы |х; (t),

t >

0

и

(0

=

(т;. (t),

t,j (t)), t

>

О

независимы и

vy (/) =

min (inf (s: t (. (\nj (s)) >

/),

^ 0)>

*>

rsj

Конечномерные распределения предельного процесса ^.(рДѵД/)))

не зависят от выбора состояния

j в Н.

вначале

теоремой

2

§ 4.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Воспользуемся

Выберем величины у'е(п, і) = ( - ^ у

б (і, /),

уе (п, і)^,

п >

0,

і 6 Н.

Выполнение соответственно

условия

(Нх)

или (Н2)

очевидно,

причем

функция а' (s) =

(is, a. (s)).

По определению

в этом случае процесс

(\tn (е)], j)

(г'> ltn (еЮ

И'вй*'

,

L(t,

[^rt(e)J)

,

t > 0,

(е)

где

Рл<8)]

(», № (e)D =

2

Ъ {k -

1’ ^

-

!))

*=i

= (t

([fn (e)]),

([tn(e)])) =

/ltn(8)]

[<n(e)l

t >

= (

2

TE(fe—

тіе (й— 1)).

2

Ye (Ä — 1. Ле(* — !)),

0.

V i S

* = i

Применяя теорему

2.4,

получаем

соотношение

(і, № (e)I) =

, xe ([in (e)I),

£e (ltn

(e)])],

t >

0

=S>(P; (0.

*1 (М-/ (0).

Sy (P, (0)).

t > 0

при e -»-0.

(1)

Кроме того, имеет место представление

„

<

„

m„

l

n

л

«>

« )„к ( l v , w # <

< w„ r -

u i }

-

p { l‘,<1V (S >l’,)

<

T. >

t . ( к »

w i) <

<

Se (|sr (П(e)]) < Wr,

r = T77i|,

(2)

vr, ur >

0,

wr 6 R,_,,

&r,tr > 0,

r = І7я, я >

I.

Из соотношений (1) и (2) следует, что для

любого

счетного

всюду

плотного в

(0, оо)

множества

U =

{иг,

г — 1, 2, . . . }

найдет­

ся счетное

всюду

плотное в [0, оо) множество

точек Т (поскольку

величины т>(«,.), ыг 6 U

строго

положительны

с вероятностью 1,

то

всегда

можно считать 0 6 Т),

что

Heüs” («)]./)

. к «Stt («О»).

ѵ(е)

min f a

М

€ [0, оо) X Т

(s), V ,

(0,

С, (S)),

(s, /) е (0, оо)

X т при в -> 0,

»■W

t > 0 непрерывен

с

вероятностью

1,

Поскольку процесс Vy (/),

то в силу леммы 2.

1.

3

из последнего соотношения следует, что и

(в)]-/)

min ( т

Ш)-

/ >

0=і>

ѵ(г)

-

=$(Py (0, ѵ, (0.

Sy (0), t

>

о при 8 -* 0.

(3)

£е (itn (е)]), / >

0

и моментов остановки

min (Теп (в), vg(/.)) = ѵ' (tr),

г — l,m при любом выборе

точек /г > 0, г = 1 ,т ,

яг > 1

условия

(F) и в силу замечания 2 § 1 — условия

(Е).

Применяя

к

процессам

([/гг (е)]), /

> 0 и моментам остановки

v' (/f),

r = l , m

теорему 5 § 1, получаем соотношение

(а).

Независимость конечномерных распределений предельного про­

цесса от выбора состояния / g Н следует

из

соотношений Мѵ0 (/, /, і)

Ру Ѣ

t > 0 ~

ң

(/), / > 0,

t, } 6 Н и §, (/),

/ >

0 ~

и, (Мѵ0 (/, /, і) /),

/ > 0 ,

І./6Н.

Замечание 1. Условие равномерной бесконечной малости слу­

чайных величин

Yg (0, t), i £ Н можно ослабить.

Например,

если ис­

пользовать смешанное преобразование Лапласа — Фурье

для функ­

ций

распределения случайных

величин

уе(0, і) = (те (0, г). £е (0. 0).

t£ H

(первые компоненты этих

величин

неотрицательны),

то можно

ров у (г, k) =

(у] (е, k), j — О, I), k >

1 для

случая,

когда

векторы

у (е, k),

k >

1

разбиваются

на компоненты

ум (е, k) =

(yj (г, k),

j —

= 0, г),

k >

1

и y[r] (е, k) =

(у, (е, k),

} = г +

1, /),

k >

1

так,

что

безгранично делимого

закона, в

котором

отсутствует

гауссовская

составляющая.

Сформулируем утверждение, эквивалентное лемме 1. 5. 1.

Для

вектора и =

(uQ, . . . , и),

принимающего значения

в

Ri+1,

будем

обозначать м[г] = (и0, ... ,иг) и

= («г+1, ... ,и).

Пусть

также

Vj (а) = {(*0, . . . , *,) € R1+ 1:x;^[—сг—,сг+, /= " 0Г/},

здесь

а =

= (a0±, . . . , a f ) ö w = (4 0±,- ., о-*), а[г]=(аД_і,...,

а±) и ѵ(г)—неотрица­

тельная неслучайная функция такая,

что ѵ(е) -ѵ оо

при е

0.

Лемма 1. Пусть

для

каждого е > 0

у (е, k) =

(у; (е, k),

j =

0, l),

k >

1 — последовательность независимых

случайных векторов,

при­

нимающих значения

в Rz+I, равномерно бесконечно малых:

max Р { I у (е, k) | > 6} -> 0 при е

0;

6 > 0.

k

Тогда для выполнения соотношения

Ь>(е)]

(А ):

2 у (8>®

ПРИ 8 “ >■°>

*=1

где

характеристическая

функция

случайного

вектора

у =

(yjt

j = 0,1) имеет вид

Mexp{i (s, у)} = Mexp {i (i[r], yw)} Mexp{i (іи

, y[r])} =

= exp

' 2 « а +

J

' /=0

Rr+1

'

x e x p ll

£ « A - y

£

°'*s' 4

'

!•=/■ +1

/,*=/•+!

I

^здесь

a) ä = ( a /)

/ = M 6 R/+I; 6)

||ajk||^ =r+I — положительно

І ^

I®

^ 00 >г) S = (Sg, • • • I Sf), X — (Xq, «M

І————- =

Tj- I I г

[0(e)]

(В)

2 ѵи (е*k) ^ Yw пРн 8 -*■0

и

fe=l

Лемма 2.

Пусть для каждого е >

0

а (е, k) = (а} (е, k),

/ =

0, /),

ft > 1 — последовательность

независимых

случайных

векторов,

при­

нимающих

значения

в

R/+l,

равномерно

бесконечно

малых:

maxР { | а (е, ft) | > 6}

О при е-»-0.

Тогда для

того

чтобы

[ о ( е ) ]

2

а (в, к)-*-а при в -► О,

*=і

где а = (а},

j = 0,1) — случайная

величина, принимающая

значения

в R/+1 с характеристической

функцией

I

Mexp {i (s, а)} = exp |і

s/a/

T

2

V A * +

I

/=о

/,А=0

+

j

(еіСвГх) -

1

I (s. X)

l + l * l a

Ri+l

1 9 -4 -1 4 3

289