книги из ГПНТБ / Сильвестров Д.С. Предельные теоремы для сложных случайных функций

+ ~Щ&

2

Mv8 (/,/,0 |ü (8 )T “ -ß (t,s )|<

<енЕл>лг

4(«2+ ß 2)

2

(/', j, 02| V(e) Tg (i, s)|l

+

ö2v(e)a

i€ H e,l<N

J

f

2

Mv, (j, j, i)| V e (i, s) V (e)|.

<ен8,г>;ѵ

Для

произвольного а >

0 условие (Н),

1) позволяет

выбрать N

так,

чтобы

lim gX«

+ ß

£

Mv8 (/, j, 0| V(в) xFe (/, s)| < a;

;ене,і>ѵ

используя условие (Н), 2), имеем

!imo(e)P{|X“'ß(;, s )|> 6 } <

е-М)

< a +

^ (и2 +

б2) lim

1

2

VM ve (/,/,0 * |o (e )4 re (ftS) |lS:—о.

v(e)

ö’

e->0

гене,г«іѵ

(h s ,k ),k >

I «

V

v f

(j, j, 0 T “'ß (i, s),

k > 1,

(2)

ген8

где

S4 (e) =

{v<*> (/, /, 0, i 6 He},

& >

1 — независимые

совокупности

случайных величин такие, что

Р <ѵ.№ (/, j, 0 <

«г. » = 1, г) =

Р {vE (j, j, 0 <

Щ, і = Т 7 М // (е) <

оо},

___

k > 1

для

всех ыг >

О, і = 1, г, г >

1.

Введем еще в рассмотрение случайные величины

Ä

+

а, s,k)=

2

ѵ<*> (/, /, о ^

ß (t, s),

* > 1

и

і€нЕ,г<іѴ

Ä

-

(/, S , А) =

2

v<*> (/, /, 0 ^

(i, s),

k > 1.

(€H e ,i> W

о(е)

0 (e)

2

(/, s, ft)^

2

r ö

. +

(/.s - А) +

«/ek («)) +

*=1

A=1

+

o(e)

(e)

(3>

2 (X“ l _ ( / , s fft)-fl}^(s)),

где

*=1

a% (s) =

2

M (ve (j, /, O/Д

(e) < oo) ^

(t, s).

t> N

Используя лемму 2

(утверждение 3)

и условие

(Н), 1,

имеем

0 ( 8 )

lim

lim Р IV I

(/, s, ft) -

a% (s)| >

6t <

tf-*” **°

JA=1

I

N -> o o 8 -> 0

0

<

lim

lim

2

M(ve (/, j, І)ІАП(e) < oo) | и (e) ipe (t,s) | = 0.

N->co

8->0

o(e)

ft, s) +

a/$ (s)) =

=

2

M (ve У* /• O/A n (e) < oo) о (e) i]>8 (i, s) = a\E) (s)

(€ H K

и в силу леммы

2

(утверждение 4) и условия (Н),

2)

0 (e)

D 2

(^ejv,+ (/* ft, s) +

(s)) =5

fc=l

=

o (e)

2

M К

(/. /. П ve (h U П 1Ь„ (8) < oo) 'F“'ß (i', s)

X

(* ,Г € Н е ,

X

(Г, s) -

V(8) / 2

M (ve (}, U i)IAu (г) < OO)

(i, s)f <

(

2

^

M((ve(/,/,0— M(vg (j,/,0/Aw (г)<оо)у/Аи (e)<oo)

X.

X /

2

(VE(/»/* О2/Д/у (б) <

оо) I ü (е) Ye (г, s) |\2 ->0 при s-^-0.

\гея£, i^N

Поэтому в силу закона больших чисел и условия (Н),

3)

0 (E )

2

(/• s>k)

аі (s) при e -> 0.

(5)

Замечание 2.

Если

цепь

Маркова

Т, (е)

возвратна (Qg(/, /) = О,

j € Hg),

то

xj, = Af (v (е), е) — момент и (е)-го

возвращения цепи

Мар­

кова Tj (е) в состояние

j £ Hg.

(%{,, /')

Нетрудно

показать,

что для

случайной

величины

имеет

место представление

О

с вероятностью

Qs(], /),

ѴІ(rl>/ ) =

k

c

вероятностью

[1 — Qe(/, /)f Qe(/, /),

k =

l,u (e ) -l,

о (e)

с вероятностью

[1 — Qa (j, j)] °<3>.

Из

этого

представления

следует,

что в том случае,

когда вы ­

полняется

условие

(К): Qe(/, /) V(е) -V р, 610, оо)

при е -> О,

случайные величины

1Х1

./)

min (l,L (p,))

при e

0;

(6)

=£>v, =

здесь

L(pj) — показательно

распределенная

случайная величина с

параметром р^.

Замечание 3.

Если

цепь

Маркова Т1(е)

возвратна для

каждого

Е > 0,

то т/ = Д ;. (V(е), е) и

(т£, /) = ѵ(г).

Условие

(К)

автомати­

чески

выполняется и

Р у = 0 . При этом

=

1.

Соотношение (6)

обеспечивает

выполнение условия (В)

теоремы

2.

величины

1В { І , Те ) =

Н

(Ѵ/)

ПРИ

в “> ° .

где а) ^ ((),

t > 0 — однородный

процесс с независимыми прираще­

ниями с характеристической функцией e°lls)t,

і > 0;

б)

процесс

и случайная

величина

независимы.

:

§ 3.

Асимптотическая возвратность

однородных цепей Маркова

В этом

параграфе устанавливается

ряд

вспомогательных

ре­

зультатов о сходимости

вероятностей

перехода

для

асимптоти­

чески возвратных однородных цепей Маркова.

Пусть для

каждого

е > 0

1,(8) = {т)е (п),

п >

0} — однородная

цепь Маркова с множеством состояний

Н, =

Н = {1, 2,. ..} (конеч­

ным или счетным), представляющим

один существенный класс со­

стояний.

Будем предполагать выполненным

условие

(J,): рц (е) -> ра (0)

при

е -> 0 ,

і , /6 Н,

где

цепь

Маркова Т, (0)

возвратна.

Будем

использовать

все

обозначения,

введенные

в §§ 1

и 2.

Пусть также для цепи Маркова

Т1(е),

для которой начальное со­

стояние г}е (0) =

і с

вероятностью

1,

Д[е)(Е) = т і п ( л : п >

1,

rig(n)6E), Е д Н ,

18—4-143

273

Лемма 2. Если выполняется условие (Jl), то вероятности

Pip (Е)

р<у°> (Е) при е -> 0,

і, / в Н,

р<8) (Е) -»-р<0>(Е) при е ->0,

і £ Н.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Обозначим

Рц (е, Е, п) = Р {Д[8)(Е)

= п, т)е(Д^е)(Е)) = /}, І£Ц, /G Е,

п > 1 .

Нетрудно понять,

что

Рі/ (е, Е, п + 1) =

(е) Pkj (е, Е, п),

і£ Н, /£

Е,

п >

1.

(1)

*€Ё

Покажем, что при выполнении условия

(Jx)

для

всех п > 1

Р,, (е, Е, тг) -► рч (О, Е, п)

при е-»-0,

i £ Н,

/£

Е,

« >

I.

(2)

Для п = 1 имеем в силу условия

(Jx)

рг/ (е, Е, 1) = ptj (ь)

рч (0) = рі}(0, Е, 1)

при е->- 0,

і £ Н,

/ £ Е.

Предположим теперь, что (2) выполняется для номера п,

и по­

кажем, что это соотношение выполняется

и для п + 1.

Обозначим

р сг(«) = 2

рч (е) =

1 ” 2

р‘і (в)’

1 £ Н’ Г >

U

/>-

7=1

Очевидно, в силу условия (Jx)

liinP tr(e) =

P,r (0),

t£ H ,

1.

(3)

E-X)

Для произвольного а > 0

в силу

(3)

можно

выбрать

г

так,

чтобы lim Pir(е) = Р[г(0) < а.

Используя условие (J,),

соотношение

Шп I р.

(е, Е, п +

1) — рг (0, Е, п + 1 ) I <

Шп I

V

р

(е)р

(е,Е,тг) —

g-Н )

'

'

е -Х ) I

к

к і

— 2

м ° ) р * / ( 0’ Е>пН + 1іт

2

Pik (e) p*/(e> E>

+

*66rA«S'

e-M

_

A€E,A^>r

+

2

p t » ( 0 ) P k i ( ° * E > r t ) <

1 i m P (r ( 8 ) +

P l r ( ° ) < 2 a -

*6E,A>c

e -*0

В

силу

произвольности выбора

а > 0

последнее

соотношение

доказывает

(2).

Р {Д<8>(Е) < п) = 2

2

Ріі (е>Е**) = lim

Ріг(е>Е>п) і Gн > п > ь

/€Експ

г'*"=0

здесь

Ріг(в, Е, л) =

2

2 рЧ(8> Е’

1 € н > ^ « > 1-

/€£,/</•

Е-К>

е-W

в-*0

=

Р гг( 0 ,Е ,л )> 1 - 2 а .

(4)

В

силу произвольности выбора

а > 0

последнее

соотношение

означает, что

lim Р {ДІе) (Е) <

оо} =

lim РІЕ) (Е) =

1.

е-М )

е-*0

Кроме того, используя (4), получаем

Й т I Р\Т (Е) -

р<*> (Е) I <

ПНI

У Pt, («*. Е, к) -

2

Ри (0,

E,k) I +

k%n

£</і

+ Ш 2

Pt, (в, Е, *) +

2

Р и

(0, Е, к) <

П т Р {Д<£>(Е) >

л} +

+ Р{Д(0) (Е) >

л} <

За,

откуда

в силу

произвольности выбора а >

0

следует,

что и

lim р<?> (Е) =

р<£>(Е), і £Н,

/ е Е.

е-*0 '

'

Следствие

1.

Так

как

Qe (і, / р . . . ,

/,) =

1 — р '£>({ /,,..,, /,}),

і, Л> • • •> / г6 н

и

А/<®> =

р<£>({k, /}),

Ä, i, / £ Н,

то

при

выполнении

условия

(JO

Qe(і, /р . . . , / г) ->■ 0 при

е ->-0

и k flf'+ J iy

при е -> 0

для всех k, i,j,jv

Н.

Следствие 2. При выполнении условия (Jx).

lim Mv

(і, j, k) =

lim M (v8 (t', /, £)/Ay (e) < oo)=Mv0 (i, /, k),

i, j, ^ H .

e-M

e-W

Лемма

3, Если выполняется условие (JJ, то

Qe(/. І) ~ Mv0 (/, j, t)

(е)

при е -> 0 ,

і, j g Н.

18’

275

следовательность

&h -> 0

при k —>oo такая, что все

цепи Маркова

Тх (eft),

k >

1

невозвратны.

Поэтому,

не нарушая

общности,

будем

считать,

что

вероятности

Qn (г) > 0 , / с Н для всех е > 0

и О,, (О) =

= 0, ]£Н.

Для

цепи

Маркова

Т1(е), для

которой

начальное

состояние

ЦЕ(0) =

/ с вероятностью

1,

определим случайные

величины

Ѵе ( / ’

г') =

2

k=\

Для случайных величин ѵЕ(г, і) имеет место представление

ѵе (г, і) ={п

с вероятностью [1 — Qe (і, і)Г Qe(i, 0»

n > 0>

из которого следует,

что

Mve (і, і) =

— Qe (*•0

(5)

q„ ѵ>0

Кроме того,

для

случайных

величин

ѵЕ (і, і)

и

ѵе (/, і)

имеют

место представления

(п

с вероятностью

ß{f)n Q (t, i, /),

n >

0,

V

( t ,

t ) C ü

<

vg (/, i)

с вероятностью

^

n >

0

E

’

I я +

jf{if)n

и

2

véA) (/»/• 0

c вероятностью [1 —Qe(j,j)]nQs(j,jA

«>0,

ve(/, 0 ^

2

ѴГ* (У./'.О+'’ c вероятностью [1 —<Зе(/,/)Г ,/jf Д в)г" ' X

£=1

X Q e ( i , / , t) .

'■ > 1 .

здесь v<*> (/, /', t),

k >

1 — последовательность независимых одинаково

распределенных случайных величин таких, что

Р {ѵ<*> (/, U 0 <

и} =

Р {ѵЕ (/, У, 0

< и/Д/у (е) <

оо }, k > 1.

Переходя в этих

представлениях

к математическим

ожиданиям,

получаем соотношение

Мѵе (£, і) =

ßg (У, I) +

М (ѵЕ(/, у, О/Д/у(е) <

°°)

1

(6)

где

л«.

f ( e )

//{*4 0. /. 0

ß e ( / . 0 = - ^ -

'

Qe(/. /) П —

‘ ;!

I - Д '

Используя теперь следствия

1

и 2 и лемму 1.2,

получаем из (6)

« .« .

о

mv*(‘• o o . o . / i - 1_ ;,(ё,— ь

+

+

М (ѵ8

(/, /, г)/А.. (е) < С » ) [1 — Qe(/, /)] -> Мѵ0(/, j , і)

при e -> 0.

Следствие 3. При выполнении условия (Jx) условие

( J 2) :

Q e (/. / ) ü (в) “►Р / € [° . °°) ПРИ'е -> 0,

для выполнения

условия (Н)‘ в том случае,

когда выполняется ус­

ловие

(Jj):

е-э-0, i, /g H ,

(Hj):

1)

Ptj (е) -> ри (0)

при

где

цепь

Маркова

Т\ (0)

возвратна,

2) lim IV (е) ф (i, s) I <

оо, s 6 Ri, «€ H,

e->0

S '

(/, j, г) | у (e) фе (t, s) | =

s £ RI(

3)

lim Tim

Mv

0,

4)

2

M (ve (/• І>0/Ajj (8) <

оо) V(e) фЕ (t, s) -> a. (s) при e -> 0, s €

/ен

где

dj(s), sgR ;

— непрерывная

функция,

£ Ri,

и более

сильное

условие

(Н2):

1)

pij(e)-+p.j (0) при

е-»-0, і , /£ Н ,

где

цепь

Маркова

Т,(0)

возвратна,

2)

ѵ(е) фе (г, s) -> фг (s)

при е-> 0, s £ R,, і £ Н,

где ф. (s), /£Н—

непрерывные функции,

3) lim

Пт у

Мѵ (/, /, і) | и (e) ф (г, s) | =

0,

s £ Rr

N -> co e -> 0

<«■ -

При этом

i>/v

необходимо

а/ (*) = 2

Mvo (/. І>1')Фі (s),

s £ Rr

iëH

Замечание

1.

Можно

показать, что

если

условия (Н^

и (На)

выполняются, то одновременно для всех /£ Н.

Замечание 2. В том случае,

когда случайные величины уЁ(0, і)=

= 0,

і > іѴ0 с

вероятностью 1,

условия

(Hj),

3) и

(Н^), 3)

можно

0 ).

и в §2,

ограничимся

случаем, когда суммируемые величи­

Как

ны уе(л, і, /) = уе (л, і), л > 0, і £ Н.

Следующая теорема является очевидным следствием теоремы 4 §1.

Теорема 1. Если выполняются условия (С) и

(D) (для чего дос­

таточно,

чтобы выполнялось условие (Н)

или одно из

условий (Н;),

/ = 1 ,2 )

и

Ир ([tn (е)], /)

t>0=b]Xj(t), t > О прие^-О ,

г д е р ^ ), t > 0 —

(I):------- ^ ------- ,

монотонно не убывающий случайный процесс,

то

1еЦЛ*п Ш , * > 0 =*>1,^(0),

при

е->-0,

где а) случайные

процессы

\ j (t), / > 0

и ц . (/),

і >

0

независимы;

б) £у(0»

t > 0 — однородный

процесс с независимыми

приращения­

ми с характеристической функцией e’*’/(s)f, t >

0.

Исследуем более подробно условие (I) для

случая,

когда вы­

полняется условие

(Jj).

Пусть А/** (е),

k > 1

— последовательность независимых одина­

ково распределенных случайных величин

таких,

что

Р {А}*> (в) < и} =

Р {Д/7 (е) < и/Д „ (е) <

оо},

k >

1.

Лемма 1. Пусть выполняются условия (J7), /

=

1,2.

Тогда, ес­

ли выполняется

условие

[<»№)]

lh.

V1

А/*

(8)

>і > 0

(0. * > 0 при S -+■ о,

где

(0, t > 0—

(Ja): 2j

п

(е)

vilVnW li)

,

t ^0=Ф\і](І),

0 при e-M),

(а)

ci(e)

f > 0

и случайная величина L (Ру)

независимы.

Условие

(J3)

выполняется

одновременно для всех /£Н,

причем

случайные процессы %} (t),

t >

0,

/£ Н связаны

соотношениями

хі (0« ( >

0 саг

СТГТГО^ ’

^

f

(б)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Имеет

место

представление

р I

і)(е)

>

ип г =

1, / |

=

[аго(е)]

\

{

2

A f

(8) +

Д,', (е) <

[*,л (е)],

г = Г 7

X

k=i

Qe (І, /)] [1 -

I

X

[1 -

Qe (/, /)1“'0(е)]1,

(1)

0 ^

Ui

*Ui,

0

ti

tfo

I ^

1,

здесь а) случайные величины

Ац (е) и

Д/А>(е), £ >

1

независимы

в

совокупности;

б)

Р {

(е) < и} = Р {Дг/ (е) <

и/Дг/ (е) < оо}.

Предположим,

что

условие

(Js)

выполняется

для

состояния

/€ Н.

•

р.Д е, {/},п)

Поскольку, очевидно,

Р {Д'у (е) =

л} = —\ _ q ^

ß— . « > 1 (ве­

роятности р(у (е, Е, л) определены в доказательстве

леммы 1

§ 3),

то

при выполнении

условия

(Jx) Д'у (е) =$> Аг/ (0)

при е -► 0

и,

следова-

Д ,, (е) р

Кроме того, 1—Qe ((,/)->• 1

при е-»-0.

тельно, — '

-> 0 при 8->0.

Поэтому

при выполнении

условий

леммы

1 для

любого счет­

ного

всюду

плотного в

(0, се)

множества

точек

U =

{ы0, щ, ...}

найдется

счетное

всюду

плотное

в [0, оо) множество

точек непре­

рывности

функций

распределения случайных

величин

к}(ик),ик ^

£ U Т = {t0,

.. .} (так

как

величины

(ик) £ U

положительны

с

вероятностью

1, то всегда можно считать, что

0 £ Т)

такое,

что

e \ 4

^

M

>

Ur.

г -

тгі

■Р{х,(“г Х * г ,

r = \,l} e ~ Ul°i =

= P{\4(tr) > u r,

r=T7l)

(2)