книги из ГПНТБ / Сильвестров Д.С. Предельные теоремы для сложных случайных функций

случайных

величин

A“,ß (j, s, г) —

(s),

г > 1

(величины

A?'ß (], s, г) определены в

условии (С)).

Процессы t'g/ (t), t >

0 в силу условия (С)

сходятся

на

каждом

конечном

промежутке

к

процессу

(/) = 0, t > 0 с вероятностью 1.

Поскольку

функционал тт(х (і)) =

sup | х (f) |

является

непрерыв-

(

< 6[0 .Г ]

что величины

ным в топологии U на

Dr, то отсюда следует,

sup I

(f) I =

tnT (|;y (/)) -> 0 при e-*-0,

й >

1.

(16)

<€[0,Г4 ]

‘ к

Ы

Используя (15)

и (16),

получаем

fimp{ I V 8 l > 6} <

limI4

suP

11^(01 > 6 } +

e-W)

e-*0

( € [ 0 .Г а ]

'

+ 1 п п { Р - |/ — >

Tk} = P{v( >

Tk} - + 0 при k —>• OO.

Последнее соотношение эквивалентно (14). Лемма доказана.

Для доказательства

теоремы

2

необходимо еще

показать,

что

(s) является логарифмом характеристической

функции безгранич­

но делимого

закона.

Пусть А* (/, k),

k >

1 — последовательность

независимых

одина­

ково распределенных случайных величин, для которых

Р {А8 (/, k) <

и) =

Р і 2

Ѵе (г — 1). \

(г — 1), т)е И)

<

и/Ап (е) <

оо 1.

Лемма 2. Если выполняется условие (С) теоремы

1,

то

[«о(е)]

К (

t > 0

2

/

»

при 8

0.

А=1

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть А+(/, s) и А^ (/, s) для каждого s £ Rz

— случайные величины

такие, что

Р {А^ (/, s) <

ы, АГ (/, s) <

о) =

Д //(е )

Д //(е)

1

*)> (Л).S) < и. 2 ’СК (Ь -

D-л.(ft).s) <

2 ^ (Пв (А-

Ä=1

*=1

<

vlAjj (e) <

o o l.

таких, что

Яе (/, s, k) ~

Я+ (/, s) +

іЯГ (/, s)\

Используя условие (А), аналогично тому, как

это

сделано

для

представления

(2), нетрудно показать, что

Meis X o O .l) =

Me'bed.Us)

s£ R i

(17)

В силу

определения

случайных

величин

Я£,р (/, s, k), k >

1 и

Я* (/', s) Я“,ß (/, s, è) ~

аЯ^ (/', s) +

ßяг (/, s)

для всех а,

ß £Ri,

s £ R{.

Отсюда в силу условия (С)

очевидным образом следует,

что

[0 (8 )]

р

2

К (І, S, k)

г|зу (s)

при

е->- О,

s £ Rz

4=1

и, следовательно,

[0(e)]

2

Xg(/,StA)

4 = 1

**

lb, ( s )

s^R j.

(18)

е

->-е

>

при е -> 0 ,

По определению,

как нетрудно показать (см.,

например,

соотно­

шение (4)),

случайные величины

I e ^ (^’s’Ä)| <

1

с вероятностью

1,

s£ Rj.

(19)

Используя теорему Лебега,

получаем из

(18)

и (19), что и

[о ( е ) ]

'KeUiS.k)

2

Me*

1

-> e’t>;(s) при 8 -> 0 ,

sfR j.

(20)

Используя представление (17) и соотношение

(20),

имеем

окон­

чательно

(0(8)]

[0(e)]

iS

2

М /.4)

2

M/.S.A)

Me

=

Me *

'

ПрИ e -*-0, s6R j.

Лемма доказана.

Перейдем теперь к рассмотрению многомерного случая.

Пусть тer,

г = 1, т — случайные величины,

принимающие целые

неотрицательные значения такие, что

р

________

- >

оо

при е-»-0, г — I, т.

Будем предполагать выполненным условие

г =

1 ,т)

Т2(е)

(А2) : совокупности случайных величин

{Г, (е), т^,

и

независимы.

=

2

2

'ß (’le (Ä —

D» %

(^)> Sr

+

. . . +

Sm), S „ . .

Sm e R r

r = \ k—Xgf—i“H

Теорема 3. Если для

всех s1, . . . , s mg R i

и а , ß £ Rx

случайные

величины

t c t .ß

(Пе (0). S1

sm) --^>аЕ+ (sl t . .

s j

+

ßl

(Sp .

. s j

при e ->0, (д)

®е

где

(s1, . .

sm) — случайные величины,

принимающие

значения в

и зависящие от s1(. . . ,

sm £ R(

как

от

параметров так,

что

.

р

0

при

I Si I +

• • • +

I Sm I -► 0,

£

(Si........s j ->

TO

______

(£г (Пе (0), v)> ^ =

1.я)=Ф (£|........ U

при е -> 0,

где £ ,,..., | т — случайные величины,

принимающие

значения в R,

с совместной характеристической

функцией

Mexp I і 2

(sr, У) = ГЛе

.....sm)+lS

Ее"(Пе«0).5!«'

■•sm)+l£e (Че<0).*і

smeRi,

(2i)

= №

• ^2» '

(в і ) : 1" ]^ '^ ' .'г = 1 . mj=S>(v,r, г =

1, ш) при е ►0, где ѵ, =

(vjr,

г = 1, т) — случайный вектор,

принимающий значения в

R „,

то

(£е (ле (0), t 8r), г =

1, т) =Ф(£, (Ѵ/Г) ,

г = 1, т) при е-ѵО ,

где

а) If (t), t > О — однородный процесс с

независимыми

прираще-

ниями с характеристической

функцией

е

,

s £ R[f

t >

0;

б)

про-

цесс \ } (f), t >

0 и случайный вектор

независимы.

....... sm)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Для случайной величины

имеет

место представление

S j

т Г т е г

^

Че (k), s, +

(Л8 (

О

=

2

.

2

... +Sm) -

r = l

k = \

тег—1

-

2

+

•■ •+ *«)

k=i

(22)

m

-

2

ll“'ß (T1* (0)’ V . S,

+

• • - +

« J -

C P (Пе (0), W

Sf + . . . +

S j\.

r= 1

В силу этого представления и леммы

1

имеем соотношение

т

i f

« . <°).«,........ « J

-

2

( %

+

- +

«

j x

/•=і

i4 (V-л 4 (ѵ-і* я'

0 при 8->- 0,

sx.........sm£ Rj.

(23)

ü (8)

о (e)

Кроме того, в силу

условия

(В)

случайные

величины

ü(e)

(4 (Ѵ-1* /)

o (e )

m

=* 2 4>*’P («,+ •••+

SJ

lvlr — Vlr- ll

ПРИ 8 -► °-

r=1

Из

соотношений

(23)

и (24)

следует в

силу леммы 5 .1 .1 ,

что

выполняется

условие

(д) теоремы 3,

причем

т

I V / r — Ѵ У г - і Ь

£ * ( S p ■ • •» s m ) =

2

( S r +

• • • +

SJ

r=l

Для

доказательства теоремы достаточно теперь заметить, что

т

Г « ,.... W+IS-«,.....•„>

=

Мб

Мб

т

т

I Б

{sr + . . . + s m ) t lji'v ir ) —l i ( v i r _ ])])

I

2 (Sr ,6y(v/r))

= МбГ=1

=

МбГ=1

р

О,

_______

неотрицательные значения, такие, что те,-»- оо при s ->

г — \,т .

Предположим, что выполняется условие

{Tj (е), yg(k— 1 ,i,j),

(А3) : совокупности случайных величин

S{n) (е) =

k = ü n ,

i, /€

He,x (V

< k),k =

M } и S*'1)(e) =

{ye(k— l),i,j),

k~> n, i, j 6 HE} независимы

для

каждого n > 0, г =

1 ,т.

Введем в рассмотрение

случайные

величины

х(й>=

{[(« -f 1) h\,

если X£ [tih, (п -}- 1) И),

п >

0.

Очевидно,

для любой неотрицательной случайной величины

т<&) = ( х

+ gb(х )3,

где

л

«

- (

[ 4

]

+

h — t,

* >

0,

(g0 (t) =

0, t >

0).

0

Используя

условие

(A3),

аналогично

тому, как это

сделано для

представления (2), нетрудно показать,

что для

любого случайного

момента остановки

хе,

для

которого выполняется условие

(А3)

[T8+gft(*e>]

Mexp {i (s, t e (т)8 (0), х<й>) — gg (т]8 (0), хе))} = Mexp {i (s,

^

У8 (k —

k= xe+ l

— К \ ( k —1), Т)е (*)))> = MexP {(^ 0le(°). Xik)>S) —I f 4

(°)> Ts> S)) +

+

i (£e (T]e (0), tlh\ S)— le (Tfe (0), Xe, S))}, S£ R*.

(25)

Предположим теперь, что выполняется условие

(Е): £“ ’ß(Т]е(0), х Г (е)), S) -

Іе^ОТе (0),хе, s) =J>c6^(s)+ßlr(s)

при е-ѵ0,

s £ R r

Л > 0 ,

где

(s)—случайные величины, зависящие от s £ R{ и Л > 0 как

от параметров так,

Р

-

h > 0;

б)

Р

что а) |^(s) ->-0 при s->0,

(s) ->■0

стве теоремы 1, получаем, что случайные величины

(0)» х^йп<е))) — £g (т]8 (0), xg)

П ри е -> 0, h > 0,

(26)

Мехр {і (s, lh )} = М

s <=R,,

причем

|e ^ (s)+i?ü <s> I < 1 с вероятностью

1, Л > 0, s^R*.

(27)

В силу условия (Е), б)

gl^(s)+Üft (s)

j

При ^

о, s £ R/.

(28)

Из (27) и (28) следует в силу теоремы Лебега

Мехр {і (s, gft)} =

(s) -> 1

при h -> 0,

s £ R;,

что эквивалентно соотношению

при /і-> 0.

(29)

случайных

величин

Т7-(е),

/ = 1 , 2

выполняются

условия

(А3).

и (Е), то

lim lim Р {| | е (т) (0), T<ftn<e») — І

(г] (0), тЕ) | >

6} =

0.

й->0 е-Ю

Пусть теперь т^,

г — 1 ,т — случайные

моменты остановки,

для

которых выполняется условие (А3).

__

Теорема 5. Если для каждого

г =

\,т выполняется условие (Е)

и, кроме того, выполняется условие

(F): (^ (тіе (0), [trn (е)]), щ ,

г = Т^т) =£> (С (tr),

г =

Ңт)

при е -> 0,

tu . . . , tm > 0, где £ Ф,

t > 0 — непрерывный справа случайный

процесс, принимающий значения в R;;

х,, г =

\,т — неотрица­

тельные

случайные величины,

то

r=

r = \,m) при e

(£е 0іЕ(0), ѵ ),

==*>(С

0.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

В силу леммы 3

имеем

lim fim Р {| I (г] (0), т < ^ » ) — | е (тіе (0), те) | >

6} =

0, г =

1 ,т.

(30>

Ь-*0 е-»0

Так как

по определению

___

т

со

Р {Іе К (°)- Х^ <е))> <

Й„ Г =

Г т }

= 2

2

Р & е а

(°)> і("г +

г=1 пг= 0

+

1) hn (е)])< иТ, ^

£ [итh, (иг + 1) И), г =

Ë/n},

случайных величин

тг,

г — і,т) такая, что

(1е (Ле (0), т ^ АЛ(е)), г =

1,т) =Ф(£ (x{rhk>), г = \,т) при е->- 0, k > 1.

(31)

Поскольку

для

любой неотрицательной

случайной

величины т

т < т(й) < т +

h, то в

силу непрерывности

справа процесса

£ (і)

имеем соотношение

(£ (x‘ftA)), г =

1 .т) =4> (£ (тг), г = Пт)

при k

оо.

(32)

совместных распределений процессов [ |е (г)е (0), [tn (е)]),

t > 0.

(G):

к (е)

’ « ( в ) , =»(!*/(9. Tg). * > ° при е ~*0 г = і т ,

где а)

(f), t > 0 — монотонно не

убывающий непрерывный с

вероятностью

1 процесс; б) тг,

г =

1 , т — неотрицательные слу­

чайные

величины.

Действительно,

условие

(G), как

нетрудно понять, обеспечивает

выполнение

соотношения

и-е ([^« (е)]. /

( Ѵ ) )» f, ä> о =*öi,, до, тг+&,(■!,)), t,h>o

о(е)

— - + „ У

в силу леммы 2. 1.3 в топологии

U на каждом конечном промежут-

ке, то, воспользовавшись

теоремой 4 .1 .2 , получаем соотношение

(1тег "Ь ^Лп(е(тег) )Ь /)

^

^ .

, w г

г\

при

п

е -> 0 ,

-------------р т р -----------

, h >0=&>p7(Tr + gft(Tr)),

Л > 0

г =

1,т.

(34)

В силу леммы 1 соотношение

(34) и условия

(С) и

(D)

обеспе­

чивают выполнение соотношения

c

ß(/» К

+ 8hnm (Ѵ)Ь s)>

h > 0 =»

(s) Iх/ (Tr +

8h (Tr))>

л >

0

при e -*■0,

(35)

здесь У“* (s) = a4^+(s) + ßY“ (s).

рДО. t >

Очевидно, в силу непрерывности

процесса

0

^ 7 iß (s) (Р/ (t, + gh(тг)) — p; (xr)) 4 - 0

при ft -* 0.

(36)

Соотношения

(35) и (36) обеспечивают выполнение условия

(Е).

Заметим еще,

что при выполнении условий (С),

(D)

и (G) в силу

теоремы 4 (если

выбрать

моменты

остааовки

т/8 =

[tn(e)\

необхо­

димо

случайный

процесс

£(*) = £Дц;(/)),

* >

0,

где случайные

процессы

р7(0, t > 0 и Z}(t),

t >

0

независимы и

£;(/),

/ > 0 —

однородный процесс с независимыми

приращениями

и характеристи­

ческой функцией e'F/(s)(, sgR*,

t >

0.

Замечание 4.

Заметим еще, что условие

(а)

равномерной беско­

нечной малости случайных

величин

уг (п, і, /),

і, j £ НЕ можно заме­

нить любым другим условием,

обеспечивающим

для случайных ве­

личин

ys (n,i,j),

i , j £ Hg существование логарифма

характеристичес­

кой функции для

каждого

s 6 R/(

одновременно

для

всех

і ,} £ Hg

при всех достаточно малых е.

неотрицательны, то

Если случайные величины уе (п, і, /), і, j £ Hg

вместо характеристических

функций

удобнее

использовать

преобра­

зования Лапласа.

В этом случае вопрос о возможности представле­

ния

(1) вообще не возникает.

функция V (е) =

[ V

(е)], 8 > 0 .

Обозначим

для

цепи Маркова Та (е), у которой начальное состоя­

ние тц (0) — і с вероятностью

1,

А.. (е) = min (п:

п > 1, тц (п) = j), / g Н8

Qe (*» /р **>//) = Р ^ г /j (8) = •«» =

(е) =

-(- оо},

jр j2, . . . , / г £ Не.

Поскольку множество состояний цепи Маркова Т1(е) представля­

ет собой один существенный класс состояний, то

Qe (U i.........h) < 1 Для всех і,

/,..........;,€ Н ,

и вероятности

j f k l < 1 д л я в с е х / > k £ Н е'

Нетрудно понять также, что

* С +

у С <+гв < * . * . / ) =

! .

* ’ / е н 8.

В дальнейшем нам потребуется следующая лемма.

Лемма 1.

Если множество состояний цепи Маркова Тх (е) пред­

ставляет собой

один

существенный

класс,

то

Mvg (і, j, k)p < оо,

i, j, k £ He для

всех p >

0 и

О с вероятностью

j f ) + Qe(i, k, /),

Ve (i, /, k) —

с вероятностью

[1 — jf - — Qe (t, k, /)] Д*)(п-1) [1 —

n

~

jfkk ]> n > 1 •

таточно, чтобы выполнялось

условие

<Н ):1) lim lim

у

Мѵя

(і, j, t)| v (e) ¥ е (t, s)| = 0, s £ R z;

3) off (s)= Yi M (ve O'. /. 0/A jt (e) <oo)v (e) ¥ (i, s) -»-a. (s)

при

;ене

в —>-0, sgR j,

где a;.(s), s £ R z — непрерывная функция.

При этом x¥j (s) = а /(s), s £ R ;.

автоматически

выполняется,

если

Замечание 1. Условие (Н), 1)

случайные величины уе(0, і) = 0

с

вероятностью

1 для і > N0.

Д о к а з а т е л ь с т в о леммы

2.

Покажем

^вначале, что выполня­

ется условие (D). Для случайной

величины

Х?’р (/, s) имеет место

представление

^•ß(j,s)=

у v.(/,/,0|^(i,s)|.

(1)

<ен8

Введем еще в рассмотрение случайные величины

К . І .+ O', s) =

S

ve (/,

(i, s)|

(€Н8Ц«ЛГ

И

O', s) =

2

V . (/, / , i)|

,p (t,

s)|.