книги из ГПНТБ / Сильвестров Д.С. Предельные теоремы для сложных случайных функций

Из представления (3) следует, что М | А, (а, х, х) | * <

оо (k — \,

2),

если выполняется более сильное чем (Bfe) условие

(B'):

1)

у (0, у) — 0 с вероятностью 1, если | у\ > d =

const;

2)

М|ѵ(0, y)\k < оо, если I г/| < d .

Таким образом, теоремы 1 и 2 доказаны для случая, когда вмес­

то условий (Bj) или (В2) выполняются соответственно

условия

(B')

или

(B').

Доказательство теорем

1

и 2 в общем случае, когда выполняют­

ся условия

(Вх) или (В2),

следует, очевидно,

из соотношений (1),

(2)

и лемм 5 и 6.

Пусть

Л

Выберем величины

у (0, у) =

б (у, г),

а = (ау — 0, у 6 Е).

г/ 6 Е с вероятностью

1.

Тогда,

очевидно,

К(л

=

ѵ(х, х, г).

Ус­

а, х, х)

ловие (B')

выполняется

и, следовательно,

константа Ьхг — Мѵ (х, х,

г) = Ьг на

зависит от выбора х 6 Е. Но в силу определения величин

V (х, X, z),

X 6 Е V (г, г, г) = 1

с вероятностью 1,

откуда следует,

что

Ьх,г = Ьг — 1

для всех X 6 Е. Первое утверждение леммы 2 доказано.

Выберем

теперь

величины

у (0, у) =

6 (у, г) — б (у, и), у € Е

с

вероятностью

1.

В этом

случае, очевидно, К(а/ч, х, х)=ѵ (х, х, г)

—

— V (х, X,

и).

Условие

(B')

выполняется,

и так как

мы уже

до-

казали, что Мѵ (х, х, г) =

1,

А

0.

Поэтому кон­

г 6 Е, то MX (а, х, х) =

станта cXMiZ=

М (v (х, X,

г) — V (х, X, и))2 =

си,г не

должна зависеть

от выбора х € Е . Используя лемму 1

и выбирая затем х = и ,

полу­

чаем для константы си,г представление

Си.г = М (ѵ (0, 0, г — х) — V (0, 0, и — х))2 — М (ѵ (0, 0, г — и) — I)2,

* 6 Е ,

(4)

из которого

следует,

что

константа

си,г =

сг- и зависит только

от

разности г — и.

Заметим, что из соотношения (4)

очевидно следует утверждение

леммы 3.

и и — z — 1. Тогда,

х = 0, получаем

Пусть 2 >

0

выбирая в

(4)

соотношение

с1 =

М(ѵ(0,

0,2) — ѵ(0, 0, г — I))2,

2 >

0.

(5)

Из (5) следует, что

сх = Мѵ (0, 0, г)2 — 2Мѵ (0, 0, г) ѵ (0, 0, 2 — 1) +

Мѵ (0, 0, г — I)2 >

> Мѵ (0, 0, г)2 — 2 У Мѵ (0,0, г)2. КМѵ(0, 0, г— I)2 +

Мѵ(0, 0, 2— I)2.

Решая

это

неравенство относительно Y Мѵ (0,0, г)2, имеем

у

Мѵ (0,0, г)2 <

с, +

V Мѵ(0, 0,2— I)2,

М|А,(а, X, х)|

со

<

2 Мѵ (*,*,#) М | у, (0, у) — ау\

(6)

У——00

И

М | А ,(а , X, х) 1 2 <

2

— a j 2 +

у = —со

+ Mv (X, X , у) (V (X, X , у) — 1) (М IV, ( 0 ,

г/) — ау |)2 +

+ 2

М ѵ(*'

У)ѵ (х ’ х * 2)м ІѴі (0. у)

—а „ | М | у , (0. г) — аг \) <

гфу

со

<

2

Мѵ

х’ #) DIV (0, у) — а» I +

|/=—СО

+ (

2 У Мѵ(х,

х, г/)а М I V (0, У) — ау |)2.

(7)

г/=—со

Из оценок (6) и (7) в силу леммы 2 следует, что при

выполне­

нии условия

(Вх) M|Ä,(a,

x, x) | <

oo,

а при

выполнении

условия

(В2) M|A.(a,x, x ) | 2 <

оо.

вы­

Кроме того, из оценок (6) и (7) следует, очевидно, что при

полнении условия (ВА)

k

\{ х , х ,у)

k = 1,2.

lim М

2

2

Iv A k - i . y ) - ^ )

=

0,

( )

8

2->СО l*l>z /г=І

Но, учитывая независимость совокупностей

случайных

величин

SJ S'

и определение

совокупности

S',

имеем

ѵ(дс.х.у)

2

мѵ(*.

X,

у)(Щі(0, у)— ау),

м 2

2

> у ) - % )

1*1<г

fc=l

(9)

м [ 2

2

(V, (* — 1 . » ) — а*)) =

2 (Мѵ(х’ х*у)М(^ (0, у)~

\ |[ /|< 2

4 = 1

}

_ а /

+

Мѵ (X, X, у) (V (X, X, ч) -

1) (М (у, ( 0 , у) — ay)f +

щим условиям подобного типа.

Пусть для каждого е > 0 Tj (е) = {г)в (п), п = 0,

1, ...} — одно­

родная цепь Маркова с множеством состояний Н£ =

{1,2......... т„}

ных вероятностей || рц (е)

Т2 (е) = {уЁ(п, і, }), п > 0, і, / £ H J

шахР {| уе (0,

і, /) I > 6}

0 при в

0,

б > 0,

(а)

і,/еяе

те— случайная величина,

принимающая целые неотрицательные зна-

Р

0.

чения, такая, что т8 -> оо при е

Совместно от совокупностей случайных величин

Т/ (е), /

= 1,2 и

случайного момента остановки т8

потребуем

выполнения

условия

Іе(ЛЕ (0),

П) = 2

Ve (k — 1>\

(* -

!).

Л8 (ft)).

П> 0.

k=t

Большая библиография посвящена изучению предельных распре­

делений для случайных

функционалов

| Е (гіе (0), те)

для

различных

типов моментов остановки суммирования xg [1— 6,

28 — 30, 40, 48,

49, 67, 88,

100].

Наиболее

интересные

примеры

рассматриваются

в § § 2 - 6 .

Пусть

Mexp {і (s, уе (0, і, /))} =

es'eU,iiS), s£ R,,

i, / g H g.

(1)

Возможность представления (1) для характеристических функций

случайных

величин уе(0.

У). t, / € Не для каждого

s £ R,

одновре­

менно для

всех

I, / £ Hg

и

всех

достаточно

малых

е

обеспечивает

условие (а).

ф+ (1, j,

s) +

іф - (і, j,

s),

s £ R, — разло­

Пусть также

фе (і, /, s) =

жения функций фе (I, j, s),

i,

j £ Hg

на

действительную

и

мнимую

части и

Ф?,р (*, І, s) - ссф+ (1, /,

s) +

ßi|>- (i, /, s),

cc, ß g Ri,

s £ R z, 1, j 6 Hg.

Введем в рассмотрение случайные функционалы

Éf (ЛЕ ( 0 ) .

П,

S) =

2

Ф* (Ле (ft — О. Лв (ft), S),

П >

0

и

*=1

£“,р (Ле (0), п, s) = а£+ (Т1е (0), n,

s) +

ߣ- (тіе (0), n, s) =

=

2

ФЕ >ß (Ле (ft — 1).

ЛЕ (ft), s).

n > 0.

*=i

Теорема

1. Если для

каждого s £ R* для всех а,

ß 6 Ri

£“’ß (ле (0).

S) =Фа£+ (s) +

ߣ- (s)

при e -> 0 ,

(6)

где £* (s) — случайные величины,

зависящие

от s £ R j

как

от

пара-

метра так,

р

при s

0,

то

что £* (s) -> 0

£е (Ле (°). Tg) =ФI

при е -► 0,

(в)

где £ — случайная величина,

принимающая значения в

Rj

с

харак­

теристической функцией

М ехр {і (s, £)} =

Me»+ <s>+‘5~<s>, s £ R,.

(г)

теоремы 1,

| e5+ (s)-H6~(s> | ^

\

c

вероятностью 1,

так что математи­

ческое ожидание в (г) заведомо существует.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Покажем прежде

всего,

что

для

характе­

ристической функции случайной величины

| е (rig (0, те))

для

каждого

s^R ; и всех достаточно малых е имеет место представление

М exp {i (s,

£е (т)е (0), те))} =

(л*® .ѵ*>+«5Г<л.<°>.ѵ*>.

(2)

Пусть

П

Ре ( « . / )

=

2 6 ((T1e (k -

*)>

\ (*)).

(*. /)), і,

/€ Не, я >

0.

fe=i

Используя

условие

(AJ,

имеем

(3 )

Mexp{i (s, £е (гі8 (0), те))} =

М £

exp {і (s, ge (тц (0), п))} х ( \

=

я) =

со

П

п=0

=

2

2

Мехр{і(5,

Ѵе(0 ,г ,/))Г ‘/Р{ре (п. *,/) =

Л—0 Лц+Ліз+...siBnПііН-Лц+...esrt

= П ц , І ,

j £ Не, T8 = П} =

оо

2

2

'u y 'M i./-5)

=

2

еПи+л,' +

- =п

P { p e («,і І ) =

n==0 nt|-{-nlt-f-,..=n

2 М е ^(т1е(0)-п-5)+і|Г<Лв(0)^)х(Те =n) =

=

nih i, /GH8> Те =

n) =

0

=

M e*?(48(0)- Ч- *)> s>+‘£e (4e(0).te>s)* (3")

щих рядов мажорируются по абсолютной величине

величинами

ОО

2

К(Те = п) = X(т8 > N) “ -* • о при N-+ ОО.

n = N

Случайные

величины

| в6?(ч.(0).т,л+«ГЧеда.,вЛ | < 1 с вероятностью

1,

(4)

,

■*«(“ )

e iT (4e(0.ffl)>Te«e).s.ffl)-Hle (rie(0.со),ге(ш) .s,co)=. J~|

'“ I'M* ■“)>*)

Условие (б) теоремы 1

в силу произвольности

выбора

а, ß £ R x

влечет для каждого s£ R j

выполнение

соотношения

(С

(tig (0), те> s),

(тіЕ(0),

т8, s)) =Ф (|+ (s),

l~ (s)) при е -> 0.

(5)

Из

(5) следует,

очевидно, что

е^(г1е(0).тг.5Н-1|Г01е(0)^е-5)=Фе5+ (5)+1?_ (5)

При S -> 0*, s6 R i,

(6)

причем в силу соотношения

(4)

необходимо

| ßi+(s)+ii

<s) I

^

1 с вероятностью

1.

(7)

Используя соответствующий

вариант

теоремы

Хелли,

получаем

из (6), (7) и (4)

Mexp{i (s, і Е (тіг (0), т£))} =

=

При 6 -> 0, S£ R ;.

(8)

Поскольку

р

_

(s) -> 0 при S -> 0, то и

eÉ+<s)+,i-<s) Д . J

при

s ^ ö .

(9)

Используя

теорему Лебега, получаем из (7) и (9), что и

Me6+w-HS-<«> _*.!

при s —*■0.

(10)

Таким образом,

функция

Me^+(s,+i? <s),

s £ R ;

равна 1

и непре­

рывна

в точке

0,

является

поточечным

пределом

характеристичес­

ких функций и, следовательно, также

является характеристической

функцией.

Для цепи Маркова

Тх(е),

для

которой

начальное состояние

т)Е(0) = і

с вероятностью

1,

обозначим

Очевидно,

Аг/ (е) = min (п:п > 1 , \

(«) = /), / £ Н£.

Qu (е)= р (А£/(е) = + о°} < 1, і,/еН£.

Пусть

также

Д//(8)

(/. S) =

2

I

(ті£ (k - 1),

лЕ(k), S) I,

*=i

^

,0a .s ) =

2

C

( Tie (fe-

1)*

t= l

и

^

(/,

s, ft),

ft > 1 — последовательность

независимых одинаково

распределенных случайных величин, для которых

Р {Я“ ’р (/, s, ft) <

и} = Р

О, s) <

u/Ajj (в) <

с»}.

Обозначим еще через

П

рЯе«» (П, /) =

2

Ö (-Пе (ft), /),

П > О

k=\

число попаданий цепи Маркова Тх (е) в состояние

/ за

п переходов,

V(е),

п (г) — неслучайные

неотрицательные

функции

такие, что

V(е), п (г) -> оо

при е

0.

Теорема 2. Если выполняются условия

(B)

:

^ ( е ) І]~

ПРИ

8 ^ ° >

где

ѵ/ — неотрицательная случайная

величина;

(C)

[»«]

о

р

„

®

0 + РФГ (s)

ПРИ 8~* °’

5^ Rf

:

2 С

0> s. *) -*■ Ф“

fe=i

ос, ß ^ Rj,

где iff (s),

s £ R; — неслучайные непрерывные

функции

(D)

: ѵ(е) Р {!“’ß (/, s) >

6} -> 0

при

в

0,

s £ R;,

ос, ß £ Rx,

то

O'. **) =»6, (ѵ/)

ПРИ е_ѵ 0’

где а)

(0, ^ >

0 — однородный процесс с

независимыми прираще­

ниями с характеристической функцией e^i^,

s £ R ;,

0,

здесь

ф/ (s) =

if+ (s) +

hf~ (s); б)

процесс £;. (і),

/ >

0

и случайная

величи­

в дальнейшем.

Лемма

1. При выполнении условий (В) — (D)

теоремы 2

if“ ’ß (s)

- É“ ,ß 0, Те, s) ^ 0 при в 0,

s g R„ ос, ß (=

(min (я : п > А, (ft — 1, е), \

(я)= /), если

А; (ft— 1, е) <

оо,

ОО

если

Д ,(ft—■1 ,е) =

оо.

17—4-143

257

д£(те ’П

Д/(*.е)

£«,ß Оі Те»S) = 2

2

е

^)> 'Пе М ’ s) +

* = 1

г=Ду(*—l,e)+l

tE

+

2

(” )

/■ = Д у ( Д е ( Т е , / ) , 8 ) + l

Р*

^ ,р(Ле ('"— I), ti (г), s)

/■ =Ду(д'<т8./),г)-Н

<

2

и ? ,р ч (г - - d »ne w » s) I.

р {ße; > 6} < 2 р

2

1^ ,ßw

- D- ^ w. s) I > в.

П=гО 1гвДу(П.в)+1

А, (л, е) < оо, р/ (тв, j) = п <

< [7*20(8)]Р ( д /(п2+ 1.8)

l^e ß(’le(Ä —

1), Пв (*). s) I >

в/А, (Я, е)<0О\

X

П=0

и=Ду(П.8)+1

I

X Р {Ay (п, е) <

оо} +

Р {р' (Те, j) >

\Тѵ (е)]} <

<

IТѵ (в)] Р {X“'ß (j, s) >

6} +

Р ( 4 § Г " >

(12)

ІЕГР {ßg/ > 6} <

Em [7 > (е)] Р {I“’ß (j, s) >

6} +

0-ЬЛ

'

e-^n

.

l i m

D / P E <Т 8 -Л

.

[T fc0

(8 )] \

( j у V Ф

i

n

.

(13)

+

Й

Р 1 - І Т 5 - >

_ ^

) "

Р!ѵ ' > Г *>^

0при

Y '=

2

ѳ‘* ^ ° при 8_ѵ 0*

(14)

где

Ä=1

д/(*.8)

=

2

W

,p К

(г ~

!)» ^8 (')) —

^

’р (s))-

г = Д у (А— 1 ,е ) + 1

Введем в

рассмотрение

случайные

величины

ѵ8/ = шах

(п :

:Д/ X (л, е) <

оо)

и ѵЕ/ (л) = шіп (я,

vg/).

Так как ѵ8/ >

р '(т е, j),

то

р { і т ' і > б ) - р

2

е г , і > 8 <

I

А=1

< р

1

f(e)

>7\}+р||1 < л < [ Г * и ( е ) ]

v e/-(n )

> 6

Л

r=1

I Не ( у

max

{i %

r - >

r 4

+

S P K/

= i.

max

S

i

= P {

■

+

S P W

= 0 X

OS)

*•

J

г=о

n

Л

X P l

max

S

( C

P( j , s , r ) - ^ ^ - P ( s))

> S j =

U<n<min(/,[rÄc(8l])

P

1

> Tk} +

max

iPi max

2 ( C

ßo\ s>r> —

J

1<г<[71Ло(£)] I ( l < n « i /■=1

>6} <pIt

> r*)+plД Iä'» >»}•

здесь

[<o(e)]

1

& (0 = 2

s . r ) - - ^ ^ ^ ( s ) ) , / > 0

r = l

17*

259