книги из ГПНТБ / Сильвестров Д.С. Предельные теоремы для сложных случайных функций

Лемма 3.

Соотношение

Wk}j (а) =

0,

если выполняется, то одно­

временно для всех / 6 Н.

Доказательство леммы 2 можно найти в [71].

Рассмотрим вначале случай, когда

_ гѵ

эргодичен,

ПМП

т] (і), £ > О

то есть выполняется

условие

(А): NlXjj <

оо.

Пусть

М Х п (а)

и2

D K j j ( а )

2

0 ( Х „ ( а ) - с а т] } )

°а

’

а

МЧѵ

’

Замечание 3. Как

следует из приведенного ниже доказательства

теорем 1 — 5, значения констант са, Ьа2 и d? не

зависят

от выбора

состояния /6Н.

у (п, і) =

б (і, j), i £ Н с веро­

Если выбрать случайные

величины

ятностью 1,

то в силу независимости значения

константы

са от вы­

бора состояния j € Н имеет место соотношение

М ѵ (£,

( , / )

i,j€ H.

Мт..

Мтj

j

Ж.]; (а) =

Мѵ (£, і, j)

(а),

£, / £ Н.

Отвлекаясь

немного в

сторону,

заметим,

что если у (п, і), п > О,

і £ Н и у" (п, і),

п > О, і £ Н — случайные величины такие, что соот­

величины у”(п, і) — а”, п >

0, і £ Н,

а времена пребывания в обеих

схемах т' (п, і) =

т" (п, і) =

тг, і £ Н с вероятностью 1, где тг, і £ Н

СО

константы такие,

что ^ Мѵ (/> /»0

= fj < 00•

i=i

констант

Отношение соответствующих

тг

(Bj):

(а) < оо,

то для

всех функционалов /(•) 6 Ucas,r> Т > 0

f ( S(a’/ ’Sf) = ^ / ( c as) при г-*оо.

=$>f(w(b2a(s)) при ^

оо.

Здесь

и ниже

w (s),

s >

0

— винеровский

процесс.

Теорема 3. Если выполняются условия

(А) и

(В3): 1) Мя7Ѵ(а) < оо;

2)

Мя;, (а, с0)2 < оо.

то для всех функционалов

f(-)£Uw(А кг(

Т > 0

f

^а’ i,Sy

~ C°S^

(w (d2 s))

при

t -*■оо.

Предположим теперь, что вместо условия (А) выполняется ус­

ловие

(С): Р {тя >

х} ~

h (х)

при X —*■оо,

где

а =

const 6 (0,1],

сф = const >

0,

h(x), х > 0 — медленно

меняющаяся функция.

Замечание 4.

Как следует из доказательства теоремы 4, условие

(С) если выполняется, то одновременно для всех /6 #

«с точностью»

до значения константы с (/) причем имеет место соотношение

Щ = м ѵ ( / , / , і ) , і , / е н .

(г)

распределенных с і }і

случайных

величин.

Как следует из

результатов,

приведенных в £25], при

выпол­

нении условия (С)

2

(А)

0=5>Ta/(s), s > 0 ,

(в)

- J - , S >

16-4-143

241

# ( 0 =

ds

I , если

о =

1,

h(t)

если

а <

1,

f

03

с (!) а j 1

если

а <

1,

с> (а) =

о

с (/),

если

а =з 1.

va/ (t) =

inf (s : Taj (s) > t),

/ >

0

непрерывен

с вероятностью

1.

Теорема

4.

Если выполняются

условия

(С)

и (Вх), то для всех

функционалов / ( - ) €

7 > 0

f

=*f (Ш іі

ѵа/ (S))>

п р и н о с .

Конечномерные распределения предельного процесса JAXjf (а) va/(s),

l > 0 не зависят от выбора

состояния j £ H.

Теорема

5.

Если

выполняются условия

(С)

и

(Ва), то

I (а, і, st)

s >

0 =j>w (Dhf/ (a) va/ (s)), s > 0

при t -*■oo,

где случайные

процессы

m (s), s > 0 и vaJ(s),

s >

0 независимы и

для всех функционалов f ( . ) € U .(Di w(e)^ , (t))lr,

т

>

°

f ( ^

=

=

j = ^ f ( w (D^ /

И va/ (s))

ПРИ *-*■ °°-

Конечномерные

распределения

предельного процесса a/(DA^ (a) x

Xva /(s)), s > 0

не зависят от выбора состояния /6 Н .

Д о к а з а т е л ь с т в а

теорем 1—5 совершенно аналогичны.

Воспользуемся теоремой 3. 5. 3, применяя

ее

к

процессам

|( а ,

/, sO, s > 0 |роль параметра е играет t — можно

просто считать,

что

е = -j-j. Выберем величины

д<*>

т(/, k) = Т, (к) = 2 т (г — 1.

k

>

1,

Г=1

где

min (n : п > Aj*

1),Пп = І),

k > \ ,

l(0) == 0.

Д<*> =

В этом случае

величины

x ( / , ä) =

x (ä) =

x}{k) — x}{k— \),

k > \ ,

х {t, 0) = О,

д56>

y(t,k) = y(k) =

2

(ѵ(г —

— аЛг_,).

1.Y(^0) = °>

Г=Ду

+1

Я (/, Л) = Я (&)

max

2

(Y(r - b v , _ і ) ~ Ч _ , )

,=д)* -»+1іД(*>

,=д<*-‘>+ і

Af’

<я'(Л )=

2

Іт(г — !.“Л,—!) — атѴ-і I. Ь > 1

г-д}*-1»

и

7 , = /, ѵ(і) = *аЯ (0 , и (0 = ^ “# (0 -

Условие (С) в силу

соотношения (в) обеспечивает выполнение

для величин x(ß), k > 1

условия (А3), 1) теоремы 3. 5. 3, а (В2) в

ных случайных величин, причем

величины я ' (k) си пи (а), & > 1 .

Используя условие (В), получаем

Р {я(1) > о Ѵ е н (0 } < Р {я' (1) >

о V taH (0 } =

= Р {я„ (а) > а V taH (0} =

о (a2tdH{tj )

при t -> оо,

следовательно, выполняется условие (А3), 3) теоремы 3. 5. 3.

Применяя к процессам £ (а, j, st), s > 0

теорему 3.5.3, получаем,

для любого функционала / ( 0 6 Ц ,(ОХ/,(в)Ѵв/(і)).г( т > °

, ( ^

§

) =ф,("’ (Щ" (а)Ѵмй)) при

(І)

В теоремах

1 — 4

величины

т (t, k) =

(k), k > 1

выбираются

точно так же и Tt ~

t. Функции

v(f) = u(f) — f H (t)

в теореме

4,

V (f) — t, u(t) =

V t в теоремах 2

и 3 и v (t) = и (t) — t

в теореме

1.

16*

243

Для доказательства теорем 1 — 5 необходимо еще показать, что:

а)

конечномерные распределения предельных процессов

не зависят

от

выбора состояния т]0 = і 6 Н;

б) условия этих

теорем

выполняют­

ся одновременно для

всех /6 Н .

Покажем вначале,

что для

доказательства

утверждения а) до­

Р {DX/y (а) vaj (sk) > uk, k = 1, r } = P |т а/

(а)] < s*> ^ — 1. r |»

от

выбора

/£ Н

одномерных распределений процесса

%aj ^

s ^ j,

s >

0. В силу представления (2) для этого достаточно показать, что

одномерные

распределения процесса DXu (a)val(s),s > 0

не

зависят

от

выбора /£ Н .

Легко проверить, что

для того, чтобы

распределе­

ние

случайной величины DKjt (а) ѵа/ (s)

не зависело от выбора j 6 Н,

сы

w(s), s > 0 и

DКц (a) \ aj (s), s > 0 независимы),

>•

Для теоремы 4

рассуждения совершенно аналогичны, для теорем

стояния

то и для всех і 6 Н

lim Р

<

«I

=

Нт р Ш а'

< и) =

Р {Я, (а) ѵа, (s) < и).

**оо I

<“Я (0

і

:

I taH(0

/

х 11

а,ѵ

p f І (a, j, st — v)

для

< st,

gjit (s. v>«)

\ taH (0

О

для

V> st.

для любой неслучайной функции и (/)—>■оо при ^ —ѵ оо.

В

силу определения процесса £ (а, і, s/),

s > 0 и того,

что

мо­

мент

%ij является

марковским моментом времени для ЬМП т] (t),

t > 0,

имеет место

представление

Р {І (а, і, st) — ß jj** (а) < и} =

Р {т,у > s*} Х(0ов) (и) +

St

+

j р (5 («. /. S* — О) < и} Р {т0 6 dv}.

(6)

о

Используя представление

(6) и (4), (5), в силу леммы 5.

1.

1 и

теоремы Лебега имеем

lim Р

I Ца.і, st)

= limP

S(g. I, st)

1->х

I taH (t)

*-*C©

taH (t)

8,,t (s. о. и) P {t(/ 6 dü} =

P {MXyy (a) vay (s) <

ы}.

Из соотношения (3) следует, что распределение

случайной вели­

чины МХц (а) vQ. (s)

не зависит от

выбора j £ Н.

Действительно,

если

условия теоремы 4

выполняются

для

состояний

і и ;,

то

распреде-

„

I (а, і, st)

и

£ (а, /, st)

.

ления случайных величин

— -

- - -

1

'

сходятся при /-> оо

t Н (t)

t

n

(t)

(а) va{ (s)

соответственно

к

распределениям

случайных величин

Ш,

и Мкц (а) ѵау (s)

и,

следовательно,

в силу

(3)

случайные

величины

Ш и (а ) Val (S) -

Ш Ц(ß) Val (S)-

Для теорем 1—3 и 5 рассуждения совершенно аналогичны.

Остается еще доказать, что условия теорем 1—5 выполняются

одновременно для всех / 6 Н.

То, что условия

(Вг),

і = 1 , 3

выполняются

одновременно для

всех / 6 Н, следует из лемм 2 и 3.

Покажем, что

условие

(С)

выполняется одновременно для

всех

/6н.

о(/, г), г £ Н с вероятностью

Выберем случайные величины у (0, г) =

1 и центрирующие коэффициенты аг — 0,

г €

Н.

В

этом случае,

очевидно, Хц (а) =

ѵ (/, /, і),

условие (Bj)

выполняется

и случайный

функционал

ѵ (0

/

я

\

s («,», о = 2

6 (***—!• о =

тах

п ;

2

<

* ’

t> 0 ,

* = і

V

* = і

/

где х<А>=

т. (k) — тг (k — 1), k >

1.

Предположим, что условие (С)

выполняется для

состояния / £ Н.

Используя представление

(7) и соотношение

(3),

получаем

l u ( * H ( t ) } + 1 (А)

lim Р

S

=

lim Р

Kfl.t, SQ

> и.

t-*со

£->оо I /аЯ (О

*=і

=

lim Р f

л

>

«J

=

Р {Mv (/, У, t) V I (s) > u} =

f-*oo

l г

(r)

J

=

P ( T “ / ( m v ( / , / . » ) ) <

S }*

Таким

образом,

функция

распределения

случайных

величин

соответствующим образом нормированных процессов

ступенчатых

сумм случайных величин £ (а, %, si), s >

0.

> 0

Будем предполагать также, как и в §

2, что блуждание т л

невырождено и выполняется условие (Ax) § 2.

х

Для блуждания с начальным положением rj0

=

обозначим,

как и в § 2,

т(х, у) = m in(л : л >

1, т]л =

у)

и

Их,у)

Их,у)

Х(а, X, у) = 2 (Ѵі (* — 1» \ - і) — ащ

ѵ (*. У, г) = 2 6К -і>

fe=i

*=i

X, у,

г 6 Е.

В силу однородности по пространству блуждания т)л,

л > 0

име­

ют место следующие соотношения.

Лемма 1. Для всех х, yk,

zk,

k = 1,

г £ Е,

г >

1

(т (X, yk), k = 1 7 7 )

~

(т (0, ук— х),

k =

Т 7 ) ,

(v(x, yk, zk), k = T77)~(v(0, yk~

X, zk — x), k =

\, r).

В дальнейшем нам потребуются также следующие вспомогатель­

ные утверждения:

Лемма 2. Имеют место соотношения

Мѵ(0, 0, х) — 1, дс 6 Е,

у Мѵ(0, О, x f < L (I X I +

1), X 6 Е, где L =

const < оо.

Лемма 3. Имеет место тождество

2Мѵ (О, О, X) V (0, 0, у) =

Мѵ (0,0, x f + Мѵ (0, 0, у? —

— Мѵ(0,0,«/ — x f +

1. х ,у £ Е .

Лемма

4.

Мѵ (х, у, г)* <

оо,

х, у, г € Е,

k >

1, и для всех г/, г£Е.

моменты Мѵ (х, у,

г)к, х 6 Е удовлетворяют следующей системе ли­

нейных уравнений,

решение которой существует и единственно:

*—1

2

Мѵ (X, у, г)к =

2

(2>*)

^

Мѵ (■* +

У>гУ +

/=0

ѵФг—X

+ 2

F (о) Мѵ (X + о, г/, г )\ х 6 Е;

ѵ ф г — X

здесь F (о) = P{ßj =

v},

V6 Е.

Лемма 4 является простым следствием результатов, приведенных

в J683.

Вместо условия (Аг) потребуем

выполнения

одного

из

условий

(В,):

2

М І Ѵі (0. X) — ах \ < оо

Х= — СО

ИЛИ

со

(В2 >: 2

(°ІТі (°. х) — ах\ +

| х |

МIV, (0,JC) — ах\) <

оо.

х —- — со

Лемма 5. Если выполняется условие (Вг), то М | X (а, х, х) | < оо и

со

(мѴі (°. У) ~

MX (а, X, X) =

с (а) =

2

%)•

у=—со

Лемма 6.

Если выполняется условие (В2), то М | X(а, х, х) | 2< оо и

с©

Ш, (а, X, X) =

а\ а =

2

°<Ѵ. (°. У) ~

а) +

w— — оо

+

со

(Мѵ (*’ х ’

v (*■х >2) —!) м(Ѵі (0.у) — а )

(у, (0,г ) — а г).

2

м

у » г = — со

Константа о2 (а) =

<т2,а не зависит

от выбора х,

если

с (а) = 0.

Будем использовать все обозначения, в еденные в §2.

Теорема 1.

Если

выполняются условия (Ах) §2 и

(Вх),

то для

любого функционала

/(•) € Ц.(0)Ѵа(8).г

Т >

0

f (

—(” ’ ^ 0' — W

/ (с (а) ѵа (s))

при * -> оо .

\

/

а Л(0

/

/

/

=5>/(ш (а2 (а) ѵа (s))) при t

оо,

\Т

/

aKtJ

здесь

случайные процессы од (s),

s >

0

и

va (s),

s >

0

независимы.

Д о к а з а т е л ь с т в о

теорем

1 и 2.

Рассматриваемая схема явля­

ется частным случаем схемы Tj, / =

1, 2,

изучавшейся в §3,

для ко­

торой

Tj =

{т]п, п >

0}, Н = Е и Т2 =

{(1, Yj (п, х)),

п > 0,

х 6 Е}.

Поэтому из теорем 4 и 5 §3 следуют следующие

утверждения

(выполнение (С) §3

обеспечивает условие (Ах)):

а)

если

М| А, (а, х, х) | < оо,

то для

любого

функционала

/(•) 6

€ lW(a,;t,*> va(s),r, Т > 0

f (

^ (а’1Т1°’St) \

=Ф f (МА, (а,

X, х) ѵа (s))

при t-> оо;

(1)

\

)

б)

если

М| А (а,

х, х) | 2 <

оо, МА, (а, х, х)

=

0,

то

для

любого

функционала / (•) 6 UtB(D?.(a, ^ )V(x(s)),r, Т >

0

/

f

Л°;

=Ф / (DA, (а,

X, х) ѵа (s))

при *

оо,

(2)

t ~ * h ( t y

где случайные

процессы

од (s), s >

0 и va (s),

s > 0

независимы;

в) конечномерные распределения предельных процессов

в

соот­

ношениях (1) и (2) не зависят от выбора состояния х в Е.

Замечание.

Поскольку в данном случае все случайные величины

а

X

6 Е одинаково

распределены,

то и все случайные

процес­

X(х, х),

сы V

j

(s), s > 0

(в обозначениях § 3) имеют такие же конечномер-

1---------. X

ные распределения,

как

и процесс va (s),

s >

0.

Поэтому в

соотно­

шениях (1)

и (2) можно заменить процессы v

j

(s),

s > 0

на

про-

1-------- , Х

цесс ѵа (s),

s >

0.

а

Для того чтобы конечномерные распределения предельных про­

цессов в (1) и (2) не зависели от выбора

х 6 Е,

очевидно,

необхо­

димо и достаточно,

чтобы не

зависели

от выбора

х 6 Е константы

МА, (а, X, х) и DA, (а, х, х), если МА, (а,

х, х) = 0.

представление

Для

случайной величины А, (а, х, х)

имеет

место

со

\(х,х,у)

(V, Ф — 1. У) — %)’

А,(а, X , х) ~

2

2

(3)

у= —оо

k ~ I

здесь

совокупности

случайных

величин

SJ =

{ѵ (х, х, у),

у 6 Е} и

S' =

(у, (п, у),

ч > 0. У€ Е}

независимы.