книги из ГПНТБ / Сильвестров Д.С. Предельные теоремы для сложных случайных функций

множеством

состояний Н = {1, 2,...},

представляющим

собой один

существенный класс состояний,

и матрицей

переходных вероятнос­

тей II Р ц (8) іі” =*р Т2(8) = {ѴЕ

Otп > 0.

і 6 Н} — множество

неза­

висимых в совокупности случайных величин,

принимающих

значе­

ния в R;, их распределения не зависят от п.

Введем в рассмотрение случайные процессы

[<г„]

2#(По* 0 =

1' Х]Лк ~

1)). * > 0 ,

k=1

где тіо = Tie (0) — const £ H и

Те, и (е), ѵ(е) — неслучайные неотрица­

тельные функции такие, что

Те, и (е), ѵ (е) -ѵ оо при е ->

0.

Нас интересуют условия сходимости в топологии J процессов

ступенчатых сумм случайных величин

£е (т]0, t), t > 0.

Сформулируем условия, при которых

решается эта задача

в на­

стоящем параграфе,

і , / £ Н,

(Аі): Рц (е)

рц (0) при е->-0,

где однородная

цепь

Мар-

вероятностей || ptj (0) ||“

возвратна.

Р [я. (е, k) <

и} = Р {Ап (г) <

иІАи (г) < оо}, k > 1.

Предполагается также, что выполняется условие

lt°m

x (е k)

' t > 0=і>хі (0.

* > 0 пРи е ->0, где щ (t), t >0

(Аг): 1) Y i

— т

и

я^(t), t > О ~ яі (cjit),

t > 0, І.У6Н

(а)

Р/ = с/Л»

/€ Н,

(б)

здесь

Д/г(8)

сп =

Мѵ0 (/, j, i), ve (/, r, t) = 2

ö (ti8 (k — 1), i), i, /,

r £ H.

A=1

(Аа), рассматриваются в работах [12, 68, 71].

распределенная пока­

Пусть также L (р) — случайная величина,

зательно с параметром

р,

ѵ'. (/) = inf (s : я/ (s) >

t), t > 0 и

v/ (t)

=

min (v* ((), L (p,)), t >

0,

H'g(п, о = 2

6 ftp ft—

n > °* *€H

t=l

— число попаданий цепи Маркова

Тх (е) в состояние і € Н за п пе­

реходов.

В дальнейшем нам потребуется следующая

лемма.

Лемма 1. Если выполняются условия (А}), / = 1 , 2 ,

то

(^8 ü(e)J’ ) ’ * = 1>т) >* >0=Ф(с..ѵ. (О,

і= 1 ,т),

f > 0 .

Конечномерные

распределения

процесса

v (f) = (ѵг (/) = спѵ} (t),

і — \,т), t > 0 не

зависят

от выбора состояния / 6 Н .

Доказательство леммы мы отложим до §

4.3. Укажем только,

Введем в рассмотрение случайные

величины,

принимающие

зна­

чения в Rm,

Y, ft* Л =

ö (t, /), i = T j n j ,

n >

0, / £ H,

и случайные процессы

[tfe]

Д» ft—!0. t

> o.

É«0io> 0 = 2

ft~

Ä=1

Применяя

к процессам

(n0, 0, t

>

0 теорему

2.4.7,

получаем

утверждение

леммы

1, поскольку

в

силу

определения

величин

TÉ ft* О

О

о(е)

Замечание 2. Так

как,

очевидно,

2

ре (п, і) <

п, то,

не

нару-

£=і

lim

- j i 6 l 0 . i l .

8 -М

1 8

1

WJv (k — 1

fl

/> О = Ф Т ((0,

^ > 0 при e - > 0 , f € H, где 7,(0,

(Bj):

S

Ye

и (e)

ft=i

0,

i 6 H — однородные процессы с

независимыми прираще­

/ >

ниями.

1. F-сли

выполняются

условия

(А;),

(В;), / = 1 , 2 , то

Теорема

> 0 = $ > І ( 0 =

2

y,( v,W),

^ > 0

при е->- 0,

1=1

где случайные процессы у( (t),

t >

0,

i 6 Н и ѵ(і) = (vf (t), j =

\,m),

/ > 0 независимы в совокупности

и

для всех функционалов

/(•) €

€ J ko,?,

Т1>

0

f

=* / (6 (0) при

е -> 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Определим случайные величины

he (я),

если

Т]Е (я) 6 н,

и

ѵ8 (я, О для

і € Н,

я > 0,

ѴІ (я, 0 =

О

для

I = 0,

я >

О

и применим к совокупностям

Т| (е) =

{т]' (я), я >

0} и Т' (е) =

Р' (П- 0 = 2 6

(Ä ~

!)• *)»

Я >

О,

* £ Н'.

*=1

В силу определения

ре (я, 0

для

t =

1, яі, я > О,

К (я, і) =

hs (п>/)

для

1' =

0.

я > 0.

я —- 2

ІЯ’еІ

hi ««’el-Л

Mfclfl’J.O

t >

0=Ф

те

2 j

те

о(в)

/ = 1

=І>

Vi (0. t =

1,/nj ,

f >

0 при 8->-0.

(1)

Нетрудно понять также, что для

случайного

процесса

£е (t]0, t),

t > 0 имеет место представление

m

He([fO(E)],i)

V£ (fe — 1, t)

i=l

*=i

“ (e)

m

i*e(Po(e)].0

=

2

2

*><>.

(2)

t=0

k=l

Соотношение (1) и условие (B2) обеспечивают для совокупностей

Т' (в), / =

1,2

выполнение

условия (J,)

теоремы

5.4.3,

причем в си­

лу независимости

совокупностей

Т'(е),

/ =

1,2

процессы

[<»(£)]

/ е Н' и (и

(0, і

=

! >

0

і ; , » =

2

ѵ- (k — 1. о, t > О,

О, т),

ft=l

независимы в

совокупности при

каждом

е >

0

и,

следовательно,

автоматически

выполняется условие (Jx), в) теоремы

5.4.3. В силу

условия (Аг),

1) процессы (ѵг (t),

i = l,m),

^ >

0

непрерывны

с ве­

роятностью 1

и,

следовательно,

выполняется

также

(J^),

б) теоре­

мы 5.4 .3.

Наконец,

условие

(J2)

этой

теоремы

выполняется

при

выполнении (В2) в силу замечания 3.4. 1.

Применяя к процессам ^ (t),

t

> 0

теорему

5. 4. 3

и

учитывая

представление

(2),

получаем

утверждение

теоремы

1.

жестве

Е = {0, ± 1,...}

(скачки

блуждания),

S2 (О =

{у, («. *).

X 6 Е} — множество

независимых в

совокупности

случайных

вели­

чин, распределения которых не зависят от га.

С Sj, / = 1,2 свяжем случайное блуждание

на

множестве

Е

П

Л» =

'По + 2

ß*’

— 0> 1»• • •

k=\

(здесь ті0 = const 6 Е — начальное положение

блуждания)

и случай­

ный процесс

М

£( (По-

s)

= 2

Ъ (k ~

1’

1)’ S >

° '

*=i

Для простоты ограничимся случаем, когда блуждание

га > О

невырождено

(Рху= Р{П„ Ф У ,п >

1/Ч0 =

лс} <

1, дс, у € Е).

Нетрудно понять,

что схема

S}, j — 1,2

является

частным слу­

чаем схемы Т; (е), /

=

1,2,

рассматривавшейся

в § 1,

для которой

можно

выбрать е =

у-

и

Т, (е) =

S, =

{т]е (га) =

т^,

га =

0, 1» • •.},

л

о

(Аі) : ^

— р*-----

=$>ß (а) при га-»- оо, где а = const £ (1,2], ft(x),

"

R

Р

1— - р

, р

оо при

га -»- оо.

^

^

~

Mß,ra

h (га)

->

А= 1

га а h (я)

Как показано,

например, в

[65], условие Mßx = 0 является до­

статочным

для того, чтобы блуждание т]п,

га > 0

было возвратным

(для всех *, у £ Е рхѴ =

0).

означает, что распределение скачка

Замечание 2.

Условие (Ах)

Mßi <

оо (в этом

случае а =

2),

(1)

или

Р{(— l)*ßx >

х) ~ ^ - h '

(х) при л:

оо, k -a 1,2,

(2)

М ехр {ііф (а)} =

exp {— с | и Г exp j—i (2 — а) ß -щ - JJ,

где

Dß

ß =

°

при выполнении условия

(1)

и

о

( с __ С

\

cos -^ - а

CUS

P = M 2 ^ arctS

T T ^ - t g f аі,

c = (Cl + C2) _ _

1

2

cos у (2 — а ) ß

чайной величины ß (а), то

с>

а —

.(—

+

1 j sin £

(а -

(2 -

а) ß).

Sa (0) = *

“

у

Г

^

а

я

\

Для блуждания с начальным

положением ті0 =

х обозначим

т (X, у)

=

min (п :п >

1, т)„ =

у),

х ,у 6 Е.

Нетрудно понять,

что в силу однородности блуждания г\п, п > 0

случайные величины

т (х, ~

т (0, у — х)

для всех х, у 6 Е,

Лемма 1. Если

выполняется условие (Ах), то

г/)

Р {т (0, 0) >

и) ~

t_°_j

■h 1(и) при и

оо.

(3)

где

sin

Са = £ а ' ( 0 )

Доказательство леммы

1,

которое основано

на

применении со­

ответствующей локальной предельной теоремы для сумм т)„, п >

0

можно найти в [13] или [75].

Пусть та (f), t >

0 — однородный процесс с независимыми при­

ращениями, для которого

1—-(X

1

М ехр {— sTa (0} =

е~“а°

\

t > 0,

где

=

с_

( ' ~

Э Д

1 — е~х

dx.

X2- “- 1

£

y - ,

s > 0=$>Ta (s),

s > 0

при

►оо.

(4)

А = 1

Так как

процесс та (s),

s >

0 строго

монотонно возрастает с ве­

роятностью

1,

то случайный процесс

va (s) =

inf (и: та (и) > s),

s >

0

непрерывен

с вероятностью

1.

Для совокупности суммируемых случайных величин S2 потре­

буем выполнения

условия

_

(А2):1) у( (0, х) =

0 с

вероятностью 1

для x g H ,

где

Н

некоторое

конечное

подмножество Н;

[st1

06

_

j

2)

£

1 и (t)’X— , s > 0 = » y;c(s), s >

0 при ^

оо, x g H,

k=i

где

yx (s),

s >

0,

x £ H — однородные

процессы с

независи­

мыми приращениями, ца (/)->оо

/-*- оо.

Пусть

еще

у (s),

s > 0 — однородный процесс с

независимыми

приращениями,

для которого

М exp {iuy (s)} = I”! М exp {\иух (s)}, s > 0.

*€Н

Теорема 1. Если выполняются условия (АД

/ ==

1,2,

то

^ М /Г - ’

s>0

(v° (*))•

s > 0

ПРИ * -*■

где

случайные

процессы

у (s),

s > 0

и

va (s), s > 0

независимы и

для

всех

функционалов

/

(•) € JY(vct(s)),r,Т > 0

f (-\ <у

) )= » /(7 (vaS)))

ПрИ

*->оо.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Применим теорему 1.1.6.

Условия

(В^)

/ =

1,2 этой теоремы для

рассматриваемой схемы просто

совпадают

с условием (А2). Поскольку блуждание цп, п > 0

возвратно, то авто­

матически выполняются условия (Aj) и (А2),

2)

теоремы

1 § 1

при­

чем

Qw (e)s=0 и,

следовательно, р^ =

0. Выполнение условия

(АД

1)

теоремы

1 § 1

обеспечивает

соотношение

(4). Наконец, в силу

леммы 2 .4 .6

в данном случае

все константы

сп = 1, і, / £ Е.

переходных

вероятностей

|| рі} ||®»=1; Т2 =

{(т (я, і), у (я, і)), я > О,

І6Н} — множество независимых в совокупности

случайных величин,

принимающих значения

в

[0, оо) х Rx, их

распределения

не зави­

сят от я.

Введем в рассмотрение случайный процесс

ѵ ( 0

I (а, тіо, t) = 2

(V (Ä — !. Ч*-,) — % _ i). t > О,

где

*=1

ѵ(/) = т а х ^ я : ^ x ( k — 1,тіА_і) <

,t >

О,

а = (аъ а 2, ...) — последовательность действительных

чисел

(центри­

рующих коэффициентов).

Процесс

І (а, т|0, t),t > 0

естественно назвать процессом

ступен-

OJ

нормированных процессов £ (а, т]0, st), s >

0 в топологии U при t

с».

Замечание 1. В литературе часто рассматривается случай,

когда

время

пребывания

в

отдельных состояниях

т (k, %)

для

ПМП

(V

>

0 и суммируемые величины

у (к, т]л)

зависят от двух

пос-

т](0» t

_

_

0.

Однако

всегда

можно

ледовательных состояний ПМП ц (t), ^ >

вместо вложенной цепи Т1 рассматривать

новую вложенную

цепь

Маркова

Т\ = {т]'

=

(т]п, т]п+1), я >

0}

и

случайный

функционал

£ (а, тіо, 0 рассматривать как сумму случайных величин,

определен­

ных на «новом» ПМП rj' (t) =

т£(() =

(т)ѵ(0,

ijv(f)+,)t t

>

0.

В

этом

легко могут

быть

сформулированы в

терминах,

соответствующих

«старому»

CSJ

РЧ»

ПМП т] (t), t >

0 или «новому» ПМП rj'W. t > 0.

Замечание 2.

Выбирая различным образом центрирующие коэф­

фициенты

ак, k 6 Н,

можно

получать

различные

виды случайных

центрирующих функций для

функционала

g (0, т]0, t). Например, если

выбрать ак =

Ь8(k, /), /г^Н, то

1(а, г)0, t) =

\ (Ö, т]0, t) — bvj (t)

(здесь

\j(t) — число попаданий ПМП

т] (t) в состояние j

за время t); если

выбрать ак — с, k 6 Н, то £ (а, т]0, t) = 1 (Ö, г]0, t) — cv {t) и т. д.

Для цепи Маркова Т1(е),

у которой начальное

состояние

т]0 = £

с вероятностью 1,

следуя

[71],

обозначим

к ц =

min (п: п >

1,т]п = / ) ,

дг/

Аг/

= 2

т

— 1 • ч л - і ) . ѵ (*• і>r)

=

2 6

Г)’

ft=i

A=i

д £/

д і/

Ьг/(а) = 2

(ѵ (* ~ 1 ’ ^

~

V J ’ ^ = 2

'Y

1 ’

J .

*=і

*=і

д£/

«г/ (а, &) = 2 ( ѵ ~ 1 ’

— % - і — Ьт — 1 ’ Ч*_і) I-

А=І

Лемма 1. Для возвратной цепи Маркова

Тх для всех £,/,

Ни

р > 0:Мѵ (£, /, г ) р

<

оо

и т (£, j, г) =

Мѵ (£, /, /■), £ £ Н для всех /, г £Н

удовлетворяют системе линейных уравнений

|m (£, /, г) =

б (£, г) +

2

Pihm (k, h r)>£ 6 H,

I

кФ !

решение которой существует и единственно.

Доказательство леммы можно найти в [46].

Лемма 2.

Соотношение

M lкі}(а) \р+

М |Я ^ (а) \р < оо

может

вьшолняться только одновременно для

всех £, / 6 Н и

ОО

м ки (а) =

2

т (£, І, Г) (Му (0, г) -

аГ),

(а)

Г=1

2т (£> і>Ь) (М(ѵ (°»Ф — ай)2) +

MXW(а)2 =

*=і

+

2М (у (0, k) — aft) X

2

tn (k, j, г) М (у (0, г) — аТ) —

/=•

М(у(0,й) — аь))^,

(б)