книги из ГПНТБ / Сильвестров Д.С. Предельные теоремы для сложных случайных функций

Рассмотрим схему,

описанную

в

замечании 2 § 2,

для

которой

случайные величины

£е (я, і, /) =

(т£ (я, і, j), у8 (я, і, /)),

я >

0,

і, /£Н

принимают значения

в Rx х

R r

и

функционалы р, (у (s)) =

у (t),

Для

простоты изложения ограничимся

случаем,

когда

выполня­

ются условия (А2) и (В2)

теоремы 2 § 1.

В

рассматриваемом

случае

P f ( $ в (S ) — с е ( s ) ) = т 8 ( 0 — а (е) to (е) =

[< о (е)1

— 1. Пв (Ä — 1). \

(k)) — а (е) tv (е),

t > 0;

=

2

А=1

ѵе (0 = inf (s: те (s) — а (е) so (е) > 0 ,

t >

0;

(0 = Ѵе (ѵе (t)) — b (e) v£ (0 V (e) =

[ v e ( /)o (e )1

=

2

VE(fe — l’

\ ( k — 1), \ ( k ) ) — b (e) ve (t) о (e),

t > 0,

k=l

где a(e)

и b (e)

определены в замечании 2 §2 в соотношении

(а).

Рассмотрим вначале случай, когда величины

те (я , i, j) >

0, і, /£Н

с вероятностью 1 и центрирующие коэффициенты ае (і, j) =

0,

і, /£Н,

следовательно, а (е) = 0.

В этом случае

процесс

| е (0. ^ > 0

представляет

собой

процесс

ковском

процессе

т]е (/) =

т]е (v£ (t) v (е) — 1), t > 0.

Предельные

рас­

пределения и условия сходимости таких

процессов

в топологиях

U

и J изучались в работах [1, 2, 5, 39,

40,

88, 100].

Условие

(В2)

примет вид

[ /» ( е )

1

(®г): 2 (Д

^

/)>

Ѵе

^ ’ г"’ /)

(*'» /))>

t ^

0 =£> (т^ (0,

*=1

°

при

е -> о,

t, /е н,

Ѵ(у(0).

t

>

где а)

(тц (0,

Vf) (0).

* >

0.

*, / б н — однородные

процессы

с

независимыми

приращениями;

б)

&е (i, j) V v (е) -> b0 (i, j)

при

e-^-0,

и е н .

Пусть

m

m

(0 =

2

(°) 0.

Vo (0

=

2

Ту (?« (0) 0.

* > 0,

(,/=1

/./=1

и w(t) = (wk (/),

k = 1, Г), t >

0 — /"-мерный

винеровский процесс,

для

которого

МшЛ(1) оуг(1) =

aftr(0), k,r =

l,l",

где

акг (е)

=

- Лш 4 -

М ( £

<&„ (Ч, (k' -

1), % (к')) -

6, (е))і [ 2

(Ь„ (ч, (к' -

1),

л"*’ео

Ѵ =і

/

\*'=і

Че Ю) -

\

___

=

т

(в) Ьгк (і, /);

Ъг (е)));

Ь(е) = фк(е), k = 1, /"); bfc (е)

£

bR(г, /) =

(beA (i, /);

k =

1, /"),

t, j £ H.

і./=1

процессы (xtj (/),

Здесь

и ниже

постоянно

предполагается,

что

Уц(()> t > 0),

і,

/ £Н и оу(/),

/ > 0 независимы в совокупности.

Процесс

(т0 (/), у,, (/)), t >

0

представляет собой

однородный про­

цесс

с

независимыми

приращениями,

причем

первая

компонента

т0 (/),

t >

0

принимает

неотрицательные

значения

и монотонно

не

М exp { i st ( /) }

=

exp ji set +

t

j

(elsx — 1 ) П (dx)j ,

/ >

0,

здесь c = const > 0

и П (dx) — мера

на 93<ij

такая, что

J -T T 7 " < * > < “ •

о

Для выполнения

условия (G)

необходимо и достаточно,

чтобы

с > 0 или П([X, оо))->- оо

при X-*■0.

Условие (G) обеспечивает также выполнение соотношения

р

при

t —»- оо.

т (/) —►оо

Очевидно, условие (G) может выполняться только в том случае,

когда найдутся такие

і, / £ Н, что qtj (0) > 0

и процесс

x(j (t),

t > 0

строго монотонно возрастает с вероятностью

1. В силу условий (А2)

и (В2) для этих і и j

для

всех

достаточно

малых

е

необходимо

Яц (е) > 0 и Р {те (0, i, j) >

0} > 0 и,

следовательно,

как

нетрудно

показать,

р

т8 (/)

при

ОО.

оо

Не нарушая общности, будем считать,

что это соотношение

вы­

полняется для

всех

е > 0.

Теорема 1.

Если

выполняются

условия

(А2), (В2) и (G),

то

для

всех функционалов

/ ( • ) 6 ^ ( т + ш ы о ь г -

т > °

/ (?е (0) =$>f(у (V (0) +

а; (ѵ (/)))

при в -> 0.

Замечание

I. В том случае,

когда

величины уе (п, і, /),

і, / 6 Н

ния условия

(В2), как следует из леммы

1.4.

1,

достаточно,

чтобы

выполнялись

условия

[іо(е)]

0 =Фт(/ (t), t >

e-+0,

i, j £ H, где

(Bs):

£

Te(k — \, і, /), t >

0 при

*=i

0, t,

/ 6 H — однородные

процессы с

независимыми

xtj (t), t >

приращениями;

{/»(e)]

/) — К (і, /),

/ > 0 =Фуі? (f), t > 0

(Bs>):

£

Ye

— 1 -

при

е -> 0,

t, j

6 H,

где

a)

ytl (t),

/ > 0,

t, /' £ H — винеровские

процессы

со сносом;

б) bR(i, /') Уѵ (s) -> b0 (г, j)

при

e -> 0,

i, j £ H.

При

этом

предельный

процесс у (ѵ (/)) +

ш (ѵ (/)),

t >

0 не­

прерывен с вероятностью 1, и в этом случае теорема 1

дает условия

Замечание 2. Если в дополнение к

условиям

теоремы 1 выпол­

няется

условие

(С): b(s)v(e)-+p(zRr при е-*-0,

то для

всех функционалов М О € Іѵ(ѵ(0)+5(ѵ(())+рѵ(0,г, Т > 0

f (Ye (V£ (0))

(У(v (0) + w (V

(0) + p\ (t))

при e -> 0.

рующего в теореме 2 § 1, принимающие значения

соответственно в

Ri и Rг.

Процесс т0 (/) представляет собой однородный

процесс с незави­

как показано

в §4.4, достаточно потребовать выполнения условия

<“S»<

гч>

(F'): т+ (t) =

sup t 0 (s ) > 0 с вероятностью 1, t > 0.

s«f

Чтобы избежать необходимости

урезать

допредельные моменты

остановки vE (t)

потребуем еще для каждого г >

0

р

оо.

Пусть еще

т+ (^) — >- оо при t

V (/)

= inf (s: т0 (s) > 0 .

t

>

0.

Теорема 2.

Если

выполняются

условия

(А), (В) теоремы

2 § 1

и (F'), то

£« (t), t

> 0

у (ѵ (*)), / > 0

при

е - V 0.

Замечание 3. После установления сходимости конечномерных

распределений

процессов

£е(t) =

yg (v8 [t)) — b (е) v£ (t) v (e),

t > 0

логии J.

Из теоремы

3.2.3

следует (см. §4.4), что процессы £Е (f),

16 [0, Л ,

Г > 0

компактны в топологии

J, если независимы скач-

кообразные составляющие предельных

процессов т0 (t),

t > 0

<"Ч»

и у0(/),

t > 0.

Однако в данном

случае

можно

воспользоваться

тем

обстоя­

тельством, ЧТО

процессы (£е (0> ѵе №)>

Те (ѵЕ (^)) — с (е) Ѵ8 (0 V (е) —

—t, Ле {[tv (е)]),

t > 1

представляют собой непрерывные

справа одно­

стве теоремы

3.5.4, используя установленную

ранее

компактность

в топологии J

процессов £Е (0 — с (е) v8 (t) v (е),

t > 0,

можно пока­

зать, что для

компактности процессов £е (/), t

6 [0, Т],

Т > 0 в то­

состояний

[4,

6,

36,

45,

25—27,

73].

Рассмотрим схему, описанную в

§ 2,

для

которой

случайные

величины

Іг (п,

і, /)

= (т, (п,

і, /'),

уе (п, і, /)),

п > 0, і, / 6 Н

прини­

мают

значения

в

[0, оо) х R r

и функционалы

(у (s)) = у (t) —

— у (t — 0), t

>

0 для функций у (s) 6 D(1)

(в этом

случае

простран­

ство

Ѵц =

D(r+1)).

Как и в предыдущем параграфе, ограничимся

случаем,

когда

выполняются условия (Аа) и (В2) теореы 2 § 1. Пусть

также

цент­

рирующие коэффициенты ае (і, /)= 0 , і, /6

Н и ,

следовательно, а(е)=0.

В рассматриваемом случае

(£* (s)) =

t e (t) — xe (t — 0) =

0,

если t ф

,

k = 1 , 2 , ,

xe(k— l , \ ( k

— l),\(k)),

если

t = - ^

,

ß =

1, 2 ,...,

vg (0 =

inf (s: Tg (s) — Tg (s — 0) >

t) =

=

ir^ m in ( 6 :T e (fc — 1 ,\ ( k — 1),

r)e(/e))>f),

t >

0,

£g (0 =

Yg (v8 (0) — b (e) ve (t) V(e) =

[ v e ( ( ) 0 ( e ) ]

=

2

V ,( * -

1.4e(* -

l).4 .№ ))“

6 (e)v ,(0 o (e),

t > 0.

k=l

Условие (B2)

примет вид

[ ( o ( e ) ]

Ve(k— l,i,j) — be(i,j)),

t >

(B2):

2

(fe(fe— М.У).

0=Ф(Т;;.(0,

*=i

Yi,(t)), t >

0,

при e

0,

где а)

(тCl(t),

t > 0, t , / € H —

однородные процессы с независимыми приращениями; б) be (i,j) х

XѴ ѵ Щ -*■ b0(і, /)

при е

0, і,} € Н

хл {) = 2 W

0 )^ ’

* > ° »

f./=i

т

Vo ( 0 = 2

Y . / O M 0 ) * ) ’

* > ° ’

i . / = i

ш(/) =

Ä = 1, Г),

t >

О — винеровский процесс, для которого

MWfo(1) wr(1) = Ok,.(0),

6, г =

1,Г,

где

akr(e) =

lim ^

M ( V

(bsk (rig (k' — 1), це(k')) — bk(s))^ x

X ( 2

&sr (Л. (*' -

1). TU (Ä')) -

К 00) j . b(e) =

(b, (e). k =

Щ

m

___

bft (e) =

2

Яц (e) bek(t, /),

b8 (t, /) =

(bek(i, j),

k = \ , l"), i, j 6 H

i , / = i

и

случайные

процессы

(ті;. (/), ytj(і)),

t >

О, і , / € Н и иу(/),

t > О

независимы в

совокупности.

в данном случае выполняется условие

Выясним вначале,

когда

(F)

теоремы 2 § 2,

которое

принимает

вид

/'<*"•

(Н): Р {ß (О =

ß (Г) = t r} = Р {ß (t') =

Р { sup

т0 (s) —

tГ-Г/.

— T 0 (S — 0 )< < г} = 0,

Здесь

ß (/) = sup (т0 (s) — t0 (s — 0)),

> 0.

Выпишем

еще раз каноническое представление для

характерис­

тической

функции

процесса

т0 (/),

t >

0

М exp {is т0 (0} =

exp jistf +

t ^ (els* — 1) П (dx)|,

t > 0.

Вместе с

процессом

т0 (t), t > 0 рассмотрим

также

случайный

процессх

хоW =

2

(Т° (S) ~

то (s — °» Х (то (s) — Ч* ~ °) > ft)>

* > °*

s«

15— 4-143

225

ßü (/) = sup (TÜ (s) — to (s — 0)),

t > 0.

S < f

Каноническое представление для характеристической функции

процесса т* (/), / >

0 имеет вид

М exp {ist* (/)} =

exp

l)II(d x )l,

/ >

0,

Процесс т* (/),

/ > 0

представляет

собой однородный

пуассонов­

ский процесс

и конструктивно

может

быть

построен

следующим

образом. Пусть х*,

ft > 1

и Щ, ft >

1 — независимые в совокупности

случайные величины такие, что

величины

х*,

ft > 1

распределены

показательно с параметром

= П ((Л, оо)),

а

случайные величины

I*. ft >

1 неотрицательны и имеют

общую функцию

распределения

Fh(х) =

{Я,Г‘П ((ft, х)) для х >

Л; 0 для х <

h.

Процесс

м.*(0

т*(/),

/ > 0 ~

2

6*.

где

А = 1

рй (/) = шах

і > 0.

Нетрудно понять, что для

всех

0 <

ft <

X

P { ß ( /) > x } =

P{ßft(/)> x } ,

/ > 0

(1)

и, следовательно,

lim Р {ß (/) >

/ г} =

lim Р {ß2

(/) >

/,} =

со

/ >со

= р { 2 х (Ь2 Х

г) >

1

= l _ l i m

[ l _ F

(r (*р)]‘.

ч=і

4-*со

Поэтому,

для того чтобы

lim Р {ß (/)> /,}

=s 1,/■= 1,/,

необхо-

*->со

димо и достаточно выполнения условия

(Ні): П((/Г,оо))>0, г =17/.

Из (1) следует

также,

что

и2 (О —

и 2 (П

L.

2

me*2 > 0

=o,

у

A=1

k=\

- X

t t'

CO

e

T

( M ' ) *

=

V _____ ,

2—

[Fj_ (t + 0)* -

Fj_ (/)*]-

k = \

Так как при выполнении (Н^

Р{

sup

t 0 (s) -

т0 (s — 0) <

/} = Р {ß (/" — t ' ) < t r} =

=

p

,

0} =

1 -

X, (t’ - t ' )

Or

{ß' (Г — t') =

e r

>

то

для

выполнения

условия

(H)

необходимо и

достаточно,

чтобы

Р

=

tr) = 0,

г =

1,1, h < tr, то есть выполнялось

условие

(Н2): П ([/„ оо)) — П ((//■, оо)) =

0,

г = 1 7 /

(здесь

моменты

ігф

0,

г =

1,0-

Теперь можно сформулировать соответствующую предельную

теорему.

Пусть еще

V (t) = inf (s: т0 (s) — т0 (s — 0) >

t),

t >

0.

Теорема 1.

Если выполняются

условия

(А2)

и (В2), то

при

вы­

полнении условий (Н7), / =

1,2

К (7>> 5е ( д , г =

17/, Ye (<) -

Ь(е) to (е)), t > 0 =5>

*Ф (ѵ (д, Yo(v(g) +

® (v (g ),

t = l , / ,

?0(/) + ш (0)>

при е-»-0.

Замечание

1. Случайная величина

ѵ (t)

имеет

показательное рас­

пределение с параметром Xt =

П ((/, оо)). Если случайные

процессы

т0 (s), s >

0 и

у0 (s),

s > 0

независимы

(это условие

автоматически

величин

Т2(е) = {і„

(п, і, /),

п > 0, і,

/ € Н} и

Т" (е) =-- {уе(n, і, j),

п > 0 ,

І ,/€ Н } или,

если

случайные

величины

уе(л, і, /), і, / 6 Н

15*

227

не изменится,

если деформировать

распределения

случайных

вели­

чин те (0 ,1, ]),

і, j 6 н так, чтобы вероятности Р {т8 (0, і, /) > t),

i,

j£H

оставались неизменными.

Выберем величины

1 +

б с вероятностью

Ле (t,

/)

ѵ(е)

'

(Я, І, І)

Ив (г. /) _

О

с вероятностью

t)(e)

’

здесь Яр (і, /) < о (е),

і, / 6 Н — неотрицательные

числа

такие,

что

выполняется

условие

0, і, j 6 Н, так

(J): я 8 (і, /)

л г; 6 [0,

оо)

При 8

что

т

я = 2 я ^ / ( ° ) > 0 *

і./=1

В силу независимости совокупностей Т2 (е) и Т"(е)

условие

(В2)

условия

для

случайных величин те (я, і, /),

і, /6

Н и yf (л, і, j), і, /€Н,

причем,

как

нетрудно

проверить,

случайные

величины

тг (я, і, /),

і, j

6 Н при выполнении

условия (J)

принадлежат

области

притяже­

ния закона Пуассона; i0(t),

( > 0

пуассоновский

процесс

с мерой

П(А) = я%д (1 +

6) и, следовательно, ѵ(1)

имеет показательное

рас­

пределение с параметром я.

точки t =

Утверждение теоремы 1 (для

1) с точностью до обо­

значений совпадает с соответствующими результатами

[4, 40].

Тг <

Замечание 3.

Процесс ѵе (^),

16 [7\, Г 2]

(здесь

и ниже

0 <

< 7\j <

оо), а следовательно, и

процесс

(t),

16 [Тъ Г2]

представ­

ляют собой чисто скачкообразные процессы.

оэтому

детальное

изучение условий

компактности

процессов

£е (t),

16 [7\, Т2\ в

топо­

логии J не представляется столь интересным. Укажем

только,

что

для

того, чтобы

случайные

процессы | Е(t), 16 [7\, Т2]

сходились к

процессу

Уо (ѵ (0)

+ w (v (0)»

^ € [7\, Т2] в

топологии

J

при е-»-0,

достаточно в дополнение к условиям (А2)

и (В2) потребовать толь­

ко,

чтобы П ((Г2, оо)) >

0 и точки

Тг и Г 2 являлись

точками не­

прерывности функции П ((/, оо)),

t > 0.

Замечание

4.

В заключение укажем на один

характерный

при­

строения которых описана

в замечании

1

§ 2.

Пусть

случайные

величины

£g (п,

i, j) == (т' (я, i, /),

т’ (я, t, /),

ye(n, i,/)),

n > 0,

i, /6

H принимают значения в R, x[0,

oo) x R r =Rj.

Предполагаются

выполненными

условия

(A2) и (B2)

теоремы 2.1,

причем для совокупности

случайных величин Т2 (е)

= {(t' (я, і, /),

уе(я, г, /)),

я > 0,

І ./6 Н }

предполагаются выполненными

условия

теоремы 1

или теоремы 2

§ 3, а для совокупности случайных вели­