книги из ГПНТБ / Сильвестров Д.С. Предельные теоремы для сложных случайных функций

M V К cf

Ки- (*•с/

=

К

і1’Л — О п' Kk (*. і) —

-

cJ n~Pu &

+

¥■/

s2' = l

È c n-c'" Kr (». о —

s " ~

1

Cer)

(2

*”Pu (6) +

K*

(e>Ce^

K* (8>c8)

+ ^

Ш Ч г ( ^ Се}П

Pi t ®'

1=

1.™. /- 1 7 « ,

«',«">1.

t+ l

Условия (Aj) и (С) последовательно обеспечивают сходимость ре­

шений этих систем при е->-0.

Обозначим

__

т

а (е) = (аг (8), г = 1,1) =

2

Qu (е) аа(і, j)

=

і,/=1

п

=

lim

-L М У ае (г]

(k -

1), Л8 (%

П-+СО

6=1

°kr (е) =

І

т

М (

2 к ,

К

к

— К

п8 Ю) — аk (е)) \ X

X ^ 2

Кг (Пе К

— К Ле № ) — а, (8))j .

Как показано в [71], имеют место соотношения

ае = q, (8) Ш ,и (е, 0),

akr (е) =

q. (е) Ш иі (е, а (е)) Щ . г (е, а (е)),

fe, г = 1,1.

Заметим также, что qt (е) — МЯгг(е,0)

,

і 6 Н , если

1 = 1 и

ae(i,j) =

1,

i, і 6 Н.

Поэтому при выполнении условия (А2)

qt (е)

qt (0)

при е -> 0,

i g Н.

Лемма 2. Если выполняются условия

(А) и (С), то:

а) для всех функционалов / ( • ) €

Uo(0)f Г,

Г > 0

/[<0(8)]

л.

і /

2

ов„«(ѵчЛ8(«*— и1)..ЧЛ8Ѵ(ft))«Ц

/I

-----------ЪѴ)-------- )=ФГ(а(0)0 при е-> 0;

V А-ж.1

/

б)

для

всех функционалов / ( . ) 6 Ц w ( t ) ,T ’ т >

О

[(о(е)]

'

аг ("Пе (fe— >)■ 4« (fe)) — а(е)

I =$>f(w(f))

при е -> О,

2

V V (е)

*=і

здесь

w (/) = (wr (t),

г =

1 ,1) — /-мерный

винеровский

процесс, для

которого

=* a r k (0).

r,k = 1,/.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Докажем,

например,

второе

утверждение

леммы. Применим теорему 3. 5. 3 к процессам

Ш

(Пе (* -

D. \

m - а (г)),

t >

Ее (0 = 2

К

0.

т (е, k) = min (п : п >

т (е, k — 1),

тіе (п) =

ri0), к >

1

(т (е, 0) = 0).

В этом случае

и (е, &) =

т (е, к) — т (е, k — 1),

у (е, 0) =

0,

___

X(е.А)

у (г, k) = (уг М ) , г

=

1,0 =

2

(аА \ ( п — О.

т]£ («))— а (в)),

п=т(е,А—1)+1

я (е, k) =

шах

I

2

(f l e (П в

( П

—

! ) >

П в ( « ) )

— й

( в ) )

l= x(e,k—1)+1, т(е,А) n«=x(e,fc—1)+1

x(e.A)

< я ' (е, /г)

=

2

(I а8 (Пе (п — !)>

\

(n)) I +

Iа (е) I )>

k > 1.

г}8=т(е,&—l)-j-1

Выберем также

Те = ѵ(е), и (е) = У ѵ(г).

Последовательность (х (е, к),

у (е, к),

я (е, к),

л' (е, к)),

к > 1

представляет собой, как нетрудно

показать,

последовательность не­

зависимых одинаково распределенных случайных векторов.

Случайные величины х(е, к)

одинаково

распределены со случай­

ной величиной Х.тіот|о (е, 0), если

выбрать /

=

1,

ае (і, /) =

1,

і,/'£ Н.

Поэтому

п >

Мх(е, 1)л ->-Мх(0,

1)л. при е -> 0,

1,

откуда очевидным образом следует,

что

Vi

X (е, k)

Мх (0, 1) / =

при е

0,

і >

0.

(2)

2 j

o(e)

Ч <°>

*=i

14

211

Наконец,

случайные

величины

я '

(е, Щ одинаково распределены

со

случайной

величиной

А,

(е,

— | а (е) | ), если

выбрать а ' (і, /) =

=

I ае (і, /) I,

і, j 6 Н.

Поэтому

о (е) Р {я (е, А) >

(е) 6} < ѵ (е) Р {я' (е, k ) > V v (е) 6} <

М л' (е, I)3

0 при е -> О,

(6)

б3У V (е)

так как Мя' (е, I)3 -»- Мл' (0,

I)3 <

с»

при е -> 0.

Соотношения

(2), (5)

и (6) обеспечивают выполнение условия

(Ag) теоремы 3. 5. 3. Применяя

эту теорему к случайным

процес­

сам | е (0,

получаем утверждение

леммы 2.

Пусть се (і, /) =

(сег (і, /),

г = 1,/).

і>І € Н — неслучайные

векто­

ры, принимающие значения в Ri( и

с(е) = 2

Чц (8) Се(*> Л =

(сг (е). ^ =

1.0.

(,;=і

(8) =

^

М (

2

(Т,е (/г< ~

1)(

~ Ск<8)) Х

п

\*'=1

'

X ^ 2

Сгг (Пе (*' “

!)•

*1е (fe') ~

<у (в)j ,

k,r

=

l,l.

Теорема

2.

Если выполняются^ условия (А2) и

Uo(e)]

* > 0

(В2) : 2

Се (* -

1 >1‘>/) - Се (*. /)).

* >

0 =Н<у (*).

при 8 -> 0,

fra.1

i, у 6 H, где a)

/ > 0 , i, /' 6 H — однородные процессы с

С, (0 — с (8) tv (г),

/>0=5>£0(/) =

=

2

£(/ (<7г/ (°) 0

+

®(0.

^ > 0

при

е -* 0 ,

і. / = 1

где случайные

процессы

(t),

t >

0,

і, у £ Н иш(і)

=

(да, (0,

г =

= ТЛ),

/ > 0

независимы

в совокупности; да(0,

/ > О— /-мерный

винеровский процесс,

для

которого

Мда, (1) wk (1)

=

ahr (0),

k ,r= \, /;

и для всех функционалов /(•)

6 JEo(()ir>

T > 0

f&e (l))=bf&o(ty ПРИ e ~*°-

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Используя представление (а), получаем

для случайного

процесса £е (/) — с (е) tv (е), t > 0

представление

£е (/) — с (е) tv (е),

/ >

0 ~

£в (/) +

\

(t) +

с (в) ([tv (e)J — tv (в)),

/> 0 ,

где

(в)

[(о(е)]

$,<*) =

2

2

i , m ,

i.l=l

'

k=l

'

М 1 ^ ( е)М>/) . .

(0

0 ( b)

, i, У6 H,

[lo(e)]

— !)• \

t

£e (/) = 2

(Ce ^ e

(*)) — C (e)),

> 0.

В силу первого утверждения леммы 2 (в которой необходимо

выбрать

I = 1,

ае (/', у') =

б ((/', /').

(». /)))

ѵеі/ (0

я с, (0) t

при в - > О,

/ >

О, Z, у 6 н.

(7;

Случайные процессы £еі7 (/), / 6 [О, Г ']

-> £(/ (/),

t £ [О, Т']

при

в-»О, Г > о,

/ , у е н

в силу условия (В),

поэтому (см. лемму 9. 2. 1)

lim ІІш Р { sup

I ielj (q

(0) t +

s) —

(0) t) | >

6}=0,

t, y£H.

(8)

c-X) e-M

|s|«o

Соотношения

(7)

и

(8)

обеспечивают

выполнение

условий теоре­

мы 1 . 3 . 2 для

случайных

процессов £еі/ (/),

t >

О,

i,

j ( H

и vei;(/),

t > 0,

i, j £ H, применяя

к

которым

ату

теорему

получаем соотно­

шение

кіі (%• (0) -

Сй/ ІЯи (0) о - ^ о

при е ->0,

і >

0,

і, / е Н.

(9)

Поскольку, очевидно,

с(е) ([/у (е)] — tv (е)) -> 0

при

е -ѵ 0,

t > 0 ,

то из соотношения (9) в силу леммы

5. 1. 1

следует,

что

и

£е W — с (е) іѵ (е)>

*>0==$>£0(0.

^ > 0

при

е —>-0

(10)

m

W// (°) <) +

£г (0. t >

0

^

0 (t),

t >

0 при

е -> 0

(11)

S

<•/=1

выполняются одновременно.

В

силу

определения

совокупностей

(е),

/ =

1,2

процессы

£гі/ (Яі/ (0) t)<t > 0,

t,

І ( Н

л

0

независимы в совокупно­

и £g (t), t >

сти для каждого

е >

0,

и соотношение

(11)

следует из условия (В2)

и леммы 2.

Необходимо

еще

проверить

компактность

процессов

£g (/) —

— с (е) tv (г),

t >

0 в топологии

J.

В силу теоремы

1

lim Ш Р {Дл (£ (/), с,

Г) >

8} =

0,

Г,

б > 0,

(12)

Н т Н т Р { Д и (£е (*),с, 7)>в} = 0, Т, б > 0.

(13)

с-М) е->0

<

lim lim Р (д

(£

(іt), с, Т) > А ) _|_

C-W) 8^0

{

0 )

+ lim lim Р (Ди (іе (0,

С,

С-*0 е->0 1

7 1 > 4 - ) + й х ( | . . ) (2с(' » = а

Теорема доказана.

Замечание 3.

Предельный

случайный процесс Со (0 ~

ТП

_

== £ С(/ (Яс,-(0) t) + w(t),

/ > 0

в

теореме 2 является однородным

(D): событие

{т. <

/} 6 9П(е) для

каждого t >

О,

где

Яі1е> =

ст [£е (s), s <

t] =

а [Се (k — 1),

ть (k — 1), r\e (k)), k <

<1*о(в)]1,

* > 0 .

/ =

1,2 следует (см.,

на­

Из

определения совокупностей Т;- (е),

пример,

[23,

24, 99]), что последовательность

2 е ( п ) =

& е п =

S

£ е (к ~

Ь % (k ~

^ е Д О ) . \ ( " ) ) •

П >

1

*=1

представляет собой однородную цепь Маркова

с

фазовым

простран­

ством

Rj X Н и переходными вероятностями

Pf! (X,

А ) = Р {Сел+1 € А,

Т)е ( я + 1 ) =

//сю = *, \

(П) = 1} =

= Р { х - [ - Се (О » і> / ) € А} р ( . (в), і , / £ Н, X £ R j , А £

Отсюда очевидно следует, что для любого

марковского

момента

остановки xg

выполняется

условие

(D,): Р {Се (t + c ) - c e (t+

s)

-

tf. (О +

ce (If)

€ A/rje ([to

(e)]) = i,

t ea « .

0)

=

P{Se (s)

-

«c, (t + s)

-

ce(t)) € A/rje (0)

=

i} =

=

Я((Е> (s, A, ce(^ +

s) — Ce (0).

здесь

Се (0,

0 — произволь­

ная неслучайная функция.

Таким образом,

для случайных процессов (Се (t)—сЕ(і), т)е ([^(е)])),

/ > 0

и марковского момента остановки

те выполняется условие (В)

§ 7. 2

(в качестве процесса а е (t)

можно

выбрать

процесс

т)е ([fo (е)1),

(А,) и (Bj) теоремы 1

§ 1

или условия

(А2) и (В2) теоремы 2 § 1.

Будем считать, что функция се (/) ==s0,

t >

0,

если

выполняют­

ся условия теоремы 1 § 1,

и сг (t) = с (е) tv (е), / > 0,

если выпол­

няются условия теоремы

2

§ 1. Через £о(0.

1

будем обозначать

предельный процесс соответственно в теореме

или 2

§ 1.

Поскольку

предельный случайный

процесс

^

(/), / >

0

в теоре­

мах

1

и

2

§

1

стохастически

непрерывен,

то,

используя лемму

9.

2.

1,

получаем

lim lim max sup P {I t it +

s) — c„ <t + s ) ~

c -* 0 e - * 0 ;€ H |s |< c

8

- C E(0 +

ce (0l> 6/r,e ([Лф)]) =

г} <

< lim lim max sup P {| t

(s) — c

(s)| > 6/ri

(0) = f} =

c-*0

t€H s< c

e

J

=

limTIm max sup P f ](s, Ve, ce (s)) = 0.

c-H) e~>0

i€H s<c

t >

Таким образом,

для случайного процесса (£е(0 — се (t),

rje (\tv (е)])),

0

и любого

марковского момента

остановки

тЕ, удовлетворяю­

щего условию

(D),

выполняется условие (D)

теоремы

1.7.2, если

выбрать функцию

Фе (t, t +

s, б) = <р8 (s, б) =

max P f ’ (S, Ve, се (t + s) — се (0).

t€H

Применяя

к

процессам £е (/)— се (f),

< > 0

и

марковским

момен­

то (V к Ю -

се (твЛ r =

£* (0), *> о=^>(т0г, Со (\),

г = 771,

Со (0), t >

0

при

8 — 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы

следует

из простого

замечания,

что если

условия теоремы

1.7.2 выполняются для

случайных

про­

цессов

(t) — се (t)),

t > 0

и

случайных

моментов

остановки

хЕг,

г = 1,1,

то условия

теоремы

1.7.2

выполняются

для

случайных

процессов

С; (t) = (t,

£е (t) _ с е (f),

(/.) — cg (t.), j =

lTl),

/ > 0

и

моментов остановки т^, г =

1,/ при любом выборе моментов ^

>

О,

/ =

1,л,

п > 1 ,

так

как

просто

£ ' (f +

s)— £'(/) = (s, £е (/ +

s) —

-

ce(t +

s) -

£е (0 +

се (0, 0.........0),

t, s > 0.

В общем случае трудности возникают при проверке условия (Е)

теоремы 1. Однако это условие эффективно проверяется,

если момен­

являются

марковскими

моментами

остановки

для

процесса

С£(0>

t > 0 и удовлетворяют условию

(D).

(А2)

Теорема 2. Пусть

выполняются

условия

и

(Вх) теоремы 1

§ 1 или условия

(А2)

и

(В2)

теоремы

2

§ 1,

Р{?0(0€Ѵ(І} =

1

и

lim Р {р+ (С0 (s)) >

аг) =

1,

г = ГТ!

f->oo

Тогда, если выполняется условие

(F) : Р {Ц+ (Со(«)) = р£( к (s» = а г) = 0. ' = ~ 1 ,

Г

< Г ,

то

(ѵе Ю- 8 (к (ѵе К)) -

се (ѵе (ал)))>

г =

~

1’

8 (к (0 — се (0)).

О0=Ф(ѵ0 (ar), g (С0 (v0 (flr))),

r = T j , g (Co (0)),

t> о при e - > 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о

теоремы

следует

из

того,

что в силу тео­

ремы 2. 1.4 и замечания

15

§ 1.4

при

выполнении

условий теоре­

мы 2 для случайных процессов

Се (t),

t >

0 и

моментов остановки

ѵе (а.), г =

1, Z выполняется условие

(Е) теоремы

1.

Теорема 3. Пусть

выполняются

условия

(A^

и (В,) теоремы 1

§ 1 или условия

(А2)

и

(В2)

теоремы

2

§1,

Р {С0 (Z) £ Ѵц} =

1

и

limP{p+(C0(s)) >

ѵ) = 1.

^oo

Тогда, если выполняется условие

(G) : процесс р+ (С0 (s)),

t >

0

строго

монотонно

возрастает

с

веро­

ятностью 1,

ТО ДЛЯ В сех фуНКЦИОНаЛОВ /

( • ) € Jg(U v„(a)),a

f іё (к іѵ, И ) — се (ѵЕ (а)))) =3>f(g (С0 (ѵ0 (а))))

при е -> 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Поскольку

условие

(G)

обеспечивает

вы­

полнение условия (F) теоремы 2 для всех а£[0, ѵ],

то имеет место

соотношение

(ѵ8 (а), ё і к (ѵ8 (а)) — сеКИ )))> а € [0, V]=5>

= * К

(а), g (к (ѵо И))),

а 6 [0, V]

при 8 -> 0.

(1)

Поэтому достаточно только проверить, что

случайные

процессы

g (Се (ѵЕ (а)) — с„ (vg (а))),

а £ [0, у]

компактны в топологии J.

Процес­

скольку процессы £g (1) — се (t), t £ [О, Т'\

£0 (/),

t £ [О, Т'\

при е->0,

Т' > 0, а

следовательно,

и

процессы

g(£,e(t)— cg (1)),

l£[0, Т'\

- ^ £ (U 0 ),

^€[0,T']

при е ->0,

Г > 0 .

Поскольку условие (G)

необходимо и

достаточно

для

того, что­

бы процесс ѵ0(а),

а £ [0, и]

был

непрерывен с

вероятностью 1,

то

соотношение (1)

в

силу

леммы

2 .1 .3

обеспечивает

компактность

процессов

vg (а), а 6 [0, и]

в топологии

U.

Применяя к

процессам

g (£g (t) — cg (t)), t >

0

и ѵе(а),

а£[0, и]

теорему 2.2.3,

устанавливаем компактность процессов g (£g (vg (а))—

— сЕ(ѵе (а))), а 6 [0, ѵ] в

топологии J.

Замечание

1.

Пусть

ф (х1г. . . , хп) — некоторая

непрерывная

функция,

определенная

на

[0, оо)<п> и

принимающая

значения

в

[0, оо), такая, что для любых неотрицательных

случайных величин

тг, r = 1 ,п событие

{ф(Т!.........тг) < t) £ а [/ (тг <

s), г =

1 ,п, s <

t\

min (xl

t

хп), шах (хх.........хп),

хг + . . .

+ хп и т. д.

Пусть

теперь

ріг = < « ( • ) .

* > о

> ,

г =

1, п — сепарабельные

однородные марковские семейства функционалов, для

каждого из

которых выполняются

условия

теоремы

2.

В этом

случае в силу

замечания

15 § 1.4

имеет место также

соотношение

(ѵ г Ю

’ ё (£е ( ѵ 8 К ) )

—

Сг (Ѵе (flr)))>

Г =

T

j

,

k

=

Т

П , g

(£е ( t ) —

Cg ( f ) ) ) ,

t >

0 -Ф (v* (ar), g (£0 (v* (ar))), r = T7l,

k = ~ n , g (£0 (/))), t > 0

при e - > 0 ,

(2)

здесь значок k отмечает, к какому семейству

функционалов цк от­

носится функционал

ѵе (а) = та (£g (s)).

Так

как <р (xl t . . . ,

хп) — непрерывная

функция,

то

из

(2) сле­

дует,

что

(

V

r

=

T

J g,

(£g (t) — се(0 )) ,

/ >

0

=

Ф

( т r0г=,

i j g,

(£0

(it))),

t

>

0

при e ->• 0,

(3)

здесь

хгг =

ф (v' (af).........v" (ar)),

/- = 1 ,1 .

В силу исходного предположения на функцию ф (л^,. . . , хп) мо­

менты

г =

1,1

также представляют собой

марковские моменты

остановки для

процесса £g (1),

1 >

0,

удовлетворяющие условию (D)-

Применяя

к

процессам

£g (1),

/ >

0

и

моментам

остановки

Те,, / - = 1 ,1

теорему

1

(выполнение

условия

(Е) теоремы 1 обеспе­

чивает соотношение

(3)), получаем

соотношение

< V 8 (Ce t* J — ce (v))> r =

*> l’ ё(Іг Ш .

t > 0 = * ( v

8 (Co (T<y).

r = T J ,

g(lo(i))),

t >

О при e->-0.

Описанное построение

позволяет расширить

класс случайных

вается следующий вариант описанной выше схемы.

(т£ (п, і, /),

Предполагается, что

случайные величины £8 (п, i, /) =

уе(п, і, /)), п >

0,

і, / £ Н

принимают

значения

в R,,

X Rr = R, и

соответственно

центрирующие

векторы

в

условии

(В2)

с Е(і,/) =

=

(аЕ(і, /), Ье (і, /)) £ Rt. X Rr ,

i, i £ H.

Функционалы

p, (x (s)) =

p( (у (s)),

t >

0

для

всех функций jc(s)=

=

(у (s), г (s)),

s >

0 таких,

что у (s) в D(/,) и z(s) в Du * и

функция

g (х) = г для X = (у, z) £ Rr

X

Rr-

В этом случае

случайный процесс

U о(е) ]

Те (0

=

2

Те (* ~

№ —

О .

(*)). * >

О,

k = \

|to(e)]

Ve (0

=

2

Ѵе (é —

1»

т1е

~

’le (*))•

* >

°»

ft=l

И

а), а >

0,

VE (а) = inf (t: p( (тЕ (t) — aE(/)) >

£e (fl) =

g (Sg (Ve (а))) =

Ye (VE («)) ~

К (VE(fl))-

a >

° ‘>

здесь, как и выше, функция

се (0 =

(я8 (0. h

(t)),

t >

0

в том

слу­

чае, когда выполняются условия (Aj) и

(В,)

теоремы

1§ 1, тожде

ственно равна 0, а в том случае,

когда

выполняются

условия

(А2)

и (В2) теоремы

2 §

1,

аЕ(t) =

а (е) tv (е),

t >

0

и

bB(t) = Ъ(е) tv (е),

где

т

т

а (г) =

2

qu (е) ав (г, /),

Ь(е) = ^

Яц (8) Ъг (*. /)•

(а)

г,/=і

г,/=і