книги из ГПНТБ / Сильвестров Д.С. Предельные теоремы для сложных случайных функций

с Р {sup I у

(/' +

X) — у8 (х) I > б> + Р {sup I %’(/' + X) —

t’<h

(*< ft

— те (О I > 6} + 2Р {т+ (х, А) < s} + Р {т+ (х, б ) < S } + х[6 те) (S ),

из

которой аналогично

(6),

используя лемму

1.5.1,

получаем,

что

для

произвольного а > 0

при

выполнении

условия (АБ) найдется

h <

б такое,

что для s <

б

Tim sup

sup Р {| а° (/ +

s) — а° (О | > 46/а

(*) = (г, х, о)} <

е-*0 (2fx,u)

< 0 + 3 lim sup Р {т+ (ж, h) <

s}.

(7)

g-х.

Из (7), как нетрудно понять, следует, что для выполнения усло­

вия (А), 2) теоремы 1.5.1

при

выполнении

условия

(А) достаточно,

чтобы выполнялось условие (D2).

Поскольку условие (D2

обеспечивает выполнение условия (В), то

выполнение для процессов a°(t),

t > 0 условия (А),

1) теоремы 1.5.1

следует из теоремы 1.

к процессам а° (t)

Теперь достаточно

применить

теорему 1.5.1.

Замечание 4.

Как

и для условия (Dx), в том случае, когда

про­

цессы г* (t),

t >

0 представляют

собой однородные

процессы

с не­

симых одинаково распределенных случайных величин для

выполне­

ния условия

(D) достаточно, чтобы выполнялось

условие (В).

§

5.

Предельные теоремы для обобщенных процессов

восстановления, построенных по марковским процессам

В этом

параграфе изучаются условия сходимости распределений

и условия

сходимости в топологиях

U и J обобщенных

процессов

восстановления

уа (|е (t)),

а > 0,

для

которых

исходные

процессы

| Е (/), t >

0

представляют

собой марковские процессы.

Как

и в

предыдущем

параграфе, ограничимся случаем, когда

процессы

уа(ge (/)), а > 0

определены

на

промежутке [0, оо).

Пусть

для

каждого

е > 0

(t),

t

>

0 — марковский

процесс,

траектории

которого с вероятностью 1 принадлежат пространству

D(m), ц =

(Pi (•), t > 0) — некоторое £епарабельно однородное

мар­

ковское семейство функционалов

на D,

g (х) — непрерывная

функ­

ция, определенная на Rm и принимающая значения в Rft.

Для простоты ограничимся случаем,

когда р+ ( |g(s)) —

оо при

/-»- оо, е >

0

и, следовательно,

с вероятностью

1

ха(1е (®)) =

inf (t: p t CSë (S)) >

a), a > 0.

мени для процессов | Е(/),

0 и, следовательно, выполняется условие

(А0): Р {|е (t + s) - U

(0 € А/|е (0. X (та (g. (s)) € [и, 0)}=Р{1* (* + * )-

- If (0 6 А/g, (/)} = Р Е (le (t), t, t + s, A — le (t)) t,s > 0,

A6S3(m),

здесь Pe (x, t,

t +

s, A) — переходные вероятности

процесса

ления проще воспользоваться теоремой 1.7.2.

Теорема

1.

Если Р {|0 (0 € Ѵц} =

1

и выполняются условия

(Ах): 1)

| Е (/),

t > 0=^іо Ь), t > 0 при е-э-0,

где

^ (/) — стохасти­

чески непрерывный марковский процесс;

2)

lim

lim

sup

sup

Pe (*, s,s + u, V6 (x)) = 0 ,

T >

0,

e - W x € R m t— c < s * * s + u < Z t + c < £ T

где v6 (x) =

{y 6 Rm: |«/ — x |> 6 } ;

t >

(В): P {p+ (g0 (s)) = p+ (|0(s)) =

/> =

0, *' < f ,

0,

TO

(ta±0d e (s)), Ya±0( |e (s)),

g(ge (*))), a , t > 0=»

=Итв±о№оФ)’ Va±0d0(s))>

fir (So (0)). a , t > 0

при e-> 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Применяя

к

процессам | е (t) теорему

2 §1

и учитывая замечание

15

§ 1,

получаем соотношение

(та±и (Ь (s)), gE(0)і

а>t

> 0 ^

(Ta±o (Io (s)), Io (0),

a, t

> 0

при

6 —> 0.

(1)

Условия (A„), (Aj) и соотношение (1) обеспечивают

при

любом

выборе

моментов

времени

0,

I =

1, г,

а, >

0,

I =

1, г, г >

1

выполнение

для

случайных

процессов

Ігі (t) =

(^, | 8 (tt), /

=

1, г,

!е (0). * > 0, I =

1, г и случайных величин

= t a.±0 (le (s)),

t = 1,Л

выполнение

условий теоремы

1.7.2,

применяя которую и учитывая

произвольность

выбора моментов

времени

аг, I = 1,т, r >

1

по­

лучаем

соотношение

(Ta±0(le(s)),

Ya±0(M s))>

М*)). a, * > 0 = *

= (Ta ± o M s))’

Ya±o^o(s))'

M O). а, t > 0

при 8 - V0.

(2)

Поскольку g (x) — непрерывная

функция,

то

из (2)

очевидным

образом следует утверждение теоремы.

Условия

сходимости

процессов

уа(|Е (s)),

a > 0 в

топологии

J

дает следующая теорема.

Р {£<, (t) 6 Ѵц} =

Теорема

2.

Пусть

выполняется

условие

(Aj),

1

и (л+ (|0 (s)),

t

>

0 — строго монотонно возрастающий с вероятностью

1 процесс.

Тогда

для

всех функционалов

/ (-) € Jvö<^0(

s

» о > 0

/ ( T a

( U

s ) ) ) ^ / ( Y

a ( M

S)))

ПРИ е

" ^ ° *

теоремы 2 §4.

Замечание 1. В том случае,

когда процесс g(g0 (t)),

t >

О непре­

рывен с вероятностью 1, то и

процесс

уа

(s)), а > 0

непрерывен

с вероятностью 1, и теорема 2

дает условия

сходимости

процессов

Уа (!е (s))> а > 0

в топологии И.

£g (t) = (yg (fy

т' (*)), t > 0

Рассмотрим

подробнее случай, когда

сы,

принимающие значения в_ fy x R b

(г («)) =

у (*),

t >

0

для

функций z (и) = (х (и),

у (и)) 6 D

и

g (2) =

*

для г =

(х, г/) € Rj XRJ,

а следовательно,

т, (5e (S)) =

ѵе (0 =

inf (s : r g (s) > 0, t >

О,

и обобщенный процесс восстановления имеет вид

Y,(Ée (s)) = V e (ve(0),

t > 0 .

В этой ситуации пространство

Ѵц = D. Не

нарушая

общности,

будем считать просто,

что D =

D(m).

t >

(В)

Так как р+ (£е (s)) =

т+ (/) =

sup х" (s),

0,

то

условие

примет вид

(Вх):

Р {т+ (Г) = т+ (О =

0 = 0,

t', t", t > 0.

Для того чтобы выполнялось

условие

(Bt), необходимо и доста­

точно, чтобы процесс ѵ0 (/), t >

0

был стохастически непрерывен.

Используя строгую

марковость

процесса

х^ (/), t >

0

и

то,

что

моменты v0 (t — 0), t >

0 являются

марковскими моментами

време­

К (0 =

Іе (/ + *) -

1£ (t) = (V* (0, <

(0).

t > О,

v£ (t) — inf (s: т* (s) > 0 .

f >

o.

В силу строгой

марковости

исходного

процесса

£* (f), і > О и

= Ре (г, U.S — V, А — (г, ы, о)),

г£ Rm,

s, х, ы, о > 0,

(а)

здесь

Ре (г, и, (, А) =

Р {а" (/) 6 A/ge (и) =

г},

и по определению

Яе (г, u,s — v, А) = хА ((0, 0, — s)) для о >

S.

Теорема 3 . Если выполняются условия

(А2) : 1)

5е (0.

* > 0 =Ф^0 (0,

t > 0

при

е -> 0,

где

g0 (0. t >

0 —

стохастически непрерывный марковский процесс;

2)

lim lim

sup

sup

Pf {x,t,t + u,

V6(x))= 0;

<r-*-0 P -+0 * € R m 0 « < ( + u ^ ( + c < o o

(D): lim lim sup sup Qe (x, z, h, c) — 0,

o » 0 s - * 0 x > 0 z € R m

p > 0

то для

всех функционалов /(•)€*) о

,

Т’> 0

ао UM

/(« 2 (0 )= * / К (9) при в-►О.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Применим теорему 1.5.1. Используя пред­

ставление (а), получаем оценку

Р {I а° (/ + s) — а “ (О I >

4б/а° (/) =

(г, и,

о)} <

<

Р { II“ (V “ (s - ѵ ) ) \ > б/а° (/) = 2} +

Р { IT“ (V « (s - о)) I >

> б /|е (и) = z} + Р {ѵ“ (s — о) > 6/£4 (и) = z} +

+ Хи.«, (s) <

Р { sup

I lE(t' +

U) — Ie (и) I > 6 /|

(И )

=

2} +

t'**h

+

P { sup Te (t' +u) — Te (u) >

8/le (U) =

2} +

2P {v" (s) >

> h!le (u) =

2} +

P {v" (s) > 6 /|e (u) =

2} +

+

X[0.co) (S)

<

2 P {

SUPh

I(*' +

“ )

—

Se (“ )

I >

6 /6 e (U)

=

2} +

+

2P { sup Te (U +

t') — Te (И )

<

s/g

(u) =

2} +

+ P { sup TE(u +

/') -

Te (u) < s/ge (u) =

2} +

у

(s).

(3)

t'^0

L

Из леммы 1.5.1 очевидным образом следует,

что при выполне­

нии

условия (А2)

Д(Л) (б) = lim sup

sup Р {sup I g (/ + и) — g£ (и) I >

e-»0 u>0 zgRm

t~%h

> 6/g8 (и) = 2}

0 при h -> 0.

(4)

В силу

(4) для

произвольного

а >

0

найдется

h <

б такое,

что

A(ft) (б) < а.

Тогда для s <

6

имеем

lim

sup

sup Р { | а ° ( /

+

s) — a°(t) | >

4б/а°(0

=

(г, и, u)} <

е-*0

(z.u.o)

0

< о + 3 lim

sup

sup

О («, 2, h, s).

(5)

е-И)

0

?€Rm

Из (5) следует,

что для процессов

сс° (/), t > 0

выполняется

ус­

ловие (А), 2) теоремы 1.5.1, если в дополнение к условию

(А2)

для

этих процессов выполняется также условие (D).

Так как

условие (D) обеспечивает,

очевидно,

выполнение

усло­

вия

(В2), а

следовательно, и условия

(В), то

выполнение

условия

(А), 1) теоремы 1.5.1

для

процессов

а° (/),

/

>

0

следует из тео­

ремы 1.

а° (t),

t > ö теорему

Применяя

к

процессам

1.5.1,

получаем ут­

верждение теоремы.

Замечание 2. Для того чтобы случайные процессы vg(/),

^[0,Г ],

Т >

0 были

компактны

в топологии

J,

достаточно,

чтобы выполня­

лись условия (Ах) и

(Dj): lim

lim

sup

sup

Qe(у, z, h, с) =

0, T, h >

0.

e->0 e-^0, e> 0

y**T

|z |< r

Действительно, поскольку (Dx) обеспечивает

выполнение

усло­

вия

(В),

то для

случайных

процессов

ve (t),

t 6 [0, Т\

выполняется

условие

(С),

1)

теоремы 2.3.3.

чин определяемые следующим образом: Т, (е)={т|8 (п), п =

0, 1,..

.} —

однородная

цепь

Маркова с конечным

множеством состояний

Н =

= {1,2,

и матрицей

переходных

вероятностей II Р,7 (е) ||™/=1,

Т2 (е) =

{£е (п, i, j),

п >

0,

i, j 6 Н} — множество

независимых

в со­

вокупности

случайных

величин,

принимающих

значения в R;,

рас­

пределения которых HQ зависят от п.

Введем в

рассмотрение случайные процессы

Цо(Е)]

U * > = 2

( * ) ) . / > О,

k=\

здесь

V(е) — неслучайная

неотрицательная

функция

такая,

что

V (е) —►оо при е -V 0.

Процессы

£е (t), t >

0 естественно называть

процессами

ступен­

чатых

сумм

случайных

величин, определенных

на цепи

Маркова

Т і (8).

1. Пусть

для каждого е >

0

| g (/), t £ [0, Т]

и S.el (t),

Замечание

1£ [0, Т], i — 1, m — случайные процессы,

траектории которых с ве­

роятностью

1

принадлежат пространству

D

r Предположим,

что эти

процессы связаны

соотношением

___

m

___

«Чбв (**)< “*. f t -

!./•>“

Ыгі

k =

X’r)

для

всех

tk >

0,

uk6 Rz>

k — 1, г,

г >

1,

здесь

ры >

О,

і — l,m,

т

і= і

Тогда,

если

имеет место соотношение

то

и

*€№, Л =»5 о (0,

*610, Л

при

в-*-0,

г =

1 ,т,

*€10,Т]=3>5о(0,

* € № , Л

при е —►О.

И если

lim lim Р {Дл (^. (0, с, Т) >

6} =

0,

і =

1,/га,

оЮ е->0

ТО

И

lim lim Р {Aj

(£е (*), с, л

>

6} ==

m

независимо от поведения вероятностей pgi, і

=

\,m .

Поэтому,

не нарушая

общности,

будем

считать,

что для

всех

е >

0 це(0) =

г)0 = const fH с

вероятностью

1.

Для

случайных

процессов

£,Е(t),

t >

0

имеет

место

представле­

ние

m

М9°(е>],

^

>

О Ä

е; (0 =

2

2

и

* “

1»*»/). * > 0 ,

(а)

где

г,/=і

*==1

Ре (га. I, /)

=

2

6

л»

(Пе (& — 1). Л8 (Щ .

га >

0,

t, / € Н

4=1

Это

представление

дает

возможность

применить

к

процессам

£8 (f) условия

сходимости в топологии

J

процессов

ступенчатых сумм

управляемых случайных величин,

изучавшиеся

в §

4.3.

В качестве

совокупностей

(е),

j = 1,2,

фигурирующих в §

4.3,

необходимо

выбрать совокупности

случайных величин

Т[ (е) =

{rj'(га) =

(г|е(га—1),

\ («)).

га >

1}

и Т' (е) =

{С8 («, (і, /)))

=

£е (га, і, /),

га > 0,

і, / € Н}.

В работах {1,29, 73,22,87,4] подробно изучены условия, которые

достаточно

наложить на цепи

Маркова

Т1(е)

для

того,

чтобы вы­

полнялось

условие

(А,): (

([fot,((e)’~ ')

’ *> /

€ н )

,

і ,/е Н ),

при

Так

как,

очевидно,

для

всех

t' < f

2

К

([f o

(8)1- г’>/)

— И'е W

v

(®)1*£'- /))

= f**o (е)1 — К »

(в)]»

(,/€н

процессов р£/ (/), i, / £ Н для

то и для

предельных

случайных

t'

< Г

2

( м о - м о ) “ * ' - * ' .

а )

і./ен

Из

(1),

в

частности,

следует,

что предельные

случайные

про­

цессы |хг/(0,

I, / 6 Н необходимо непрерывны с вероятностью

1.

Конкретные условия сходимости к тем или иным предельным

процессам

(ji£/. (/),

і, /

6 Н), t >

0

достаточно громоздки.

Детально с

ними можно ознакомиться в указанных выше работах.

Отметим

только,

что в том важном

случае,

когда выполняется

условие

(А2) : р.. (е) -*■ р£/ (0) при

е - > 0 ,

і , / £ Н , где однородная

цепь Марко­

ва

Tj (0)

с

множеством состояний

Н и

матрицей

переходных

вероятностей || р..

(0) ||f/=1 — эргодична,

условие

(А!) выполняется, причем

V-ij (0

= Яч (0) t,

t > 0,

i, j 6 H.

Здесь q. (е),

i £ Н — стационарное

распределение

цепи Маркова

Т1(е)

и ? і( (е) = <?£ (е) Р £ / (е), і, / £ Н.

Теорема 1. Если выполняются условия (Ах) и

[«0(e)]

(В,):

2

^Лк ~

1» / ) .

* > 0 = ф £ £/(0,

< > 0

при

е-*-0,

і , / 6 Н,

4=1

S£/(0,

^ > 0,

г, / 6 Н — однородные

процессы

с

независи­

где

мыми приращениями,

то

т

t

£е (0,

>

0 =$>£„ (/) =

2

Sy (И-f/ (0). / > 0

при е

О,

і./=1

где случайные

процессы

С<7(0.

* >

0, і, /6 Н

и р (/)

= (р£/ (/),

і, / =

= 1, т),

t >

0

независимы в совокупности и для всех

функциона­

лов / ( • ) €

Jb(0>7.,

Г >

О

/ (Se (*))=»/(So (0) ПРИ

8 - > 0 -

Д о к а з а т е л ь с т в о

теоремы

немедленно

следует

из

того,

что в силу определения

совокупностей

Тt (е), j — 1,2

при каждом

£е£/ (і) =

[<»(«)]

t > °,

i,j 6 Н

е >

0 случайные

процессы

^

S8 (А — 1, і, /),

4=1

/|xg [/ü (e )), i,j)

\

и pe if) = ^

—

, f, / 6 H j, t > 1 независимы в совокупности

Пусть ае (і, /) =

(aer (і, /), г = 1, /), і,} 6 Н — неслучайные векторы,

принимающие значения в R;, такие,

что выполняется условие

(С): ае(і, /) -с а0(і, /) =

(aQr(i, /), г =

IJ)

при

е-^-0,

i, j 6 Н,

Пусть также

К , (е- с) =

( V

( е . с е)> /• = Т Т ) =

=

2

(t1e

—

% №))— Ce)>

/ e H-

где

fc=I

Д .;. (e) =

min ( я : г]е («)

/, n >

1)

=

для цепи Маркова Т, (е),

для

которой

т)0 =

i, cg =

(c^,

г = 1,0 —

неслучайная

функция,

принимающая

значения

в

R,,

такая,

что

се -*■ с0 при е ->■ 0.

Лемма 1. Если выполняются условия (А2) и (С), то

Щіг (в. o

f Kik (в, c f

->

Ш ,„

(0, c

f \

lk (0, c / "

при e -► 0,

i, / 6 H,

&, r =

1, /,

n ' ,

> 1.

Замечание 2. В силу условия (А2) для всех достаточно малых е

цепи Маркова Т^е)

эргодичны. Поэтому, не

нарушая

общности,

будем впредь считать, что цепи

Маркова

Тх (е)

эргодичны

для

всех е >

0.

Как следует из результатов [681, для эргодичной цепи Маркова

МI Ху (е, се) \п < оо для всех і, / 6 Н,

п >

1.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Для

случайных величин

&{/(в,св), і , / £ Н

имеют место стохастические соотношения

f

ае (I, /) — с

с вероятностью р{. (е),

М 8>Се ) ^ .

) — Се +

Ц

(8, Се)

с

вероятностью

ри, (е), /' ^ /,

j =

’Іа8 (і, /

14— 4-143

209