книги из ГПНТБ / Сильвестров Д.С. Предельные теоремы для сложных случайных функций

Для приложений (см., например,

§ 4.5)

интересным является слу­

чай, когда X (и) = (xx (и), х2 (и)), где

хх (и)

и х2 (и) функции соответ­

ственно из D('n,) и D(m,) (тх + т 2 = т)

и функция

Ф (*. У) = I *і — У, I для х = (х„ х2),

у = (уѵ у2) б Rm] х Rm>.

<

t > 0.

р, (X (и)) = j ф (X (и)) dxt (и),

о

Если функции

и7

при п -> ОО

_

хп (и) -> х0 (и)

и х0 (и) 6D, то, исполь­

зуя

лемму

1.3.1,

имеем

а

9

lim

sup

( ф (Хп (и)) dxnl (и) — sup f ф (х0 (и)) dx01(и)

^-►о© s< /± 0 J

s ^ f ± o J

s

S

lim sup

j Ф(Xn (U)) dxnl (u) — j ф (x0 (u)) dx0l (и)

OO

<

lim sup I ф (xn(s)) —ф (x0(s)) I (xnl (t) — xnX(0)) +

-(- lim sup

d

I xnl (u) -

J Ф(*o (“)) d {xnl (u) — % («))

lim

sup

n->OO S«

n-¥со

\

—* 0

1 (u) I I 0 +

j \Xnx(u)—Xoi (ы) I dtpXo («))

= 0,

следовательно,

в данном случае

подпространство Ѵд =

D и множе­

ства

U [X (ы)] =

U [X (ц)1 == [0, сх>)

для

всех функций х (и) б Ѵд.

Замечание

1. Если Dr — урезание

пространства

D

на промежу­

ток

[0, Т\,

то семейство

функционалов

h (X (и)) = vf-d (X (и)),

t > О

— число пересечений функцией х (и) полосы [с, d] на

промежутке

[О, /] (см. §3.1).

(•). t >

В этом случае, очевидно, функционалы

р+ (•)

=

0 и,

как следует из результатов, приведенных в [60],

Ѵц — подпростран­

ство функций из D(m), не имеющих локальных экстремумов,

попа­

дающих на уровни с и d и множества U [х (и)] =

U [х («)] Э R [х(ц)]

Пример 5.

Пусть D =

D(m) и

h

(X (и)) =

2

ф (* (s). X (s — 0)), / > 0 ,

s€Rt,d[x(u)J

больше d\ ф (х) — непрерывная функция,

определенная на

Rm х Rm

и принимающая значения в Rx.

Uy

х0 (и)

не

Пусть функции хп (и) -> х0(и) при п —►оо и функция

имеет скачков, по абсолютной величине

равных d.

Как

показано

в

[60], начиная с некоторого номера nd, необходимо

все

точки

скач­

ков функций хп (и) на промежутке [0, /],

величина скачков в

кото­

рых по абсолютной величине больше d,

совпадают с точками

скач­

рых по абсолютной величине больше d. Число таких

точек rt,d ко­

нечно. Пусть это точки и„ . . ., иГ1 .

Тогда для

л >

пИ имеем, ис-

пользуя лемму

1

r t ,d

“

1.3.1,

r t ,d

ISUP h (хп («)) — sup р, (х0 (и)) I <

У

I ф (xk (И*),

Хк (ик — 0)) —

*^/±0

s« ± 0

k=-\

*

R

R R

— Ф(x0(“*). *o (4k — 0)) I <

rt,d sup I ф (Xn (s), Xn (S— 0)) —

s^f

—Ф (*o (s) x0(s — 0)) I

0 при л -*■oo.

ков, равных d, и множества U [х (ц)] = U [х (ц)] = [0. оо) для

всех

функций X (и) 6 Ѵм.

€ [0, Т\,

Замечание 2. Функционалы

(•), ^ 6

определенные в

примере 5, можно рассматривать как функционалы

на пространстве

D(гт).

Очевидно, семейство функционалов

К(") = М - )

— М - ) .

^ t ° - TJ

также представляет собой сепарабельное однородное

семейство

функ­

солютной величине d, множества Ur [х (ц)] = Ur [х (и)] =

(0, Т\

для

всех функций X (и) 6 ѵ£

(

(ф

—

Пример 6. Пусть D =

D<m)

и

где

(р(х)

Р,

(X (и))

=

г

(X (t

— 0)) <

с)

(X (())

с),

непрерывная функцияф

,

определенная на

Rm

и

принимаю­

щая

значения в Rx.

В этом случае момент остановки

та (X (и)) = inf (t:<p(x(t — 0)) < с,

(ф (X (0)

> а + с)

— момент первого перескока функции ф (х (и)) через

уровень с в ре­

зультате скачка, превосходящего а.

Можно показать,

что в этом случае Ѵд — подпространство функ­

ций X (и) 6 D(m), для

которых ф (х (и)) ф с ,

а + с,

если ф ( х (и)) —

— ф (х (и— 0)) > а,

и множества U [х (ц)] = U [х (и)] =

[0, оо)

для

всех функций х (ы)6Ѵ,і.

Ряд

примеров однородных

марковских

семейств

функционалов

можно найти в работах [53, 60, 74].

В этом параграфе изучаются

условия

сходимости

распределений

и условия сходимости в топологиях U и J обобщенных процессов вос­

становления уа(£е (s)), а > 0,

для

которых

исходные

процессы

£e(s)

представляют собой процессы с независимыми приращениями.

Будем рассматривать обобщенные процессы восстановления,

опре­

деленные на промежутке [0, оо).

Пусть для каждого е > 0

£г (/), і > 0 — процессы

с

независимы­

ми приращениями, траектории

которых с

вероятностью

1 принадле­

жат пространству

D<m) = D; ц = (ц, ( • ) , / > 0 ) — сепарабельное

од­

нородное марковское семейство функционалов, определенных

на

D и

принимающих значения в Rx; g (х) — непрерывная

функция,

опреде­

ленная на Rm и принимающая значения в Rft.

Для

простоты

ограничимся случаем,

когда

для

каждого е > 0

р

t-> оо

так,

что

с

вероят­

случайные величины р+ (£g (s)) -> оо при

ностью

1

a), a >

т0 (Іе (s)) = inf (Z:p, (ge (s)) >

0.

В силу марковости семейства функционалов ju

моменты

т0 (£g (s)),

процессов | g (t), следовательно,

выполняется

условие

(А0): для всех а > 0

событие {та (ge (s)) <

t)

не зависит от

о [£е (s) — Іе(0,

s > 0] для

каждого

t >

0.

удобнее воспользоваться теоремой 2.2.2.

Теорема 1.

Если выполняются условия Р {£0 (0 €

= 1

и

(Аг): 1)

І8(0.

* > 0 = Ф | 0(0,

0 при е->0,

где

£0 (0 — стохастически

непрерывный процесс

с

независимы­

ми приращениями;

2)

ІітПш

sup

P { | U O - U n | > 6 } = 0 ,

Г > 0 ;

(В)

о*0 е->0

Г|«сЛ',Г<Г

/} =

0,

t'

< f , t

> 0,

Р {р+ (l0 (s))

= р+ (£0 (s)) =

ТО

(Ta±o(U s))* Va±0(?e(s)).

0)). а, t >

0=Ф

(Ta±0 Йо (S)). Уа±о do (s»>

§ Йо W)),

а, t > 0 при е ->-0.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Применяя

к

процессам £e(t)

теорему

2 §1

и учитывая замечание 15 §1, получаем

соотношение

(та±о (Іе (s)). Ie (0), а, t > 0=4> (та±0 (i0 (s)),

£0 (0),

а, t >

0 при e -* 0.

(1)

Условия (Ao), (Aj) и соотношение (1) обеспечивают,

как

нетруд­

но проверить, при любом

выборе моментов времени іх> О,

/ =

1, г,

г >

1 для

случайных процессов

I t

(0 =

(*•

Іе ( * } •

1 = !. г .

І е (0). t >

0

И

V* (а) =

та±0 (£g (s)),

а > О

13—4-143

193

лучаем соотношение

(Ta±o(M S))>

Уа±o(^e(S)>*

(0). а, t > 0=S>

=*>(ха±о^о(s))>

ѵа±0(Е0(s))-

(0). a , t > 0

при e -> 0 .

(2)

Поскольку

g (л:) — непрерывная

функция,

то

из

(2)

очевидным

образом следует утверждение теоремы.

в топологии J дает

Условия

сходимости

процессов уа(gE(s)), а > 0

следующая теорема.

Р {g0 (i) £ V } — 1 и

Теорема 2. Пусть выполняется условие (Аг),

процесс

(g0(s)),

t > 0 строго монотонно возрастает с

вероятностью

1. Тогда для

всех

функционалов f

(•) 6 JVa(5o(S))>0> ü >

0

f (Уа(Se (S))) =Ф f (Уа(Io (S))) При 8 -V 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Достаточно

только

проверить,

что

процес-

сы уа(£g (s)),

а 6 №. у]

компактны

в

топологии

J.

В силу условия

(Ах) процессы | е (0, /É[0,

T']

^ € [0,

T']

при

8 -»О, V

> 0,

а следовательно,

и процессы g{le(t)), t £ [О, T']

g (£0(t)),

/£[0, T']

при в -► 0,

T' > 0, откуда следует,

что процессы g (g

(/)) компактны

в топологии J на каждом конечном

промежутке.

Процесс

To(g0(s)),

а > 0 непрерывен с вероятностью 1

и,

следовательно,

в

силу

лем­

мы 1.1.3 компактность

процессов xa (gg(s)), а 6 [0, ѵ\

в

топологии U

следует из сходимости конечномерных распределений

этих процессов.

Применяя теперь к

процессам g (gg (/)),

( > 0

и

xa (Ee(s)),

[0, и]

теорему 2.2.3, убеждаемся в том, что компактны в топологии J про­

цессы уа(g8 (s)) =

g (gE (тя (ge (s)))), а £ f0,

к].

Замечание 1.

Условие, что процесс

p+(g0(s)),

t >

0 строго моно­

го,

чтобы процесс Ta (g0(s)), а > 0 был непрерывен с вероятностью

1,

Поэтому, если непрерывен с вероятностью 1

процесс g (g0 (fj),

і >

0,

то

и процесс уа(g0 (s)) = g (g0 (ха (g0 (s)))), а >

0 также будет

непре­

сходимости процессов уа(gg (s)), а >

0 в топологии U.

Остановимся более

подробно

на

том

важном случае,

когда

5е (і) = (у„(/), xg(/)),

/ > 0 — случайные процессы, принимающие зна.

чения в R, X R,,

(г (и)) = у (/),

t > 0

для

функций г (и) =

(х (и),

у (и)) £ D и g (г) = X для 2 = (х, y )6R i

X Rv

В этом случае

х, (Ее («)) =

ѵе (0 = inf (s: Té (S) >

*)• t > 0

и обобщенный процесс восстановления

Yt (E8(s))=Ve (ve(0). t >

0.

Напомним также, что в этой ситуации пространство

=

D. Не

нарушая общности,

можно считать, что D =

D<m).

Так как ц. (£ (s)) =

т+ (t) — sup т' (s),

t >

0,

то условие

(В) в этом

случае примет вид

t >

(BJ: Р {т+ (П = т+ (О = /} =

О, Г <

Г,

0.

Пусть, например, т' (i), t >

0 — монотонно не убывающий

про­

также,

что т ' ( 0 ) = 0 с вероятностью

1).

Тогда,

очевидно, т+(/) =

= т0 (t),

t > 0

и условие (В)

примет вид

(BJ: Р {т; ((')

= /} Р (т; ((") =

х0’ (і')} =

0,

V < Г,

t > 0.

М exp {isTo (()} = exp j isc (t) + ^ (etsx — 1) П (/, dx) ,

t >

0,

(a)

где c(t),

0 — неубывающая функция:

П (t, A), / >

0 — монотон­

но не убывающая функция,

представляющая собой

для

каждого t

меру на

93^) — a -алгебре борелевских подмножеств

[0,

оо)

такую,

что

ОО

j

*

Vп’ d x ) <

° ° -

ь

13’

195

т+ (X,

h) =

sup г (x + s ) — т' (х).

0 « s « f t

Если т' (/), t

>

0 — однородный процесс

с независимыми прира­

щениями, то все

величины т+ (х, И), х > 0

имеют

одинаковое

рас­

пределение и условие (В) можно заменить условием

(B) : Р { sup т0 (s) < с) -> 0

при с -*■0.

О

еще,

что в том

случае, когда

процесс х'е(t), t >

0 не

Отметим

имеет положительных скачков (мы предполагаем,

р

что т+ (0 -*■ «э

при t-*■оо),

то

и vg (0,

t >

0

представляет

собой процесс с незави­

симыми приращениями.

t >

При этом, если

(/),

0 — однородный стохастически не­

Процесс ѵ0 (<),

t > 0

является

непрерывным

с

вероятностью 1

тогда и только тогда, когда процесс

т+ (f), t >

0

строго

монотонно

возрастает с вероятностью 1. Как нетрудно показать, это

возможно

только в том случае, когда

процесс

(t), t >

0

строго

монотонно

возрастает с вероятностью

1, для

чего, как было указано выше,

необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

(C) : с(/")>с(<')

или

П (Г, [X, оо)) — Щ /', [х, оо))-> оо

при

х-*-0

для

всех

Г <

t".

Здесь c{t)

и П (t, А) — функции,

участвующие

в представлении

(а) характеристической функции процесса т' (/),

t

>

0.

Используя лемму 2 приложения

1, можно в рассматриваемом слу­

чае существенно ослабить

условия

сходимости

обобщенных процес­

сов восстановления

уе(ve (t)),

/ > 0

в топологии

U.

Теорема 3. Если выполняются условия

у0 (t) — стохасти­

<Аг): 1) ye(f), t >

0 =5>y0 (/),

t > 0

при е -> 0, где

чески непрерывный гауссовский процесс с

независимыми

при­

ращениями;

Р {| у

(/') — у (/") | >

Т >

2)

lim lim

sup

6} =

0,

0;

(А3): 1)

c -W е - » 0 К ' — r \ ^ c . t \ f ^ T

0

при е->- 0, где Тр(/),

* > 0 —сто-

т'(/),

^>0=i>Tg(0,

2)

lim lim

sup

Р {| \ ( ? )

— т'(Г) | >

6} =

О, Т > О,

то для

о + О ѵ + 0

\ t'— t ’ \ 4 £ c ,t ',t ” < zT

О

всех функционалов /(•) € и Ѵо(Ѵо(()),г. 7’ >

/(Ve(ve(0))=^f(Y0(voW)) при е ->0 .

Здесь случайные процессы у0 (/), t

> О и ѵ0 (/), t

>

О независимы.

Замечание 2. В том случае, когда

для каждого

е > 0 процессы

т' (0* ^ > 0 монотонно не убывают с вероятностью

1,

можно опус­

обобщенных

процессов

восстановления

уе (vg (/)),

0

в общем

случае.

вначале

условия

компактности

в топологии

J

процессов

Изучим

Ѵе (0, t > 0 .

Введем в рассмотрение случайные процессы

где

КЮ = W . t £ ( v J ( 0 ) - 0 , t > О,

TeW = Xé(( +

*) — TéW»

1>

° ’

v£ (0

=

inf (s : Tg (s) >

t),

t >

0.

Процессы

ߣ (t),

t >

0;

x >

0 представляют

собой

непрерывные

справа однородные марковские

процессы

[72],

для переходных ве­

роятностей

которых имеет место представление

P{ße(* +

s)6A/ßé(/) = (и, о)} =

= Р {ß“ (s — V) + (и, V) в А},

X, i, s , u , v > 0,

где ß“ (s — о) =

(0, — s)

для

ѵ > s.

Лемма 1. Если выполняются условия

t

(А4) : 1) т' (/), t

> 0 =4>т' (t),

t > 0 при е -> 0, где т0 (і(),

> 0 — сто­

хастически непрерывный процесс с независимыми приращени­

ями,

Р {| т; (t') -

Т > 0,

2) lim lim"

sup

т; (Г) I

>

6} =

0,

с + 0 е->0 | Г —Г |< с .< ',Г « Г

Т, h >

(Dj): lim

lim sup

P {т+ (г/, Л) < с} = 0,

0,

r- W 8 -> 0,e> .0

{ « Г

e

TO

___

lim lim P {Д (V

(0» с, T) > 6} = 0,

Г > 0,

c + 0

s -> 0

J

e

следовательно, для

любого функционала

/(•) € Jv„<o.r,

Г > 0

/ (Ѵе ( 0 ) = ф / К ( 0 ) п р и 8

0 .

сопровождающего процесса ав (/), t > О можно выбрать ß° (t),

t >

О

и множества D„ = [0, Гп]х[0, оо), где Тп-у оо при «--► с».

Поскольку условие (Dj) обеспечивает выполнение условия

(B^,

а

условия (С),

1) теоремы 2.3.3 следует из теоремы

1.

Используя представление (б), получаем оценку

Р {| ß° (t +

S )

-

ß° (t) I > 36/ße (0 =

( X ,

V)} <

<

p {11XP(v£ (s — V ) ) I >

6} +

P {v£ (S —

V )

>

6} +

+

Xt0.oo) (S) <

P {SUP I *é V' +

X) — Té(*) I

>

6} +

(4)

+

P {v* (S) >h} + P {V* (s) >

6} +

х(в,те) (s) =

= P {sup IT' (t' +

x) — Xe(x) I >

6} +

P {т+ (л:, А) <

s}

t'^h

X[6 o3) (s).

+ P {x+ (x, 6) < s} +

В силу леммы 1.5.1 при выполнении условия

(Ах)

Д(Л)(т' (•), б) =

lim sup Р {sup |< (х + t') — т' (х) I >

6} -> 0

при А -*

0.

е-М)

t'^h

(5)

Для произвольного

а >

0 в силу

(5)

можно выбрать

А < б

так,

чтобы A(h) (т' (■), 6) < ст.

Тогда для s <

б в силу

(4)

и (5) имеем

lim sup sup sup P {| ß° (t + s) — ß? {t) I > Зб/ße (t) = (x, u)} <

e-*0 (> 0 x ^ T u > 0

< a + 2 1 im sup P {t+(x, A) <

s}.

(6)

e-*0

Из (6), как

нетрудно

понять,

следует, что для выполнения усло­

вия (С), 2) теоремы 2.3.3

при указанном выше выборе множеств D„,

п > 1 достаточно, чтобы выполнялись

условия

(Аі)

и (Dx).

Наконец,

поскольку

процесс__ve (t)

монотонно

не

убывает

и

ѵг (Т) ^$> ѵ0 (Т) при е

0, то lim lim Р {ѵе (Г) >

Тп} = 0

и, следова-

п-> 0 0

8-М)

тельно, выполняется и условие (С), 3) теоремы 2.3.3.

Применяя к процессам ѵЕ(/) эту теорему, получаем утверждение

леммы.

чтобы применить теперь к

процессам

уе(ѵе (/)),

t >

0

Для того

теорему 3.2.3,

необходимо

еще

потребовать выполнения для

про­

ловия (Di) достаточно,

чтобы выполнялось условие (В).

В рассматриваемом случае можно, однако, за счет некоторого

усиления условий (Aj), 2) и (Dj) избавиться от условия (Е).

Введем в рассмотрение случайные процессы

где

«J(0

= (Y£(v£(Q).

t£(vj(/)) — t), t >

0,

YfW = Y e (* + * ) — Ye W-

Случайные

процессы а* (t), t >

0;

x > 0

представляют собой не­

прерывные справа, однородные марковские

процессы [72], для пе­

реходных вероятностей

которых имеет место представление

Р {а* (t + s)e А/а* (/) = (г, и, о)} =

= Р {а" (s — ѵ) +

(z, и, V) 6 А},

z6R,,

x ,t,s ,u ,v >

0,

(в)

где а" (s — у) =

(0,0, — s) для ü >

s.

Теорема 5. Если выполняются условия

(А5):

1)

Ее (0.

t > 0=Ф |о(0. t > 0

при в->-0, где Ео(0. t > 0 — сто­

хастически непрерывный процесс с независимыми приращения­

ми,

___

Т >

2)

lim lim

sup

Р {| Ее (О — Ее ( 0 1> 0} = 0,

0;

о>0 е-Ю

(D):

lim

lim

sup Р {т+ (х, h) < с} = 0, h >

0,

с-*0 8^0,е>0 х^.0

то для всех функционалов /(•) 6 J ao(0 т, Т > 0

f(a°e(t))=^f(a°0(t))

при е -ѵ 0 .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Используя

представление

(в),

получаем

оценку

Р {j a« (/ -f s) -

а° (/) I >

4б/ае (0

= (г, и, о)} <

< Р (I Y e

(v e (S —

ü)) I > 6 } +

Р {| Т* (v£ (S — U ) ) | > 6 } - [ -

+ P

{ ^

( s - u ) > 6 }

+ X(öfOS) ( S ) <