книги из ГПНТБ / Сильвестров Д.С. Предельные теоремы для сложных случайных функций

F.

(хр ,

., хп) -► F,

(х,, . . . ,

хп) при е ->■ О

*е

О

для всех X = (Хр . .

х„) 6 Rn. являющихся точками

непрерывности

предельной

функции

распределения.

Определение

2.

Будем

говорить,

что случайные величины £g,

в >

0, определенные

на вероятностном

пространстве

(fl, F, Р)

и при­

нимающие

значения в X, сходятся

по

вероятности

к

£0 при е -> 0

если

Ѵ

Ч

ПРИ

е _ > 0 >

р {р (1„, і0) >

6}

о

при

8 —►0, б > О,

где

р (■, •)

— метрика

в пространстве

X.

Определение

3.

Будем

говорить,

что случайные

величины

| е.

8 >

0, определенные

на вероятностном

пространстве (fl,

F, Р)

и

принимающие значения в X, сходятся с вероятностью 1 (почти на­

верное) к £0 при е —*■О

і 8

£0

при

8

>О,

если для любой

подпоследовательности индексов eh-> 0 при

fe

оо

бы из любой

подпоследовательности индексов ек—*■0 при

k -*• оо

можно было извлечь подпоследовательность e'k-> 0 при k -*■оо

такую,

что Іе<

> | 0

при

k-*oo.

к

Следствие 1.

Если

случайные

величины

і 0 ПРИ

в -> 0 , то

І8-+ 10 при е -> 0 .

Следствие 2.

Пусть

£е, е >

0

— случайные

величины,

принима­

ющие

значения

в

R,,

такие,

что | е, >

с

вероятностью

1 для

всех е'

> е".

Тогда,

р

то

і 8 * £0 при

е-*-0.

если | в -> £0 при е->-0,

бая сходимость и сходимость по вероятности

эквивалентны. Точнее,

если £ =Ф £0

при е

О,

где £0 = const g X

с вероятностью

1, то

Р {р(?е, І0) >

6}“*■0

ПРИ

е-ѵО , б-»-0 (здесь

р (-,-) — метрика

в X).

£8=5>£о пРи

8 _ > 0 -

Тогда

можно построить на некотором вероятностном простран­

стве (Q '.F '.P ')

случайные

величины

£', е > 0,

принимающие зна­

чения

в пространстве

X,

такие, что:

а)

для

каждого

е >

0

случайные

величины

l g и £' одинаково

распределены, то есть

Р {£' 6 А} = Р {|g £ А} для

всех А £ 23х;

б )

Е'

£о

ПРИ

6

_ >

0 -

В дальнейшем нам потребуется следующий вариант «принципа

теоремы 1

[65].

(k),

k > 1 — последова­

Теорема 2. Пусть для каждого в > 0,

тельность случайных величин, принимающих значения в R„. Тогда,

если выполняется соотношение

\t (k), £ > l = H

0(ft),

k > l

при е

0,

то можно построить на некотором

вероятностном

пространстве слу­

чайные величины l'e{k),

k > 1,

е >

0 такие, что:

а) для каждого е > 0 все

соответствующие конечномерные рас­

пределения

последовательностей

£'(&), k > 1

и £g(£), k > 1 совпада­

ют;

%'0 (k) при е -> 0

k >

б) !' (k)

для

всех

1.

Сформулируем еще

несколько полезных

вспомогательных утвер­

ждений.

__

Лемма 3. Пусть £е (і), і =

ТЦп

для

каждого е > 0 — случай­

ные величины, определенные на одном и том же

вероятностном про-

странстве

и

принимающие значения

соответственно

для

каждого

і = \ , т

в некотором

полном

сепарабельном

метрическом

простран­

стве

X;

с

метрикой

Рг (•, •)•

На

пространстве

X =

Хх х

. . . х Хт

введем

метрику

р (-,-) =

Рі (•,•)

+

. . . +

Тогда,

для того

чтобы

величины

=

(|е (г), і =

1 ,т),

е >

0, принимающие

значения

в

пространстве X,

сходились

слабо

к

| 0

при

е

О,

необходимо и

достаточно,

чтобы для

всех А. £ $8Х_, і =

г, т

таких,

что

Р { |0(г)(;

еГр. A J

= 0 ,

i = T jn,

Р ils (i) € А,.,

i =

ТГт) -> P {£0 (0 e Ait

i = T^tn) при e

0.

Пусть

X, Y, Z — полные

сепарабельные

метрические

простран­

ства.

Лемма

4.

Пусть

| е,

е > 0

— случайные

величины,

принимаю­

щие

значения

в X, такие,

что ^=Ф ^0 ПРИ е->-0,

и / (х)

— измери­

мая

функция,

определенная

на

X

и

принимающая

значение в Z,

такая,

что Р {g0 £ АД =

0,

где Af — множество точек

разрыва функ­

ции f(x). Тогда

f

(

l e) = $ > fо() l

ПРИ е

">

0

-

Лемма

5. Пусть | е,

е > 0

— случайные величины,

принимающие

значения

в

пространстве

X,

такие,

что

£е =$>50

ПРИ

и т)8»

г >

0

— случайные величины,

принимающие значения в пространст­

ве Y, такие, что

rj8 =г> т)0

при

е

0,

где

г)0 =

const £ Y

с

вероятно­

стью

1.

Предполагается также, что для

каждого

е > 0

случайные вели­

чины

| е

и

г]е определены

на

одном

вероятностном

пространстве.

Пусть также / (х, у)

— измеримая

функция, определенная

на X X Y

и

принимающая

значения

в

Z,

такая,

что

Р {£0 € Af

} = 0, где

Af,y

— множество точек

х £ \

таких,

что

(х, у) — точка

разрыва

функции /( • )

Тогда

/№в. 11в)=*/(6о'т1о)

ПРИ е_^ 0’

Следствие

3.

Пусть £. =

(£е., і =

17Ъ)

иг]е =

(цеі,і =

1 ,т) —

случайные

величины,

принимающие

значения

в Rm,

для

которых

выполняются условия леммы 5. Тогда для любых а( ß( 6 RP

t = 1, m

m

m

2

+

M e,)= » 2

+

M 0/) при e->0

<=i

i=i

и, следовательно,___

___

а)

tëw. n« . 1=

1 -m) =*(&of *W

i =

1, m) при e -> 0;

б)

S .+

тцгФ ^ +

Ло ПРИ e ^ ° -

Пусть

\ (t), t £ Т

— случайный процесс, определенный

на некото­

ром числовом множестве

Т С

[0, оо) и принимающий значения

в Rm.

Для

каждого

набора

моментов

времени іъ .. ,,tn £ Т функцию

^ (* „ ..., g А ,,... , A„) =

P {I ( g

e A*, k =

Г7n), A, eS3,m),

k = T7n

будем называть

конечномерным

распределением случайного

процес­

са l(t).

мы

будем

оперировать с семейством

случайных

В дальнейшем

процессов

(/),

t£ Т,

зависящих от

некоторого числоюго

параметра

серии е >

0.

что случайные процессы

| Е (t),

Определение 1. Будем говорить,

е > 0 сходятся слабо к случайному процессу

£0 (t)

при е ->

0

^ ( 9 ,

* € Т = К 0(9.

t£ Т при е -*■ 0,

если для всех наборов іъ

Т

конечномерные

распределения

F|е (*,. • • -

АР • •

•. К)

Fіо(*l. • • -

A 1....... A«) при 8 -> 0

для всех

множеств

Ар . . . , \

£ 93(т) таких,

что Р {£0 ( д £ Гр. АД,

k = 1, п.

[0, 71 и для каждого е > 0

(0, t

6

[0, 71 —

Пусть теперь Т =

Предположим, что случайные процессы

Іе (9, < € [0, т\ =Ф50 (0, f е [0, л при 8 0.

(а)

при 8 -> 0 .

(б)

Пусть ЯЗГ — борелевская а-алгебра

подмножеств

пространства

Dr

(минимальная о-алгебра, содержащая

все цилиндрические подмно­

жества пространства

Dr)

= {X(0 €D T:x ( g

€ \ , k - IT»},

где

A ,,. . . ,A„ 6 ®(m),

........6 [0. Л . я >

1.

Тогда,

если

/( • )

— функционал,

определенный на

Dr , измери­

мый относительно о-алгебры Ът,

то /(1 е (/))

— случайные величины.

Пусть

S — некоторая топология

сходимости

функций в простран­

стве

Dr

Факт

сходимости

функций

хЕ(i) £ Dr (е > 0)

к

функции

х0 (t)

в топологии S при е->- 0 будем обозначать символом

§

хЕ( 0 ^ x Q(t)

при

е

0.

Функционал /(•).

определенный

на

Dr , будем

называть

непрерывным

на

множестве

Ѵ£$ВГ, если соотношения: а) х

{()-+ xQ(t)

при

е -> 0;

б)

х0(/) £ V

влекут

за

собой

выполнение соотношения

f(xs (t))-+ f(x0{t)) при

в-»-0.

Каждый

случайный процесс £ (I), t£ Т,

траектории которого с веро­

ятностью

1

принадлежат пространству Dr ,

порождает

естествен­

ным образом меру р.^) 7.(.)

на

а-алгебре Ът, задаваемую на цилин­

дрических

множествах соотношением

^6(0.т

=

Р

(*і) £ ^k’

k =

l, п}.

Определение 2. Измеримый функционал /(-),

определенный на

Dr , будем

называть

непрерывным

в топологии

S

почти

всюду по

мере

^

(() Г (•),

соответствующей случайному процессу і (/), t£T,

если

существует такое

множество

Vf £ Э?г,

что р.£(<) т(Vf) = 1

и функцио­

нал f (•) непрерывен в топологии S на множестве Vf.

Пространство

функционалов,

непрерывных в топологии S

почти

всюду

по мере, соответствующей процессу £ (t),

t £ T = [0, Т\,

будем

обозначать

S.(() г

Нас будут интересовать условия, которые достаточно наложить

на случайные процессы | е (t),

t £ Т ,

для

которых выполняется со­

Будем

говорить в

этом случае,

что случайные

процессы

іЕ(і)

сходятся

при

е -> 0

к

случайному

процессу

| 0(t)

в

топологии

S, и

обозначим

это

£е (t),

t £ [0, Т\ -* g0 (i), t £ [0, T ]

при

e -> 0.

логии Скорохода (J).

хЕ(t) £ Dr

Определение 3.

Будем

говорить,

что функции

(е >

0)

сходятся при е-э-0 к функции х0(t) в топологии U, если

sup IX (t) — х0 (t) I -*■ 0

при е -► 0.

*€[0,Г]

Определение 4.

Будем

считать,

что

функции

хЕ(t) £ Df

(е >

0)

сходятся при е -*■ 0

к функции х0 (t)

в топологии J,

если существуют

а)

xe(t)->-x0(t) при 8—>0 для

*€Т,

где Т

— некоторое

счетное всю­

ду плотное в [0, Т] множество;

б)

lim lim Ajj (xs (0, с, T) =

0,

где

С-*О е-*0

A (X (0, с,Т) =

sup

\х (Г) — х(Г)\.

и

о*zt'^t"*zt’+c*;T

Лемма 2. Для того чтобы xR(t)

j

при е -> 0 ,

необходимо

xQ(t)

и достаточно выполнения соотношений

а) хе (t) -> х0 (і)

при 8 —> 0

/Ч

/\

Т — некоторое

счетное

для t £ Т, где

всюду плотное в [0, Т\ множество,

содержащее 0 и Т,

хе(Г — 0)-»-

х0 (Г — 0)

при е —*■0;

б) lim lim Aj (хе (t), с, Т) = 0,

где

м ’°

£^°

A j(х (і), с, Т)

=

sup

min (I* ( П — *(0 |Л * ( 0 — *(*)!)•

Лемма 3.

Если

хе (t) -+■ х0 (t) при е -> 0, то xR(f)

xQ(t) при e -*■

-> 0.Если

x0 (t)

— непрерывная

функция,

то

из

соотношения

хе (t) -у х0 (t)

при е -> 0 следует, что хе(t) ->

(t)

при

е -> 0.

Таким образом, если в общем случае топология II сильнее топо­

логии J, то при сходимости к непрерывным

функциям

эти тополо­

гии эквивалентны.

процесса | (t),

Из леммы 3 следует, что для любого

случайного

/ 6 Т

пространство

Ü?(<) тzd

г, а в том

случае,

когда

процесс

I {t),t 6 Т непрерывен Ъ6(<)>г =

Jsw>r.

Лемма 4.

Для любых двух функций х (t), у (t) £ Dr

Aj (X (t) +

у (t), с, T) <

Aj (X (t), с, T) + Аи (у (t), с, Т),

Аи (X(0 +

у (0, с, Т) <

Д (X(/), с, Т) + 2

sup

| у (/) |.

<€[0,П

существует б =

такое,

что если

1С — Г | < б и точки

t',t" при­

надлежат

одному из интервалов

[0, t\h)), [t\h), ф ]) , . . . ,

[ф-и Ф ),

\tfh\ Т ) (если

Т

— точка

непрерывности

функции x(t),

последний

интервал

можно заменить на промежуток

[ф , Т]), то \х(С) —х {С) |<

< h.

Для любой функции

х (t) £ Dr

Следствие.

lim А (х (t), с, Т)

= 0.

с-*0

Следующие две леммы устанавливают некоторые общие свойства

процессов без разрывов второго рода.

Лемма 6.

Случайный

процесс без разрывов второго рода | (t),

не более чем счетного числа точек. Если процесс |

(t) стохастически

непрерывен в

точке tQ,

то он

с вероятностью 1

непрерывен в этой

точке.

Если £ (f),

t >

Лемма 7.

0 — случайный процесс без разрывов

второго рода,

то существует случайный процесс

(t), t > 0, сто­

Теорема А. Если выполняется условие

(А): 1)

£е (^М £Т =Н 0(ОДеТ

при е -> 0 ,

где

^ (*),*€[0, Л — не-

прерывный с вероятностью

1

случайный

А

процесс, Т — некото­

рое счетное всюду плотное в

[0, Г] множество;

2)

lim М Р {Аи (&е (0, с ,Т )> 6} = 0,

б >

0,

то для

г-М) е-*0

всех функционалов / (.) £ U^(<) г

/& (*))=*/(& 0

(9) ПРИ

в ч»°.

^

u e f ^ i 0(t),t£T при е + о .

Замечание 2. Если

выполняется

условие

(В), то, для того что­

бы для некоторого

Т'

< Т случайные процессы

it), t £[0, Т] схо­

дились

в топологии

J

при е +

0

к

процессу

£0 (t),

t 6 [0, T'], доста­

точно выполнения соотношения:

(іе (t),

( г ± о)), t$ f

n іо, n

=5>(i0 оf), i 0 ( Г

± o)),

t 6 T П [0, T') при e +

0.

В частности, это соотношение

выполняется для

любой точки

Т'

стохастической непрерывности

процесса £„(0.

[0, Л -

лишь счетное число значений eh +

0 при k + оо.

В силу

«принципа

эквивалентности» (теорема

2. 1.1) можно по­

строить на

некотором

вероятностном

пространстве (й, F, Р) случай­

ные величины £' (**)>

К (Г — 0)»

8 ^ 0 так, чтобы выполнялись

условия:

а)

(g ;(g , ^ ( г - о ) ) , ^ е т ^ ( у д д е ( г - о ) ) ,

/* е т , е > о ;

б)

w

— а д

при 8 + 0,

Т и ?е( Т - 0 )

—

^ ( Г - 0 ) при

8 + 0 .

для

каждого

е > 0 случайные

процессы £' (t)

Построим теперь

на [0, Г] следующим образом:

>%(t)

д л я (6 Т ,

„

lim

(п. н.)

(fj

для * £ [0. Л \ Т .

2-4-143

.

ѵБЛИЧіІАЙ

совпадают

и случайные процессы S8 (0 непрерывны справа с вероят­

ностью 1,

пределы в (а)

существуют и Р {£е (Т — 0) = £" (Т — 0)} =

= 1.

Нетрудно показать,

что для каждого е > 0 конечномерные рас­

нее эта процедура построения описана в [60]).

Отсюда следует,

что для

случайных

процессов

^

(0> ^ б [0, Т]

и

S8 (0 ,16 [0, Т] совпадают

меры,

индуцируемые

этими

процессами

на

S3r Следовательно,

траектории

случайных

процессов

(/) с вероят­

ностью 1

принадлежат

пространству

D^, для

этих

процессов выпо­

лняется

условие (В), и для

всех функционалов

/ (•) 6 J^ (() тсовпадают

распределения

случайных

величин / (|' (0)

и / (Іе (0)-

Доказательство теоремы В основано на следующей лемме [60].

Лемма В. Для процессов £' (/), ^£[0, Т]

из любой

последователь­

ности индексов

£т)г -*■0

при k

оо

можно

извлечь

подпоследова­

тельность индексов snk — 0

при k -»- оо так, чтобы

р {%Пк(t), t б [0, Т] і

і; (t), t б [0, T\

при k -> «>} = 1

и, следовательно, для любого функционала

/(•) €

/ (S^ (0) — / (Si (0) при

k -> оо.

Из леммы В немедленно следует (см.

лемму 1. 1. 1), что слу­

чайные величины

Пусть

(/), t б [0, Т]

для каждого

е >

0 — случайный процесс,

траектории

которого с

вероятностью

1

принадлежат некоторому

то:

/

(Se (0 ) =*>/ (оЕ( 0 )

ПРИ £ -

> 0 -

іе (0,^€ [0, Л=ФЕ0(0,^6[О, Т]

а)

при е -»-0;

б)

lim П т Р {Ajj (1Е (0, с, Т) > 6} =

0,

б > 0.

с->0 е-Н)

л

точек

стохастической непре­

Теорема В'. Пусть Т — множество

рывности процесса ^

(і). Если для всех функционалов / (•) 6

то:

ПРИ е

- > ° .

а)

| е ( / м е т . ^ > |0( / ) ^ т при

е +

0,

б)

lim lim Р {Aj (ÉE (t), с, Т) >

6} =

0,

б >

0.

с->0 8->0

Сформулируем еще несколько полезных утверждений о сходимос­

ти случайных процессов без разрывов

второго рода в топологиях U

и J.

Пусть 1Е(/), t£ [0, Т]

\{t), /£[0, Т\

Лемма 8.

и

для

каждого

е > 0 — случайные процессы,

траектории

которых с

вероятностью

1 принадлежат

пространству Dr

Тогда, если выполняется

условие

(С):

1) | Е(0, t £ [0, Т\ =&£0 (t), t £ [0, Т]

при е -> 0 , где £0 (/) непрерыв-

2)

lim ШИР {Ay (|Е (t), с ,Т )>

6} =

0,

6 >

0;

о * 0

е-*0

3)

sup

р

0 при е -> 0, где т)0 (t)

— неслучайная

I ті (t) — т)0 (/) j ^

ftro.n

то

для

всех

функционалов /(•) £

непрерывная функция,

f (ІЕ{t) + Т)г (0) ^

/ do (0 +

\

№

при €

0.

2*

19