книги из ГПНТБ / Сильвестров Д.С. Предельные теоремы для сложных случайных функций

каждого из которых для точек аг, г =1,1

выполняются

соответ­

ствующие условия теоремы 2, то в силу

леммы

10. 2.1

имеют

место соотношения

Г =

М

.

/ = 1 - « .

г (5в (**)),

k

= T

j n

)

= b

=*>

±0tT(Èo («)).

Г =1,1,

j =

1,n,

g (i0(tkf),

k =

T/n)

при

e -V 0

при выполнении условия (В) и

К г±0,Т (Oe(S))- Уаг±0,Т(6*(«)),

Г =

ТД /

= І Д

g (Se (**)),

* =

,/П) =Ф

=^(xar±o.r (So(s))» Var±o.r(i0(s))’

/ “ Хл.

k =

l ’m)

при

е -> 0

при выполнении условий (В) и (С) (здесь

tk,

k =

1 ,m — произволь­

ный набор точек из множества

Ц

fj [0, Г]),

индекс

/

указывает

на принадлежность функционалов т'

г (•)

и уа!_т(•)

соответствующе­

му семейству fXj.

Используя затем соотношения (31) и (33), которые имеют место

для каждого семейства функционалов ц

/

=

1,л ,

и лемму

2.2.2,

приходим к соотношениям:

К

, ±0(6в (*)). г

=

1 , 1 ,

j =

17л,

g

(ie (fff),

/ É

L

=i*

= И Ч , ± о d o (s))> r

=

} =

h

n

,

g (

l

0 ( f f ) ) ,

t e

L

при

e - > 0 ,

(B)

которое имеет место при выполнении условия (Вг); и

К г±0 d* (s))> iar±0 de (s)). Г = 1, /, / =

1, Л, g (|£ (fff), t e L

=$>

r

r

°(1

=И Д ±0 do (S)). Va, ± 0 do (S))- '

= X 7,

j = TT«, g (£0 (*))), * €

при e

0,

(г)

которое имеет место при выполнении

условий

(Bj)

и

(Сх) (как и

выше, индекс } указывает на то, к какому

семейству

относятся

функционалы та (.) и уа(- ))•

Замечание

16.

Пусть

<*N»/

что

U [х (ы)] — множестю таких t £ [0, оо),

для любой последовательности

функций jc^ (и) £ D, п >

1

такой,

что

хі (и) Д. х ' (и)

при

п -> оо,

необходимо lim р+ (х

(и)) < а,

если толь-

ко ц+ (Хп(и)) < а.

П-+Со

Нетрудно показать,

что для лобой точки

t,

если

/ €

U [х (и)],

то

для всех Т >

/ точка

/■«*»

/ (Е Ur [х (и)).

Используя

это обстоятельство и замечание

3,

можно

показать,

что событие La в формулировке теоремы

2 можно

заменить

на

со­

бытие

К =

К

(Ео (*)) =

*(„, €

и ІЕ0 №

Ц а) (So (*)) <

а}.

Замечание

17. Для выполнения условия (В) достаточно,

чтобы

процесс

(Іц (s)),

I >

0 был

строго

монотонно возрастающим

с ве­

роятностью 1.

18.

Замечание

Для

всех

<

Г

ЭП(, r

C L

. Поэтому,

если

Р(Ц) =

1- то выполняются условия

(В.)

и (С,).

Замечание

19.

Если процесс g (|0 (і)) = / (|' (t), g” (0),

t >

0,

где

/ (*, У) — непрерывная функция,

|ц (0 , t

>

0 — непрерывный с вероят­

ностью 1 процесс,

Іо (0 . t > 0 — стохастически непрерывный процесс

без разрывов второго рода, независимый от процесса ц+ ( |0(s)), t >

О,

то P (N J

= 1

и выполняется условие (Сх).

| g (1) =

Остановимся

еще

более

подробно

на

случае,

когда

= (уе (t), те (t)), t

>

0 — случайные процессы,

принимающие значения

в Rm = R, X Rj,

\xt (г (и)) = у (t), t >

0

для

функций

г (и) =

(х (и),

у (и)) 6 б

таких,

что компоненты х (и) и у (и)

принимают значения

соответственно в

R, и R,

ч g(z) = х

для г =

(х, у) 6 R, xR,.

Для простоты ограничимся случаем,

когда

т+ (і) Д- оо при t-*oo

(чтобы не возникала необходимость «урезать»

допредельные

момен­

ты перескока

через уровень а). В этом случае

1

та (|е (5))

= ѵб (а)

=

inf (s : xg (s) >а),

а > О

и обобщенный

процесс восстановления

Уa (k (S)) =

(ѵе И )-

а >°-

Теорема 3. Пусть выполняется условие (А,)

и Р {!о(0 бѴ^} — 1.

Тогда, если выполняется условие

(В2) : Р {т+ (О =

т+ (О =

ak) =

0, k =

177,

t'

<

f ,

то

___

(ve (ak ±

0), k =77г)=Ф (ѵ0(а* ±

0),

k = \ ,r )

при e->-0.

Если,

кроме

того,

выполняется условие

(С2) : Р {т^Дѵ0(ak — 0)) =

ak, у0(ѵ„ Ю

~ 0 ) Ф У 0(ѵо (а*) +

0)} =

0,

k = \ ,r,

то

___

( V , (ak ±

0), уе (Ve (ak ±

0)), k =

1, г) =S>

=i>(v0(aı

0), v0(v0(ak ±

0)), k =

1, г)

при

e -> 0.

ѵе (а) =

inf I

[sate)]

X (г, k) >

: 2

и

*=i

[ v e ( a ) o ( e ) J

Уa ( U s)) =

2

V(e.Ä). ß > ° -

A=1

Если

величины

у (е, £)

= -J-y , k > 1,

то

уа (іе (s)) = ѵ (а),

а >

0 — обычный

процесс восстановления. Предельные распределе­

ния

для

таких

процессов

изучались в работах

[79, 90, 92]. Для

случая, когда

последовательность

(у (е, k), т (е, k)), k >

1 представ­

ляет собой последовательность независимых или

слабо

зависимых в

том или

ином

смысле случайных

величин,

предельные распределе­

для всех функций х (и) 6

множество

U [х (ы)] = [0, оо)

и

для

предельного процесса

(t\, t > 0 величины р+ (£0(s)) 4 - оо при t

оо,

так что для всех а >

0 с вероятностью

1 та (£0(s)) = inf (t: p((|0(s))>a)-

В дальнейшем нам потребуются следующие леммы.

Лемма 1.

Существует не более чем счетное множество точек S0

такое, что для

а 6 S0 найдутся точки

t' <

f такие, что

р {9(+ (Б0(s)) ■= р,І (Іо (s)) =

a} > 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если

(х (и)) =

р+ {х (и)) =

а (t' <

/"),

то точка а является точкой

разрыва

функции

та (х (и)),

а >

0.

По-

точкой непрерывности процесса

тд (£0(s))

(процесс та ( |0(s)),

а > О

не имеет разрывов второго рода).

Так как

множество точек,

в ко­

счетно, то и множество S0 не более чем счетно.

Следствие 1. Если для случайных процессов | е (f)

выполняется

условие (А) сходимости в топологии J и

Р {£0(і) £ Ѵ^} =

1, то

<Та ±0 (к (S))- ё (1е (0))* (*• 0 € S0X L =$>

=£> (та±0 do (s))> ё do (0)), (S, о 6 S0 X L при

e -> 0.

(1)

Здесь и ниже L — множество точек

стохастической

непрерыв­

ности процесса І0(0 . t > 0-

Обозначим

S, = {а £ [0, оо) : Ра = Р { р + 5o(s))) do («)) =

« < Р £ (5о(,„

&(*»} >

°}-

s i = и

и

U

где

£=1 л= 1т =1

А„.» -

Н < « ч, “ а <

P j « . » ft) М) -

т }

•

Тк, k >

1 — последовательность

положительных

чисел,

Тк -> оо при

к-*- оо.

Предположим, что множество Sx более чем счетно.

Тогда необ­

ходимо

существуют такие

n,m, k,

что множество

S ^m бесконечно.

Пусть аг, г =

1 , 2 , . , . — некоторая последовательность точек

из Sn km.

Если

для

некоторой

последовательности

случайных

событий

Ak, k > \ , Р (Ak) > ß ,

k >

1, то и

Р ІП ш

Ah) -

р {

П U

л

) -

limР | Ц

Д

> и.

U-^OO

ln= l k > n

J

Л-РОО

I

J

Заметим теперь, что для точек щ ,

і =

1,2

для любой функции

л (и) £ D,

если

М«)> I* (“»

= fli <

^

№ )) (* («» -

4

и а , ф а 2, то

т0] (х (и)) ф

(х (и))

и точки та{(х(и)),

і =

1,2 явля­

ются точками

разрыва

функции

(х (и)), t > О, величина скачка в

которых больше или

равна

.

Учитывая сделанные замечания, получаем

^ <

Р {Ш Л

} = Р (Н т А

т

& (s)) Ф

ф

\ (s0(s)).*Ф /} < р

>^ѵ}, у ж

Здесь

4 ”’ — число точек разрыва

процесса р+ (£0(s)), t >

0 на

про­

межутке [0, 7\1, величина скачка

в которых больше или равна

.

Последнее соотношение противоречит тому, что

— конечная

с вероятностью 1 случайная величина.

Обозначим

S2 =

(So(s)) =

=

P+(lo(S)) (So (S)), g (5 (Ta (10(s)) + 0)) ф g (I (xa $0(s)) =0}.

Лемма 3.

Множество S2 не более

чем счетно.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Очевидно,

оо

оо

со

оо

= Р^(5в,Ч)

(S)) = а *Т- ^0 (S)) =

(g (So (*)))>

(функционалы xj n(•) определены в § 2. 3).

Предположим,

что множество

S2 более чем счетно.

Тогда най­

дется множество

>т, содержащее бесконечное число точек. Пусть

а.), ] = 1, 2 , . . . — последовательность точек из S7*r>m. Тогда

1 , г, гг~

<р

р(В7* п в7*

Vn*r,ajf 11 n.f.ay»'*

откуда

следует,

что найдется

пара

точек

ajrФ ajm такая,

что

Р {Вг*

П Вг*

} >

0.

С другой стороны, для точек ау , t

=

1,2

для

любой

функции

X (и) 6 D, если |Г+

Wu)) (х (и)) = ^

(, (ц))(* (и)) = \

и а,{ ф а,2,

то

)•

ПоэТому

Р o f t

п в ;* ,.,д

<

р

в . (“»

=

«

.

W).

PS r ‘5o(“)) ^0 ^

=

«)> ^0

Таг (ІО (“)) =

(So(«))

=

Tr*n І8 (І0(“)))} =

0.

Следствие 2. Для всех точек

а g Sx U S2

Р Й(Ео(*)) (?0(S)) = й - ^ 0

(ха (Іо (S)) — 0)) ф g do (Xado (S)) +

°»> =

°-

Следствие 3. Если для случайных процессов

(t) выполняется

условие (А) сходимости в топологии J и Р

(0 6 Ѵ^} =

1,

то

(Ta±0 de (S))> Ya±0 de (s))> 8

(Se (S)))> (a>0€ \ J

S, XL Ф

/=0

____

= ^

( T a ± 0

(So (S ))>

Y a ± 0 (So ( S ))>

8 (S0 ( « ) ) ) •

(a

> 0

6

U

S ,

X

L

П р и

6 - V

0 .

1 = 0

(а)

Это следует из лемм 1—3 и замечания

15 § 1. 4.

Заметим еще, что для обеспечения сходимости

совместных рас­

пределений

процессов

(та±0 (1е (s)),

уа±0 (|е (s))),

а > 0

и g

ф), t >

0

на множестве

х L

^здесь

^

S;j

fl [о,, f 2lU {о,, t»2} j

необходимо еще

потребовать

выполнения

условий

(Вх)

и (Сх)

для

точек üj и ѵ2.

В силу определения функционалов та (-) и уа (•)

траектории слу­

чайных процессов та(|g (s)), a > 0 и ya (|е (s)), а >

0

с вероятностью

1 принадлежат

пространству

D.

Условия

сходимости

процессов уа(£g (s))

в

топологии

U дает

теорема.

Теорема 1. Пусть выполняется условие (А)

и Р{£0 (06 Ѵ^} =

1.

Тогда,

если процесс

g ( |0(/)),/>

0 непрерывен

с вероятностью

1

и

процесс р.+ (£0(s), t >

О строго монотонно возрастает с вероятностью 1

(что

необходимо и

достаточно для того,

чтобы процесс ха(|0(s)),

а >

О был непрерывен с вероятностью 1),

то для всех функциона-

ѵ > о

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Поскольку

процесс

р+ (£0 (s)), t

> 0

строго монотонно возрастает, то условие

(BJ

выполняется

для

всех

■а> 0. Из непрерывности процесса

g (g0(/)),

i >

0 с вероятностью 1,

следует, что для

всех а >

0

выполняется

условие

(CJ.

Поэтому в

силу следствия 3

(ta (ie (s)), Ye (ge (s))),a>O=J>(Te (6o(s)),Ye (|0(s))), а > 0

при

е -* 0 .

Поскольку процессы ^

(f), 16 {0, Т'\

10(t), t £ [0, Т \

при

е

0,

Т' > 0, то в силу теоремы

1. 3.

1

и процессы

g (|g (f)), t 6 [0, Т'\ -*

*(£о(0М € [ О , Л

при е - ^ 0, Г

>

0,

и

так

как

процесс

g(£„(0),

і > 0 непрерывен с вероятностью

1, то имеет место и сходимость в

топологии U, следовательно, процессы

g (£е (t)), t £ [0, Т'J, Т >

0 ком­

пактны в топологии U. Поскольку процессы

ха(£0(s)), а >

0

непре­

рывны

с

вероятностью

1,

то

компактность

процессов

та(£0(s)),

6 [0, f]

в

топологии U

следует

в силу

леммы

1. 1.3

из

соотно­

шения (1).

к процессам g (£е (/)), t >

и т0 (g£ (s)), а 6 (0, о]

Применяя

0

теоре­

му 1. 1.3, получаем утверждение теоремы.

Перейдем теперь к изучению условий

сходимости

обобщенных

процессов

восстановления

уа(ge (s)), а >

0

в топологии J.

Теорема 2. Пусть выполняется условие (А)

и

Р {S0(0 6 Ѵ^} = 1.

Тогда,

если

Р {L0(J N0} =

Р (Lo U N J =

1

и

случайный

процесс

р+ (£„ (s)), t

>

0 строго монотонно

возрастает

с

вероятностью

1,

то

для всех функционалов /4 0

6 JVa(|o(s)).t.,

/ (Уа ( І е Ш

=

* f

(УЙао

ПРИ

8

“ ►° -

Д о к а з а т е л ь с т в о .

В

силу

следствия

3

имеет

место

со­

отношение

(Ха±0 Йе(0). Va±0 Йе(S))).

€ To =ф

(Та ±0Йо (S))>

Уа±0Йо (S))). ö € T„

При 8

0,

(2)

здесь Тв =

S/^ П [0. v]J U

{0; v}-

Таким образом, достаточно только проверить,

что случайные про­

цессы

уа(£е (s)), а 6 [О, ѵ] компактны в топологии J.

Поскольку

процесс та (І0(s)), а >

0

непрерывен

с

вероятностью

1, то компактность процессов ха(£е (s)), а 6 [0, о)

в топологии

U

сле­

дует в силу леммы 1. 1.3 из соотношения (2).

Компактность процессов g (£е (0); t £ [0, T' J, Г > 0

в топологии

J

следует из того, что g (|е (/)), t £ [0, V J -І- g d 0(0),

1£ [0, V] при e-> 0.

Компактность процессов

уа (5е (0), а €10, ѵ]

в

топологии J

полу­

чаем теперь, применяя к процессам g (£е (/)) и та (£е (s))

теорему 2. 2. 3 .

Рассмотрим общий случай, когда процесс %а

(s)), а >

0

может

иметь точки разрыва.

Пусть для функций X (и) £ D

хіп К (х («))) =

і*;.„ (р,+ (X(«)))

— точки скачков функции т0 (х(и)), а >

0 на

промежутке

[0, ѵ] ве­

личина

скачка

в

которых

попадает

в

промежуток

^ -д ^

^

(функционалы

(■)

определены в § 2. 3).

Тогда

«*.» №

(X (и))) =

v

{VL+lxiu))) ±о (X(“))

ß.n I

— моменты начала

(если выбрать знак

«—») и окончания

(если

вы­

брать знак «-)-») участка постоянства функции

(х (и)), длина

ко­

торого

попадает в промежуток

4 “)

и

значение

функции

р+ (х (и)) на котором меньше или равно ѵ.

Условие (Е)

§ 2. 3

примет в этом случае вид

(Е): Р (а®-* (р,+ (|0(s))) g R lg do (s))]} = l , f c > l , n

= 0 , 1, . . .

Замечание 1. Условие (Е) автоматически выполняется, если про-

цесс g(£0(/)), t > 0 — непрерывен

с вероятностью

1.

Для выполнения условия (Е) достаточно также, чтобы выполня­

лось условие

(E'): g d 0(0) =

/d ö (0), II (0), t > °.

гДе:

a)

/ (x, у) — непрерывна*

функция

; б)

£' (f), t >

0 — непрерывный с вероятностью 1 про­

цесс; в) ?о (0 . t > 0 — стохастически

непрерывный

процесс без

разрывов второго рода, независимый от процесса р+ (£0(s)),

t >

0.

Действительно, в этом случае

величины

а"-* (р.+d 0(s))),

k >

1,

n > 0 не зависят от процесса

(t),

/ >

0 и в силу леммы

1. 1.2

р К :*

№ do (*))) е R [g (Іо Ш

=

Р К *

W

do (*))) e R 1% (*)]} =

o.

Необходимо еще

потребовать выполнения условия компактности

процессов та (ge (s)), а 6 [0, ѵ]

в топологии J

(D): lim Шп Р {Дл (х

(ge (s)),

с. ѵ) > 6} = 0.

£>->0 е->0

Теорема

3. Пусть выполняется

условие (А)

и Р{І0(0 € Ѵ ц} = 1.

Тогда, если

выполняются условия

(B) : Р{Ж (, г „} = Р{ЭЛ(, r J = 0

для всех V <

f

Ta±0( U s))> ѵа±0(М 5)Ь е М ) ) ,

( М ) € Т 0 X l 4>

=5> ( * . ±

0(Ео (S)). Уа± 0 do (s))- s do (0)). (a. 0 € T„ X L

при e -> 0.

(3)

Таким образом, достаточно только проверить,

что случайные

процессы уа(|е(s)), а £ [0, о] компактны в топологии

J.

Для этого достаточно проверить

выполнение

условий

теоремы

3.

2. 3.

Выполнение условия

(В)

обеспечивает

соотношение

(3).

В силу того, что процессы g (£g (0), t € [0, Т'\

g (|0 (/)),

1£ [0,

Т' J

при e -»• 0,

Т' > 0, выполняется

условие (С) теоремы 3.2.3.

Условия

(D)

и (Е)

просто совпадают с условиями

(D) и (Е)

этой теоремы.

Результаты, полученные в §

§ 1

и 2,

очевидным образом могут

Пример 1.

Пусть D =

D(m>

и

{X (и)) = ф (х (0 ), t > 0,

где ф (х) — непрерывная функция,

определенная на Rm и принимаю­

щая значения

в

R,.

иг

Как

следует

из леммы

1.3.1,

если

функции

при

хп (и) -+х0(и)

п-+оо*

и х0(и) 6 D(m), то

I sup ф (хп(S))— sup ф (х0 (s)) I <

supI ф (хп(s)) — ф (х0 (s)) I

0

s ^ f ± 0

s < f ± 0

s < /

Т < со,

при п

ОО,

/ <

следовательно, в данном случае подпространство Ѵд =

D(m),

и

для

всех функций х(и) из D(n,) множества

U [х (и)] =

U [х (ы)] =

[0,

со).

Пример 2.

Пусть D =

D(m) и

(х (ы)) =

ф (X (0,

X (t

0)), t > о,

где ф(х, у) — непрерывная

функция,

определенная на Rmx R m и

принимающая

значения в R,.

Совершенно аналогично тому, как

это сделано в примере

1,

по­

казывается, что и в этом

случае

подпространство Ѵд = D(m)

и мно­

жества

U [X (и)) = 0 [х (и)] == [0,

оо) для всех функций

х (и) € Ѵд.

* Здесь и ниже специально

не оговаривается,

что функции х

{и) £ D,

п =

иГ

при п->оо

означает,

что

функции х

(и).

= 0, 1,. . . , и символ хп (ы)->-*„(«)

и

и £ [0, Т\

при п —ю о .

п

и £ [0, Т]-> х0 (и),