книги из ГПНТБ / Сильвестров Д.С. Предельные теоремы для сложных случайных функций

Соотношение (20) следует в

этом случае из

(21) и (22). Лемма

доказана.

Замечание 2.

Если

проанализировать

доказательство

леммы

2,

то нетрудно убедиться, что при тех же

условиях оно

справедливо,

если вместо момента перескока та (•) и функционала

(.) рассмат­

ривать функционалы:

~

, ч.

| inf (s;Hs (* (“)) > а),

если р+ (X (и)) > а,

та (х (“)

— I

т ,

если р+ (х (и)) < а,

— момент достижения функцией p,t (х (и)) уровня а, и

Та ІХ (U)) = g(x(T:а (X (“))))■

При этом,

поскольку

в

силу условия

(F,)

очевидно

для всех

функций X (и) £ Dr

\

(* (“)) =

Та- 0(* (“)) =

Ха (х (“))>

(23)

то в условиях

(F2)

и

(Fg)

можно не

заменять функционал

т0 (•)

на

функционал

гчл

и формулировку

леммы оставить без

изменений.

та (»)

Таким образом, если выполняется условие (А) и Р {£0(s) € Ѵ£} =

1,

то при выполнении

условия (В) функционал т0 (•),

а при выполнении

условий (В) и (С)

и функционал

уа(-)

являются

непрерывными

в

топологии J

почти

всюду

по

мере,

соответствующей

процессу

б о Р м е ю , п

если

выполняется условие

(А) и Р {£„ (s) £ Ѵ£} = 1,

то

Поэтому,

при выполнении условия (В)

*« (6. (S))

@0(S)) ПРИ

е ~*°-

а если, кроме

того, выполняется условие (С), то и

Та (5в

=* Уа Go (*)) ПРИ

8_>0-

Заметим

еще,

что

из

соотношения

(23)

следует

ха(Ig (s)) ==

= Ta_oG0(s)) с вероятностью 1, следовательно,

процесс xa(l0(s)) (по

а) стохастически непрерывен.

Замечание 3. Проанализировав доказательство

леммы 1,

нетрудно

CNJ

тех

t 6 [0, Г], для которых из со­

Здесь Ur [х (ы)І — множество

отношения р,+ (х (и)) < а следует,

что

lim

(х„ (и)) < а для любой

п-^оо

К = { \ <*о (“)) =

€ urKo 01, v£

do0 ) < «}•

(a )

Замечание 4. Пусть выполняется условие (А) и Р{Ео0£Ѵ £ } = !•

Тогда для любого набора точек ат,г = 1,

для которых выполняет­

ся условие (В),

( \ d , 0), \ ( к

0).г -

ГГ, g(te ( Г - 0)), g (£в (/))), t € L=5>

= * ( \ $ О0), ?aßo (S))’ Г =

gßo (T ~ty), g(% (0)). ^ 6 L При 8- ►0.

здесь L — множество точек

стохастической

непрерывности

процес­

са

| 0(t)

плюс точки 0

и Г.

ап г = 1,

Если,

кроме

того,

для

точек

/

выполняется

условие

(С),

то

(\(1 е 0Ь \ ( к

(S))’ Yar de 0). Уаг d, 0). Г =

1,

g deP* ~ 0).

g de W))> *6 L =Ф(т^ d 0(s)),

T0r (i0(s)), Yar d 0(s)), Yardo (s)),

r =

l , / , ^ d o ( 7 , - 0 ) . g d ö( 0 ) ) ^ e L

при e - > 0.

Эіо следует

в силу

леммы

10. 1. 2 из того, что

при

выпол­

являются J- непрерывными почти всюду

по мере,

соответствующей

процессу god), t £ [0, Л -

Замечание 5. Область применения теоремы

1

можно

несколько

расширить следующим образом. Пусть

а* (•),

t £ [0, 71 —

семейство

всех

функций

X(и) 6 Dr

функции at (х (и)),

t £ (0, Л

принадлежат

пространству

Dr ;

б ) если

хп (и) -Д х0 (и)

при п

- у

оо, то и

(хп (и)) 4- at (х0 (и)) при я - * оо.

Тогда,

очевидно, если случайные процессы

Е, (0. t € [0, Т] Л g0d),

/ 6 [0, Л

при 8 -> 0,

то и случайные процессы

Л a, d 0(s)), 16 [0, л при e-»-0,

«(de 0 ). S6 [0, r J

и теорему

1

можно

применить

не

непосредственно

к

процессам

lE(t),

а к

процессам

I' (0 =

a, (ge (s)),

t £ [0, Л -

Отметим,

однако,

что если

семейство функционалов р = <

рД.),

t € [О, Т] >

является однородным на

DT,

то семейство функционалов

ца =

< р ( (аи(•)),

і 6 [О, Т\

> ,

рассматриваемых как функционалы на

Dr, может быть и неоднородным.

В качестве функционалов а ( (•). удовлетворяющих

условиям а)

и

б),

могут

быть

выбраны,

например,

функционалы at (х (и)) =

=

Ф (t,x (/)), где ф (t, X) — некоторая непрерывная функция на Rx х Rm

(это следует

из леммы 1. 3. 1). При

этом Dr

=

Dr.

Нетрудно

показать

также,

что в

качестве

функционалов

<х( (•)

могут фигурировать at (х (и)) =

J ф (s, х (s)) ds.

При этом

Dr =

Cr —

о

пространство непрерывных функций на [О, Т\.

Замечание 6.

Отметим

также

связь

теоремы 1 с результатами .

§ 3. 1.

Может

показаться, что теорему 1

можно

получить как след­

ствие теоремы 7.3. 1, если применить ее

к процессам |'( /) =

(|g (t),

ц+ (£е (и))) и выбрать функцию ф (x)=xm+l

для

(хр . . . , xm)6Rm+1.

Действительно, если

Т* — множество точек

стохастической

непре­

рывности процесса £'(/),

то

^ ( / ) Д е т *

^ ; ( 0 Д б Т *

при е -> 0.

Однако в общем случае компактность процессов

(t) в

топологии J

не следует из того, что:

(t) 4-

(/)

при

е - > 0, ц — однородное се­

парабельное

семейство функционалов

и Р { | 0(/) 6

=

1.

Нетрудно построить

соответствующий

пример. Пусть Dr — про­

функций на [— 1, 1] и р, (*(«)) =

ф (х (0 ), где

4>(х) =

— 1

ДЛЯ X < — 1,

0

для

— 1 < X <

1,

1

ДЛЯ X > 1.

Семейство

функционалов

р =

<

Ф (х (t)),

1 6 [0, Т ] >

является,

очевидно,

однородным,

и

если

функции

хп (и) 6 Dг,

п >

0 и

хп (и) - V

х0 (и)

при п —►

ОО , то

р+ (хп (и)) = ф (хп(t)) - > ф (х0 (t))

при

п-*-оо

для

всех 16 [— 1, 11,

исключая точки,

в которых

х0 (и)

при­

нимает

значения ± 1 (таких точек не более

двух).

Таким образом, в данном

случае

= Dr .

Однако,

если

вы­

брать функции

*0

и — 1,

для и <

0,

и +

1,

для и >

0,

то,

очевидно,

но

,и)

при п

ОО,

— 1

для t

< О,

<P(*oW) =

+

1

для t

> О,

и

— 1

для

t

< -----L

п ’

Ф(*„(0)=)°

^

- ±

<

* <

1 ,

и,

как легко

понять,

1

для

t

>

л ’

j

Ф ( Х п

(0) 7^ ф (-«0 (0)

При п —

ОО.

Сделаем еще несколько замечаний относительно условий (В) и (С).

Замечание 7. Для выполнения условия (В) достаточно, чтобы

выполнялось

условие

і 6 [О.Г] — строго

(B'): процесс

ц+ ( |0(s)),

монотонно

возрастает с

вероятностью 1.

t'

f

< Т имеет место соотношение

Замечание 8. Для

всех 0 <

<

OT('t"ac i Lj . Поэтому,

если Р { }

=

1,

то

автоматически

выполня­

ются условия (С) и (В).

Замечание 9.

Если g (£0(s)) — непрерывный с вероятностью 1

слу­

чайный процесс

или процесс g (^, (s))

стохастически непрерывен

и не

зависит от процесса р+ (£0(и)),

t £ [О, Т],

то

Р {NTa } =

1 и выполня­

ется условие (С).

Перейдем теперь к рассмотрению обобщенных

процессов восста­

новления, определенных на промежутке [0, оо).

Пусть

D<m) =

D — подпространство функций из

D<m>, обладающее

тем свойством, что для любой функции

X(и) 6 D и любого отображе­

ния А,(/) 6 Л

функция X (А, (и))

также

принадлежит

пространству D.

Здесь

Л — пространство

непрерывных

взаимно

однозначных

отображений k(t) промежутка [0, оо)

на

себ і

таких,

что А(0) = 0.

Пусть

ц = < Р , ( - ) .

^ > 0 > — некоторое

семейство

измеримых

функционалов на D, принимающих значения в

р

Определение 6. Будем говорить, что

семейство

сепарабельно,

если для

каждого / >

0 функционал

ц +(.)

=

sup

ps(.)

О

Определим также функционалы

для t = О,

lim

р +(.)

для

/ > 0

и функционал

S->t ,S<f

Р+(*) = Нт р+(.),

/-►оо

который

может

принимать

значение

-f

оо на

некотором множестве

6 3SD — а-алгебре борелевских подмножеств

D.

Для

каждой

функции

х(и) 6 D

через хт(и) = х (и), и 6 [О, Т]

будем обозначать «урезание» функции х (и) на

промежуток [О, Т] и

через Dy, = {хт(и): х (и), и >

0 6 D} — «урезание»

пространства

D

на промежуток [О, Т].

Определение

7. Измеримый функционал а(>),

определенный

на

ос (х' (и)) =

ос (х" (и)) для всех

функций

х' (и), х" (и) 6 D таких, что

х '(«)) = *

» , и в [О, Л-

Очевидно, Г-марковский функционал ос(-) можно рассматривать

как функционал на пространстве DT (там,

где это необходимо, будем

обозначать

этот функционал а 7'(.)), определяя для

всех

x ( u ) 6 D:

: ат(хт(и)) = а (х (и)).

Заметим при этом, что пространство Dr

обладает

тем

свойством,

что для любой функции X (и) 6 Dr и любого

отображения

Я(t) (ЕАт

функция X(Я (и)) также принадлежит Dr .

Это следует из того, что для любой

функции х (и) £ D и

любого

отображения Я(/) £ Л такого,

что Я (Г) = Г : у'т(и) =

у”(и), и £ [О, Т]

(здесь у' (и) = X (Я (ы)), и > 0

и у”(и) — хт(и), и £ [О, Т]).

Определение 8. Семейство

измеримых

функционалов ц =

(р,(.),

t > 0), определенных на D и принимающих

значения в

Rx,

будем

Определение 9.

Измеримый функционал ос (•),

определенный на D

и принимающий значения в RÄ, будем называть

(U, ^(-непрерывным

на функции

х(ы),

если для любой

последовательности функций

хп (и) в D,

п >

1 такой, что хтп (и) ->хт(и)

при п -> оо, необходимо и

а (хп (и)) -> ос (х («))

при

п -> оо.

Пусть

|Ц =

(|і< (*)> і > 0 ) — некоторое

сепарабельное марковское

семейство функционалов.

Через

U [х (и)] будем обозначать множество тех

t £ [0, оо),

для

которых функционал |А+(.) (U, ^-непрерывен на функции х (и),

через

U [х (ы)] — множество тех 1 £ [0, оо), для

которых функционал

(•)

(U, ^-непрерывен

на функции

х(и).

(х (и)

D,

Пусть также

Ѵц — подпространство функций

из

для

которых

множество

U \х (ы)]

содержит

некоторое

счетное

всюду

плотное в [0, оо) подмножество Т*(и).

Замечание 10. Аналогично тому, как это сделано в замечании 1,

можно показать, что для всех функций х (и) £

множества U (х (и)]

и U [X (и)] содержат

все точки

t£ R [р+ (х (ы)]

П (0, оо).

t >

Определение

10.

Семейство измеримых функционалов ц =

(ц,(-),

0) будем называть однородным, если для

всех

функций

х (и) 6

6 D

и отображений Я, (/) £ Л

ІЧ(о (* (“)) =

Ң (* (*■ (“)))> t > °-

Замечание 11. Нетрудно понять, что если функционал а (- )

является Г-марковским, то и для всех

Т' > Т

этот

функционал

является Г'-марковским. Поэтому, если

ja =

(ц( (•), t

> 0) — мар­

ковское

семейство функционалов, то семейство функционалов р т =

= (ji( (•), t 6 [0. Т])

можно рассматривать

как

семейство измеримых

= І*# (X (и)),

10,71).

(U, ^-непре­

Замечание

12.

Если Т-марковский функционал а ( - )

рывен

на X (и), то он

Т-непрерывен на

х (ы) для

всех Т' > Т.

Поэтому, если

ja =

( ja( ( . ) ,

t > 0) — сепарабельное

марковское

семейство функционалов и точка t£ U [х (и)] (U [х (и)]), _то

для

всех

Т > t

точка

t

принадлежит

множеству

Ur [х (ы)] (Ur [х (u)J)

для

соответствующего

семейства функционалов

р г = ( ja, (•),

t £ [0, Т\),

если функция х (и) 6 V , то

ее «урезание» (функция хт(и))

принад­

лежит

подпространству Ѵ£ пространства Dr.

Замечание 13. Если р =

(цг (•)> t > 0 ) — однородное марковское

семейство функционалов

на

D, то семейство

функционалов ц 7 =

=

рг (•), t d [0, Г]), рассматриваемое

как семейство функционалов

на

Dr,

также будет однородным.

Это следует из того, что для всех

функций

x (u)£ D и

отобра­

жений

А,(/) £ Л

таких,

что Х(Т) = Т: р£(() (хт(и)) — |іХ(<) (х(ы)) =

= ц г(х(Я,(ы)) = р( («/'(ы)) =

Рг («/,г (“)) =

^(г/"(Я,(и))) (здесь

у'(и) =

— х(к (и)), и > 0

и у (и)

=

хг (и), и 6 [0, Г]).

В дальнейшем постоянно рассматривается некоторое сепарабель­

ное

однородное

марковское

семейство функционалов ji =

(jit (.),

t >

0).

Отметим только, что в том важном случае,

когда р* (х (и)) =

ф (х (t)),

t > 0,

где ер (х) — некоторая

непрерывная функция, определенная

на Rm,

подпространство

Ѵц =

D и U [х (u)J =

U [х (и)] =

[0, оо) для

всех функций x(u)£D.

Определим теперь случайные функционалы

. ,

I inf (s : ps (X(и)) > а),

если р+ (х (и)) > а,

т„ (х (и)) ==

\Т а,

если р+ (х(и)) < а,

и уа{х(и)) = g (x (та(х (и))),

где g( •) — некоторая непрерывная функ­

ция, определенная на Rm и принимающая значения в RA.

Замечание

14.

Если

£ (t) — случайный

процесс,

траектории

которого с вероятностью

1

принадлежат пространству D, такой, что

P{p+ (|(s)) > а} =

1,

то

с вероятностью 1

х а

Й

(S)) =

i n f ( S : P s ( 6

( “

) ) >

а )>

и необходимость в «урезании» величин

та( і (s)) отсутствует.

Пусть £е (0.

і

> 0

для

каждого

е > 0 — случайный

процесс,

траектории которого

с

вероятностью

1

принадлежат

пространст­

(()

в топологии

J

(Ai):

1) le(t), ^€Т*^>£0(/),

при

е ->0,

где

Т*— некоторое

счетное всюду плотное в [0, оо)

множество

точек

стохастичес­

кой

непрерывности процесса | q(/)

содержащее

0;

2) lim П т Р {А,, (Іе (0, С, Г )

>

6}

=

0, 6, Г > 0.

с-Ю6-М

ц = (p t (-),

^ >

0 ) — некоторое

сепарабельное

Пусть

также

однородное марковское семейство функционалов.

Обозначим

Щ ' , Г , а = ( P r So (S))

=

Йо (s )) = а )<

К =

{ \ Йо (s)) =

t(a) 6 Ö Il0(s)], P+ , (Z0 ( S ) )

<

fl},

=

i§ йо (^(a)+o)) =

&Йо (^(o)_o))}'

Теорема 2.

Пусть

выполняется

условие

(А,), Р {50(0 6 Ѵц) = 1

и P{p+(£0(s)) >

а} =

lim P{p+(!0(s)) >

а) =

1.

Тогда,

если выпол-

няется условие

СО

t' <

f <

(Bj):

Р {ЗЛ(,.Г а} =

0

для

всех 0 <

оо,

то

ХаЙе (®))

ХаЙо (®))

при 8 - > 0.

Пусть Th,

k >

1 — некоторая последовательность

точек

стохас­

тической непрерывности процесса ё> (t) такая, что Т к -*■ оо при k

оо.

В силу определения

функционалов та Г(.)

Р {I ^а,Т Не («)) -

^ & (®)) 1 > 0 } < Р { р + (|е (S)) < а} =

=

Р {Та,Т de (S)) ^

(28)

Выберем

sr^ 6

Tkj,

k > 1 так, чтобы

для

каждого

k > 1

точка

sr^

была

точкой

непрерывности

функции

распределения

случайной величины ^

^(^ (s)).

Используя

(28)

и условие P{p+(^0(s)) > а} — 1,

получаем

Ш Р І

\ Т

т

( % ( S ) ) —

то ( I

(s)) I > 6} <

Tim Р {т

(£е (s>) >

S T

\

=

е-*0

я

е-М

я

*

(29)

= Р b a j

(S# (*)) > «ГI = Р {pf d o (s)) < а}

и

__

*

*

Tk

Hm lim P (I таіТ(?g (s)) — та

(s)) | >

6} <

Ä->©oe-K)

<

lim P {p+ (Iq(s)) <

a) =

0.

(30)

&->co

Tfe

Из (28)

следует также,

что

Т а , Т do (S)) — \

dt (s))

0

При T ->

(31)

Из соотношений (26), (30) и (31) в силу леммы 2.2.2 следует,

что

Ta(M S))=J>Ta(£o(S))

ПРИ 8-*-°-

В силу определения функционалов ха>т(.) и уа,т(») имеет место

оценка

Уа de («)) I >

0} < Р {I Тв#г

Р (I Уа,Т & 0 0 ) -

(s)) -

(s)) | >

0} <

< PW I^i

используя которую получаем аналогично (30) и (31)

lim Hm Р {I у т(§ (s)) — Уads(s)) I

>

6} =

0

(32)

Н

£-*оо е-Х)

(s)) —

1

të* 00)

0

ПРИ

00•

(33)

Из соотношений

Уа

Т

Уа,Т d e

(27),

(32) и (33) в силу леммы 2,2,2

следует,

что

Ya(M s))= H a(Ms))

ПРИ 8->0*

Ѵчі (*(“)) = \

(*(«)) =

inf (s: Ps (X (и)) >

а),

если

(и ))> а ,.

Т

если

и

1 а’

Ѵа_о (ж(и)) = Ѵа(* («)) = g (* (та (х {и))),

в частности, имеют место соответствующие аналоги соотношений

(26)— (27) и (30) — (33).

Более

того,

соотношения (26)

и (27)

можно

в

силу

замечания

4 заменить более общими соотношениями

(а) и (б),

приведенными в

замечании 4 (с заменой функционалов та±0(-) и

у

(•)

соответ­

ственно на функционалы Та ±0 іТ ( •)

И Ѵа± 0 ,Г ( ')) ПРИ

УСЛОВИИ,

ЧТО

ДЛЯ

точек аг, г = 1,1 выполняются

соответственно условия (Bt) или (В,)

и (Сх).

затем

соотношения

(30) — (33)

и

лемму

10.2, 1,

Используя

приходим окончательно

к соотношениям

( \ ( к (*)). V

( к (*)).' =

1.

8 ( к w » ,

ц о =»

(а)

=*

(к (s))- V

(6о (s))> г =

1>1' 8 (к (0 )).

при

8 —> 0,

которое имеет место, если для

точек

ат, г — 1, /

выполняется усло­

вие (Вх), и

(* а г ( к (®))* V ( к

(S))> У а г ( к (S))> Уаг

(S))'Г

=

1>1’

g (Is

( 0 ) ) .

< 6

= »

=*> ( \

«о (S)),

\

( to (я )), Ѵаг (І0 (S))’ Ѵаг (l0 (S))> г =

1’

S' (Iq(0)).

(6)

t£ L p

при 8 - > 0 ,

которое имеет место, если для

точек аг, г = 1,1

выполняются

ус­

ловия (В,) и (Cj) (здесь Ц

— множество

точек

стохастической

непрерывности процесса ^ ((), t

>

0).

Доказательство

Наконец, отметим еще следующее обстоятельство.

соотношений (26) и (27)

основано

на том факте,

что «урезанные»

функционалы та Г (-)

и Уа т(-)

являются

при

выполнении

соответ­

12*

179