книги из ГПНТБ / Сильвестров Д.С. Предельные теоремы для сложных случайных функций

В [64] приведены явные выражения

для преобразований Лапла­

са случайных величин р,[/; у ѵ ... , уг].

Используя результаты [64],

нетрудно проверить, что

Р { х х > Y } ~ y J L при х - » о о ,

то есть функция распределения случайной величины

принадле­

здесь w' (и),

и > 0 — винеровский процесс.

Выражения для констант ch,

k = 1, 2 приведены в работе [70]:

СО

Ci=

j

f(x)dx,

СО

ОО

У

с2 = 4

j f(x) §

I f (г) äzdydx.

— СО

X — с о

Таким образом, когда

процесс

х (и), и > 0

является винеровс-

ким, теоремы 4 и 5 примут вид.

Теорема 6. Если выполняется условие

(Fi): J \f(x)\dx<oo,

—СО

Т >

0

то для любого функционала /(-КЦ^ѵщ.г,

/^ -^ j= $ > /(Clv(s)) при /-»ОО,

Теорема 7. Если выполняется условие

(Fjj): J|/(*)| J

j |/(z)|

dzdydx <

оо,

— СО

X

— о о

то для любого функционала / (•) £ lW,v(s)) ,т, Т > 0

ПРИ

t-*-oо,

обладающее тем свойством, что для любой функции х(и)

из

Dr и

любого отображения X(/) 6 Аг

функция

х (X (и))

также

принадле­

жит Dr.

Здесь

Аг — пространство

непрерывных

взаимно

однозначных

отображений промежутка [О, Т\

на себя

X (t)

таких,

что X(0) = 0

и X (Г) = Т.

На пространстве Dr обычным образом

вводятся

топологии

схо­

димости U и J.

_

Определение 1.

Функции

хе (/) 6 Dr,

е > 0 сходятся

в топологии

U к xQ(t)

при е -*

и

при

е -ѵ 0), если

0 (хе(t) -> х0 (і)

sup IX, (t) — х0(О I

0 при е

0.

І€[0,Г]

Определение 2.

Функции хъ(t) 6 Dr ,

е > 0

сходятся в топологии

J к х0 (і)

j

при

е -* 0),

если

существуют

при в -> 0 (хе (t) -* х0(0

отображения Хе (t) 6 Аг такие,

что

J up ] ( I хе (О ~ х 0 (К W I +

I К (0 — 11) -*■0

при е -> 0.

Пусть

— борелевская о-алгебра подмножеств

Dr .

11—4 143

161

_

и

п -> сю,

хп(и) 6 Dr , п > 1 такой, что хп (и) -> х (и) при

необходимо

и а(хп (и)) -*-а(х (и)) при

оо.

Определение 4. Семейство измеримых функционалов

fi= (p .( (-),

/6 [О, Т]), определенных на Dr и

принимающих значения в Rp бу­

дем называть сепарабельным, если

для каждого

16 [О, Т]

р + ( .) =

su p p s (.)

является измеримым функционалом, определенным на Dr

и

прини­

мающим значения в Rx.

В дальнейшем нам потребуются также функционалы

р+ (•)

для t = О,

Нш р+(-)

для 16 (О, Г].

s<f,s-W

Введем в рассмотрение функционалы

inf (s : ps (х (и)) >

а), если

(х (и)) >

а,

(Х (“)) =

Т,

если

(д: (и)) <

а,

и

Уa(x(u)) = g(x(Ta(x(u)))),

где g(x) — некоторая непрерывная

функция, определенная

на Rm и

принимающая значения в Rx.

Если р — сепарабельное

семейство

функционалов, то,

очевидно,

функционалы та (•) и уа(-)

измеримы.

Функционал та (х (и))

представляет собой

момент первого пере­

скока функции р( (х (и))

через уровень а; уа (х (и)) — значение функ­

ции g (х (s))

в момент перескока функции р( (х (и)) через

уровень а.

Пусть

(/), 16 [О, Т]

(е > 0) — некоторые

случайные

процессы,

траектории

которых с вероятностью 1 принадлежат пространству Dr

(/) =

(ув(/),

хя(t)) — случайный процесс, принимающий значения в

Rm=

R, X R,,

и для функций 2 (0 = (х (t), у (і)) 6 Dr пусть р4(г(ы))=

В этом случае,

очевидно,

где

Уа(£е («)) = Ув (х1 fée (“)»•

й > °»

f inf (s : т (s) > а),

если

т+ (Г) = sup те (s) >

Г,

(8.(s)) = I

Г,

если т+ (Г) < 7.

Таким

образом,

обобщенный

процесс

восстановления

уа(£е (и))

представляет собой в данном случае

первую компоненту

основного

процесса

£е (/), остановленную в момент

перескока второй

компонен­

той процесса | £ (/)

уровня а.

(t)

В том случае, когда процесс

Jj£

представляет собой

процесс

Предположим теперь, что случайные

j

процессы £g (f) -*■ g0(/) при

е -> 0. Нас интересуют условия, которые

достаточно дополнительно

при е -> 0

и уа (|е (ы)) = И а (50(«)) при е -> 0.

Пусть

ц = ( р ( (•), /6 (0 , 7 ] ) — некоторое сепарабельное семейст­

во функционалов. Через Ur [х (а)] будем

обозначать

множество

тех

*6[0, 7],

Для которых функционал р,+ (•)

является

U-непрерывным

на функции X (и), через Ur [х (ы)] — множество тех

t £ [0, 7],

для

которых функционал ц+ (•)

является

U-непрерывным

на функции

X (и).

Пусть также Ѵ£ — подпространство функций из Dr ,

для

кото- -

рых множество

Ur [x(u)] содержит

некоторое счетное

всюду

плот­

ное в [0, 7J множество точек

Т .

Замечание

1.

Пусть

функция

х (и) 6 Ѵг-

Тогда

множества

U[x(u)] и Ür [*(«)] содержат

все точки t £ R [ц+ (х (и))] П (0, 7).

Действительно,

и

при п->- оо.

Выбе­

пусть функции хп (и) -*■ х (и)

рем последовательность точек

tk >

t,

tk £ Тх(и),

k > 1

так,

чтобы

tk -+t при £

оо.

Поскольку

V? (хп (и)) «, ң+ (хп(и)) < р+ (хп (и)),

то в силу выбора точек tk

Игл р+ (хп(и)) <

Ііш р.+ (хп (и)) С

п-¥со

л->оо

<

Іігп р,+ (хп(и)) = ц+ (х (и)) -> Ц+ (X(и))

при k-+oc.

11*

163

ц+ (X (и)) <

Нгп|І+ (хп (и)) < Иш ц+ (хп (и)).

п - ^ с о

п - ¥ с о

_Таким

образом,

для

функций

х (и) 6

множества

U [х (и)]

и Ur [лс (ы)]

содержат все точки t из

промежутка

[О, Г],

исключая

не более чем счетное число точек.

Определение 5.

Семейство измеримых

функционалов

ц = ( ц ( (0.

/ 6 [О, Т\),

определенных на Dr и принимающих значения

в R,,

бу­

дем называть однородным, если для

всех

функций

х (и)

6 DT и отоб­

ражений K(t) 6 Л г

И'КО (Х («)) =

Iх; (X (Х(“))).

^ € [О, Т].

В дальнейшем постоянно

рассматривается

некоторое

сепарабель­

ное однородное 'семейство функционалов р =

(р^ (•), /! в (О,

Г]).

Структура однородных семейств

функционалов

и подпространст­

ва Ѵ£ для таких семейств подробно изучается в §3.4.

Укажем только на одно важное свойство

подпространства Ѵ£

для однородных семейств функционалов ц.

Лемма

1. Если ц = (р,( (•), t 6 [0 ,7 ]) — однородное

сепарабельное

семейство

функционалов и функция х (и) 6 Ѵ£,

то для

любой

пос­

ледовательности функций хп (и) 6 Dr ,

п >

1 такой,

что хп (и) -► х (и)

П(0,Г ).

____________

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть t 6 R Ip;*" (х (ы))] П (0. Т)- Выберем

некоторую последовательность точек ik > t,

tk £ R [р^ (x (ы))] f) (0, T)

так,

чтобы tk -> t при k-+ оо.

Пусть также кп (t), п > 1 — последовательность отображений

из

Д г,

для которой

sup

(|* „ (0 — * ( М 0)1 +

| М 0 ~ *1) =

і€[0.Г]

=

sup (\xn(X7'(f) | — x(f) I + |Я,~' (0 — *|) -»-0 при п -*■оо.

(1)

(6[0.Г]

Используя однородность семейства ц,

имеем для всех п > пк,

где пк выбрано так,

что кп (t) < th для п >

пк,

(хп (“»

= ^ ( о (*„ (К" W)) < ^

(хп (К ' (“)))•

Отсюда, используя замечание 1, получаем

Й тр + (хп (и)) <

Тішц+ (хп (кГ' (и))) = (л+ (X (и)).

П-teQ

ПѴГП “

“

Поскольку

t — точка

непрерывности

функции

р+ (* (и)), го из

последнего

соотношения следует, что

И тр + (хп (и)) <

!іш (х+ (X (и)) = р+ (х (и)),

с о

k -* c o

Ä

Аналогично показывается,

что

Пт р+ (хп(и)) > р+ (х (и)).

Лемма доказана.

п->о©

pt (х (и)) = <р (х (/)),

Заметим, что в том

важном

случае,

когда

16 [О, Т], где

ф (х) — некоторая

непрерывная

функция,

определен­

ная на

Rm и принимающая значения в Rp подпространство V£ = Dr

и Ur [л: (и)] =

Ѵт[X (и)] =

[О, Г]

для всех х (и) 6 Dr .

Пусть для

каждого

е >

0

Sg (t),

t 6 [О, Т] — случайные

процессы,

траектории

которых с

вероятностью

1

принадлежат

пространству

DT и для которых выполняется

условие

сходимости в

топологии J

(A) : 1)

(Іе (0, h (Т -

0)), te

Т* =* (60(0, Іо (Т -

0)),

/ € Т*

при в — 0,

где

Т* — некоторое

счетное

всюду

плотное

в [0, Т\ множе­

ство, содержащее 0 и Г;

2)

lim lim Р {Д (I

(0, с, Т)

>

6} =

0,

6 >

0.

с->0 е-*0

Обозначим

Щ

' , г

.а =( l^

(So (S))

=

H r

(So (S))

=°}>

Li =

{Ta a 0 (S)) =

tT

e Or [l0(S)l,

Ц+

(So (s)) <

a).

Ha)

N l = t e ( S o O

=

* ( M C - ° > ) > -

Теорема 1. Пусть выполняется условие

(А)

и P{So (s) 6 Ѵ£} = 1.

Тогда, если выполняется условие

t' <

f

< Т,

(B) : Р

t. a} =

0

для

всех 0 <

то

^ (S e (s))=5>Ta (S0(s))

при 8 ~> 0.

Если кроме того выполняется

условие

соответствующей процессу

£0(0.

t € [О, Т\.

Лемма

2. Пусть xn(t),

п =

0, 1 , . . . — последовательность функ-

ций

_

j

из Dr

таких, что хп (t) -> х0(/) при п-> оо.

Тогда, если xQ(t) 6 Ѵ£,

то при выполнении условия

(F,): не существует t' < Г

таких, что р+ (х0 (и)) = р+ (х0(и)) = а,

ха {хп (и)) -► ха (х0 (и)) при л —►ОО.

Если кроме того выполняется одно из условий

(Р2) : \

(х0 (и)) = t(a) 6 Ü r [ х 0 (и)],

Р+а) (х0 (и)) < а

<

или

(?r-ë(x0(tw)) = g(x0(tia)- 0 )),

то

У а (Х п ( “ ) ) - > У а (Х 0 ( “ ) )

П р и П - >

О О .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

Я„ (/),

п > 1 — последовательность

отображений из А г такая,

что

sup

(|* „ ( 0 — * о (М 0)1 +

!*•„ (О — *1) =

(€[0,Г]

=

sup ( I Хп ( Х ~ 1 (0 ) — *0(0 1+

I

(0 — 11)

0 при п -► оо. (2)

р+ (X (Я (и))) =

sup ps (X (Я (и))) + sup (xMs) (X (и)) =

s^i

= sup

ps< (X (u)) =

sup

ps, (X («)) =

P+,

(X («)).

X.—'( s '

)

5

Покажем теперь, что для

любой функции

х (и) 6 Dr

и

любого

отображения

Я (/) G Л г имеет место соотношение

та (х (ы)) = Я (та (X (Я (и)))).

(3)

та (х (Я (и)) > т'„

(4)

Если

т = Т,

то

и

т' =

Т,

следовательно,

та (х (X (и))) =

Г

и А (та (х (А, (и)))) = А (т) =

Т. Поэтому достаточно рассмотреть толь­

ко случай, когда т < Т, следовательно, и т'

< Т.

Для

t >

т'А (0 > т

в силу

однородности

семейства

у,+ и опре­

деления

момента т

Р+ (х (А (и))) = |x+f) (х (и)) > а.

Из последнего соотношения следует,

что

ха (X(А («))) <

т \

(5)

Из (4) и

(5)

следует,

очевидно,

что

та (х (А (ы))) = т \

тождество

(3) поэтому эквивалентно

равенству А (т') =

т, которое

следует

из

определения

т'.

Используя (3), получаем

Та (хп (и)) =

А„

(Ап(та (хп(Ап (А„ (и)))))) = А„

(та (хп(А„ 1 (и)))).

(6)

Так как

А^ 1 (0

t при п

оо

равномерно по

/ £ 10, Т\, то из

ния леммы достаточно

показать,

что при выполнении условия

(Fx)

tn = То (хп (\~1(и))) ->t0 = xa(х0(и))

при п —>■ОО.

(7)

Предположим вначале, что

t06 (О, Т\.

Поскольку в силу (2) хп(А„

и

х0 (и)

при п

оо и функция

(ы))

х0 (и) 6 Ѵ£,

то существует счетное всюду

плотное в {О, Т\ множест-

/ч

во точек Т такое, что

И* (х п ( К

1 (“))) “ ► V ?

(х о (“ ))

при

п

- > оо,

1 6 Т .

(8)

Выберем последовательность точек

Л

k >

1

так,

чтобы

sh 6 Т,

sk <

t0 и sk ->- t0 при k -> оо.

Для каждого sk

Р-+ (*0(“)) <

а •

(9)

k

Действительно,

предположим,

что существует

sh

такое,

что

(х0(и)) > а. Тогда для всех

16 (sÄ, ^0)

необходимо

{хй(и)) > а

k

нарушалось

условие (Fx)),

что

противоречит

тому,

что

(иначе бы

(*о («)) =

*0-

каждого sk в силу (8)

Поскольку для

Ііш р+ (хп(А" 1(и))) = р+ (х0(и)),

Л“>00

*

R

то в силу

(9) для

всех достаточно

больших

п

{хп (А“ 1(и))) <

а и.

Ит \

(хп (Х~х(ы))) >

sk,

rr+СО

откуда в силу выбора последовательности

sh-> t0 при

k -*■ оо

сле­

дует, что

lim хп (хп(Я7 1(и))) > t 0.

(10)

гѵ+оо

Если tQ= T, то, так

как

та (хп (Я7 1(и))) < Т,

из

(10)

следовало

бы (7).

что і0£ [0, Т).

Предположим теперь,

Выберем последовательность

л

1 так,

чтобы sk >

t0 и sh -*■ t0 при £

оо.

точек sh 6 Т, k >

Для каждого sh

(*„(“))> « •

(И )

Действительно,

предположим,

что

существует

sh

такое,

что

р+ (х0(и)) < а. Поскольку по определению р+ (х0(и)) > а и

функция

р+ (х0 (и)) монотонно

не убывает,

то

отсюда

следовало

бы,

что

ц+ (х0(«)) = а для

всех

t £ (t0, sk),

что противоречит условию

(Fx).

Поскольку для каждого sk в силу

(8)

Ит

(*„ (\г‘(«)))=

(*о (“)).

то для всех достаточно больших п в силу

(11)

р+ (хп (Х~х (и))) > а,

следовательно,

та (хп(Х~ 1(и))) < sft.

Поэтому для

всех sk

ПпГт^ (ДСд (Я—1(ы))) < s A,

ОО

откуда в силу

выбора

последовательности

sh следует,

что

І і т \

К

( К 1(“)))<

V

(12)

Л"*оо

Если

= 0, то из (12) следует (7),

поскольку та (хп (Я- 1(и))) >

0.

В том случае,

когда

^о £(0, Г),

соотношение

(7)

следует из

(10)

и (12).

утверждение леммы.

Поскольку в силу

Докажем теперь второе

первого

утверждения

леммы

та (хп (и)) -*• та (хд (и))

при

п -*■ о о

и

Хп (/) -> t

при п ->

оо

равномерно

по t £ [0, Т\, то

К (*« (х„ (и))) -» та (х0 (и)) = *о при п -> оо.

(13)

Предположим

вначале,

что

выполняется условие

(FJ.

В силу

этого условия

(хо (и) < а

и функционал р £ (.)

U-непрерывен

на

функции х0(и). Поэтому, учитывая (2), имеем

Ц/t ( Х п (Я.Г1(«))) -> lift( Х о (и)) <

а при п —

оо,

(14)

следовательно, найдется

п0, что для всех

п > п0

n t {Хп (Кі'' (и))) <

а.

(15)

Из (15)

следует, что для всех п > п0

Ха (хп ( К 1(“ ) ) ) = К (Ха (Хп ( “ ) ) ) > V

О 6 )

Из (13) и (16) в силу непрерывности справа функции х0(«)

следует,

что

Х0 ( К (Ха (Хп (“ ) ) ) ) -► Х0 (Ха ( * 0 (U))) П р и П - > ОО .

( 1 7 )

Так

как

в силу (2)

I хп (т0 (хп (и))) — х0 (кп (тв (хп (и)))) | <

(18)

< sup I хп (/) — х0 (кп (t)) I

0 при п -*

оо,

/€[0.Г]

то из (17)

и

(18) следует, что

(Ча ( Х п

(и))) -> Х0(та ( Х 0 (и))) при П - >

О О .

(19)

Из соотношения (19)

в силу непрерывности функции g (х) следует,

очевидно,

что

g (хп (хв (хв («)))) -*■ g(xB(т„ (х0(и)))) при п —>■оо.

(20)

Предположим теперь, что выполняется условие

(F3).

Поскольку

8 (Хо(К (ха (хп (и))))) -*• 8 (х0 (Ха (х0 («)))) при Л -> ОО.

(21)