книги из ГПНТБ / Сильвестров Д.С. Предельные теоремы для сложных случайных функций

X (e, к) =

2 х (е- г)>

/*=1

V (е. Ф = Ее (т (е>

(т (е> * — !)).

л (е, к) =

sup

I g (0 — I

(т (е, k — 1)) |

* 6 [т (е , *— 1). т(е,А ))

ДЛЯ k > 1

И X (8, 0) = X (8, 0) = О,

V (8, 0) = Іе (О).

Пусть

также

Т&, и (е), ѵ (е) — неслучайные, неотрицательные

функции такие,

что

Те, и (е), ѵ (е) -> оо при

е-> 0.

Случайные

моменты времени х (е, к), k >

1 можно условно наз­

вать моментами регенерации для случайного процесса

| £ (/),

t > 0.

Тогда х(е, й )— промежуток времени между

(&— 1)-м и k-м момен­

тами регенерации,

у (е, k) — приращение

процесса

1Е(/)

между

(Ах): 1)

> yi(e)fe)) ’ *> 0= Ф (х (/), y (0),

0 при е->0,

fc=0

с вероятностью 1 и Х (t)

оо при t-*- оо;

[Me)]

т_(е.£)

2)

lim

lim

Р ;Ди

с, Г

> 6

= 0, Г , 6 >

0;

“ (е)

о » 0 е-Х)

1

А = 0

[Г '0 (8 > ]

V , а > 0,

3)

^

Р{я(е, £) >

ом (е)}->0

при е-хО ,

то

А = 1

Ів(^е)

f >

0=$>у (ѵ (0),

і >

0 при

е —>■0,

ы(е)

где V (t) =

inf (s : X (s) > /), t > 0 (условие

(A),

1),

б)

необходимо и

достаточно для

того,

чтобы

процесс

ѵ (/),

t >

0 был

определен для

всех t >

0

(ѵ (0 < оо,

/ >

0)

и непрерывен

с

вероятностью 1)

и для

которых попадает в промежуток [О, Т].

Как показано ниже, при выполнении условия

(A^, 1)

Это

соотношение поясняет вид предельного

процесса у(ѵ (0).

t > 0.

Однако случайный процесс vg (t) представляет собой в общем

ve(f) = min([w(e)ß(e)] + 1,

vg(/)),

t >

0,

где

ß (в) — некоторая

неслучайная неотрицательная

функция такая,

что

ß (е)

оо при е

0.

процесс vg (t). По­

Если

Qe = 0, то

нет необходимости

урезать

ному условию: ß(e) = +

oo, если

Qe—0 и ß (е) < оо , если

Qe > 0.

Очевидно, если Qg — 0, то vg (/) =

vg (f), t > 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о

теоремы

1.

В силу определения

процесса

vE (0 . t > 0

r

[afto(e)]

X (e, n)

.

I

JЯ(и*о(е), os) (Iü (e) ß (в)] + 1) P I ^

Te

^ *'

2

y(e ,n )< v k, k=TTr\.

(1)

n=0

1

Выберем

и = {% , ft= 1, 2,...}—некоторое

счетное, всюду

плотное

в (0, оо) подмножество

(0, оо).

Так

как для каждого

ft >

1

мно-

/ч

{/ > 0: Р {х («Ä) =

/} >

0} не

более чем

счетно,

то и

жество Т4 =

вует

счетное

всюду

плотное в [0, с»)

множество

Т* = {/0) tv ...}

такое,

что для

всех

ик 6 U,

ft >

1 : Р {х (uh) = tr) = 0,

т> 0. При

этом,

поскольку величины

х (%),

ft >

1 в силу

условия

(А), 1),

б) положительны с вероятностью 1, то

можно

считать,

что

0 6 Т*.

В силу условия

(Ах), 1)

из соотношения (1)

следует

(напомним,

точно сходимости

этих функций

распределения

на некотором

счет­

ном всюду

плотном в

множестве), что

ts fro<e) J

1

о(е)—

>

2

Т Т І? - ’

* = Т п = » ( ѵ ( д ,

V(s*>.

k=T7r)

при

п =0

/

8 —>■0

для

всех tk 6 Т*,

sk > 0,

ft =

1, г,

г >, 1,

Последнее соотношение означает,

что

(t, s) 6 T*

X [0, oo) =s>

(2)

=4> (ѵ ( 0 , y (s)),

(/,s) 6 T *

X [0,

о о )

при 8 —>■0.

Так как

по определению

случайные

процессы vg (t),

t > 0

моно­

тонно не убывают и процесс

ѵ (/),

t

> 0 непрерывен

с вероятностью

1, то из соотношения (2) в силу

леммы

2.

1.3

следует,

что

/»Чр

.

0-

<3'

^ЕИч ^ ) ' ^

6!“0’ ^

Соотношения

(2), (3)

и условие

(Ах),

2)

обеспечивают для

слу­

чайных процессов

У0(e)]

, / > о

и ѵ; (о

Ѵе(^е) - 1

e; w =

2

У (е. п)

,

t > 0

и (г)

ü(e)

л=о

выполнение

условий теоремы 1.

1.

3, применяя которую получаем

Se(<re)

=

2

ІІ!!*),

/> 0 = Ф т (ѵ (0 ).

^ > 0

При

е - * 0

(4)

и(е)

*=0

" 2 ! І ! Р !іи

( ¥

£

г )

•

П

>

«} = 0, Г, в >

О,

(5)

здесь

ѵ8(0 —1

s . ( o =

2

Y(e’ Ä)’

* > ° -

Покажем теперь,

что

fc=0

Pe T =

sup

S8( ^ e)

i e W

p

0 при e - > 0.

(6)

u (e)

u (e )

£’J

së[0,T]

Действительно, если

v8(/) =

ve (t) =

n,

то / 6 [т (e, n — 1), x(e, «)),

следовательно,

| se (0 — £e (*) I <

"

(e, /г).

Поэтому,

если ve (tTB) <

< n < IV(e) ß (e)] +

1,

то peJ <

max

v

' .

Поэтому имеет место оценка (не нарушая общности, можно

считать,

что

ѵ (е) > 1,

следовательно,

[(ы +2) ѵ (е)] >

ѵ (е) min (и,

Р(в)) + 1)

Р {ре г >

6} <

Р \Vr{J {1*-

> min (и, ß (в))} +

+ р{

i

max

^

i L

>

6, ve (7’7’e)< [ü (e )m in (u ,ß (e » ]4 - 1) <

I

~ d e

“

I

w

2

)

« A < ( « + 2)

( )]

[ <u+ )»(e)]

< Р | Vg^ / У ' >

min (ы>ß (е))| +

2

^

(е*^ ^

^и

^

и_I

Для

любого

о > 0

выбором

достаточно

большого и (при

этом

всегда можно выбрать и — точку

непрерывности

случайной

величи­

ны V (Г)) можно добиться, чтобы

Р {ѵ (Т) >

и} <

а.

исполь­

Переходя

затем в

(7)

к

пределу при

е -> 0,

получаем,

зуя условие (AJ, 3),

ШпР {р

>

6} =

Р {ѵ (Т) >

«} <

а,

е-М)

откуда в силу произвольности выбора б и о

следует (6).

Из соотношений

(4) и (6) в силу леммы

5. 1. 1 (следствие

3)

((^ е),

/ >

0 =Фѵ(ѵ(ф,

0 при

е - > 0.

(8)

Из

соотношений

(5) и (6), используя

второе

неравенство

лем­

мы 4.

2. 1, получаем

Ы ‘Те)

, с ,Т )> 8

lim lim РІА., —

с -» 0 е -М

У

и (в)

<

—

(

£Се, Iі‘Те)

- С’ :Г) > т } + 1™ Р { р е . г > - |} = 0.

(9)

lim lim P

i . —

(е)

с-м> е->0

I

и

«

Теперь достаточно

воспользоваться

теоремой

А § 2. 1.

Замечание

1.

Теорема

1

допускает

простое

обобщение на слу­

чай, когда величины х (е, k),

k >

1 могут быть

несобственными

и с

положительными вероятностями принимать значение -f- с».

В

этом случае

процесс

x(t),

t >

0,

фигурирующий в условии

(Aj),

1), также

может

быть

несобственным

(£ <

оо с положитель­

ной вероятностью,

где

£ =

inf (s: х (s) =

+ оо),

и необходимо

из­

менить условие (Aj), 1), б),

потребовав,

чтобы

процесс х (t)

был

строго

монотонно

возрастающим с вероятностью

1 на промежутке

[О, С).

При этом

I inf (s <

£: х (s) > і),

если

х (С — 0) > t,

ѵ (0

I

С,

если

X (£ — 0) < t.

теоремы

1.

Теорема 2.

Если выполняется условие

(Аа) : 1)

[(0(8)]

X (e,fe)

у (е, k) — сех (в, k) ■

t >

0 =i (X (0,

у (/)),

t > О

£

Те

’

и (в)

,

k=0

(х (t),

у (/)),

при

8 —> 0,

где

предельный

случайный

процесс

t >

0 удовлетворяет условиям: а)

процесс у (0 , t >

0 непреры­

вен

с вероятностью

1;

б)

процесс

х (/),

строго монотон-

но

Р

при /-»-оо;

сЕ— неслучайная

функ­

возрастает и х (/)-> о о

ция,

принимающая значения

в Rm;

2)

lim lim Р

/[ ( о ( е ) ]

у (e, k) — CEX (e, k)

,c, Г

> 6

= 0,

Au [

V

Щ

*= 0

[T'o(e)]

Ö, Г

>

0;

Р {л (8, £) > u (e)6} -> 0

6, T' > 0;

3)

2

при

8 -> 0 ,

*=i

^

(

8/ ^

,

t >

О =Ф у (ѵ (0),

^ > 0

при е-ѵО,

где V (/) =

inf (s : х (s) >

/),

/ > 0

и

для

всех функционалов

/ ( • ) £ U ~(V(<))_7

/

(*Те)

се^е\ „ Р~ , /л\

л

/ \ -------й і ) -------)=5>/(ѵ (ѵ (0)

при е - > 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Применим

теорему 1

к процессам (0 =

и

я(в, fe)=

sup

1 ^ (0 — ^ ( T(e, А— 1))| <

<ett(e,fc-l),T(8.*)>

<

sup

I

(0 — i e (t (e, Ä — l))l + I c81X(e, k). (10)

f€[t(e.ft—l),T(e.*))

Условия (A2),

1)

и 2)

обеспечивают выполнение условий (Ax), 1)

цесса | е (/).

Теорема 3. Пусть выполняется условие

(В): (х (е, k),

у (е, &)),

k > 1 — последовательность

независимых

одинаково распределенных случайных величин.

Тогда, если выполняется условие

[№(е)1

(А3) : 1)

^

0 =»*(()»

* > 0

при

е -* 0 ,

где

л(і),

А=0

8

процесс с независимыми приращениями,

t > о — однородный

строго монотонно возрастающий с вероятностью 1;

[№ (е ) J

у (е, k) ' t>0=$y(t),

y(t) =

2)

у

0

при

е - > 0,

где

k=0

U (б)

bw (t), t > 0 — винеровский

процесс со сносом;

= а/ +

3) случайные величины л (г, k), k >

1

одинаково

распределе­

ны

и о (е) Р {л (е,

k)

> и (е) 6} -* 0

при е-> 0,

б >

0,

то

Іе^ е) ■, * >

0 =Фт(ѵ(0). t > 0

при 8 —>• 0,

где случайные процессы

у (t), t >

0 и v (t) — inf (s: x (s) > 0 . t > 0

Очевидно,

для 0 <

tx <

t2 < . . . <

tn <

оо

Д ^ и ( е ) ]

[(Л0(Е)]

, -I

к ( е , k )

S

У(е, k)

< «г

xil

<

г = 1, а =

I

*=о

и (е)

&=0

[Ѵ°(е>]

(1 _ р / ^ ) ] р

£

<

иг,

2

V' (е, k)

< ѵГ, Г =

I

fe=0

и (г)

Условия (А3), 1)

и 2)

в

этом

случае,

учитывая

леммы

1.4.1,

можно заменить условием

[№(8)]

х

, t>0=$>x' (t),

x' (і),

(С): 1)

^

при

8 -> 0 , где

k=0

процесс

с

независимыми

приращениями,

t > 0 — однородный

строго монотонно возрастающий с вероятностью 1;

[<а(е)]

2)

Yi

~u\è)k)

’

при e - > 0, где y ' (t) =

= a'

+ b'w{t),

0 — винеровский

процесс

со сносом;

3)

Яеи (е) -*■ р £ [0, оо) при е

0.

Используя соотношение (а) и

лемму 1.4.1, получаем, что при

выполнении условия (С) для

всех 0 <

U < /2 <

. . . < tn < оо

[<Г»(8>]

[*,»(8)]

р | 2 * $ * ■ < * ,

S

Y(е. Щ

< «г.

1

fc= 0

и (в)

-> е

Q'nP {к' (*г) < иг, у

(tr) < ѵ г,

г =

l, 1} при е-ѵ 0

в

точках

непрерывности

предельных функций,

следовательно, в

атом случае у (і) =

y ' (t),

t >

0,

момент

обрыва

£,

фигурирующий

в замечании 1, имеет показательное

распределение с

параметром

р

и V (t) = min (v' (t), 0 , / > О, где

v' (t) = inf (s: x' (s) >

/), t >

0,

причем случайные процессы у' (t),

t > 0, v' (t), t >

0 и

случайная

величина £ независимы в совокупности.

В заключение для иллюстрации

возможностей описанной в на­

> 0,

/ (х),

X £ Rt — неслучайная функция,

которая может иметь

точки

разрыва только первого рода, множество которых не имеет

конечных предельных точек.

Введем в рассмотрение случайные процессы

S

I (s) = j f (* («)) du, s >

0.

*

о

Р № Уѵ • • . , yrl =

inf (s: s > t, X(s) £ {«/,,. , . , yr}),

xk = inf (s: s > [X

— 1,

1], x (s) =

0),

£ >

1,

x0 = 0,

xk = xk

xft_ „ £ >

1.

Как нетрудно понять,

последовательность

xÄ,

£ >

1 представ­

лежала

области

притяжения устойчивого

закона с

параметром

а 6 (0, 1], то есть выполнялось условие

(D): Р {«г > X} ~

-4- h (х) при X

оо,

где

X

с = const >

0,

h (х), х >

0 — медленно

меняю­

а £ (0, 1],

щаяся функция.

Как следует из результатов,

приведенных в

[25],

при

выполне­

нии условия (D)

и р нт

t —*■оо,

][]

i j l ,

s> 0=5> xa (s),

s > 0

при

(б)

fc=i

где

С,

а =

если

1,

с (а) =

ОО

• - ' ■ ‘ л

v*win

\JüЧц 1у

0

М'Л)

/

t

Я (0 =

J ,

если

os =

1,

\o

/

h(t)-\

если

os <

1.

va (t) = inf (s : ка (s) >

t),

t

>

0

непрерывен с вероятностью 1.

Обозначим

ch = Ш *,

A+ = j

( / (* (s))| ds,

bk = MÄ.+*,

k > U

В работах [69, 70] приведены условия существования

и

явные

выражения

для

констант

ch, bh, k >> 1 в

квадратурах от

функций

а (х), b (х),

f (х), X £ Rx. В общем случае

эти

выражения очень гро­

моздки, поэтому здесь не приводятся.

Теорема 4.

Если

выполняются условия

(D)

и

(Еі):

Ьг < оо,

то для любого функционала

/(•) £Ue,va(S),r,

^

>

О

f

I (ts)

^

/ ( clva (s))

при

t

-V 00.

taH

(/)

Теорема

5.

Если

выполняются условия

(D)

и

(Е) : Ьг < оо, сх = О,

т > 0

то для любого функционала

/ (•) €

vacs)».r»

\ 1/ *аЯ (О} =

»

/ (Ц> (C2Va

(S))>

ПРИ

здесь

w (s),

s >

0 — независимый от

процесса

vo (s), s > 0 винеров-

ский

процесс.

Доказательства теорем 4 и 5 совершенно аналогичны. Докажем,

например,

теорему 5. Применим к

случайным

процессам

| (t s),

$^>0 теорему 3. Роль параметра е в данном случае играет t

(можно

просто считать, что е =

у ) .

Выберем величины

х (t, к) — xft,

k >

1

и Tt — t. В этом случае

» (0 = taH (/), u(t) = V t aH (t)

и

ч

y(t,k) = y(k)= j

f(x(s))ds,

£ >

1,

y(t, 0) = y (0) =

0,

я (t, k) = n (k) =

S

sup

J

f{x(u))du

s€[T*_i,Tt)

4 -

\

4

< n' (к) = j

\f(x (u))| du,

k > \ -

теоремы 3.

поскольку случайные

величины у (к),

k > 1

неза­

Кроме того,

висимы,

одинаково

распределены

с X,

следовательно,

в силу усло­

вия (Ejj)

Му (к) = 0

и Dy (k) =

с2,

то

[ s / a H ( 0 ]

VW , s >

0 =Фш (c2s), s > 0 при t

£

oo

V taH (t)

k=Q

и выполняется условие (A3), 2) теоремы 3.

к > 1

Наконец, как нетрудно понять, последовательности я (к),

и я ' (к),

k > 1 в силу построения также представляют собой после­

величин, причем я ' (к) ~

Я,+.

Поэтому, используя условие (Е2),

имеем

Р !і Л

т г - - >

(0 < Р

(*) >

b V t aH(t)}taH (t) =

I

к

r*/i (О

J

= *"Я ({) о (б У Я (0) -► о при / -> ОО,

следовательно,

выполняется и условие (А3), 3) теоремы 3.

Применяя

к

процессам

£(s), s >

О теорему

3, получаем

утверж­

дение теоремы

5.

х (t) = w (/),

t >

Рассмотрим

несколько

подробней

случай,

когда

0 — винеровский

процесс

(а (х) =

О,

Ь (х) — 1, х £ Rj).

Нетрудно

понять,

что

х1 =

т1« р [ 0 ;

— 1,

1] -f р',

где

величи­

ны

(X[0; — 1,

1] и р '

независимы, и

р ' а : р [ 6; 1J.