книги из ГПНТБ / Сильвестров Д.С. Предельные теоремы для сложных случайных функций

для

некоторых

г, і

принадлежит [ѵ~ — с2, ѵ++ с2];

в)

хотя

бы

од­

на

из

точек

t',t,t"

для

некоторого

k

принадлежит [uf~>— с3,

ut ] + с31;

г)

все ТРИ

точки

*■'■> t"

принадлежат

множеству

V;

д) все три точки t', t, t"

при

некоторых

г,

і принадлежат

проме­

жутку

[ѵ~, ѵ+].

сг > с2 > с3>

с4 и

пх< я2 <

В случаях а) — г) в силу

выбора

< п3< п4, если только

с < с4 и п^> п4 то,

как

было

показано

вы­

ше,

Rn [/',

t, t"] < а.

Для доказательства леммы, таким образом, остается только

по­

казать,

что найдется

с < с4

и

номер

п0 >

п4 такие, что еслиточки

t', t,

t"

для некоторых

г и

і

принадлежат

промежутку,[ѵуѵ+.\ и

t — с < / ' < / <

t" < t +

с, то для п >

п0

Rn [t', /, t"] < о.

По определению функция У0і^) = ггі,

t£[u-,v+]. Пусть

ос> 0

выбрано так,

чтобы

И

0 * > p J хо,- (2„ +

s') -

(2ri +

s") I

•

(34)

Выберем

теперь

n0 >

я 4

так,

чтобы для п >

л0 ßn < Тогда

для

всех t £ [y-, r+]

I sm (0 — г J

<

«•

(35)

Поскольку для точек

snl (t'),

sn, (t) и sni (t") или snl (t')<sni (t)<zn,

или

zrl

< snt (t) < sn£ (Г),

то из

(34)

и

(35)

следует,

что

m in

О x oi К

( О )

-

(s ^

( 0 )

I. I x oi (s «i

( 0 ) -

x oi (sm ( П )

I X

■

(3 6 )

Функции

y0/ (s),

j ф i на

промежутке [i>-, ц+]

в

силу

условия

(F3) непрерывны, а в силу условия

(F4)

для

каждого

j ф і

точки

у0.(t) для всех

t £ [d~, t>+] являются точками непрерывности функции

xoj(s).

yQj (ѵ~) £ I

j ф і,

Поэтому,

если

то

и

для

всех

точек

t£ [ѵ~,ѵ+] y0j (t) £

;=7^ i, и, так

как

в силу сделанного

выше

замечания

__

Уоі

^ гл,/>

г =

1 - fe/>

/

=

то найдется у0 > 0 (напомним, что функции

г/0/ (s),

j =

\,т

моно­

тонно

не

убывают)

такое, что если

г {j)

= 0 , k f — 1,

то

Уоі (0 <

znn+ 1

* е

(3?)

У о / ^ > гг и ) Л ^ Г ’

(38)

Всегда можно считать, что п0 выбрано так, чтобы ßn <

-у-

для

п > п0. Тогда

в силу (37) и (38) для п >

п0

s„ ,(0 e lrU)J,

t£lv-v+],

ІФ І.

(39)

Далее, так

как функции у0/ (s), /

Ф і непрерывны

на

промежут­

ке [ѵ~, D+], то можно считать,

что с выбрано так, что

для любых

двух точек

i' J" £[ѵ-,ѵ+] таких, что \Г — Г | < с

max I у0 - (t )

yoi (t ) I

-у- ,

(40)

i+t

а номер n0 выбран так, что для п >

п0 ß„ < - у - . Тогда

в силу (40)

для всех точек t', t" £[ѵ~, и+]

таких,

что

[t' — t"\ <

с для

n > n0

max I sni (t') — snj (О I <

hQ.

(41)

ІФ І

Из соотношений (39), (41) и (12) следует, что для любых

двух

точек t', t" £ [v-, ѵ+\ таких, что 11' — Г | <

с для п >

п0, выполняет­

ся соотношение

max I xoj (s . (/')) — %

(sm (И) I < ДГ •

(42)

ж

Из соотношений (36) и (42) следует

окончательно,

что

если

точки t',t, Г £ [и -и + ] и t —

+

то

Для

Rn [t', t, Г] с min (I хы(snl (t')) — хОІ (snl (t)) |,

l% (s«( (O) — *« (s^ (0) I) +

+

(m — 1) max max (| xQj (sn/ (t')) — x0j (snj (t)) |,

/+<

Остается

заметить, что^ выбор с и номера п0 можно,

очевидно,

осуществить одновременно для всех г и і. Лемма доказана.

1 и

Остановимся теперь на некоторых следствиях из теоремы

вий (А)—(F) теоремы 1.

____

Когда случайные процессы ѵеі (t) =

t, t £ [0, T], i ~ \ , m , теоре­

ма 1 принимает вид

Теорема 2. Если выполняются условия

ß ): (^ег (ѵЬ_1 = 1>т )> *€Т-=Ф(|0І (/), і = \,т),

/£ Т при е - > 0;

(C'): lim Ш Р {Aj ß ei (t), с, Г ) > 6} = О, Г , 6 >

О, і = 17^;

( Р ) : Р { £

XriW

^

1’ ^

{0>T]j = l>

то

lim Пт Р {А (І (0, с, Г) >

6} =

0, б >

О,

£-*0 е->0

6

где %(/)

= {Іг. (О,

I =

\~т),

t >

0.

Замечание 1. Теорема 2 устанавливает простые достаточные ус­

ловия компактности

в топологии

J многомерных

процессов £е (t)

в том случае,

когда компактны в топологии J отдельные компоненты

этих процессов.

некоторого і

Условие (F') выполняется, очевидно,

если

для

для всех j ф і процессы іо/ (t)

непрерывны с вероятностью 1.

Для

выполнения

условия (F')

достаточно

также,

чтобы

выпол­

нялось условие

(F"); !0І (t)

-

(l'0i (f),

l'0i (0), t > 0,

i = 1, m,

где а)

/ г (x, у),

i = I7 m

— непрерывные

функции, б) i', (t),

t

>

0,

i =

!7 m — непрерыв­

ные

с вероятностью

1

случайные

процессы,

в) І"( (t), t > 0,

i =

1, m — стохастически

непрерывные

процессы

без разрывов

второго рода, попарно независимые.

Действительно (см. представление (а) для

W ^’m)),

р ! и ! Ь те„ м1( о > ' | | =

'/€ [0,П

ІІ = І

I)

= Р

U U I K <& (0) 6 и

R и;/ (®)> [0, Т])\ <

I А = І /1=0

І= 1

ІФІ

j

оо

со

m

<

s

2

£

2 р <тм

^ (0 ) € R [^ (s);[0 ,n ]}

Ь=1 л=0 І=1 ІФ

(функционалы т£л (-)

определены

в §2 .3).

хткп (іш (0)

Поскольку в силу условия (F"),

в)

величины

не за­

висят от

процессов i '. (s),

ІФІ,

то в силу леммы 1. 1.2 каждое

слагаемое

в сумме

справа

равно 0.

Лемма 2. Условия (Е) и (F) выполняются,

если

случайные про­

цессы і ОІ (/),

t > 0,

і=Т7гп

и

процесс

ѵ0(/) =

(ѵОІ (t), i = Um),

t 6 [0. T\

связаны

условием

(È): би (0 = ft (SJf (0 , би (О). О

0,

£ =

1, т ,

где а) ft (х, у), £ =

1, т -

непрерывные функции; б)

(£), £ >

0,

£ =

1, m — непрерывные

с вероятностью 1 случайные процессы;

в)

£ >

0, £ = l,m

—

стохастически непрерывные процессы без разрывов

второго

ро­

да; г) процессы би (0, £ >

0

£ = 1 , т

и

ѵ0(£), £ £ [О, Т]

неза­

висимы в совокупности.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Покажем вначале, что выполняется

усло­

вие (Е). Воспользуемся представлением (а)

для

Ѵ(/ ’т>,

в силу

кото­

рого имеем

р {(би (о, ѵш(£), £= га, t > о е

=

{ ОО

оо m

ГП

^

^

(s)i> и

U U U U ({ѵо<К п

(ѵ0/ (0 ± о)еR

1л=0 і=1 /=*=1

и W (Xj,„ (Ѵ0,- (£)) — 0) е R [£и (s)]}) I <

oo oo

m m

^

< Е S S S (р

0 >+ ° ) e R

m +

ft=ln=(H=l /=1

+ p {V0( (T^(V0/ (0) —0) e R l6o,(s)]})-

Поскольку в силу условия (Ё),

в) величины ѵог (т£п (ѵ0/. (£)) ± 0)

не зависят от процессов

Ей (0 . £ >

0, то в силу леммы 1. 1.2 каж­

дое слагаемое в сумме справа равно 0.

Докажем теперь, что выполняется условие (F).

Для функций у ф

из

пространства D+ определим

■(i) =

fini (s: у (s) > £) для £ < у (Г),

^

U

1

Т

ддя t > y ( T )

и функционалы

’J ’ («/ (£)) =

т^п (у^1(£)), k > 1 — значения функции

которых попадает в промежуток

» — j

и значения функции у (£)

на которых меньше Т '.

Нетрудно показать, что функционалы

являются изме­

римыми относительно 330+.

Пусть Тг, г — 1 ,2 ,... — некоторая последовательность положи­

тельных чисел такая,

что Тг -+ оо

при г->- оо.

Обозначим

Е"{ (£) =

(1", (£), ѵеі (£)), £ > 0

(ѵеі (£) продолжение ѵеД£)

на промежуток

[0, оо)).

В силу определения функционалов

ß7,7’ (•)

и

укТ]1',± (•). очевид­

но,

f e r- + & (^))>Y *r. ^ - ( S l (0)} =

=

и

и

и

с

,г/

к ,

{і) ) = \ : л

ы w)},

откуда

следует,

что

r ’ = \

k ’= \

л '= О

* { ѵ № '+ <&(*»> у№

’- ( & W » <

< £

5

S P { ß ^ ( v 0(W) ER [!;(/)]}= О,

r ' = I £ '= 1

n = 0

поскольку

каждое

слагаемое в сумме справа равно 0 в силу

леммы

1. 1.2 (в силу условия

(Е), в) величины

ß7^7',

k, г > 1,

п — 0, 1,...

не зависят от

процесса

£JJ(. (t),

t > 0).

Обозначим

АГ'7С = { v n..(s )P R [|I

Используя

последнее

соотношение

и

представление

(а)

для

Wт’т), получаем оценку

Р{(^0і(0,ѵш(0, i= U )gw ‘UlK

со

со

со

т

< 1 Я Е 2 І * Ч А 7й , л} <

г—1А==1

л=0 і~\ ІФ

со

оо

оо

тп

<

V

V

V

V

S p {vw (у*r^ - &

( 0 ) ) € R l ^

(/)]}.

Г— I &=1 я = 0 £ = 1 ІФі

Поскольку в силу условия (Е), в) величины ѵ0/ (у7,7' ■(І^ (0)) не

зависят

от

процессов

l"0/(t), j Ф і,

то в силу леммы

1. 1.2

каж­

дое слагаемое в сумме справа равно 0.

Таким образом,

выполняется

и условие

(F). Лемма доказана.

Очевидно также, что условия (Е) и (F)

автоматически выполня­

ются, если

процессы | 0/(/), і =

1,m непрерывны с вероятностью 1.

Если в дополнение к условиям (А) — (F) выполняется соотноше­

ние

(Св (0.

(Т -

°))> * е Т*

(0,

и

т -

0)). t € Т* при

е -

0, (б)

налов f(') € J Ь,«>.7

(0)= * f (да при 8 —>о.

f

Замечание. В силу

замечания 1§ 2. 1, если Т — точка стохасти­

£е (0. *£Т *=ф £0(/),

ПРИ е->-0.

(б')

Ниже нам потребуется модификация условия (В):

(® )•

(ty’ѵе/ (s)> Ѵе/

0)> і = 1, пі), ((, s)£T X т

(t), Ѵ0/ (s),

ѵ0/(Г — 0), і = 1, ш), (t, s) 6 f XT

при е -> 0 .

Теорема 3. Если выполняются условия (А), (B'), (С), (D) и (È), то

для всех функционалов /(•) € J^ (t)f7.

/(М О )= » Д £ 0(0)

при е - > 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Достаточно

только показать, что

(СЕ (0. ее (Т - 0)), 16 Т =» (£0 (0, £0 (Г — 0)), / е Т при 8 -V 0.

(43)

В силу теоремы 2 и замечания 1

при выполнении условий

(В),

•“4J

(С) и (Е) случайные процессы

%(0= (іе(о,і = та, геіо,г )і g0(о,/ею,л

при 8

о,г

er,

следовательно,

Hm Ihn P {Aj № (0, с, T') >

6} =

0, б, V

>

0.

(44)

c-*0 e-*0

Соотношение (44), условия (В) и (Е) обеспечивают в силу лемм

1. 1.2 и 2. 1.2 для случайных процессов

%( о = (іеі (о, le« ( о = lei w. * = т а

i = т а

f >

0

и случайных векторов

VÉ= (vei (T — 0), v£(.e = vEi (S/), i =

TTm, / =

Г7)

выполнение условий теоремы 1. 1.2

(здесь

sh I =

1, г — некоторый

набор точек из Т).

Применяя к процессам ^ (t) и случайным векторам ѵ'

теорему

1,1.2,

получаем в силу произвольности выбора набора точек s, 6 Т, /

=

\ уг

соотношение (43).

Сформулируем еще достаточные условия компактности в тополо­

гии J

процессов v6(t) =

(vei (t), i = 1, m), t 6 [0, Т].

10-4-143

145

Пусть

D+m — пространство функций

у (/) = (Уі (t), i =

1, /л),

t € [О, Г],

компоненты которых — функции

У[ (/), t 6 [О, Г], t =

1, m

Нетрудно показать, что следующие функционалы являются

измеримыми относительно 33

— борелевской 6-алгебры подмноже-

°Т ,т

С Т В

О т т :

4% (у (0 ) = < ’ =-

(inf (5 >

x f ,: I у (s) — У(»«№ j) I + /г),

если IУ (Г) — у («£>,) | > А,

W - i +

r -

если іу СО — г/(4 -,)І <

л>

для

k > і ; x<ft>= 0.

4

$ (* (0) =

min (4 ft> (г/ (0 ) —

(г/ (/))), ' > 1-

J=I,Г

Лемма

3.

Пусть

для каждого е > О

vg (t) — (vei (/), i — 1, m),

t 6 [0, T] — случайный

процесс,

траектории

которого с вероятностью

(G): 1)

lim 'ТБп Р{ |ѵ8(Г) -

ѵе (0) | > Г }

= 0;

Г'-»оо е+0

8

8

2)

lim lim

Р

(V

(0) < с} = 0, г >

1, / > L

f->0 е->0

для некоторой последовательности положительных чисел 6;->0

при / -> оо,

то

lim

1ЕГР {А, (ѵ (t), с, Т) >

6} =

0, 6 >

0.

с-»0 е->0

Доказательство леммы совершенно

аналогично

доказательству

теоремы

1.3.2.

ш М Р о (8 )].і)

= 2

2

Ъ(А .О , * > 0

i=i

і= і

могут быть получены как следствия из общих

предельных

теорем

о сходимости в топологиях U и J суперпозиций

многомерных процес­

сов без разрывов второго рода

£е (/) =

(Іе( (ѵе. (/)), і = l,m ), t € [0, T\,

если воспользоваться представлением

(а) для

процессов | e(f)

и тем

фактом, что из сходимости в

топологии U или J процессов ^

(t)

следует сходимость в соответствующей топологии

процессов |

(/)

=

u J

'

1. 1.3

вытекают

следующие

условия

сходимости

Из теоремы

процессов

(0

в топологии

U.

Теорема 4.

Если выполняются условия

Pe(Ifo (е)У)

[<£7(е)]

О і):

£

ye(k,i),i = T7m

, t >

0 =Ф

V .(е )

’

k=i

(Иі (0, Yi (0. t' =

1, m), t >

0 при e -* 0,

где

p (0 =

(pt (0 , i

= 1, m), t >

0 и y(i) = (v. (*), i = 1. tri), t> 0

— непрерывные с вероятностью

1 случайные процессы;

(Ia):

lim lim P

Ди

^

Ye (Л, 0, с, Г

>

6 =

0, 6, T' >

0, t = \,m,

то

случайные процессы

m

Ee (0 , / >

0 ^ | 0(0 =

2 ^

^

( 0 ) ^ > 0 при e -> 0

(=I

и для любого функционала / ( • ) € UU07., Т > 0

f0At))=*f(tо(0) при

8 +

0.

Замечание 3.

Поскольку

по определению

2 мив)і, о=

> о,

(47)

І=1

то всегда

можно

считать, что нормирующие

функции

vt (е) < ѵ (е),

і =

\,m.

При

этом

необходимо хотя бы для одного i 6 Н

V. (е)

lim -Ц4 > 0.

-----

ч (е)

е-*о

Условия сходимости процессов £е (/) в

топологии J сформулируем

для

случая, когда выполняется условие (Е).

Теорема 5.

Если выполняются

условия

peU/tJ(e)b о

[<о;(е)]

( h ) :

£

ѵе( k ,

о, І =

1, t n Ь

> 0 =S> (p, (0, Y< (0.

vt (6)

*

A=1

10*

147

l—

(х, у),і = 1, m — непрерывные функции);

у '(f), t > О,

I =

1, m — непрерывные с вероятностью 1 процессы; у] (/),

/ > 0,

і =

1, т — стохастически непрерывные

процессы

без разрывов

второго рода;

б) р (/) =

(р(. (і), I =

1, т), I > 0 — непрерывные с

вероятностью

1 процессы;

в) процессы у'.((), t >

0, і =

\,т и

р (0 , ^ > 0

независимы

в совокупности;

(J.)

Нш

Іі шРІД

2

& 0 ,С, Г

б

= 0, б, г

> 0, і =

1, т,

о>0

е-*0

)

то для всех функционалов / (•)

6 J-o(() г,

Т >

0

f(Se (0 )= » /(lо(0) при е -> 0.

Замечание 4. В том случае,

когда

нарушается условие

(Jx), б),

но Т — точка

стохастической непрерывности

процесса

р (0,

то для

(J2)

необходимо добавить

условие

(Js):

lim TIE Р {Aj (v (t), с, T) > 6} = 0, 6 > 0,

c -* 0 e -* 0

здесь

va(0 =

Pe (Itv (e)].t)

i =

V , ( 8 )

для

выполнения

которого достаточно, чтобы выполнялось

условие

Ш :

lim lim Р {п(6б (v (0) < с} = 0, г > 1, l > l Q

f-^0с->0

для некоторой последовательности положительных чисел

6j —>■0 при

/-> оо.

Замечание 5. Условие (Ji). в) асимптотической независимости

процессов ve (t) и скачкообразных составляющих процессов

ступен­

М І*Р («)]■<>

р

qt (0 при е —> 0, t >

0, і =

1, m,

(J):

ѵ{г)

где qt (t), t >

0, i — 1, m — неслучайные

функции.

2

^ (*"> -

2

i t (/,)= f -

*'•f

> v > °-

i=l

iWi

из которого, в

частности,

следует, что

все

функции q.{t),i— \,т

Ye(k,i),k>

1, г 6 Н

не зависят

от k,

то

для случайных процессов

!е (t) имеет

место представление

где

(г)

[*<«>]

М 0 =

2

?в

(*))•* > ° -

4=1

При

этом автоматически

процессы

р (/), t > 0 и

уг (0. t >

0,

і = 1, m,

фигурирующие

в теоремах

4 и 5, независимы

в совокуп­

ности и

yt (t), і =

1, m — стохастически

непрерывные

процессы

с

§ 5.

Сходимость в топологии U обобщенных

регенерирующих процессов

Пусть

для

каждого

е > 0

£е (/),

t

> 0 — случайный процесс,

траектории

которого

с

вероятностью

1

принадлежат

пространству

D(,n), и х (е, k),

k >

1 — последовательность неотрицательных

с

ве­

роятностью

1 случайных величин.

Нам потребуются еще следующие случайные величины, связан­

ные с процессом se (0 , t > 0 и

последовательностью

х (е, k),

k >

1: