книги из ГПНТБ / Сильвестров Д.С. Предельные теоремы для сложных случайных функций

б) l'ei(i) —

&(*)

при 8 - > 0,

t e

r = Т Д І0 ,Г 1 ,

і = l,m ;

в) ѵ;((t)

ѵ'г(0

при е -> 0,

<€ Т г =

1,/л.

В силу условия а)

для процессов

а '

(/)

и a g (t)

совпадают меры,

индуцируемые

этими процессами

на

Ъ^т+т\ откуда следует, что

траектории случайных процессов а '(/)

с

вероятностью 1 принадле­

жат

пространству

и что

для

процессов

%Rl (t), t £ [О, T],

i =

1,m и ѵ'г (t), 16 (О, Г], i = l,m выполняются все условия (А)—(F)

t = 1, m),

t £ [О, Т]

и t,e(t),

16 [О, Т\,

следовательно,

совпадают рас­

пределения величин Aj(£' (і), с, Т) и Aj(£,e(t),e,T).

Таким

образом,

достаточно

доказать

теорему

для

процессов

(0 и

(0 . і =

hm-

В силу леммы

В § 2.1

из любой

подпоследовательности етА-> 0

при k-*-oo (не

нарушая общности,

можно считать,

что параметр е

пробегает

лишь

счетное

число значений ей -> 0

при /г->оо) можно

извлечь

подпоследовательность

гПк -*■0 при

k -*• оо

так,

чтобы

на

некотором множестве А £ F

(Р (А) =

1)

ѵ'

(/, со),

t 6 [0,

Т] ->- ѵ' (t, со),

/ g [0, Т]

при

/г -> оо

(1)

и

K „ k t V '

*€ 1°. Л

Soi (*. ®).

11 [О, л

при * -> оо,

І =

1, m.

(2)

Пусть

также

В —

множество из

F

(Р (В)

=

1),

на

котором

і

_____

пг

Ѵ0г (/ ±

0, ш) g R

(S, со)],

= T7m

для всех

[ J

R

[v^

(s, со)],

и

m

І=1

(5>Ш)](ѵо( V, со))< 1

С — множество из F

(Р(С) =

1), на котором ^

ХК[г'

для всех 16 (0, Л .

(=і

01

В силу приведенной ниже леммы 1

на множестве

А f) В П С

lim lim

Aj (Г

(/),

с, Т) =

0.

(3)

Поскольку Р(А П В ПС) =

1,

то соотношение

(3)

означает, что

Р {Um lim Aj (l’e

(0, с,

T)

=

0} =

1,

о*0 fc-*co

откуда

очевидным

образом

следует,

что

lim Tim Р {А, (Г

(Q, с,

Т) >

6} = 0,

б >

0.

(4)

0 £-*со

л£

можно извлечь

подпоследовательность е

-> 0 при k -> оо так, чтобы

nk

и достаточно,

выполнялось соотношение (4). Для этого необходимо

чтобы

___

lim Hm Р {Дл (/), С, Т ) >

8} = 0, 8 >

0.

«•-►о Е->0

рода.

___

Лемма 1. Пусть xni (t),

п — 0,1, — ,

і =

1, m — последователь­

ности функций из D(i) и yni (t),

га =

0 , 1 , . . . ,

і ==

1, пг — последо­

вательности функций из D^. Тогда, если выполняются условия

(F,): 1)

*„і(0 -►*« (0 ПРИ п

°°. *€*<. і =

hm, где f

(,

i

= ГГт —

некоторые счетные

всюду

плотные

в

[0, оо)

множества точек

непрерывности функций хОІ (t), содержащие 0;

2)

lim lim

Д (х. (f),

с,

T')

=

0, Т' >

0,

i =

l7 m;

^-►0 П->co

(p2) : l ) Упі (0

Уoi (0 при n —*• oo, / £ T ,

i =

1, m, где T , i =

1, m—

некоторые счетные всюду

плотные

в

[0,

Т]

множества

точек,

содержащие 0 и Г:

2)

lim lim

Дл (уп (t),

с,

Т)

= 0, где у

(/) = (у

(/),

і = 1, т);

(F3) : УQi (t ± 0) g R [х0. (s)],

i =

___

тп

1, rai

для

всех

^

( J

R [г/0/ («)];

т

/=1

(р4) : 2

^R[*oi(s>]

(0 ) <

1 для

всех

16 [0, л ,

і=1

lim lim Aj (2„(0, с, Т) =

0,

где 2п (0 = (хпі (уп[(/)), і =

ІT^),

/ £ [0, Л .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Можно считать,

что Г — точка

непрерыв­

ности функции уп (і), п > 0.

Действительно,

в

противном

случае,

если определить функции так:

Упі (0 = ІУnt W для

t е [0, Л ;

*/„, (0

для t € (Г, г 0],

г 0 >

Л

то для

функций

л:л, (/), і =

1, m,

га >

0 и

г/„г(0 >

1 —

Ь

га > О

выполняются, очевидно, все условия (F^,

j

=

1,4. Точка Т явля­

ется точкой непрерывности

функций ynl (і),

і = 1, /и, га >

0,

и, как

9*

ІЗІ

нетрудно

понять,

А, (z„ (t), с,

Т)

=

А, (zn (t), с, Г 0) (z„ (/)=(*„, (уп. (t)),

i==l, m)).

что Т — точка непрерывности функ­

Итак, будем считать впредь,

ций упі (t),

i =

1, m,

n > 0. В силу условия (F,) функции ynl (t)-> yQi(t)

при n -> oo,

i =

1, m, следовательно,

yn (f) -> yg (t)

при n -> oo,

для

всех

t£ R[y0(/)].

Поэтому

и yn(/)

y0 (t)

при n-+ oo.

Пусть X'n (t),

n >

1 — последовательность

непрерывных

взаимно

однозначных

отображений

промежутка

[0, Т] на

себя

такая,

что

lim

sup

(I уп(0 ■ ■у0(л; ( 0 ) і +

і ^ ( о - П )

=

о.

(5)

п-*х:

»его.г]

В силу

условия

(F,) функции хп1(/), /£[0,

хы (t),

t £ [0,

Т\\

при П-+ 0 0

для

всех

Т;'£ Т (,

і — 1, пг и, следовательно,

хпі (0-*-*« (0

пг _______

___

при

п-> оо

для

всех

f 6

R [

\ (s)].

і =

1, m. Пусть

Tk,

k >

1 —

/=1

x0l(t),

____

последовательность

точек

непрерывности

функций

і = 1, m

такая, что

7 \-> о о

при k->

оо.

Так как последовательности Упі{Т),

і =

Vjn.

п >

0

ограничены,

то

существует

Т*0 = V

такое,

что

max max ynl(T)<. V . В силу

выбора Т функции xnl (t),

/£ [0 , Г ']4 -

"

і=Тш

X x 0l (0.

‘ € [0,

Г ]

при п -> сзо,

t =

І 7 т .

Пусть

(0,

і = 1, пг,

п > 1 — последовательности

непрерывных

взаимно

однозначных

отображений

промежутка

[0,

V]

на

себя такие,

что

um

SU? , (I Xnl (/) -

X* (Klt (0)! +

I ** (0 -

11) =

0,

i =

1, /л.

(6)

►=>/его.гI

Имеют

место

простые

оценки

Л ,(г„(/|. с,

Л <

Д , (г; (1). г,

Л +

+2/€SUP[0.г] I *„< (Упі (0) —

%

^

(Ущ (0)) 1С

1=1

<

A J [ Z n (0,

С, Т) +

2

SUP

I X ; t

(0 —

(*» l>

(7)

где

z; (0 =

(xw (*„, (yni m ,

i =

lT«) =

к ,

(K (0 ),

i = iTm),

2„ (0 =

(zni (0 =

xw (Xnt (ym. (Я,;-1(/)))),

t =

1, m).

lim

lim Aj (z'

(0, с, Т) =

0.

(8)

C-W> п-*со

Применяя к

неслучайным функциям z„ ((),

t £ [0,

Т]

и

Хп ((),

t£[0, Т]

теорему 2 .2 .3 ,

получаем, что для доказательства

(8)

в,

свою очередь, достаточно показать

lim

lim Aj

(zn (i),

c,

T)

=

0.

(9)

Обозначим

c-»0 n->oo

m

m

\

(

I

(t>) -

Zm^ I-

2

12* ( 0

“

{t) 1) “

2

m

<Z')) -

*0<

(0)1.+

m

t =(S-1 (0)

\

=

<S n i

ßnt1*<><

-

I

I ■

( 2I x 0l

2

{S" ‘ ( П )

X V

где

___

Sni ( t )

К ,

( У ы (К

(0)) =

^

(0

(0.

* € [0, n

, m .

Для доказательства (9) достаточно, очевидно, показать,

что

lim lim

sup

Rn[t',t,f\ = 0.

(10)

c-M) n-*oo /—

ß =

max

sup lßm (/)l-

i=T^ і«[0.г]

Используя (5) и (6), имеем

ß„ <

max

sup I A,m. («/„,

(/))) — y„, (X'~' (t)) | +

i=bm'ero.r]

+ max

sup

I у ■(Г ~ ‘ (()) — У0І(О I <

max

sup

|

ifl — * | +

+

max

sup

I у ,(t) — yol (Ä.n (0) I -*■0 при

n -*■oo.

ill)

i = ( € t 0.rj

Возьмем произвольное a > 0. Пусть

<

z2< <

. . . <

z ^ >( — точки

разрывов функции

xoi (s),

величина скачка

в которых по абсолютной

величине больше

или

равна

, і = 1, m.

\ f

В силу леммы

5. 2. 1

всегда

можно

выбрать h0 так, чтобы

если

—

ho и t \ f

принадлежат одному

из

интервалов I« =

[z0;,

2* i>

2*і+‘Л

(здесь ^

“

=

°.

T0

( 12)

*« (O — *oi (О I < — , i =

l,m.

Будем говорить,

что точки/',

/, /"£[ О,

Т\

удовлетворяют условию

Аи.с, если

/ — с <

/ ' < / < / " < / + £

и хотя

бы

одна

из

этих

точек

принадлежит промежутку [и — с,

и +

с].

Покажем вначале, что для каждой фиксированной точки и £ [0,7’1

найдется

с = си и номер пи, что

если

точки

/',

/,

/"

удовлетворяют

условию

Аи,си И п >

пи, то

Rn [/', /,

п

<

а.

Возможны три случая.

разрыва функции y0(s). Тогда точки

а)

. Точка и является точкой

уоі (и ± 0)

являются в

силу условия

(F3)

точками

непрерывности

функции хы(s) для каждого

і =

1, пг.

Поэтому

найдется

а

>

0.

что

для

всех

точек

s',

s” £ [yQ. (и

±

0) — ос,

уОІ (и ±

0) +

a]

I xoi (s' ) — xoi (s*) I <

Ддя каждого

i =

1, m.

Всегда

найдется

с =

си такое,

что

шах sup

I у

(и — 0) — у

(и — s) | < у

И

I

0 < s < 3 c

z

\уы (и) — уОІ(и + s)\< ^ .

шах

sup

(13)

і

Если точки

/', /,

Г удовлетворяют условию Аи,Си, то и — 2с < / '<

< / < u < / * < u

+

c или и — с < / '<

ы <■ / <

/*<

ы + 2с.

Рассмотрим первый случай (второй совершенно аналогичен). Из

(13)

следует,

что

ш а х \y0l(t) — УОІ(и — 0 ) |< ~ ,

m ax \y0i(t') — уОІ

(и — 0 ) |<

у .

( = 1 ,ш

l=~l,m

(14)

Выберем теперь пи так,

чтобы ß„ <

у

для

п >

пи

(это можно

сделать в силу (11)). Тогда

для

п >

пи, используя (14), получаем

и

— У01(и ~

° ) l< ß„ + l//oi(0 —

— ° ) l<

«,

i = h m

____

I sn( (O — Уоі (u — 0) |<

+

IУQi (0

Уоі (u

0) IС

а,

і =

1,ш. (15)

В силу выбора а и соотношения

(15)

следовательно, /?„

[/', /, Г] <

о.

функции y0(s), но

б)

. Точка

и является

точкой непрерывности

найдется і

такое,

что точка yQl (и) является точкой

разрыва функ­

ции хОІ (s).

Очевидно,

найдется а > 0 такое,

что

SUP

I хоі Ufa (“ ) — s') — %

(Уоі (“ ) — s') I <

И

(Xs'.s'««

sup

IX

(y

(u) +

s') — xot (y0l (u) + s") I <

.

(16)

0«fs',s"<sa

Выберем теперь

cu

так,

чтобы

если t£[u — 3си,

и +

3cJ,

то

\У(я^ — Уоі (“)l <

Т

■ Если

выбРать

п и

так.

чтобьі

ßn < -f-

для

п > пи,

то

при выполнении

условия Аи,Сц для

точек t', t,

f

I s„i (О -

Уоі (“) I*

I

W -

^ог (“ )!•

! s„(

(П -

У« («) I

<

«.

(17)

Из

трех

точек

sni (t'),

snl (t) и sni (f)

или sn{ (t') < sni (t) < г/0( (и),

или y0l (и) <

snl (t) <

sni (Г).

В первом случае (по определению функ­

ции snl(t) монотонно не убывают) в силу (16) и

(17) U 0i (snt (t')) —

— xQi (snt (t)) I

<

•

Во втором случае в силу (16) и (17) I xQi (snt (t))—

— xQi (f)) I <

. Во

всяком случае,

всегда

min (I xQl (sni (t)) — x0i (sni (t')) |,

i xQi (snl (t))

x0[ (sn[ (())!)<

m • (18)

В силу

условия

(F4)

д л я

каждого / # і

точка у0/(и)

является

точкой

непрерывности

функции xol (s).

Поэтому найдется

а'

>

О

такое,

что

шах

sup

I хоі (у0 .(и) +

s') — xof (у0І (и) +

s") | <

— .

(19)

i + t | s 'l,ls " | < a '

Можно

считать: cu выбрано так, чтобы если t £ [и — Зсц, и +

3cJ,

то

а'

max

I у

. (t) — Уоі (и) I <

-%■;

l+t

пи выбрано так, что

ß„ <

~

для п > пи. Тогда, если точки t',

t,

f

удовлетворяют условию Аи .си,

то для

n > n u (подробнее

см. (15))

max max (| snl (t) — y0/ (u) |,

| sni (t') — У0І (и) |,

| snt (f) — yol (и) |) <

a '.

Из

(19)

и

(20)

следует

в этом случае, что

(20)

max max (| xQj(sni (t)) — xQj (snl (t')) |. | x0j (sni (/)) — x0, (snt

(О) I) <

£

■

/+І

(21)

Из

(18)

и (21)

получаем окончательно

(

т

т

2

1*0/ (Sn/ (0 ) -

*0, (S„, (О) |,

2

1Х0І (Snf W) -

/=і

/=і

-

% («„, (О) Ij

<

min (I xat (snl (0) -

%

(s„i (*')) I,

! Jt„ (s,( W) -

— xoi (s„< (П )1) +

(m — 1) max max (| x0, (sn/ (/)) —

}фІ

xai (sni

)) l>

I *oy (s/iy (0)

*oy (s„,

)) i) ^

°-

в). Точка и является

точкой

непрерывности

функции

yQ(s),

и

для каждого j — I, т yQj (и) является

точкой

непрерывности

функ­

ции xol(s).

В этом случае найдется а > 0 такое, что

max

sup

К , («/„у («) +

s') — x0j(y0j(u) + f)\

<

у

,

(22)

l = l , m

|S 'l.|s"l< o

а затем с

такое,

что

max

sup

\y

. (u) — y

. (u +

s)| <

y .

і=СЛisI<3cü

Если

выбрать nk так, чтобы

ß4 <

у

для п >

пк, то для точек t' , t, f,

для

которых

выполняется

условие

А„ Си для

п >

пи,

max_ (I snj (t') — yoj (и) |,

| sn/ (t) — у0І (и) |,

| saj (Г) — у0! (и) |) < а,

/=1,т

и в силу

(22)

R„ [?, t,

t"\ < m max max (| xof (sn/ (t')) — *w (snj (t)) \

\xQj (sn, (t’)) —

У=1.т

Поскольку для любых с' < с" условие А„,с

влечет за собой ус­

ловие

Аи.іг,

то

и

для

любого

конечного

набора

точек

ѵк,

k — 1, г £ [0,

Т] найдется

с

и номер п0 такие, что

если

для

точек

t', t, Г выполняется одно из условий АСк<с,

k = 1, г

и

п >

nQ,

то

для

п > п0

Rn [t’, t, Г] <

о.

Пусть

сх > 0

и

номер «х выбраны

так,

что

если

для

точек

t ' , t , f

выполняется одно из условий

А0.с

или

\т,с,

и

п >

пь

то

Rn [t’, t, t"\ <

о.

г

() — подмножество индексов

г,

для

ко­

Пусть J; = {ru , . . . ,

торых

существует

s£[c,,

Т — с,]

такое, что уш(s) =

zn

(в

силу

ус­

ловия (F3) каждая такая точка

является точкой

непрерывности

всех

функций у0І(і), j =

1, tri). Для

r £ J i определим

V- =

inf (s€ lCj, T — Cj: y0l (s) =

Zri),

v+ =

sup (s £ [cp T — c,j: yQl (s) =

zri).

В силу сделанного выше

замечания

найдутся

с2 <

Cj

и

номер

пг > пг такие, что если для

точек t',

t, t"

выполняется

одно

из ус­

ловий А* с , г£Л ,

і = Т 7 т

и п > п 2,

то Rn[t'

Пусть

т

Множество U представляет

собой

объединение

конечного

числа

замкнутых интервалов [ар bt],

I = 1, kQ.

yQ.(t ±

0) Ф zri,

В силу условия (F3) и построения

множества U

і = 1, т для

всех fgU,

и так как

функции

yot(s),

і =

1, т

принадлежат

пространству D7)

то, следовательно, существует

у > 0

такое, что

min min inf | y0, (i ±

0) — zri | >

y.

(23)

Покажем,

что каждый замкнутый

интервал

[а, Ь] с : U,

на

кото­

*<«(*) < zr + u - y -

t m b l

а если г = 1, kt, то

У о і Ѵ ) > г н + т -

^ l a ’ b ] -

Действительно,

если yol (t) £ lri, то zr+n — zr. >

у. Обозначим

т~*~ =

inf | s : s >

У 0І (s)

^r+ii

2

i ’

как в силу

(23) yot (tQ) <

zr+u — у, то т+ > tQ. Поэтому

в силу

мо­

нотонности

функции ут (s) y0l(x+ — Q)>y0((t0). С другой стороны,

по определению уОІ (т+ — 0 ) < zr+Ui —

Следовательно, у0( (т+—

— 0) € Ігі>а значит в силу (23) ут(т+ — 0) <

гг+и — у.

Но

тогда

необходимо функция у0і (s) имеет в точке

т+

скачок,

больший

или

равный

,

что

противоречит исходному

предположению.

Выберем теперь

h < min

, -у-j .

и

пусть

uf>,

k — 1,

k'0 —

точки

разрыва функции y0(s),

величина

скачка

в

которых по

аб­

солютной величине больше или равна h (заметим, что

в

остальных

точках промежутка

[0, Т] все

функции уоі (s),

i = 1, m

не имеют

скачков, больших или равных И).

п3>

п2 так,

Выберем

теперь с3 < с2 и номер

чтобы

если

для

точек

t', t,

f

выполняется одно из условий А

k =

I,

k ' и n > n ,,

то

П < о .

Пусть

\

к°’

(ulh)~

c3>

Ѵ = и \ и

Множество V представляет собой

объединение

конечного

числа

замкнутых интервалов [с\, d'l,

I =

1, k"0 (будем считать, что с\ <

d '<

< с' <

d'2<

съ. . . <

d'k~).

о

[с\,

â\\

yQ{(s),

і — 1, m

На

каждом из

интервалов

функции

не

Y

следовательно,

для

каж­

имеют скачков, больших или равных - у ,

дого [c',

d'] существует интервал I

і

= \,тп такой, что

Уоі (t) £.ІГ[

t.i>

^/1»

* —

(25)

причем,

если

rld =

0, kt — 1,

то

у ^ ) < гги+хл - Т

'

*é [c; , d;j,

(26)

а если

{ =

1,

то

Уоі W >

zru>*+ 'у

•

^

t c;>

(27)

Выберем п4>

п3 так,

чтобы для

п > n4 ßn<; min

, -y-j •

Тог­

да, очевидно,

для

всех п > л4

sniW 6 ,rM.|.

^ [ с ;,

і =

1, т .

(28)

Так как на промежутке [c', d')

функции

yQl (s),

i — 1,

m

не

имеют скачков, больших или

равных у ,

и

в

силу

построения

множества V и леммы 5.2. 1

найдется с4 <

с3 такое,

что если точ­

ки V,

d;j

и I

— Г I <

с4,

то

шах I уш (t') — Уы(О I <

- у •

(29)

i = l ,m

Из

(29) и выбора я4 следует,

что для

всех я > л 4,

если

t', f

é [c;, d;j и 1t' — f

I

<

c4,

to

шах I s„f (t') — sni (О I <

hv

(30)

t— l,m

Из

(28), (30)

и

(12)

следует,

что если

точки

t',

t"£ [с\,

d'] и

11' — t’ I < c4,

то для n > n4

max I x0i (sni (t')) — x0i (sn/ (f)) I <

-£■ •

(31)

i= l.m

Из соотношения (31) следует,

в свою

очередь,

что

если

точки

t’, t, t'£lc’t, d'] и t — cA< f

< t

+ c4,

то для

n > n 4

Rn \t\

t, t"\ <

m max_max (|

(sni (t’)) — %

(snJ (/)) |,

\x0l (sni (t’)) —

i= l,m

— хы (sni (*)) I) <

CT-

(32)

Очевидно,

c4 и номер n4 можно выбрать

так,

чтобы соотноше­

ния (28) и (30), а следовательно,

и соотношение

(32)

выполнялись

одновременно для всех I =

1, ko.

При этом

всегда

можно считать,

что с4 выбрано так,

чтобы

d =

min

(ck+x — d'k) > Зс4.

(33)

Из

соотношения

(33)

следует,

очевидно,

что если

t ' , t , r e \

и t — c4< r

< t < t "

^ t