книги из ГПНТБ / Сильвестров Д.С. Предельные теоремы для сложных случайных функций

/->- 0 такая, что

(

lim lim Р { я ^ (v

(/)) < с) =

0,

l > L,

г > 1,

0*0 8“*0

следовательно, для всех функционалов f ( •) £ JVo(i) 7

/ (ѵе (0) =Фf (ѵ0 (0)

при е-»-0.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Покажем прежде всего, что

существует

последовательность положительных чисел бг -> 0

при I -> оо

такая,

что случайные величины

%т!к (ѵе (*))

(ѵ0(0) при е -> О, I,

k > \ .

(Ю)

Продолжим случайные процессы ѵ8 (/)

и a g (f)

для / >

7\

опреде­

ляя vg (0 = ѵе (Г)

и а 8 (0 = а 8 (Т)

для

t >

Т.

Как нетрудно

понять,

условие

(В)

обеспечивает для

случайных

такого, что (т8 < /} £ ж |Е) =

о [vg (s), s < t\ для

каждого

t

>

0, вы­

полнение условия (В) § 7.2,

причем

Ре (*, t,t +

s, А) =

Р, (х, min (t, Т), min (t +

s, Г), А) х £ RÄ,

0

< / <

/ +

s <

оо,

A G » (1).

В частности, в

силу определения функционалов крк(.),

& >

1,

как нетрудно проверить, (х^к

<

/} € ЗСП|в),

k > l

для

каждого

t >

О

(здесь

и ниже для сокращения

будем

обозначать x^f =

x f \

(vg (/)),

k > \ ) .

В силу определения моментов xfk , k >

1 и определения процессов

ѵЕ(f)

для

t > Т

Р К ?

< С>Ѵе (<,) <

иг, Г = 177} =

=

Р {ѵ8 (с) > ѵ8 (0) +

h,

V8 (/,) <

и„

r = 17/},

C < T .

(11)

Пусть

C = {ck, k > 1} — некоторое

счетное

всюду

плотное

в

ций распределения случайных величин v0 (ск) — v0 (0),

ск£ С.

Из (11) в силу условия (С),

1) следует, что для

всех

б £ Н х

Р { х ^

< Ск, ѵ0(/г) <

и г, г = 1, /}

при в —*■0

(12)

для

ск£ С П 10, Т)

и иг — точек

непрерывности

функций распределе­

ния

случайных величин ѵ0 (tf),

г = 1, /.

(xjj’, vE (^),r = T j) =3>(*o?> vo

r = T70 при e -»-0.

(х<?\ ѵ8 (0), t >

0=Ф(х®, ѵ0 (/)),. t

>

0

при е-> 0.

(13)

Определим

случайные

процессы (v' (t),

ag (t), t > 0,

где

vg (t) =

= (t, Ve (tr),

r =

ПТ, Ve (0),

* > 0,

и

случайные

моменты

времени

Ttk (Sr) =

+

Sr> k> X

ДЛЯ *r>Sr > 0 , r = T j ,

l >

1.

t <

Поскольку

v' (t + s) — v' (0 =

(S , 0, . . . , 0, Ve (t +

s) — V8 (<)),

< / + SH

{t^

(S r ) <

t) =

< t — sr}£Wlf\

t > О, то,

как нетруд­

но понять,

при

выполнении условия

(В) для случайных процессов

(v' (t), ае (/)), і >

0 и случайных моментов времени тЕ*

(sr), 6 > 1,

sr > 0, г = Т Г /

выполняется условие (В) § 7.2,

причем условие

(С),

2) обеспечивает

выполнение для

соответствующей

функции Рe(x,t,

t -f s, А) условия (D3) теоремы 2.7.2. (ag (f) = а" (0,

компонента

(/)

отсутствует, Dn,

л >

1 — последовательность

борелевских

множеств,

фигурирующая в условии (С), 2)).

и слу­

Выполнение для случайных процессов (vg ((), ае (t)), / > 0

чайных моментов времени т*®’ (sr), sr >

0, г =

1,/

условий (D,) и (Da)

теоремы 2 .7 .2 обеспечивает соотношение (13) и условие (С), 3).

Применяя эту теорему, получаем

для всех

соотношение

( < ’ ( « , ) . Ve ( * , ) . • • • .

O '® ( * , ) • ^ =

M ) = $ >

=Ф (T ® (sr), V0 (tr), V0 ( x ^ ) ,

г =

177)

при e -> 0 .

(14)

Соотношение (14) в силу произвольности выбора sr, tr >0,

г = v j ,

l > 1 означает,

что

для

всех б€Н,

( ^ ).ve (0,v8(x<f +

S)), t,s > 0=Ф

=Ф(х^\ ѵ0 (0, ѵ0 («и

+

s)), t, s > 0

при е

0.

(15)

В силу определения моментов х8®\

k >

1

и

процессов

vs (t)

для

/ > Г

Р К ? < с 1» *® < с> ve ( g <

г = 1, /} =

= р {х® <

с„ Ve ( X ® +

С) >

ѵЕ( X ® ) +

h, V ( g

< U ' , r =

ITT}, с,, с < Г .

Н2 — множество

(16)

Пусть

точек непрерывности функций распреде­

ления случайных величин ѵ0 (х® + ck) — vQ(x®), ck £ C.

Проводя рассуждения,

аналогичные приведенным выше (напом­

ним, что по определению,

если х® = Т, то

х® = 27), получаем из

(16), что для всех 6 6Н ХП Н2

(*®. *е2>\

(К)> Г =

М ) = » ( < . «02. ѵо (*,). '

=

U )

при е -*• 0.

Последнее

соотношение

в

силу

произвольности

выбора

tr > 0,

г — 1,1 означает, что

для

всех

6 6 Нх П Н2

(множество

Н 2 не

более чем

счетно)

(и®, / =

1,2,

ѵ£ (/)), t > 0 =Ф(х®, / =

1,2, ѵ0 (/)), t > 0 при е

0.

(17)

Применяя теперь к

процессам (vg' (і), ае (t)),

t > 0

и случайным

моментам времени т®

(sr), sr >

0, г =

1, /, / =

1,2 теорему 2.7.2, со­

вершенно аналогично тому,

как

это было сделано выше для момен­

тов т® (sr), sr > 0, г — 1, /,

приходим для всех

6 6 H tQ Н2 к

соотно­

шению

(«I?. ѵе (0. ѴЕ (X® + S ) , j = 172),

/, s >

0 =Ф

=Ф(X®, v0 (О, V0 (x®

+

s), j = 1, 2), t, s > 0 при e - » 0 . (18)

чая не более чем

счетное

число точек,

соотношение

( « S ’. Ѵе ( 0 . ѵе ( « У +

s), }

=

ГГ г), t, S >

0

=*(х®. ѵ0(0, ѵ0

( X ® + S ) , j

=

1, Г), /, s >

О

при е ->0, (19)

из которого, в частности, следует (10).

Оценим теперь

вероятность

<

т )

+

f

)

ремы 2.7.2. Поэтому мы ограничимся лишь

краткими

пояснениями.

Введем в рассмотрение случайные величины

х Г ' = {(” + 1) Л'> если «® €

(п +

1) h’), п >

0; Л' > 0.

По определению хД’ <

<

+

h -

следовательно,

в

силу

непрерывности справа

процесса

ѵе (/)

( )

Используя основные свойства

условных

ожида­

ний и условие (В), получаем

математических

20

Р (ѵе {Kfh'b + т) — V8 ^ k ’h ) >

у } =

=

£

Р {ve ((n +

1)h' + y ) - v e ((n+ 1)Л')> у

. х®€[яА'. (п + 1)А')}=

=

£

М (5С (X ®

€ [nh', (п +

1) h')) М {ѵе ((п + 1) h' + -£-) -

Я=0

-

Ѵе ((л + 1) h') >

у/а„ ((я +

1) h'), % (х® 6 [яА', (я +

1)А'))}) =

=

2

М * (“ff € [яА', («+1) Л')) Ре (а8 ((п+

1) h'), (л + 1) h', (п +

1) А' +

п=0

оо ( п + 1 ) й '

+T’[t-“ ))“ S i

jp.(*.(« + »l*'.(»+ i)‘' +T-

n=s0 nh'

оо))Р К «Я + 1) A') e dx, X ®

€

оо

[у ,

=

f j Pe (*.*.< +

T-

[I-,

oo)) P к

( *

r ') € dx, C

h' e d t } < P {cog < • " ') e D„,} +

-f j

S^up

Pe(x, t, t + у

, jy , oojj p {^tk'h É ^}<P (ae

) ®Dn'}+

+

^

sup P«

nh, (n + 1)h 4 - y . |y >

° ° ) p {*1*’A € ln/l> (n +

! ) h)}-

n=0

(21)

Здесь функции

Pe (*, /, /! + s, А)

определены

соотношением

(a).

Поскольку в силу

определения величин

. п

> и

X {У -Т 6 И , (я 4-

1) А))

X ( < ’ 6 [nh, (п + 1) Л))

при А' -> О

и ряд справа в (21) сходится равномерно

по h' < /і 0,

то, используя

(20),

получаем оценку

р Ь

К

’ + у ) -

V. (*«?>> 4 - } =

=

{’ . ( * Т '

+

т ) -

ѵ. <»ff■*'> >

т }

<

ita P {а,

СО

+ ІІпГ У

sup Ре lx, nh, (n +

1) h +

y , [A oo)) X

h '- * 0 * - * x€D „,

\

2 L 2

/ /

n =0

X

P {х(*)Л' e [nh, (n + l)h)} =

limP{coe (X«»-4') eD„,} +

h’ <

kT -f Л;

(22)

По определению величины

+

ае (/) —

= « .( 7 V >

Г. Поэтому, используя условие

(С),

3),

имеем

lim

lim lim Р (ае (х*А),А') g D J

<

п -> о о е - * 0 А '- * 0

< lim lim (1 — P{ae(0€Dn, г 610, Г]}) = 0.

п->со g-M)

а >

Из

последнего

соотношения

следует,

что

для

произвольного

0 можно выбрать п0 так

чтобы

Hm Tim Р {ае (ttW’*')£ D

} <

а.

(23)

е-М )

Ь ’ - * 0

0

Выбирая

h < у

так, чтобы точки nh,

п >

0

являлись

точками

непрерывности

функций

распределения случайных

величин х ^ , / ,

£ >

1,

получаем из

(22), используя соотношения (10), (23)

и то, что

ряд справа в

(22) сходится асимптотически

равномерно при е -*■0,

lim Р {ѵе (х<Л/

+

у )

-

ѵе (Kgft >

у } <

< Й

й Р{а«(^

/,'А')

е ° '’»}

JnUp Р. (*•«*•

(я +1) л + у

. [у , ооJj р{xf;> g [яа, (« + 1) л)}

< а +

У

lim

sup

t[x,nh,(n+ l)h + - j ,

[-у > °°)]

X

^

e-*0 x£Dn

п=0

п‘

X Pfx®? е [nh, (п + 1) ft)} < а + У

Г

Urn sup РЕ (х, t -

п= 0

J

е'* ° x(Dn0

\

nh

— ej-, t +

с+, [ ^ - , оо)) Р {x ^ G dt} =

OO

g

= а +

Г Tim

sup p г (x, t — CJ-, г + c+, [-£-, ooY) P { x ^ £ dt}.

(24)

J e - * 0 * € D „ o

\

L z

/ /

В последней оценке в (24) использовано неравенство

Ре (X, nh, (п +

1) h +

- j , [б, оо)) <

Ре (х, t — с -, t + с+,

[б, оо)),

для t £ [nh, (п + 1) h),

h С ~2

'

х

п ^

Используя

условие

(С), 2)

и теорему

Лебега,

получаем из

(24)

Н т П т Р (ѵ8 (x « f + -j-) — ve (x r t >) > т } <

< а +

f lim Н т sup Pe (x, t — c f , t +

c+, [-£-,

oo j) P { x ^

€ dt} =

0.

J c-*0 8 -M jc€ D „

0

\

I

'

'

0

а последнее соотношение озна­

В

силу

произвольности,

выбора

чает,

что

lim lim Р jvg ( x f /

+

у ) — v8

> T J

“ °-

c -» 0

e - ^ 0

'

'

*=о

< I

р {ѵ. ( < " + у ) >

<*?,'’) + Si ) ■

*=о

Теорема доказана.

теперь,

что ve (t),

t g [0, Г] — мар­

Следствие I.

Предположим

ковские процессы,

траектории

которых

с вероятностью 1 принадле­

жат пространству

D+.

В этом случае, если выбрать а е (t) = ve(t),

t £ [0, T\, то условие (В)

автоматически выполняется, причем Ре(*, t, t

-+- s, А),

x £ R Ä, 0 < t

Кроме того, при выполнении условия (С), 1) в этом случае оче­

видно выполняется условие (С), 3).

Таким образом,

если

ѵЕ (f),

t € [О, 7] — марковские

процессы,

траектории которых с вероятностью 1 принадлежат пространству

то при выполнении

условий

(С),

1)

и 2) случайные процессы ve (t),

/£

[О, 7] сходятся

в топологии

J

к процессу v0 (t), t

в [О, Т] при

е

0.

f (vE(/)) =Ф/ (v0 (/))

при e -> 0.

где pg(n, і) =

2

6(т|е(fe), t) — число попаданий управляющей

после-

k=i

в состояние

і £ Н за

п

«переходов».

довательности Т1(е)

Процесс

(0.

t

> 0 естественно назвать процессом ступенчатых

сумм

управляемых

случайных величин. Нас интересуют условия

компактности и сходимости в топологиях U и J процессов £g(/).

Случайные процессы sg (і) могут

быть представлены в виде

т

!».<[»(*>] *0

т

6. (о =

2

2

=

2

6-‘ (ѵ- ( /))-

t > 0 '

(“>

i = l

4=1

i = l

где

hs (I'” («)]• 0

ve t ( 0 = ~

Ц, (e)----

[<»;(')]

Y.(Ä.o, *>o, i = il,m.

6.t(o=

2

4=1

Здесь и ниже

v(e),

v{(e),

i = l , m — неотрицательные

неслучайные

функции такие, что ѵ(е),

vt (г), і = 1, т ->

оо при в -> 0.

Таким

образом,

изучение условий

компактности

и

сходимости

в топологиях U и J процессов

(0

является

частным

случаем

следующей более общей задачи.

____

Пусть

для

каждого

е > 0

£еі (t),

t >

0,

i =

1, m — случайные

процессы, траектории которых с вероятностью 1

принадлежат про­

странству

D(/),

и V

(0,

^£{0, Л .

{' =

1, яі — случайные

процессы,

непрерывные

справа

с

вероятностью

1,

удовлетворяющие

условию

(А): процессы ѵа (і),

/£[0, Т\, і — \,т

монотонно

не

убывают и

vg((0) > 0 ,

і

=

l,m

с

вероятностью

1.

Нас

интересуют

условия

компактности и сходимости в тополо­

гиях U

и

J

суперпозиций

многомерных

процессов

| е (*) = (£ег (f),

і =

1, яг),

t >

0

и

vg (/) =

(ѵвг (0,

t =

1,/n),

t

£ [0, Л

процессов

к (0

=

(6., (vet (0),

i = ümj,

1 6 io, 71.

Для

топологии

ü

ответ

дает теорема

1.1.3.

Основным

резуль­

татом

параграфа

является

следующая

теорема,

устанавливающая

условия компактности в топологии J

процессов %e(t).

Через U(i,m)

обозначим пространство

функций z(t) = (x((i),yt (t),

і = \,т),

0,

для

которых

компоненты

х{ (t) £ D(t),

i = l , т, a

компоненты

yt (t) £ D+,

i = 1, m.

Пусть также

V r’m>— подпространство функций

из

U(i,m) для

которых yl ( t ± 0) 0

R [Xt (S )l,

_____

m

R [yt (s); [0, 7]],

i = 1, m для всех t £ [ J

и W r,'n> — подпространство функций из

;=i

U(i,m), для которых

m

2 xr [*j (

D

i

^

для

всех

1€ f°- л .

(=i

Если z ( 0 — функции

из U(i),

то,

как

негрудно показать, следу­

ющие функционалы являются

измеримыми относительно ©„щ — бо-

релевской а-алгебры

подмножеств U(/>

а1:Г (2 (0 ) =

sup б (у (s), *1'

(х (0),

inf (s £ [0, 7 ]: у (s)

T*.n (*(*))•

если aL r (2(0 ) =

1,

T,

если

a™ 1' (z (0 ) =

0,

ѵГ.;Г,+ (г (0 )

jsup (s 6 [0, 7J :y(s)= %l'n (x (t)),

если

(z (/))

=

1,

I

7,

если

a [ ; f

(z(0)

== 0.

Пусть 7 r, r =

1, 2 , . . . — некоторая

последовательность положи­

тельных

чисел такая,

что 7 г->- оо

при г-+-<х>.

Для подпространств

k >

и Wт'т) имеют

место представления

(функционалы

т%п (x(t)),

1,

re = 0 ,1 , ...

определены

в §

2.3):

оо

оо

m m

ѴГ

=

П

П

П

П {z w € ua,m>: Уі (Т*-» {уі {t)) ± 0) £ R [хі (s)1> =

* = І п = 0 1 = 1 j = \

оо

оо

оо

со

оо

m ш

=

п

п

п п

n

n

n

{z(/)el)(U):^

(t))± 0 ) ¥ :

л = 1 * ' = 1 л ' = І А = 1 л = 0 ( = 1 / = І

Ф Xk\n' (Xi (0 )}*

wT(/.ml

оо

оо

со

m

=

П П П П

П <

г «

е и<'"”’ :

г — I k = l П — 0 i s= l

У, (s) е

R 1*У (01, S е I v l f ’-

(2/ (0),

(0)0 =

оо

оо

оо

оо

оо

m

= п п п п п п и « г « Е , ) М :

r = 1

А '= 1 л ' = 0 *=•!

п = 0 / = 1 1+1

У, (S) Ф Ъ , п. (X, (/)), s 6 [уІ;пт' -

(zt (/)), Y™'-+ (Zt (0)]}

(здесь 2 (t) =

(x. (t), yt (t),

i

=

1,m), z{ (t) = (xt (/), yt (()),

i

=

l , m)),

из которых следует, что

6 33u(/.m)

и

W(7,‘,'n)

6 58u(/,m)— а-алгебрв

борелевских

подмножеств

Пусть, как и выше,

y(t) = {y(t)

для

і 6 [О, Г},

у (Г)

для £ >

Г

— продолжение функций y(t)

из

на промежуток (0, оо).

Пусть также Т — некоторое

счетное

всюду

плотное

в

[0, оо)

множество

точек стохастической непрерывности процесса

£0(}) =

= (£0; (t).

t =

1, /га),

/ >

0,

содержащее

0, и Т — некоторое

счетное

всюду плотное в [О, Т] множество, содержащее 0 и Г.

Теорема 1. Если выполняются условия (А) и

(B )

: ( |еі. (О,

ѵеі (s),

і =

т а ,

(Л s) б Т X Т =Ф а ы(/),

ѵ0( (s),

і = Т^Г),

(/, s) 6 f

X Т при е -V 0;

б, Г >

(C)

:1 іт ІІт Р { Д і (|еі( /) ,с ,Г ) >

6} = 0,

0,

і =

17т;

С-*(І Е-*0

(D)

: lim lim P{Aj(v

(/),с ,Г )>

6} =

0,

б > 0;

'--Ю е-^0

(E)

:Р «£оі(/),ѵ~ОІ(0, і

=

іТтУ,

t >

0€ V ^ m,}=P jvQi(i± 0 )2R[i0.(S)],

m

i =T7m , /6 U

R K i( s)l

=

i;

(=i

(F)

:p{(Eoi(o. vot(/),

;=Tm , ^ o e w ^ ’i ^ p j ^ x R ^ ^ w x

4=1

< 1,

t£[Q.T]

=

1,

то

__

lim lim P {Aj (£e (^), c, 7) >

6} = 0,

6 >

0.

£■-►0 e-K>

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Совершенно

аналогично

тому,

как

это

сделано в доказательстве теоремы 3.2.3,

можно

показать, что доста­

точно ограничиться

случаем,

когда Г £ Т, Р

(Г) < 7 ,

t = l,m} = l,

где

Т — точка стохастической непрерывности процесса

v0(t).

Затем построим на некотором вероятностном

пространстве (Q, F, Р)

случайные процессы (£',(/),

v'el (t), i

=

І, m), ^ [ 0 ,

Т],

удовлетворя­

ющие условиям:

i =

а) ae(t) = (l'et (t),

v;£(/),

i =

\ M ,

t e [0, T] ~ a E (0=(Se< (0. ѵ„(<).

1, m),

*£[0, T],

e >

0;

9-4-143

129