книги из ГПНТБ / Сильвестров Д.С. Предельные теоремы для сложных случайных функций

Пусть

теперь

С — множество

из

F

(Р (С) =

1),

на

котором

ѵо (*. ю) 0 R Но (s. ®)1

Для

всех

f £ L [v' (s, со)].

В силу

леммы

2

для

каждого со £ С

найдется

счетное

всюду

плотное в [О,

Т] множество Та, содержащее 0

и Г, такое, что точки

1€ Тш,

исключая,

быть может,

точку Т, являются точками непрерыв­

ности функции v'(s, со), а точки v'Q{t, со),

^£Tm

являются

точками

непрерывности

функции

£,'0(s, со).

Поскольку

имеют

место соотношения

(25)

и

(26),

то для

всех

со 6 А П С для

точек

1£ Т

ѵ'

(/, со)

v '(t, со)

при

k

оо

(27)

и

Ч

%К (*. ®))

при k

00.

(28)

В силу соотношения (26) для каждого

cog А существуют

непре*

рывные взаимно однозначные отображения

Kn (t, со),

k ~ 1,

2, . . .

промежутка (О, Г] на себя такие, что

lim

sup

( I £

(t, со) — Е (К„ (*• ®)>

“>) I + I Кпь (*, о) — ф

=

0.

А-^о(€[0,П

Ч

Ч

(29)

Пусть со £ А П С. Из соотношений (27)

и (29) следует, что

К

К

nk

(*, со), со)

v; (t, со)

при

k — оо,

/ £ Т ,

(30)

Ч

и так

как

v'

(t, со),

ф

Т(й — точки

непрерывности

функции

^

(s, со),

то из (30) следует, что

Е (К

К

(і, со),со», а

)

(ѵ;(/,

©), ш)

при

k-+oo,

/ £ т и.

(зі)

nk

nk

Из соотношения (29) следует также, что

lÉ'

(v'

(t, со), со) — £'

(А,

(ѵ' (і, со), со),

со) |<

Ч

Ч

0

Ч

Ч

<

SUP I %

(t, со) — Е (Ч

(*» со), со) I ^

0

при k —> оо,

f £ Т

(32)

сб[о,п Ч

и

Ч

Из соотношений (31) и (32) следует,

очевидно,

что и

Е

К

( U ) ,w ) - > ^ ( vi(U ),ffl)

при 6 -*

оо,

* £ Т .

(33)

Ч

Ч

жество из F (Р (В) == 1),

на

котором ѵ' (/ ±

0,

со) g R

(s, со)] для

всех f £ R [v' (s, со)], то

для

со £ А П В

lim ПпГД

J

(Е

(v' (t, со), со), с,

Т)

= 0.

(34)

£-м

Ч

Ч

ционала f (■)

в топологии

J)

/ (!'

К

(/, ы), со)) / (i'0(v' (t, ш), со) при k —у

оо.

nk

nk

Поскольку,

очевидно,

Р(Ѵ^) =

1,

то последнее соотношение прос­

то означает,

что

f & п ( \ п ®))

/ &

К

$ )) ПРИ

(35)

Таким образом,

из любой подпоследовательности индексов етд,->0

так, чтобы выполнялось (35), что обеспечивает выполнение

соотно­

шения (24). Теорема доказана.

Замечание 4. Теорема 5 позволяет

в некоторых случаях

осла­

бить условие непрерывности процесса

(t) в точках v0 (t) на неко­

тором счетном всюду плотном в [О, Т\

множестве, содержащем 0 и

В частности, если выполняется условие (Н) : процесс

v0 (t)

строго монотонно возрастает с вероятностью

1,то для выполнения

условия (G) достаточно потребовать только,

чтобы точки

ѵ0 (0) и

ѵ0 (Г) были

с

вероятностью

1

точками

непрерывности

процесса

Іо (t)-

того,

для

сходимости

величин і е (ѵЕ(0))

и

(ѵ' (Т))

с ве­

Более

роятностью 1

соответственно к

величинам ^

(ѵ0’ (0))

и £' (ѵ0 (Т))

при

е-ѵ-О достаточно было бы, например,

потребовать,

чтобы величины

£е (ѵе (0))

и £е (Ѵ8 (Л)

были J-непрерывными

функционалами

от

про­

цессов (!е(0.

(ѵ8 (t)),

t £ [0, Г], если вместо

условий (А) — (D)

выпол­

нялось более

сильное условие

(К): (Ее(/), vg(0),/€[0,

Га] ^ ( І 0(/), ѵ0 (0),

і£[0,Тк] при e +

0

для

некоторой

последовательности

T h - у

оо

при k - у оо

(здесь

ѵе (t) — ѵе ( Г ) для

t > Т ) .

В этом случае, как

нетрудно

понять,

можно

было бы

не требо­

вать, чтобы точки ѵо(0) и ѵ0 (Т) были точками непрерывности

про­

цесса £0 (0-

(£Е (t),

К сожалению, обычно процессы

vg (t)),

t > 0

обладают

некоторыми свойствами «однородности» локальных

свойств

траекто­

рий. Поэтому, если

удается показать, например,

что точка ѵ0 (Т )

яв­

ляется с вероятностью

1 точкой

непрерывности

процесса

£q(t),

то

это удается сделать

и для всех

точек

f£[0,

Т\,

а

если

величины

£е (vg (Т))

являются

J -непрерывными

функционалами от

процессов

(£8(0, ѵ8(0),

то таким

свойством обладают и величины £е (ѵе (t))

для

Теорема 6. Пусть для процессов

(t), t

>

0

и

ѵе (0, *£[0,

Л

выполняется

условие

(L): для

всех

s £ [О,

Г]

событие

(ve(s) <

/}

не

зависит

от

а [1е (и) — £е (0, u > t \

для каждого

t > 0.

(С) — (Е) и £0 (Г) —

Тогда, если выполняются условия

(А), (B'),

стохастически непрерывный процесс,

то

для

любого

функционала

f (')€ ^£0(ѵо(0).Г

при е —►0.

/(1е К ( 0 ) ) = ^ / ( 5 0^ 0(0))

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Так

как

ѵе (Т — s)~~^.ve(T — 0) при s j 0,

то условие (L) выполняется и для

величины ѵе (Г — 0). Для доказа­

тельства теоремы достаточно показать, что

Йе (ѵе т

ІЕ (ѵЕ (Т -

0)),

t е Т =?> (|0 (ѵ0 (0),

(ѵ0 (Т -

0))),

t £ Т

при е-»-0.

(36)

Из условий (В) и (С) следует, очевидно,

что для

любого

Г ' £ Ts

и любого набора моментов времени

tt £ Т,

I =

1, г

случайные про­

цессы ае (і) = (£g (/), ѵе (t),

Vg (Т — 0),

I =

1, л), t £ [0, Г 1

сходятся в

топологии J к процессу а,, (і) при е

0.

И

так

как

процесс ce^ (t)

стохастически непрерывен, то в силу произвольности выбора

и набора

моментов времени t{£ Т, I =

1, г

следует,

что

(Іе (')•

ѵ„ (s). Vg (T -

0)),

(t, s) e 10, 00) X T =S>

(lo (0, v0 (s),

v0 (T -

0)),

(it, s) 6 №,

OO) X T

при

8 -► 0.

Кроме того, поскольку процесс

£<,(0

стохастически

непрерывен,

то в силу леммы 9.2.1 для каждого t > О

lim Ш Р (sup IЕ (/)-

l e(t +

s) I >

6} =

0,

б >

0.

f-^0

e->0

|s |^ c

Таким образом, для случайных векторов

V* =

(ѵег =

ѵя (Т — 0),

\гіІ = Ѵе (*,), І =

ITЪ,

I =

ЦТ)

и случайных процессов

%(0 = (б,, (0. Ъш (f) =

(0.

■*= т WÜ,

/ = ТТ7),

/ >о

8-4-143

113

£8 (t) =

&ѵ8]

V (е, k), t >

2

0.

Здесь

о (е) — неотрицательная

неслучайная

функция

такая, что

ѵ(е)

оо

при е 0.

Будем

предполагать выполненным условие

,

t > 0 =$>(v, у (/)),

/ > 0 при

8 0,

M 0 = S ? (M ) . t > 0 и vg $

= f ^ | y , f > 0

выполнение

условия (В)

(при этом £0 (0

=

у (О, t > 0 и

ѵ0 (/) = tv,

t >

0).

леммы 1.1.3

для случайных

процессов ѵг (/)

выполняет­

В силу

ся

условие

(D).

Для того чтобы обеспечить компактность

процессов

£g (t) в

ТО’

пологий J, достаточно потребовать выполнения условия

___

,

[<"о(е)]

> 65} = 0 ,

(М.2): lim lim

sup

Р

2

V (в. ä)

6 > 0 .

с->0 е-»0

г

у" (t),

к=[і'ѵ(г)1

f> 0

Пусть у (t) = у' (t) +

t >

0—разложение процесса у (t),

на непрерывную с вероятностью 1

гауссовскую составляющую у'(і),

t > 0 и скачкообразную составляющую у" (/),

t > 0.

Пусть для каждого

е > 0 ѵ8 (t),

t в [0, Т] — случайный процесс,

траектории которого с

вероятностью

1

принадлежат

пространству

D r — функций на [0, Г], принимающих

значения в R u

монотонно

неубывающих и непрерывных справа.

Определим на пространстве Dj“ функционалы

= Kh) =

inf (s 6 (x<% T): X (s) > X (xfi,) +

А, если x (T) >

x (x®,) +

A,

к?!1+ T,

если

X(T) <

X

+

A,

k >

l, xfA>(x (0) =

х<Л>=

0

8*

115

n f l (x (t)) = min_(хИ (X(0) -

4 * i_ , (x (0)),

г >

1.

4=1/

Теорема 1. Если выполняется условие

(А): 1)

limTIrn Р { I ѵе (Г) — ѵе (0) | >

Г } =

0;

Г '-^ о о е-»-0

2)

lim lim Р {л|?*) (ѵе (/)) <

с} =

0, г >

1,

I >

10

&+08-W)

для некоторой

последовательности

положительных чисел

б, -> 0

при I -*• оо,

lim lim Р {Aj (vg (/), с, Т) >

а) =

0,

а >

0.

с-М е-*0

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть 0 =

t0n<tln

tnn=T, « > 1 —

последовательность

разбиений

промежутка

[0, Л ,

удовлетворяю­

щая условию: а) hn=

max

-► 0 при п -*■оо.

А=1,л

С каждой функцией х (t) € Dr свяжем

функции

* №’Л) (**_,„)

+ x ( t ) - x

(tk_ J для t е

*J .

Х(вл) (/) =

если

X

— х (tk_ ln) >

б,

k =

1, п;

*<6’л) (<*_,„)

для t е

*J .

если

X (fftn) — X (/*_,„) <

S,

k = \ , n .

7 м

it) =

X (0 -

х(0л) (0.

/ € [0. Г],

б > 0.

п >

1.

Пусть также

я<?> (х (/))= min

(xpk (X (0) — xfö_i (х (0))-

*>.i

Покажем,

что если

А3(х«-П)( і ) ,^ - , Т ) > & ,

(1)

то

4 е»(* (0) < К-

(2)

Действительно,

пусть

выполняется

(1).

Покажем,

что

в этом

h

^

^

< t -f-

h

такие, что

случае найдутся три точки t --------

X (0 — X (О > б и X (О — X (0 > б.

h

h

В силу (1) найдутся три

точки

s <

s

<

s +

s -----< s' <

-y-

s', s, s' 6 [0, T)

такие,

что

x(b'n) (s) — x(6,n>

(s')

> б

и

x(ö,n) (s ) —

если и 6 [tkn, tk+J

и *«>.»> (tk+J

-

х М

( t j

>

б или

и 6 \t^_w tk_ Xn\

И Х^'п) (tk_ ln) — xi6-n) (tk_2^

> б,

ТО Х<в-Л>(ы) — Х<в-Л>(u') =х(и)— х(и').

Отсюда следует,

что

если

все

три

точки

s',s, s'

принадлежат

одному

из промежутков

_1я, tkл],

то

можно просто выбрать t'

= s,

t =

s,

f

= s".

что s',s 6 \tk_ w t j

Допустим теперь,

и s ' € (^n,

В

этом

случае можно выбрать t' = s', t

=

s.

Если

х(б-п) (s') >

*<в-л>

то

необходимо и х<в-л) (^+1л) — х (0’л) (^п) >

б,

и можно

выбрать f

= f .

Если дс(в>л) (s')

=

х (6,л) (^ftn),

то

*<в-л>(thn) — X (s) >

б,

и в

качестве

точки Г можно выбрать f = /ftn.

Аналогичные

рассуждения

проводятся

в

том

случае,

когда

s,s" 6 \tk_ w t j

и s' 6 [tk_ w tkn\.

Предположим,

что точка

t £ [xj^,, х<*>]. Здесь

х р =

(х (0),

k >

1.

Тогда,

поскольку x(f)—x ( х ^ ,) >

а: (/) — х (t') >

б,

то

в си­

лу определения

точек

х р

необходимо х р 6

*]. Кроме

того,

пос­

кольку

х\Г) — х (y.k) > x ( f ) — x (t) >

б,

то

точка

xj^,

£ (*, П , и

так

как

f — 1' <

hn,

то

х ^ , — x<,ft><

Ал,

следовательно,

выполня­

ется

(2).

Пусть

max (k:x(T)

> х (крк_ , (х (/))) +

гр (х (0)

=

А).

Из

определения

гр (х (/))

и

моментов хАй (х (t)))

следует,

что

С

другой

стороны,

в

силу

определения

величин

лр(х(і)) и

л р (х (t))

npr (X(0) — п р (X(/)) =

0,

если

г р (х (()) < г.

Поэтому имеет место оценка

р { 14 ‘і (ѵе (0) -

к р (ѵе (0) I >

0} <

р { гр (Ve (f)) > г} <

(3 )

Используя (3) и условие (А), 1), имеем

lim

lim Р { I

(ѵе (0) — я р (ѵг (t)) | >

0} <

<

lim

lim P {vg (T) — ve (0) >

hr} =

0.

(4)

Используя (4) и условие (А), 2), получаем

limШпР {я‘в,) (V

(0) <

с} <

lim lim Р {я*?*’ (ѵе (0) —

е -^ 0 е-М )

с-Х> е - Х )

— I nf lr (Уг (0) -

пт1) (Уг (0) I < с} <

lim ИітГ(Р {я*?'* (vg (/))< с} +

'

с -* 0 е -* 0

’

+

Р { I 4!г

(0) -

Я?1’

<Ѵг (0) I >

0}) =

— lim Р { I n f r)l

т(в<)

О при г -х оо,

(vg (t)) — л р ’ (vg (t)) I > 0}

е-Х>

следовательно

c) =

I > 1.

lim lim P { я ^

(v (0) <

О,

(5)

c->0 е-ИЗ

Из (5) следует, очевидно,

возможность для произвольных а, а > 0

и 6, <

-у (6г, I > 1 — последовательность,

фигурирующая

в условии

(А), 2)) выбрать с > 0

так,

чтобы

lim Р {л®1) (ѵе (0) <

с} < а.

(6)

е-Х )

В силу (1) и (2) имеем теперь

для

п таких, что hn <

с,

Шп Р {Д, ( v f ’n) (t),

г) >

oj <

ПгпР{4бг) (vg (0) <

hn} <

<

lim P {nfl) (vß (0) < c} < a,

e-X )

следовательно, для б, < —

lim

lim

P (Aj (v f/,n) (0, -t 1-’ T ) >

a) <

“ ■

я - Х » e -> c o

'

'

I

)

В

силу произвольности выбора а последнее соотношение озна­

чает,

что для бг <

lim lim Р [д ( 4 1-П) (0> - у . т\ >

а] = 0.

(7)

я-хвс» е--Х>0)

I

J

\

е

1

/

)

Имеют место простые оценки

Ли ( ѵ Г (0, - f - • Г ) <

2 max Й М) (**») -

^

(**-!-)) =

4

7

А=1,я

(8)

= Ре*'"’ =

2 max (Vg ( t j — vg (/*_J )

X(0.6) (v, ( t j -

vg

k = l,n

В силу определения величин ß6(6,ri> € [0, 26) с вероятностью 1 для

каждого в > 0 и

п >

1.

Следовательно,

для

61 <

,

используя

оценку

(8),

имеем

ПНГТШГр {Аи ( vf-n) (0,

, г )

>

а) <

а - Х » е - Х )

'

\

^

/

)

<

ЙпГ Шп Р { ß fn) > <т} = 0.

(9)

п -* о о е -> 0

Поскольку

по определению

ѵЕ (/) = vf'n) (t) -f vE6’n) (t),

t 6 [0,

T\,

то,

используя

первое неравенство леммы

4.2.1

и соотношения

(7) и

(9),

получаем,

выбирая

6г <

—

lim

lim Р (Aj (ѵ (f), ~

»т) >

2®} <

Л-*ОО е -Х )

\

\

Â

'

)

<

lim Tim Р {Aj

( Л п) (0,

, г ) >

а} +

+ Шп Ш Р {д„ ( ѵ ^ п>(0, -f-, г )

> aj

=

0.

Теорема доказана.

е > 0

(vg (t), ае (t)), t £ [0, Л — случай­

Пусть теперь для каждого

ные

процессы,

принимающие значения в

Rj X RÄ, такие,

что траек­

странству

D t.

Предположим, что выполняется условие

(B)

:

для любого случайного момента времени те такого, что собы­

тие {те <

/} 6 tnje) =

о [v8 (s), s < min (/, T)] для каждого t >

0,

для

всех

+ s < 7 \

А € ЯЗ(І) P (vg ( / + s) — ve (*)£

6 A/ae(/), X (Te6 [и, m

=

P {ve (t + s) -

ve (t) e A/osg (if)} = PE («E (f),

t,t + s, А) (здесь PE (X, /, / +

s, A) <

1 — измеримая по совокуп­

ности аргументов (х, t,t + s)

функция,

являющаяся для каж­

дого x £ Rk, 0 < t ^ t + s < T

мерой на S3(1)).

Теорема 2. Если выполняются условия (В) и

(C)

:

1)

ѵЕ ( 0 £ € [0, Т] =$>ѵ0(0, * 6 (0, Л

при е

0;

2)

lim lim sup Р (х, t — c7,t + с*

[а, с»)) = 0,

*£[0, Л .

я > 1,

£•-►0 e-W ) лг€ D n

где

с~ =

min (с, *),

cf = min (с, Т — /),

Dng ; Dn+1 S RÄ,

n > 1

— последовательность

борелевских

подмножеств R* такая,

что

U

D„ -

R.;

3) І ! т І і т Р { а г ( / ) € 0

* ё |0 , Л } = 1.

то

л->оое-*0

положительных

чисел öj-xO

при

существует

последовательность