книги из ГПНТБ / Сильвестров Д.С. Предельные теоремы для сложных случайных функций

Для каждой функции

у (t) 6 Dr

определим

ее

продолжение на

промежуток [0, о о ) : у (t) = {у (f) для

1£ [О, Т\,

у (Г)

для t > Т).

Пусть Т. — некоторое

счетное всюду плотное в [0, оо) множест­

(C)

: lim lim P {A}

(/), с, Г ) >

6} =

0,

6, Г

>

0;

с - Ю

e -» 0

(D)

: lim lim

P {Дл (ve (/), c, T) >

6} =

0,

6 >

0;

f - ^ 0

e -* 0

<E) : P {(Eo (*).

v0 (0). O O É V r} =

P{v0( / ± 0 ) g R

[É0 (s)l,

TO

f € R [v 0(s)]} = l,

__

lim

lim P {Aj (£p (vg (f)),

c, T) > 6} =

0,

6 >

0.

<~»0 E ->0

Замечание 2. Условие (E), очевидно, выполняется, если один из

процессов

Ео (0 или ѵо (?) непрерывен с вероятностью 1 (в послед­

нем случае в силу замечания 1

условие (D) можно опустить).

Условие (Е) выполняется также,

если

процессы

| 0 (t)

и v0 (t)

связаны условием

<Е): g0 (0

=

/ (g' (/),

l'ö(t)), t > 0,

где

а) f (х, у)—непрерывная функ­

ция; б) £' (/),

0 — непрерывный с вероятностью 1

процесс;

в)

1'0(0.

t >

0 — стохастически

непрерывный процесс без раз­

рывов второго

рода,

не зависящий

от процесса v0 (t),

t g [0, Т].

Действительно, из представления (а) следует оценка

Р {(6о0. М Ф ;

t >

0 e V r } =

v

;(s)ът. p ! u

U

( К ( тм (v0 m

+

o ) 6 R I ? ; m

и

І£==1 Л— 0

: ;

К

{vo ( T ^ K W ) - O ) € R [ ^ ( 0 ] } )

<

.

і .. .

<

2 2

<p <vo<TJJ. <vow )+

0) 6 R ßsw »-+

*=1 n=О

- - -

I ^

+

P {V0 (XTk n (V0 (0) -

0) 6 R [Го(О]})-

Поскольку

в

силу

условия

(Е),

в)

величины

ѵ0 (т£ п(ѵ0 (t)) ± 0>

k >

1,

л = 0 , 1 , . . .

не зависят от

процесса £"(/),

то в силу

леммы

2.

1. 2

каждое слагаемое

в сумме

справа равно 0.

Доказательство теоремы основано на применении

следующей

леммы о компактности в топологии J последовательности суперпо­

зиций функций без разрывов второго рода.

Лемма

1.

Пусть

хп (і),

п > 1 — последовательность

функций из

D(m) и yn(t), л > 1 — последовательность

функций из D^.

Тогда,

если выполняются

условия

(F,): 1)

хп (t) -> х0(/)

при

л —* оо,

/ 6 Т^, где

— некоторое

счет­

ное всюду плотное в [0,

оо) множество точек непрерыв­

ности функции х0(t), содержащее 0;

2)

lim lim Aj (хп (t), с, T') = 0 ,

Т'

>

0;

о * 0

n -*o o

(F2) ; 1)

yn (() -* yQ(t)

при rt-voo,

t 6 T,

где

T — некоторое

счетное

всюду плотное в [О, Т] множество, содержащее О, Т;

2)

lim lim Aj (уп (t), с,Т)=0;

с - * О

я - * с о

(F3) :

y0( t ±

0) е

R

[x0 (s)]

для всех

t 6 R [г/0 (s)J,

то

Aj (хп (уп (0), с, Т)= 0.

lim lim

с-*О ГС-*оо

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Определим

для некоторого Т0> Т функ­

ции

Уп(0

= {У (і) Для t е [О, Л ;

у (Г) для / 6 (Г, Т0\.

Очевидно,

для

функций xn(t) и уп (t)

выполняются все

условия

(F.), / =

1,3 и Aj (хп (уп(0), с, Т) =

Aj (хп (уп(/)), с, TJ.

Поэтому до-

статочно доказать лемму 1 для функций

хп(і) и уп(/).

Для

функ­

ций уп (t) точка Т0 является

точкой непрерывности.

Из приведенного рассуждения следует, что, не нарушая общ­

ности,

можно всегда

считать, что Т — точка

непрерывности функ­

ций yn(t), л >

1.

.1

В этом

случае

в силу

условия

(F2)

функции

при

уП(/) -*■ у0 (f)

п —* оо.

Пусть А,'(/),

л >

1— последовательность

непрерывных вза­

имно однозначных отображений [О, Т\ на

себя такая, что

Пг1¥іт<Х><cLUviJ( 1у*(t) -

У°

{t)) I +

IК (0 -

11) =

°*

(3>

Последовательность уп(Т),

п >

0

ограничена.

Поэтому

найдется

Т £ Т х такое,

что

шах уп(Т) < V.

В

силу

условия

(Fj)

функции

П

xn(t), t€{0,T'\^>-x0(t),

teio. Г ]

при П-+00. Пусть кп (f),

п > 1 —

последовательность непрерывных

взаимно однозначных отображений

[О, Т] на себя такая, что

lim

sup

( |x n ( 0 — *о(М 0)1

+ I M

0 — /|)

= 0 .

(4)

п-+со f€[0,7*']

Используя неравенство леммы 4. 2. 1, получаем

Aj (хп іуп (/)), с, Т) <

Aj

(х0 (кп (уп(/))), с,Т) +

+ /£s[0,Г]

I

(Уп ({))

—

*0

( К (Уг

I <

u p

(0 ))

<

A J (х0(К (іУп(0)),

с, Т) +

^sup

I Хп (t) — *0 (кп(*)) |.

Из этой оценки следует в силу

(4),

что

для

доказательства

леммы достаточно показать выполнение соотношения

lim Пт Aj (х0 (Хп (уп(*))), с, Т)

=

г->0 со

=

lim Tim Aj (я,, (Хп (уп (к'~1(кп(/))))), с, Т)

=

0.

(5)

с->0 п->со

Применяя теорему 2

к неслучайным функциям Хп (t),

t 6 [0, Т] и

ха (кп (уп(Я.^-1 (/)))), t 6 [0,

Т],

получаем,

что

для

доказательства

(5)

достаточно показать

lim lim Aj (х 0 (Я,п (уп (Х~' (/)))), с, Т) =

с->0 п-^оо

=

lim

Tim Aj (х0 (у0 (t) +

ßn (0), с, Т)

= 0,

(6)

где

с-*0

со

К (0 = К (Уп( С

(0)) -

Уо(0,

t € [0, п

В силу (3)

и (4)

имеет место соотношение

— Уп( С -1 (0)1 +

sup

I у (Я.'"“1(0) — Уо(0 I <

<е[о,г]

<

sup I Я. (f)

11-J- sup

I у (t) — y0 (k’ (0) I -► 0

при П-+00. (7)

<€[0.Г']

n

(€[0.Г]

n

и

a

I

Возьмем произвольное a > 0.

Пусть

h выбрано

так (см. лемму

5.

2. 1),

что

A j(*0(/)A

Г ) < а .

(8)

Через

uk =

u f ],

k — \, г^

обозначим

точки

разрыва

функции

y0(t) на интервале (О,Т), в которых величина скачка больше или

равна

(таких точек конечное число).

Так

как

по условию

(F3) точки у0 (ик ± 0 ) , k =

17^,

являются

точками

непрерьшности

функции

х0(0, то найдется h' >

0

такое,

что

max

sup

I х0 (у0 {uk ±

0) +

s') — х0 (г/0 (и* ± 0) +

s') | <

о.

(9)

к=л7ь |s'l*

В

силу

леммы

5.

2. 1

найдется

с >

0

такое,

что если

точки

t ' , f

принадлежат

одному

из

интервалов

(и„, и,), (и,, и2) , . . .

(ыГа_ , ,

и гй)>

(u rä> и , ь+ \)

( з д е с ь

“ о =

°-

“гі + і =

7’)

И

К — ?

I <

С, то

ІУо(^)-*/0( П І < 4 *

(10)

При этом можно считать, что с выбрано так, чтобы

max

sup

\y0(uk — 0) — y0(uk— ()| < 4 -

(11)

и

2

К*

max

sup

IУ0 (uk) — У0(uk— t)\ ^

,

(12)

—

кроме того,

чтобы

sup

I

(°) —

( 0 1.

sup

\Уъ(Т)— y0(T — Oi

(13)

Пусть

По выбрано так,

чтобы для

п >

п0

к

= Д

з I ß » Ю І <

т і п ( тT* ’) *

(1 4

Для

доказательства леммы

достаточно

показать,

что

при п >

п0

для любых трех точек

t, f 6 [0, Т\,

t — с < t'

< t

<

f

<

t +

c

R n

[t',

t, f \

=

min ( I *o (sn (0) — «o (sn ( П ) I.

где

Uo(s„(0)—*o (sn(0)l) <

sn(0 = y 0 (t)

+ ß„ (f)

= К (У п (C

(0)).

1 6 [0,n

Возможны три случая:

Т.

Рассмотрим

случай,

когда

t' =

0

(случай

a)

t'

=

0

или f

=

t" = Т совершенно аналогичен). Используя

(13)

и (14),

получаем

К ( ° ) — »„ЮІ < 2 ß „ +

sup

IУ0 (0) —

0 (s) I <

h,

I

s„ (O — y 0 (“*) К

sup

I y0(и* + s) — y0 (и*) I + ß„ < ft',

0«Es<;?c

откуда

в силу (9)

U'. t ,r i<

I *o (s„ (0) -

xo (sn (О) I <

о;

в) точки t1, t, f

6 (u4, иА+1)

Для некоторого

k =

0, rü. Тогда в

си­

лу (10)

и (14)

15» (t') —«»(Old Уо (О -

У0 (01 +

2ßn < ft,

I Sn (О -

s„ (0 I < I Й> (П -

У»101+

2ß„ <

ft,

откуда в силу (8) имеем

/?„[*% *. П < Д . , ( * 0( 0 . 7 ,,) < о .

Лемма

доказана.

Д о к а з а т е л ь с т в о

теоремы

3. Покажем

вначале,

что

поскольку I ѵ[' (*') - ѵ[' (Г) I

С I ѵе (t') -

ѵе (Г) I для всех Г, F 6 [0, Л

и, следовательно, Aj(vJ'(0,c, Г) < Дл (ѵе (і), с, Л)-

Нетрудно понять,

что

Aj ( |0 (ѵ[' (/)), с, Л = Aj (£е (ѵе(0). с, Л»

если только vg (Г) < V . Поэтому, если доказано соотношение

lira lim Р {A

(£ (v[' (0), c, T) >

6} = Ü, Г 6 T»,

то имеем

lim iim P (Aj (èe (ve (0), c, T) >

6} <

<

lim lim P {Дл (Ée (vj' (0), с, T) >

б, ѵе (Г) <

Т'} +

trM)

+ Р {ѵЕ(Т) > Г } ) <

lim Шй Р {Дл (Ее (vj' (0),С, Т) >

6} +

+

lim Р {ѵе > Г } <

Р {ѵ0 (Т) >

Г -

V ) о

0, Г

о

оо.

Т'

так,

чтобы

точка

Г ' — sr , для

каждого

Здесь sr , < - g - выбраны

Т' 6 Л

была

точкой

непрерывности

функции

распределения

слу­

чайной величины ѵ0 (Г).

Итак, будем считать, что для некоторого Т06Т 5 Р{ѵ,(Г) <

Г0} = 1 .

Всегда

можно

выбрать

Т0> Т.

Определим

случайные

процессы

V, (0 =

{ѵЕ(/) для 16 [0, Т], ѵг (0

для Z1€ (Г, Г01.

Очевидно, для случайных процессов

| е (0

и ѵе(/), t g [0, Г 0] также

выполняются условия (А) — (Е)

(точка

Т0 в этом

случае

входит в

соответствующее множество Т,

поскольку

ѵе (7’0) = ѵе (Г))-

Так

как, очевидно,

Дл (Se (vg (*)), с, Т)

=

Дл (Se (ѵ£(/)), с,Т0),

то дос-

таточно доказать теорему для процессов

Se (/)

и

ѵ£ (/).

0

IV

по определению

является

Для процессов ѵЕ (t) точка Т0

точкой

стохастической

непрерывности.

Поэтому, не нарушая общности,

можно

просто считать,

что Т = Т0 и

что

точка Т является точкой

стохастической

непрерывности процессов

ve (t), е >

0.

Можно считать, что параметр е пробегает лишь счьтное число

значений ей ->-0 при k-*-oo.

описанным в

теореме в

§2.1,

и по­

Воспользуемся построением,

строим

на

некотором вероятностном пространстве (й, F, Р) случайные

величины

(£' (/), v' (s)),

(t, s) 6 T

x

T, e

>

0

(здесь T =

f|

[0. Л )

так, чтобы выполнялись условия:

а)

(Ѵе (t), V

(s)), (/, s) € Т .X Т Ä (Ее (0. ve (s)),

(t,

s) а T X T,

e > 0;

б)

I ' (/)

Ц (t)

при

e -*• 0, t 6 T;

в)

v' (s) —* v' (s)

при

e -V 0, s 6 T,

и определим случайные

процессы

i ; ( 0 =

(

£(Q

для г е т ,

л

(а)

4

[lim (п. н.) S' (t') для 16 [0, Л \ Т ;

vg (*)

для t £T,

lim (n. и.) v' (/') для

t в [0, T ] \ T.

(б)

6T

Из условия а) и того, что процессы (ig

(t), vg (f)), t £ [0,

T] не­

прерывны справа с вероятностью 1,

следует, что пределы в (а) и (б)

для каждого е >

0

(s; w ,

ѵ; (0), t е [о, т) ~

(£е (о,

ѵ8 (0), * е ю, п

(і 5)

Замечание. Более подробно приведенная процедура построения

описана в [59] и [62].

Из совпадения

конечномерных

распределений

следует,

что сов­

падают

меры,

индуцируемые

процессами

\(t)),

t £ [0, Т]

и

(Ее (0, ѵе (0),

16 [0, Т)

на

Щт+'К

(£g (t),

Отсюда

следует,

что

траектории

случайных

процессов

ѵ'г (t)), 16 [0, T]

с вероятностью

1 принадлежат

пространству

и для этих процессов выполняются все условия (А) — (Е).

Наконец,

совпадают и конечномерные

распределения

случайных

процессов

і ' (v' (/)), t

€ [0, Т\ и

Ее (ѵр (/)),

t £ [0, Т\.

Это

следует

из

того,

что в силу (15) для любого набора моментов

времени

tT,r =

\,1

совпадают распределения

случайных векторов

(£É (vé(ft>(/,•)), г =

177)*

и (£е (ѵ<Л) (tr)), г =

1, /),

а

в силу

непрерывности

справа

процессов

l'e {t)

и le (t)

величины l'e(vg<ft>(tr)) и Іг(v<gA>(/r)) сходятся с вероятно­

стью

1 соответственно к

величинам i'e(vg (tr))

и £g (vg (t )) при h

0.

Из совпадения

конечномерных

распределений

процессов

£е'(ѵ '(0)

и £g(vg(/))

следует,

что

совпадают

меры,

индуцируемые этими

процессами на SSj-m),

а следовательно,

совпадают

распределения

ве­

личин

Aj (%(vg (t)), с, Т)

и Aj (і„ (ѵе (/)), с, Т).

Поэтому

теорему 3

достаточно

доказать

для

случайных

про­

цессов

£'(/)

и v' (t)

(заметим

также,

что Р{ѵ'(Г)

< Т) — 1,

если

это

условие

выполняется для процессов vg (t),

и

Т — точка

сто­

хастической

непрерывности процессов ѵ'(/), если

Т — точка

сто­

хастической непрерывности процессов vg (t)).

В силу леммы

В §

2.1 из

любой подпоследовательности

0,

k -*■оо можно извлечь

подпоследовательность enk ->■ 0

при k -*■ оо

так,

чтобы

(t), 1 6 [о,л

-і- ѵ;(о, t e [о,t \ при * ->

= i

р К

(i6)

nk

*Для случайной величины v:v(A>=|j

j+ 1j ft,ft>0. Очевидно,

величины

V <! v<ft>< V +

ft и, следовательно,

v(ft>

v при ft—*■0.

P{|; (f), t 6 [0, TI X Z'0(fl,16 [0. 7]} при k —*• oo} = 1,

(17)

lim lim Aj (£'

(v' (t, со), со), с, Г) = 0.

(18)

с-»0 ft-*«.

nk

nk

v '

Р (lim Urn A (g; (v; (Q), с, 7) = 0} = 1.

(19)

lim Ihn P {A j(^

(v' (Q),c, 7) >

6} =

c->0

k+GO

n k

nk

_

(

)

=

lim lim P {Aj (I

(vnk

(/)), c, 7) > 6) =

0.6 > 0,

20

e-M) *-*oo

*n k

(S. К

(0). S8 (ѵе (7 - 0))),

/ £ Т* =Ф (£0 (ѵ0 (0,

l 0(v0 (7 - 0))),

t б T*

при E -► 0,

(a)

где T* — некоторое счетное

всюду плотное в

[0, 7]

множество, со­

держащее 0 и 7 , то в силу теоремы В § 2.1

для

любого

функци­

онала

д - ) е \ (Ѵо(/)). г

f (£е (ѵе (0) =*> f (S0 (vo (0)) ПРИ

°-

(б)

чались в главе 2.

Ниже нам потребуется следующая модификация

условия

(В)

(B'):

(S. (А, vE(s), ve (T -

0)),

(t, s) £ T6

X T =S>

(So (fl. vo (s). vo (T — °)).

(fl S) 6 Tj

X T при e -> 0.

Теорема 4. Если выполняются условия (А),

(B').

(С),

(D) и (Е),

то для любого функционала /(■) 6 Jjo(VoP)) у

/(S e (ve (fl))=4>/(Eo(v0 (0)) при е - > 0 .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Проверим для

случайных процессов

l'Ë(fl =

(6e( (fl.lui (fl =

Ee, (fl. 1=

1 7 ^ ,I

=

T77). t >

о

и случайных

векторов

VÉ = (v «

= VE (т — ° ) .

v a i

= v 8 (s <)> 1 =

f l «

,

I =

T T r)

выполнение условий теоремы 1. 1. 2 (здесь s,,

l — 1 , r

— некоторый

набор точек из Т).

Действительно, (В) обеспечивает, очевидно,

выполнение

для

этих

процессов

условия

(А), 1) леммы

1.1.2,

а

(С) — выполнение

условия (А),

2) этой леммы,

следовательно, выполняется

условие

(А) теоремы 1.1.2.

Условие (Е) в силу леммы 2.1.2 обеспечивает вы­

полнение условия (В) теоремы 1.1.2.

Применяя к процессам £'(/)

и случайным

векторам

ѵ'

теорему

1.1.2,

получаем

в

силу

произвольности

выбора

моментов

времени

s, é T,

I = 1, г,

г >

1 соотношение

(Se (ѵе (fl). le (ve (T -

0))),

t e T =4> (So (v0 (fl), l0(v0 (T ~

0))),

1 6 T

при e ->0 .

(21)

ловия (Е)

и непрерывность

с вероятностью 1 процесса | Р(А в точ­

ках ѵ0(А,

ѵ0 (Т — 0).

Для функций

y(t) 6 D ^ будем обозначать

г/-' (/)=inf (s : y(s)^t),

te[0,y(T)l

Пусть

L [у(01 — множество

точек

разрыва

функции

у~1(t) плюс точки О и Г.

у—1(s) тогда

Точка t является точкой разрыва функции

и толь­

ко тогда, когда

точка

xt = inf (s: у (s) > t)

является

точкой

начала

участка постоянства

функции

y(s), то

есть

y (s )< y (x t)

для

s < т(

и y(s) = у (т() для s£

[xt, xt +

ß(] для

некоторого ß,

>

0.

Лемма 2.

Пусть

х (і) — некоторая функция из

пространства D(m)

и y(t) — функция

из

пространства

D r.

Тогда,

если

все

точки

t £ L [ y (s)] являются

точками

непрерывности

функции

x(t),

то су­

ществует счетное

всюду плотное в [0, 7] множество

точек

Т*,

содер­

жащее 0 и 7,

такое, что точки y(i),

16 Т*

являются

точками не­

прерывности функции

X(s), а точки 16 Т*,

исключая,

быть

может,

точку 7, являются точками непрерывности

функции

у (s).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Так как множество R

[х (s)]

не более

По условию леммы такой точки не существует

и, следовательно, су­

ществует не более чем счетное число точек

t таких, что у (t) £

£ R

[х (s)]. Поскольку множество R ly (s)l также не более чем счет­

но,

то множество точек t непрерывности функции у (s) таких, что

межутка

[0, 71,

исключая не более чем счетное число точек.

Теорема 5. Пусть выполняются условия (А) — (Е) и

(G): P{/fe£R [g0 (s)]

для

t £ L [v0 (s)]> = 1. ^

непрерывности

процесса

Тогда,

если

7 — точка

стохастической

іо(ѵ0(/)),

то для

любого функционала /(•) £ JWVo(/)), т

f (Іе (ѵг (0)) =S> f (5o(vo (0)) "PH e +

0.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Как и в теореме 3, можно ограничиться

случаем, когда для некоторого

7 0 £Tg Р (ѵе (7) <

7 0} =

1,

е > 0.

Действительно,

для

каждой

точки

7 ' 6 Tg

для

случайных

процессов

Іе ((),

/ > 0 и v j' (t)

= min (v£ (/),

7'),

f £ [0, 7],

очевидно,

выполняются условия (А) — (Е)

и (G), если эти

условия

выполняют­

ся для процессов £g (t) и

ѵе (/).

Для любого функционала /

(•) £*lgo(Vo{t))ir

/ (£е (ѵЕ (0)) =

/

(І„ ІУІ'

(*))). если

Ve (7)

<

Г ,

откуда следует,

что

lim Ш P {| / (6, (Ve (/))) _

/

(ge (vj'

(/))) I > 6} <

T '-*oo e-*0

____

<

lim

lim P {Ve (7) >

7'}

=

0

(22)