книги из ГПНТБ / Сильвестров Д.С. Предельные теоремы для сложных случайных функций

< lim lim

Hm

У V

sup

sup

sup Pe ((у, z), t, t+gh (t), Ѵд) x

t+a= b [+ 0

E-*0

* *

ttln b i.in + D b i)

у* Х ц z€D„o

X P {«; (V ) e v£/,

[nhp (n +

1)

+

Hm P {a; (t£) £

D J j ^

CO CO _________

< lim lim У У

lim

sup

sup

sup

Pe ((«/, z), t j + g h{f), V ) x

b{-*0 j b f ~

E-W) t ^ n h ^ fn + m i) ѴбѴг/ z€D„o

n

o

X P {«о1тог) £ѵі/. V e ІлА,, (л + 1)л/)} + a<

______ 03

03

<«+Щ ___

c

lim lim У У

f

Г

Hin

sup

ape (s, s +

u;

'-►со hr*0

yJ

^

e-^o t- A ^ s ^ s + u ^ f + f t;

X, dt, D„ , б) P {a' (Т0л) £dx,

x0r e di} + a = a -f

OO___

a|>p(s, s -f u, x, d., D„, 6) x

+ lim lim

Г

Г lim

sup

i->oo h i-*0

j

j

e-*0 t—b i^ s ^ s + u ^ t + b i

"

Rft'O

X P {os' ( t j

€ dx, T0

6 dt} <

f

f lim lim

lim

sup

ab (s, s+

Rft, 0 i'>co hl~*° E~*° t~hl^s^s+u^t+bi

+

щ X ,

dt, Dn , 6) P {a; (TJ £ d x , iQr £dt} + a = a.

В силу произвольности выбора а

последнее соотношение оз­

начает,

что

НЕ П ЕР{| t j ' (V ) I >

YJ.

6} =

О, г =

(14)

Ь[і-*0 е->0

отношения (6). В силу определения

величин

и непрерывности

справа процесса £„ (0 имеет место также соотношение (7).

Утверждение теоремы следует в силу леммы 2.2.2 из соотноше­

ний (6), (7) и (14). Теорема доказана.

Замечание 2. Если вместо условия

(Dx) выполняется условие

-

f

“ 1 ( 0 — я,(е)

___\

___

при

е - > 0

(Di): ( хег,

------ z - j - i ------- , г = 1,1 =Ф(тог, сег,

г = 1 , / )

Ьг( е ) _

(здесь

а г, г = 1,1 — случайные

величины, принимающие зна­

чения в Я*'; ат(е), Ьг(е) — неслучайные нормирующие функции,

Ьг(е) ф 0), то можно перейти к новым процессам <х' (і) =

а (t)—а (е)

— т—г \ — .

t >

иг(в)

0 (условие (В) при этом,

очевидно, не нарушится),

для

которых

Пусть для каждого е >

0

le{t) — (£е, (/),

і =

1, m),

/ > 0 — слу­

чайный процесс,

траектории

которого с вероятностью

1

принадлежат

пространству Dm

и

ѵв (*) =

(ѵе, (/),

і

=

1 ,m),

t 6 [0, T] — случайный

процесс такой,

что

ѵеі (t) >

0,

i =

1, m

с

вероятностью

1

для

всех

t£[0,T].

____

Предположим также,

что £е (t) = (s£i (vei (/)), i =

l,m),

t£ [0, T\

для каждого e >

0 — сепарабельный

случайный процесс, траектории

которого с вероятностью 1 принадлежат

некоторому функциональ­

ному

пространству R.

хгі (/),

і =

\,т

Замечание

1.

Если случайные

процессы

моно­

тонно не убывают с

вероятностью

1, то

необходимо

R =

Dr — про­

странство функций

на

[0, Т]

без

разрывов

второго

рода.

Пусть 93R — борелевская

о-алгебра

подмножеств

пространства R

и Ugo(,)>7- — пространство

измеримых

(относительно 95R) функциона­

лов, определенных на R и непрерывных в равномерной топологии

почти

всюду

по

мере,

индуцируемой

процессом

£0 (/)

на

S3R

(см. § 2.1).

Пусть также

S =

(0, оо) х Т,

где

Т — некоторое

счетное

всюду

плотное в |0, Т\ множество.

Теорема 1. Если выполняются условия

(A)

: (6, (t), vg (s)),

(/, s) 6 S={> (£0 (t), v0 (s)),

(t, s) £ S

при

e - > 0 ,

где

£0 (t), t > 0

и

v0 (s),

s £ [0, T] — непрерывные

с

вероятностью 1

случайные

процессы;

( B )

:

1)lim ИНГР { Д

(£(0,е

с, Г

)

>

6 }

=0, Г

, б >

0,

2)

lim lim Р {А

(vg (t), с, Т)

>

6} =

0, б >

О,

о_ѵП о_к.П

U

чайных процессов в равномерной топологии.

(/), t >

Лемма 1. Если для случайных

процессов

0

и vf (і),

Д [0 , Т\ выполняются условия

(В) и

i = 1, m

(С): случайные

величины

ѵ + ( 7 ) =

sup

v . (s),

асимптоти-

чески равномерно по

0<s<r

вероятности:

e ограничены по

lim 1ішР{ѵ+(Г) > T') =

0, і =

1, m,

T'-^oa e-M

___

TO

limlimP{A„(£e (*),c, T ) >

6} =

0,

6 > 0 .

C -> 0 £-K>

Д о к а з а т е л ь с т в о . Имеют

место оценки

m

р {А„ (£, (0. С, Т) > 6} <

2

Р {А„ (Іеі (Ѵы. (/)), с, Г) >

A j

<

1

тп

< S

<р (v s «

с. л

( = 1

sup

ѵег (0 < Г ,

Д„ (vet (f), с. Л

<

4

+

Р (

sup

vei (s) > r }

+

+

P {Ay (vei (t), c , T ) > c'})

<

^ j( P

[^и (^ег

c >T ) > — I +

г=l

+

P { sup ѵег (s) >

n

+

P {Ay (V* (0, С,

Л

>

с'}). (1)

s€[0.T]

Для

произвольного a >

0 всегда

можно

выбрать в

силу условия

(G) V

так, что

Tim Р { sup V

(0 > Т'} <

- J - ,

і =

ТТіп,

(2)

г-*0

(€[0.Г]

""

и, зафиксировав Т , выбрать

в

силу

условия

(В), 1)

с'

так, чтобы

Йш Р {Ду (ІЕ1. (/), с',

Г ) > -1} < S - .

i

(3)

Переходя теперь в (1) к

пределу

сначала при

е->-0, а затем

при с-»-0, получаем, учитывая

(2),

(3)

и условие (В), 2),

lim lim P {Д (C (t), c, T) >

6} <

c -H ) e - » 0

m

< о +

5

Ilmliin P (Ди (v

(0, c, 7) >

c'} =

o.

(=1 C-X) e - X

В силу произвольности выбора а последнее соотношение дока­

зывает лемму.

Д о к а з а т е л ь с т в о

теоремы

1. Условия

(А),

(В) в силу

лемм

1.1.2

и

2.1.2

при

произвольном выборе

набора

моментов

времени

st £ Т,

I =

I, г, г >

1

обеспечивает для случайных процессов (£ w (t)=

= l El(t),

/ =

1, m,

1=1, r),

t > 0

и

случайных

векторов

(ѵ

=

= vrt (s,),

i =

l, m,

I = 1, г) выполнение условий теоремы 1.1.2, при­

меняя

которую получаем

( \ і Ц))> і = ^ т ,

/ =

I7Ö =М £„ (ѵм (s,)), i = Y7m,

I =

177)

при е -х 0.

Последнее

соотношение

в

силу

произвольности

выбора

моментов

s,£ T,

1=

l, г, г >

1 означает,

что случайные

процессы

£e (s),

s €T=$>£0(s),

s ^T

при е —х 0.

(4)

В силу

условий (А) и (В), 2) случайные

процессы vg(. (/),

t£[0,Т\,

траектории

которых с вероятностью

1 принадлежат

пространству R+

неотрицательных функций на

[0, Т\,

сходятся при е -х 0

в топологии

U к процессу

ѵш (t),

t £ [0, Т], и так

как функционалы

р+ (•)

(здесь

р.± (х (s)) =

sup X (t))

являются

непрерывными

в

топологии

U

на

(€[0,Г]

R+ , то случайные

величины

v?t (т) =*> ѵоі

ПРИ е _ > 0 > * = ТГт.

(5)

Из

(5)

очевидно

следует

выполнение

для

процессов ѵ£ (t)

усло­

вия (С).

Поэтому в силу леммы

1

lim Шп Р {Аѵ(С (/), е, Т) >

6} = 0,

б >

0.

(6)

о - Х е - Х

Доказательство теоремы следует из соотношений (4), (6) и заме­

чания

3

§

2.1.

Для

проверки условия

В) полезной

является следующая

лемма.

Лемма

2.

Пусть

для

каждого

е > 0

vg (/) =

(\g{ (t), i =

1, m),

t 6 10, T] — случайный

процесс,

траектории которого с вероятностью 1

принадлежат пространству D*

функций х (t) = (xt (i), i = l,m) на

[0, T\, принимающих

значения

в Rm> компоненты которых хі (/),

і — \,т монотонно не

убывают.

Тогда,

если

выполняется условие

(D): ѵя (/), £ £ Т =€> ѵ0 (f),

t e r

при

в —*•0,

где

ѵ0(/),

^G[0, Т \ — не-

прерывный с вероятностью

1

процесс,

л

счетное

Т — некоторое

всюду плотное в [О, Т] множество,

содержащее

0 и Г,

то

___

lim lim Р {Лѵ(ѵе (t)), с, T) >

8} =

0,

б >

О,

С-*0 8->0

следовательно,

для любого

функционала

/(■) £ U ^ () т

f{ve(t))=$>f(v0{t))

при е-»-0.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Всегда можно построить последователь­

ность

разбиений промежутка [О, Т\

О = ^0п <

= Т, п > 1

так, чтобы выполнялось условие

(D'): 1)

tkn4 f ,

k =ÖTn,

n >

1,

2)

hn =

шах (t{k+l)n- t kn)-+ 0

при

oo.

В силу монотонности процессов

vei(0>

* € [О, Л .

і = 1,/п

(ѵеі W, hn,T) < 2

max

sup

| vei (t) - ve, (/(A_ 1)n) | <

K K n

<€[<(*_ljn.-'faiJ

< 2 max (vef ( ^ ) — vgi ( ^ _ I)n)) =

ctei (/г).

(7)

Из условия (D) следует, очевидно, что

аЕ. (п) = $ aw (п)

при е-»- 0,

п >

1,

і =

1, m.

(8)

Для

произвольного 6 > 0

всегда

можно

выбрать

б ' £ (О, б)

так,

чтобы

точка — являлась

точкой

непрерывности

функций

распре-

ш

деления величин а01 (п) для

всех і =

1 ,m

и

п > 1 .

Используя

(7)

и

(8), получаем

теперь

m

ш

Р {Ду (V, (t), hn, Т) >

6} <

£ П т Р {д„ (Ѵеі (О, С, Т) > - i j

<

m

m

< sispК (n) >

^ spЬ»(n)> ^} ^°при

£—1 *

i= l

так как, если случайные процессы

(i),

і

= 1,/п

непрерывны

е

вероятностью 1 на [О, Т], то они и равномерно

непрерывны

с веро­

ятностью 1 на этом промежутке.

случайных величин.

____

Пусть

sE (/) =

(ge£

(/),

і = 1, т),

t > 0 — случайные

процессы,

траектории

которых

с вероятностью

1

принадлежат пространству

Dm,

и ѵ8 = (ѵ 8г,

і =

\,т) — случайные

векторы, компоненты кото­

рых ѵеі > 0, і = 1, т

с вероятностью

1.

Теорема 2. Если выполняется условие

(Е):

1)

(|г (0, ѵв),

г> 0 = Ф (£ 0(0, ѵ0),

t >

0 при е->-0, где случай­

ный процесс І0(0, / >

0 непрерывен с вероятностью

1;

2)

Ііш Ш Р {Ди (Ъ (/),

с, Г ) > 6} =

О, Г ,

б >

О,

то

С-*0 8 ->0

к

(0 =

(кі (*ѵе<)>

і =

*>0=$>S0 (0,

< >

0 при

е -> О

Пусть для каждого е > 0

| 8 (/) = (Іеі (і), і =

1, т),

t >

0 — слу­

чайный процесс, траектории

которого с вероятностью

1

принадле­

жат пространству D(m), и ve (0, t £ [0, Т] — случайный

процесс,

не­

прерывный справа с вероятностью 1 и удовлетворяющий условию

(А): процесс vg(t),

t £[0, Г]

монотонно не убывает

и

ѵе ( 0 ) > 0

с

вероятностью

1.

В этом параграфе изучаются условия компактности

и сходимости

в топологии J суперпозиции случайных процессов

(і)

и ѵе (/) — про­

цесса £е (vg (/)), t £ [0, Т] (очевидно, траектории этого

процесса также

2)

lim

lim P {V (T) >

T'} — 0,

T '- * со

e-X)

то

lim lim P{Aj (le(vg (0), c, T) > 6} =

0. S >

0.

c-X) e-W

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Очевидно,

если

т л

(I

vg

(f) — v

(П |.

|ve( 0 - v e ( O I ) < c '

и \ { Г ) < Т \ Г

< t < f ,

t o

min (I % (ve (/)) -

le(v„ (O) I. I £e (ve (0) -

(ve (П) I K

A

^ 8 (0. с'. П .

следовательно, имеет

место оценка

P{Aj(g8 (ve(0),

с, Г) >

6} <

< Р {Д„ (Se (ve

(t)), с, Т )> 6, Дл (ѵе (0,

с, Т) < c',

V. (Т) < Г )

+

+ Р {А, (ѵе (0, с, Т) > с'} +

Р {V

(Г) >

Г } <

<

Р {Ди (Б. (0, с', Г ) > 0} +

Р {Aj (V

(0,

е , Т ) >

с'} +

+ Р{ѵе(Г)>П-

О)

Для

произвольного а >

0 в силу условия

(Dx),

2)

можно

выб­

рать Т' > 0

так,

чтобы

Пт Р{ѵЕ( Г ) > П < - у .

E-м

і

а затем,

зафиксировав Т \

выбрать

в силу

условия

(Сх) с' >

0

так,

чтобы

ПйГР{Ал(5е (0, с',

Г ) > б } < у .

Е-Х)

Переходя теперь

в (1)

к пределу при е —>-0, а

затем при

с —> 0,

получаем, используя

условие (Di), 1),

lim

lim Р {А, (£е (ѵе (/)).

с, Т) >

6} <

казывает теорему.

Теорема 2. Если выполняются условия

(А)

и

(С2) : Н т ІЕГР {Aj (le (t), с, Г ) > 6} = 0,

V , 6

>

0;

c-X) e-*0___

c, T) > 6} =

(Da) : 1)

lim lim P{ A„ (vg (/),

0,

6

>

0;

c-X) e-»0

V } = 0,

2)

lim lim P {vg (T) >

T -*oo e-X)

7—4-143

97

lim lim P {Д (E

(v

(0), c,

T) >

6} =

0, 6 >

0.

f-W 8-M)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если для любых трех точек

t'

f

max (|ve (0 — vE (?) I,

1ve (t) — vE (?) |) <

<f

и v e ( ? ) < V , to

min (I gE (v8 (0) -

%(ve (?)) I,

|ge (ve (/)) -

| E (v8(?)) I) <

<

A, (S* (0,

c \ Г ),

следовательно, имеет место оценка

Р {Д, (Іе(V (0),

с, Т) >

6} <

Р {Д,

(ѴЕ (0). c',

Г ) >

> б, Д„ (ѴЕ (0, с, Т) <

с',

Ѵ8 (Т) <

Г ) +

Р {Дь (ѵЕ(0, С , Т ) >

с'} +

+ Р {ѵЕ (Т) >

Г }

<

Р {Д, (%(ѴЕ (/)),

c',

Г ) >

6} +

+

Р {Д„

(ѵЕ (/),

с, Т) >

с'} +

Р {ѵе (Т) >

Г ).

(2)

Для произвольного о >

0

в силу условия

(Da),

2) можно

выб­

рать V > 0 так, чтобы

ІШГР{ѴЕ(Л > П <

*

£ - . 0

а затем, зафиксировав V ,

выбрать

в силу

условия

(С2) е >

0

так,

чтобы

Й т Р{ДЛ(le(f), e', Г ) >

6 } <

f - .

е - » 0

*

Переходя теперь

в (2)

к

пределу

при

е

0, а затем

при

с -*• 0,

получаем используя

условие

(D2),

1),

lim lim Р {Aj (£е (v (/)), с, Т)

>

6} <

е -> 0 е -> 0

____

<

о + lim lim Р {Д„ (ѵЕ (t), е, Т) >

с'} =

о.

с-> 0

е - ^ 0

(°а)1 ѵе (0, *€Т*=Фѵо (0,

/ € Т * при

е - > 0 ,

где

ѵо(0, 1610, Т) —

непрерывный с вероятностью 1

случайный

процесс;

Т* — не­

которое счетное всюду плотное

в [0, Т\

множество,

содержа­

щее 0 и Г,

то выполняется условие

(D).

Пусть R [г (/)]

= R [г (i);

t£

S] — множество

точек

разрыва

функции z (t), / £ S.

Пусть также D+ — пространство

функций на

[0, с»),

непрерыв­

ных справа,

монотонно не убывающих и

принимающих

неотрица­

тельные значения.

Через

U(m)

обозначим

пространство

функций

г (t) = (х(/), уф),

t > О,

для

которых первая компонента

x(t) 6D<m),

а вторая у (і) 6 D+ .

Пусть еще Ѵг — подпространство функций z ф из

U<m>, для ко­

торых у (t ±

0) g R [X(s);

[0,

oo)]

для

всех / € R [г/(s);

[0, Г]]-

Если z(t)— функции

из

D(/>,

то,

как нетрудно показать, следую­

промежуток

j

,

п =

0, 1 , . . . ,

тг (2 ф) =

R .» (Z

6СЛИ

k < r " {Z

к,П

\^rn,n(z (0).

если

k > rn = rI (2 (0),

где x f (2 (t)) < . . . <

n (z (0) — точки

разрыва

функции

z ф

на

промежутке [0, T\,

величина скачка в которых по абсолютной вели­

чине попадает в промежуток |

. т ) ’ z

^

^ ®),

^ =

* >гп

— значения функции

z(i)

в точках

(z ф) ± 0,

k — \ ,rn,

n = 0,

1 , 2 . . .

Tr, г = 1 , 2 , . . . — некоторая

последовательность

положи­

Пусть

тельных

чисел такая,

что

Тт-+ оо

при г -*■оо.

Для

подпространства \

т имеет место представление

v r = f j f ] {(X ф,

У ф) 6 и -

: у (тIn (у ф) ± 0) е

R I* (0;

а= і я=о

(а)

іо, оо)]} =

f | f l

П

П

П

у ^

6 и<т): у (T*,n ^ ^

0) ф

r= 1 А'= 1 л'= 0 *=1 л= 0

Ф хк ' п, (X (0)}

из которого следует,

что

Ѵг 6 ®и(т) — а-алгебре

борелевских

под­

множеств

U(r 1).

Пусть

Dr — пространство

непрерывных справа,

монотонно

не

7*

99