книги из ГПНТБ / Селиверстов В.М. Теплосиловое оборудование подъемно-транспортных машин учебник
.pdf§15. Энтропия
В технической термодинамике наряду с уже рассмотренными функ циями состояния р, ѵ, Т, и и і широко используют еще одну функцию,
называемую э н т р о п и е й и обозначаемую s. Бесконечно малое из менение энтропии рабочего тела определяют из выражения
ds = ^ L . |
(87) |
Очевидно, что
Гds= =Гs + const.
Подынтегральное выражение в этом уравнении называется п р и в е д е н н ы м т е п л о м , представляющим отношение бесконечно малого количества тепла dq к• абсолютной температуре, при которой
оно подводится к рабочему телу. Энтропию относят к 1 кг массы ра
бочего тела и измеряют в килоджоулях на килограмм-градус. Поскольку энт ропия есть функция состояния, то она зависит только от начального и конеч ного состояний рабочего тела и не зави сит от характера процесса, т. е.
Si- (88)У
Рис. 6. Свойства диаграммы Ts
Урабочего тела энтропия может возрастать или убывать, причем
еезнак зависит от знака dq, так как абсолютная температура всегда
положительна. При подводе тепла к телу энтропия возрастает, а при отводе его убывает.
В соответствии с формулой (87) количество тепла, подведенного (отведенного) к телу, может быть найдено по формуле
dq = Tds. |
(89) |
Состояние рабочего тела однозначно определяется заданием любых двух параметров. Поэтому в координатной системе Ts каждой точке
будет соответствовать определенное состояние рабочего тела. Кривая 1—2 (рис. 6) изображает равновесный процесс. По ней устанавлива
ют зависимость между энтропией и абсолютной температурой. За штрихованная на рисунке элементарная площадка, равная Tds, пред ставляет бесконечно малое количество тепла dq. Очевидно, все тепло в процессе перехода тела из состояния 1 в состояние 2
2 |
|
q = ^Tds |
(90) |
1 |
|
27
равно площади, ограниченной линией процесса, двумя крайними орди натами и осью абсцисс. Поскольку в диаграмме Ts площадь под кри
вой процесса выражает тепло, она называется т е п л о в о й. Из рас смотрения процессов в диаграмме Ts (см. рис. 7) следует, что тепло q
является функцией процесса, так как между заданными состояниями 1 и 2 можно провести самые разнообразные кривые (пунктирные линии), а значит, тепло q, измеряемое площадью под кривой, будет иметь раз
ные величины. Из уравнения (89) вытекает, что если при изменении состояния энтропия уменьшается (ds < 0), то тепло отводится (dq <; 0), и наоборот, если энтропия увеличивается (ds > 0), то оно подводит ся (dq > 0).
Энтропия как функция состояния определяется любыми двумя па раметрами, например s = f ( T, v); s = / (T, p); s = / (p , v). Устано
вим вид этих функций для идеального газа. Подставим в уравнение (87) значение dq из уравнения первого закона термодинамики:
|
ds = ^ - = cv - у '- + -^ d v . |
(91) |
|
р |
П |
|
|
Заменяя ^ = - , получаем: |
|
|
|
|
ds = cv - ^ r + R — . |
(92) |
|
|
I |
V |
|
Принимая |
теплоемкость сѵ постоянной и интегрируя |
в пределах |
|
от начального до конечного состояния, найдем выражение для As как функцию Т и ѵ:
s2 — s ^ c ^ l n — |
+ R ln |
. |
(93) |
|
|
T1 |
щ |
|
|
Продифференцировав уравнение состояния рѵ = RT |
|
|||
pdv + vdp = RdT |
|
(94) |
||
и почленно разделив его на исходное, получим: |
|
|
||
*L + J?P.= * L . |
|
(95) |
||
V |
р |
Т |
|
|
Подставляя в формулу (92) значения ^ |
и ^ |
= |
||
и интегрируя при постоянных |
теплоемкостях, |
получаем |
еще два |
|
выражения для Äs как функции параметров Т и р, р и ѵ: |
|
|||
Аs — cp ln |
7*2 — R ln -^ - ; |
|
(96) |
|
|
n |
Pi |
|
|
As = Cp ln |
+ |
cv ln — . |
|
(97) |
|
|
Pi |
|
|
28
Гла ва lil
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ С ИДЕАЛЬНЫМ ГАЗОМ
§16. Основные термодинамические процессы
При изучении равновесных термодинамических процессов с идеалъ* ным газом возможно совместное решение уравнений состояния
рѵ — RT
и первого закона термодинамики
dq == cvdt + pdv. |
(98) |
При рассмотрении процессов необходимо:
1)найти уравнение процесса в диаграммах рѵ и Ts;
2)установить связь между термодинамическими параметрами;
3)определить количество тепла, участвующее в процессе, измене ние внутренней энергии и произведенную механическую работу.
В процессах могут изменяться одновременно или все параметры* или только некоторые из них.
Косновным термодинамическим процессам относятся: и з о х о р
н ы й — процесс при постоянном объеме (ѵ = const), и з о б а р н ы й
— процесс при постоянном давлении (р = const), и з о т е р м и ч е
с к и й — процесс при постоянной температуре |
(Т = const), |
а д и а |
б а т н ы й , протекающий без теплообмена с |
окружающей |
средой, |
с изменением всех параметров рабочего тела (dq = 0). |
|
|
Кроме перечисленных процессов, существует большая группа про цессов, в которых изменяются все параметры рабочего тела, подводит
ся или отводится тепло, производится |
или затрачивается механиче |
ская работа. Эти процессы являются |
обобщающими и называются |
п о л и т р о п н ы м и . |
|
Чтобы облегчить изучение термодинамических процессов с идеаль
ным газом, теплоемкости принимают постоянными, независящими от температуры.
§17. Процесс при постоянном объеме
Уравнение процесса в диаграмме рѵ: ѵ — const или dv — 0. На этой
диаграмме процесс изображается прямой, параллельной оси ординат (рис. 7). Связь между параметрами определяется из уравнения Кла пейрона — Менделеева, имеющего для начального и конечного сос тояний соответственно вид
PjV = R T1 и p2v = |
R T 2, |
|
откуда |
|
|
Pi _ |
T i |
(99) |
P2 |
T2 |
|
29
В изохорном процессе давление изменяется прямо пропорциональ но абсолютной температуре.
Из уравнения (98) при dv = 0 следует:
dq = du = cvdt,
т. е. все сообщаемое рабочему телу тепло идет на изменение его внутрен ней энергии. Это же подтверждается графиком на рис. 7, где пло
щадь под прямой процесса, выражающая работу, равна нулю. Интегрируя выражение (98) при сѵ = const, получаем:
q = Au = cv (t2— ^). |
(100) |
|
---- -О/ |
Pi |
-----9/ |
Рг |
N |
|
Рис. 7. Изохорный процесс в диаграммах рѵ и Ts
Изменение энтальпии в изохорном процессе определяют по фор муле
М = cp(t2— tx). |
(101) |
Уравнение процесса в диаграмме Ts выводим из формулы (93) при
Ѵі = ѵ2:
s2 — s1 = cv ln - ^ - . |
(102) |
м |
|
Изохора в диаграмме Ts представляет собой логарифмическую кри
вую. Площадь под ней выражает подведенное в процессе тепло, или, что то же самое, изменение внутренней энергии рабочего тела.
§ 18. Процесс при постоянном давлении
Уравнение процесса в диаграмме рѵ: р = const или dp = 0. На диаграмме рѵ процесс изображается прямой, параллельной оси абсцисс
(рис. 8). Связь между удельным объемом и температурой находится по уравнению состояния для двух точек:
рѵ± = RT± и рѵ2 = R T 2,
откуда |
|
|
Vi |
_ |
(103) |
v2 |
|
|
|
Ti |
30
В изобарном процессе объем газа изменяется прямо пропорциональ но абсолютной температуре. В процессе при р = const тепло расхо дуется на работу и изменение внутренней энергии.
Работа в процессе, отнесенная к массе в 1 кг, определяется по ура внению
2
Z= Jpcfy=:p(t;2 — ü1) = P (T 2 — Tj); |
(104) |
1 |
|
для М кг газа
L = Мр (о20і) = р (Ѵ2— = MR (Т2— 7)). |
(105) |
На рис. 8 площадь под прямой процесса выражает механическую работу.
Рис, 8. Изобарный процесс в диаграммах рѵ и Ts
Изменение внутренней энергии в процессе рассчитывают по фор муле
Аи = с„ (t2 — Zj). |
(106) |
В изобарном процессе все тепло расходуется на изменение энталь пии и определяется по формуле
q = AZ = Cp (Z2—tx). |
(107) |
Уравнение процесса в диаграмме Ts получают из выражения (96)
при рг = р 2'-
s2 |
~ Cp In ~~~ • |
(108) |
|
і 1 |
|
Изобара, как и изохора в диаграмме Ts, изображается логарифми
ческой кривой, причем она проходит более полого, чем изохора, по скольку Площадь под изобарой на диаграмме Ts выражает
тепло, которое равно изменению энтальпии в процессе.
§ 19. Процесс при постоянной температуре
Уравнение процесса в диаграмме рѵ может быть получено из урав нения состояния при Т — const:
рѵ = const,
31
Из него следует, что
Р1 ^ |
ѵі |
(109) |
|
Рг |
ѵ1 |
||
|
т. е. давления в изотермическом процессе обратно пропорциональны объемам. Изотермы газа на диаграмме рѵ изображаются равнобокими
гиперболами, причем чем выше температура, тем больше произведение рѵ и, следовательно, дальше от центра координат расположена изо
терма (рис. 9).
Рис. 9. Изотермический процесс в диаграммах рѵ и Ts
Так как в изотермическом процессе cLT = 0, изменение внутренней
энергии рабочего тела не происходит и все подведенное тепло расхо дуется на механическую работу:
dq = dl — pdv или q = l. |
(НО) |
Работу в изотермическом процессе определяют следующим обра зом:
так как р = RT |
получим: |
|
|
|
V |
’ |
|
|
|
|
2 |
dv |
|
|
|
l = RT Г |
RTI п - ^ - . |
(111) |
|
|
и |
|||
Для М кг рабочего тела формула (111) записывается так: |
|
|||
|
L = M R T ln — . |
(112) |
||
|
|
|
Vl |
|
Заменяя в формуле (111) отношение объемов через отношение дав лений и RT = рѵ, получим:
I = RT In — = рх v1ln — = р2 v2ln — —
Pi |
Щ |
щ |
= р1ц11п— |
= р2ц21п-^-. |
(113) |
Pi Pi
32
Изменение |
энтальпии газа в процессе At = ср (t2—іг), но Т = |
= const и At |
= 0, следовательно, она в изотермическом процессе не |
меняется. Из формулы (61) видно, что теплоемкость в изотермическом процессе равна бесконечности, свз = оо, т. е. как бы много ни сооб
щалось тепла рабочему телу, температура его не повышается. Уравнение процесса в диаграмме Ts: Т = const или dT = 0. Про
цесс на диаграмме изображается прямой, параллельной оси абсцисс. Площадь под прямой процесса выражает тепло:
Q= T (s 2 — Sj). |
(114) |
Изменение энтропии в изотермическом процессе рассчитывается
по формулам (93) и (96) при 7 \ = |
Т 2: |
|
sz — Sl = R \n — |
= ~ R \n -^ ~ . |
(115) |
ЩРг
§ 20. Адиабатный процесс
Адиабатный процесс — это процесс без подвода и отвода теплоты, т. е. dg = 0 и q = 0. В данном процессе изменяются все три параметра
рабочего тела.
Выведем уравнение процесса в диаграмме рѵ, воспользовавшись
уравнением первого закона термодинамики и уравнением состояния идеального газа.
Уравнение первого закона термодинамики (98) для адиабатного
процесса записывается: |
|
|
|
|
|
cvdt + |
pdv = |
0. |
(116) |
Из |
дифференциального уравнения |
состояния (94) находим: |
||
|
d T = = pdv + vdp |
( 1 1 7 ) |
||
|
|
R |
|
|
Подставляя dT = dt в уравнение (116), получаем: |
||||
|
cvpdv + cvvdp + |
Rpdv = |
0, |
|
|
(cv + R)pdv + cDvdp = |
0, |
||
но cv + |
R = cp, поэтому |
|
|
|
|
Cppdv + |
cvvdp = 0. |
|
|
Разделив обе части этого равенства на сѵ, получим: |
||||
|
- ^ - p d v Jrvdp = 0. |
(118) |
||
|
С Ѵ |
|
|
|
Отношение теплоемкостей ^ |
называют п о к а з а т е л е м а д и - |
|||
|
с ѵ |
|
|
|
а б а т ы и обозначают k, т. е. |
|
|
|
|
|
- ^ . = k, |
|
(119) |
|
|
Сѵ |
|
|
|
2 Зак. 529 |
33 |
где k —const, |
поскольку теплоемкости ср и сѵ принимаются постоян |
|||
ными. |
|
|
|
величину ky |
Разделив обе части уравнения (118) на рѵ и |
введя |
|||
получим: |
|
|
|
|
|
k * L |
+ JP . = 0' |
|
|
|
V |
р |
|
|
После интегрирования имеем: |
|
|
||
|
k\nv + |
lnр = const. |
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
Т2 ---------2 |
of |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ai<o |
dl>ff |
|
|
|
У |
|
|
|
--------- о/ |
2 |
|
|
|
|
I |
|
Рис. 10. Адиабатный процесс в диаграммах рѵ и Ts |
|
|
||
Потенцируя последнее уравнение, находим |
уравнение адиабаты: |
|||
|
pvk = const. |
|
(120) |
|
Показатель |
адиабаты k при |
постоянных теплоемкостях зависит |
||
только от атомности газов и численно равен для одноатомных k = 1,67, для двухатомных k = 1,40 и, для трех- и многоатомных k = 1,33.
Поскольку k > 1, то адиабаты относятся к неравнобоким гиперболам и на диаграмме рѵ они проходят более круто, чем изотермы (рис. 10).
Соотношение между параметрами в адиабатном процессе можно получить из уравнения адиабаты, используя уравнение состояния идеального газа. Из уравнения адиабаты найдем соотношение между
р и ѵ:
Р 1 _ _ I
Рг \
Ѵ2 \ & |
( 121) |
|
ѵі ) |
||
|
Разделив почленно уравнение состояния для двух точек процесса, получим:
Pi _ П
Рг ѵ 2 |
Т2 |
Используя формулу (121), находим соотношение между Т и ѵ:
П Ѵг \ k - 1
(122)
Т2 V Ѵх
34
Подобным же образом из формул (121) и (122) установим связь между Т и р
-£і_ = |
( |
(123) |
Р2 |
\ |
Т2 } |
Для определения работы в адиабатном процессе воспользуемся уравнением первого закона термодинамики. Так как dq = 0, то
dl = — du. |
(124) |
Интегрируя это уравнение, получаем:
I = Ü! --- |
«2- |
(125) |
Из уравнения (125) следует, что работа, производимая при адиа батном процессе расширения, совершается за счет уменьшения вну тренней энергии рабочего тела, и, наоборот, работа, затрачиваемая на сжатие, расходуется на увеличение запаса внутренней энергии ра бочего тела.
Поскольку их — и2 = св (tx — t2), то
|
I = |
- |
U). |
(126) |
Преобразуем уравнение |
Майера ср — сѵ = R, разделив |
обе его |
||
части на сѵ: |
|
|
|
|
k — |
_R |
и cv |
R |
|
|
C V |
|
k —\ |
|
Подставив полученное выражение cv в формулу (126), получим
следующую формулу для определения работы:
(127)
/г -1 ѵ 1 |
2' |
Используя уравнение состояния р^ = RTX и р 2и2 = RT 2,
мулу для вычисления работы можно записать в таком виде:
I _ Р і Ѵ1— Pi V2
k —\
Вынося за скобки р1ѵ1 и используя формулу (121), получаем:
фор
(128)
1 |
|
1 |
- |
|
Г |
1 |
, |
|
N * — 1 1 |
|
- |
Рі \ P2 J 1 |
k — l |
L |
— ( |
h)l p *J |
J |
||||
|
- _ Р 2 _ ( pi Y |
|
Pi Vi |
|
|
|
|
(129) |
||
Если в процессе участвует не 1 |
кг рабочего тела, |
а М кг, |
то значе |
|||||||
ние работы, полученное по формулам (126) — (129), необходимо умно жить на величину М.
Изменение энтальпии в адиабатном процессе рассчитывают по фор муле (101). Поскольку в данном процессе dq = 0, то значение теплоем
кости сад = 0.
2* |
35 |
Уравнение адиабаты в диаграмме Ts получают из выражения (91) при dq = 0:
s = const или ds = 0,
т. е. адиабатный процесс одновременно является и изоэнтропным. Адиабатный процесс на диаграмме Ts изображается прямой, парал
лельной оси ординат (см. рис. 10).
§ 21. Политропные процессы
Выше были рассмотрены простейшие процессы, в которых один из параметров состояния (о, р, t и s) оставался постоянным. В общем
же случае при процессах, протекающих в тепловых двигателях с под водом или отводом тепла, изменяются все параметры состояния.
Выведем уравнение для такого общего процесса, воспользовавшись уравнением первого закона термодинамики в таком виде:
cdT = cvdT + pdv, |
(130) |
или |
|
(с — cv) dT — pdv = 0. |
(131) |
Подставляя в уравнение (131) значение dT из выражения (117),
получаем:
cpdv + cvdp — cvpdv — cvvdp — Rpdv = 0;
(c — cv — R) pdv + (c — cv)vdp = 0; (c — cp)pdv + (c — cv)vdp = 0. •
Разделив обе части полученного равенства на (с— сѵ)рѵ |
и обозна |
|||
чив |
|
|
|
|
С — Ср |
п, |
(132) |
||
с— сѵ |
||||
|
|
|||
будем иметь: |
|
|
|
|
n * L + JP- = o. |
|
|||
V |
|
р |
|
|
После интегрирования и потенцирования |
|
|||
рѵп = |
const. |
(133) |
||
Уравнение (133) является искомым уравнением общего термодина мического процесса, называемого политропным. Величину п в этом
уравнении называют п о к а з а т е л е м п о л и т р о п ы .
Таким образом, политропным называют процесс с произвольным подводом или отводом тепла, подчиняющийся уравнению рѵп = const.
Политропных процессов может быть бесконечное множество, у каждого из которых будет свое значение п. Оно может быть произ
вольным в пределах ± о о , но постоянным в рассматриваемом процессе.
36