книги из ГПНТБ / Опыт оценки устойчивости склонов сложного геологического строения методом конечных элементов и экспериментами на моделях

ІбЫЗДвНи] ,

(з-по)

- д л я схемы Б —

ИЛИ, если

в р а с ч е т е

используются

приведенные

д е ф о р ­

мационные

характеристики:

Й - M L B K U } ,

-

< 3 - т )

причем

матрицы

[DA]

, [ < D 6 ]

и

[<0*]

в

условиях

плоской

деформации

соответственно

имеют

вид

(3 - 102),

(3 - 50) и (3 - 51) .

Зная

компоненты

напряжений

и

деформаций

в п р е ­

д е л а х к а ж д о г о

треугольного

э л е м е н т а ,

м о ж н о ,

пользу ­

ясь обычными формулами теории распределения

напря ­

жений, определить величины главных напряжений

и

главных

деформаций д л я изотропной

с р е д ы :

b ^ ^ - i p x - W + n k

>

( 3 ~ И 4 )

Чг = ^ ± ф х

~ Ч

) ^ 4 Г

Ц '

.

( 3 - U 5 )

Обычно значения д е ф о р м а ц и й и

напряжений

отно ­

сят к узловым т о ч к а м

сетки

разбивки. Д л я

этого

при ­

м е н я е т с я следующий прием. Если известны

компоненты

напряжений и д е ф о р м а ц и й д л я к а ж д о г о

из

%

т р е у г о л ь ­

ных элементов,

объединяющихся

в

некоторой

узловой

точке і

,

т о с р е д н е е

значение с о о т в е т с т в у ю щ е г о н а ­

пряжения или д е ф о р м а ц и и в узле

I

м о ж н о о п р е д е ­

лить по

формулам:

с р е д н е г о арифметического

с р е д н е г о взвешенного

(прямо пропорционально п л о щ а ­

д я м элементов)

I

IcHtS^,

6 r a

S

m

( 3

_

И 7 )

2 S m

обратно пропорциональногоI1

5га

п л о щ а д я м

элементов

При

относительно небольшом

г р а д и е н т е

н а п р я ж е ­

ний и

деформаций

и плавной сетке

разбивки,

к о г д а пло­

щ а д и

соседних элементов оказываются одного порядка,

значения

бі

, 6L

по формулам

(3-118) -

(3-118)

получаются

близкими.

теоретических

положений, изложенных

в п р е д ы д у щ е й

и настоящей

главах, с о ш л е м с я на следующие опуб ­

ликованные работы авторов: С Б . У х о в ,

1972; С Б . У х о в

и В . В . Семеиов, 1Ѳ72 , 1973.

Г л а в а

ч е т в е р т а я .

Р А С Ч Е Т Н А П Р Я Ж Е Н И Й В СРЕДАХ,

С О ­

Д Е Р Ж А Щ И Х Т Р Е Щ И Н Ы

6 1. П о с т а н о в к а

з а д а ч и

Аналитический аппарат м е т о д а

конечных

э л е м е н ­

т о в , изложенный выше,

предназначен

д л я р а с ч е т а п е ­

анизотропных

горных пород, рассматриваемых

как

с п л о ш н а я / к в а з и с п л о ш н а я /

с р е д а ,

без

р а з р ы в о в . Р е ­

а л ь н ы м геологическим объектам

свойственны

т р е щ и -

новатость

и блочная

с т р у к т у р а ,

что

обусловлено

н а р у ­

шениями

различных порядков,

вплоть д о

крупных

р а з ­

ломов. Расположение

и размеры

трещин

в

з н а ч и т е л ь ­

ной степени влияют на напряженно - деформированное

состояние массивов горных пород и на устойчивость

склонов,

Перспективным

при расчетах

н а п р я ж е н н о - д е ­

формированного

состояния и устойчивости

массивов

трещиноватых

пород

является

м е т о д

конечных

э л е м е н ­

т о в , позволяющий

воспроизвести

на расчетной

схеме

трещиновато - блочную

с р е д у

и отразить

особенности её

работы под д е й с т в и е м приложенных

нагрузок ( Watson,

1967, G o o d m a n ,

T a y l o r ,

ß r e k h e

, 1968,

2t.enkCewt.cz , ValUapan , K i n g ,

1968,

Stacey ,

1969,

H o f f m a n ,

1970 ,

M a h t a b ,

Goodman,

1970,

ZienKiewicz, Best,J)uUage,

S t a g g ,

1970).

Н а

основе

анализа

геологического

строения

скло ­

нов выбирается

типичный инженерно—геологический

р а з р е з ,

который

с

необходимой

д л я

расчетов

степенью

генерализуется

с

учетом

трещиноватости,

п о к а з а т е ­

лей деформационных

и прочностных

свойств

пород и

п р е в р а щ а е т с я в

расчетную

схему

( м о д е л ь ) .

О т м е ­

т и м , что

правильная

генераіизация

р а з р е з а

в

з н а ч и ­

тельной

степени

влияет

на

результаты

р а с ч е т а .

Затем устанавливаются

границы

расчетной

о б ­

ласти и

производится

разбивка

последней на

э л е м е н т ы .

Характер

разбивки

должен наиболее

полно

учитывать

• элкретные особенности

рассчитываемой системы, в

ч. стности

её неоднородность,

особенности

в

приложе ­

нии нагрузок, наличие областей, в которых

о ж и д а е т с я

концентрация напряжений, и т . д . Общее

число

э л е м е н ­

т о в на

расчетной

схеме

(или

количество

узловых

т о ­

чек)

д о л ж н о бь т ь

увязано

с

возможностями

исполь ­

з у е м о й вычислительной

т е х н и к и . Заметим,

что

не

в с е г д а

с л е д у е т стремиться

к

заданию

очень

д е т а л ь ­

ной схемы разбивки, Хотя в принципе это

к п о в ы ш а е т

точность

расчета,

но

безусловно

в е д е т

к

его

у с л о ж ­

нению.

Более

д е т а л ь н а я картина

распределения

і а п -

ряжений

в

пределах

отдельных

участков

массива

м о ­

ж е т

быть

д о с т и г н у т а

повторным

расчетом . Д л я

этого

производится

дополнительная

разбивка

интересующей

зоны

на

более

дробные

элементы

и

ѳё

расчет,

причем

в качестве граничных условий на контуре этой зоны

принимаются значения перемещений (при

оешении

з а ­

д а ч и

в

перемещениях),

полученные

при

расчете

всей

системы .

Расчет

включает

следующие

операции:

-

д л я

к а ж д о г о э л е м е н т а

( к а к сплошных

участков

массива,

т а к и трещин)

составляется

матрица

ж е с т -

кости [Je] ;

ж е с т к о с т и ;

— р е ш а е т с я основная система

уравнений

м е т о д а

конечных элементов и определяются компоненты

п е ­

ремещений

узлов;

-

производится

расчет

напряжений

в

блоках

поро ­

д ы и

фрагментах

т р е щ и н ;

-

если

необходимо,

на

основе

полученных

р е з у л ь ­

т а т о в

изменяются

показатели

механических

СВОЙСТВ

породы

в

отдельных

частях

массива

и

заполнителя

трещин

д л я повторного

расчета .

В следующих параграфах б у д е т

определен

вид

матриц жесткости фрагментов т р е щ и н . В

§2 п р и в о д я т ­

ся в ы в о д ы , основанные

на

несколько

упрощенной

с х е -

ме действующих

в элеме нте трещины напряжений .

И с ­

пользование полученной

на этой основе матрицы

ж е с т ­

кости д о п у с к а е т с я

в том

случае,

к о г д а

д л и н а

к а ж д о ­

го ф р а г м е н т а

значительно

превышает

ширину

трещины .

Если

это

условие

не выполняется,

что

вполне

в о з м о ж ­

но при учете влияния на

напряженно - деформированное

состояние м а с с и в а

зон

с

пониженными

деформационными

показателями,

примыкающими к т р е щ и н а м ,

т о

р е к о м е н ­

д у е т с я производить определение

матриц

ж е с т к о с т и

э л е м е н т о в трещин

(зон)

по

з а в и с и м о с т я м ,

приведенным

в §

3.

§ 2. О п р е д е л е н и е

м а т р и ц ы

ж е с т к о с т и

э л е м е н т а

т р

е

ш

J* н

ы

З а д а ч а р е ш а е т с я

д л я

условий

плоской

деформации

м а с с и в а

пород . В этом

случае

на

расчетной схеме

т р е ­

щина ограничена

д в у м я

линиями;

ширина ее

в е с ь м а

м а л а

по

сравнению с длиной .

К а к

показано

ка рис, 4-1» область,

срответствугащук

на расчетной

схеме зоне

трещины,

разобьем на н е к о т о ­

рое число э л е м е н т о в прямоугольной формы

и р а с с м о т ­

рим

один

из

н и х -

Lj К 6

. Поместим

элемент

в л о к а л ь ­

ную

систему

коордк.іат,

направив

координатные оси

^

и <2

параллельно

сторонам

э л е м е н т а

( р и с .

4 - 2 ) .

Обозначим длину

э л е м е н т а

t

. Р а з м е р

в

направлении

носительные д е ф о р м а ц и и

и напряжения

в

любом

с е ч е ­

нии

по элем опту

,

ііаралііельном

оси

"}

б у д е м

считать

постоянными, допуская их изменение только

по

длине

э л е м е н т а .

Основной

з а д а ч е й ставится

отыскание з а в и с и м о с ­

ти

м е ж д у

силами,

приложенными

в

узлах

элемента, и

п е р е м е щ е н и я м и

узлов,

При

в ы в о д е

этой

зависимости

возможны

д в а

п о д х о д а :

А

-

Н е п о с р е д с т в е н н о е

использование

условий р а в ­

новесия

внешних и

внутренних сил на

сторонах

э л е м е н ­

т а ;

г д е

Ек

-

мэдуль

деформации заполнителя

трещины,

соответствующий условиями

компресси ­

онного

с ж а т и я .

Вертикальная компонента

внутренней

э л е м е н т а р ­

ной

силы,

д е йствующей на

бесконечно малом

участке

по длине

элемента, находится

через

нормальные н а -

пряж ения

бі>

:

d f r ^ .

(4-4)

С учетом

выражений

(4-2)

и

(4—3)

получаем:

В

аналогичной

форме представим зависимость

м е ж д у горизонтальной компонентой

элементарной

силы

и относительным

горизонтальным

перемещением,

и с ­

х о д я

из

следующих

соображений . Угловая

д е ф о р м а ­

ция

в сечении

m m

определяется

через

г о р и з о н ­

тальные

п е р е м е щ е н и я точек т « Е

я ітіц

соот ноше—

ниѳм:

о

; r

i i p è y

.

(4-8)

Касательные

напряжения

н а й д е м по

ф о р ­

муле:

h

^

^

h

;

(4-Ѳ)

г д е

&

- модуль

с д в и г а .

О т с ю д а получаем выражение

д л я г о р и з о н т а л ь ­

ной

компоненты

элементарной силы:

87

или

d f t - k J u K - u ' i j ) ^

,

( 4 - п )

г д е

k t = -кf '.

(4-12)

Определим

компоненты

перемещений

точек ПТ^

и fTlLj

ч е р е з п е р е м е щ е н и я

узловых

точек

э л е ­

мента,

используя

формулы линейной

интерполяции

по координате ^

:

Отметим,

что

при использовании

т а к о й

функцио­

нальной зависимости перемещений

от

координат

о б е с ­

печивается

прямолинейность граней

i j

и КІ

э л е м е н т а

в процессе

д е ф о р м а ц и и . Этим гарантируется

выполне ­

ние условия совместности п е р е м е щ е н и й при

р а с ч е т е

трещины

как

э л е м е н т а

м а с с и в а .

Компоненты

fa

и

результирующей

внутрен ­

них сил

J K E

,

д е й с т в у ю щ е й ,

например, по

грани

К с

э л е м е н т а

( т а к а я

ж е

по

величине сила

$Ц

б у д е т

д е й с т в о в а т ь

по

грани ij

) ,

н а й д е м

путем

и н т е г р и ­

рования выражений

д л я

элементарных

сил ct|ij

и d.j^

по д л и н е

э л е м е н т а :

У}

%

d f 7

,

f

- J t l f

(4-14)

-y2

-Hi

,

или, принимая во внимание форьіулы

(4-6) и

(4 - 12) :

Уі

Чг

^=\ШгЦ)а%

,

f

^ K

r u [ i

)

d ^ .

(4-15)