книги из ГПНТБ / Опыт оценки устойчивости склонов сложного геологического строения методом конечных элементов и экспериментами на моделях

(3-58),

м о ж н о

показать, что матрица

ж е с т к о с т и

т р е ­

угольного

элемента, представленного

т р а н с в е р с а л ь н о -

изотропным

материалом,

определяется

зависимостью,

аналогичной (3-77). Необходимо только заменить

м а ­

трицу [*D]

в формуле

(3-77) на соответствующую

матрицу,

устанавливающую

связь

м е ж д у

напряжениями

и деформациями

д л я анизотропной

с р е д ы .

Вид

этой

матрицы, как было показано в § 1, зависит

от

р а с с м а ­

триваемых

схем

анизотропии (схемы

А и Б ) .

Схем а

А. Выделим

в массиве

трансверсально -

изотропных пород треугольный элемент iJK

( рис.3-8},

поместив

его в

систему

координат

ЭСу .'

Обратимся

к записи

( 3-40) и напомним, что матрица

[

A ]

»

определяющая связь м е ж д у

напряжениями

и

относи ­

D

тельными

деформациями

в

трансверсально - изотропной

с р е д е ( с х е м а А), была

получена

при

использовании

системы

координат

^ ^

, ось ^

которой

имела

на ­

правление,

с о в п а д а ю щ е е с

плоскостью

изотропии

( ло ­

кальная

с и с т е м а к о о р д и н а т ) . Эти оси т а к ж е

поктзаны

на рис. 3-8. Угол, образованный локальными

координа ­

тными осями с глобальными, обозначен символом

Ѳ .

Матрица ж е с т к о с т и

треугольного

э л е м е н т а

LJ К м о ­

ж е т быть

н а й д е н а

по формуле:

n U - S [ B ] T [ D A ] [ B]

,

(3-79)

в которой

матрица

[ß]

определяется

соотношением

(3-73),

а

матрица

, в

отличие

от

(см . выра ­

жение (3-40)

, характеризует

связь

а п р я ж е н и я - д е ­

н[ D À ]

формации в глобальных координатах . Определим вид

матрицы

[* A]

, используя

принцип

инвариантности

энергии

ф о р м а ц и й к преобразованию

координат.

д еD

( О . С . ZienKiewiC ï

, Y . K . Cheung

,1967) .

Аналитиче­

ски это

положение

в ы р а ж а е т с я

следующей

з а в и с и м о ­

стью:

S l 6 ' } T { 6 ' b s { 6 } T t o

,

(3-80)

г д е (б'} , {б}

-

векторы

компонент т е н з о р а

н а п р я ж е -

г

ний в локальных

н глобальных осях;

i - k j , ІЦ

-

векторы

компонент т е н з о р а

д е ф о р ­

маций в локальных и глобальных

осях .

Н а й д е м

векторы {&'}

и { $ }

д л я треугольного

материалом .

Используя формулу

(3 - 72) ;

можно з а п и с а т ь :

(3-81)

(3-82)

г д е матрица

[ß'J

определяется соотношением (3-73)

с подстановкой в

последнее локальных

координат у з ­

лов элемента

LJK

,

a {U'j, |Ll}

- векторы компонент

перемещений

узлов,

соответствующие

локальным и гло­

по формулам (3-81) и (3-82) в

д а н н о м

случае опреде •

ляются деформации д л я одного

и т о г о

ж е элемента,

множители -си;

в

матрицах [В]

и [ß'J

будут

равны

м е ж д у

собой.

Т о

ж е относится

к множителям S

в

левой

и правой

частях равенства

( 3 - 8 0 ) .

Образуем

следующие матрицы:

"cos8

- s i n ô l

(Эв7)

COSÖ

г д е 'Q -

угол,

образованный локапьными

и г л о б а л ь ­

ными

осями

координат (рис . 3 - 8) .

Т о г д а

б у д у т очевидны

соотношения:

(3-88)

(3-89)

Раскроем

зависимости (3-81)

и (3 - 82), исполь ­

з у я при преобразовании

выражения

(3-82)

формулы

(3-88)

и

(3 - 89):

'"ïj*

? K L

? i j

0

0 0

1 4

2

О

0

0

tytyty

S

(3 - 90)

Ц

5*

5jt

7jK

?KL

Р а с с м а т р и в а я совместно зависимости

(3-81 ) t

(3-9Q) и

( 3 - Ѳ І ) ,

можно показать,

что:

{ е М т . ] [ в ' ] { і 4 ,

(3-92)

г д е

tos26

sln?e

- s i n J c o s Ö

[ j j

а

cos^e

s ü i B c o s 0 |

(з-вз)

[2ал8акВ

-2sùi9cos8

çps4-slnlQ

Отсюда ж е

вытекает

с л е д у ю щ е е

соотношение:

{ е И Ш б 1 } ,

(3-94)

или при использовании

инверсии матрицы СГо]

M

- И

{ 6 } ,

(3-93)

г д е

cos28

SLR 2 6

sLafi cosô

С т н т ; ' ] - -

sia'B

C0S2G

-slaÔcosO

(3-96)

-2slri8cos8

25laBcos8

c o s ^ - s ü r ö

Векторы напряжений {б] Т и

{б"'}Т

определяются

соотношениями,

непосредственно

вытекающими

из

( 3 - 1 ) :

{ й т » Ю т Ы \

(3-97)

(3-98)

Преобразуем запись

(3-88)

с учетом

выражения

( 3 - 9 5 ) :

{ б ' } Ч е } т [ т ] т В Д т

О - в » )

и раскроем

зависимость (3 - 80) путем подстановки а

нее ( 3 J 9 7 ) ,

(3-99) и (3 - 82) . Т о г д а получаем: .

s { u ] W m W m T № b

=S{u}TCB]T[T)A]T[B]{a} .

( 3 " 1 С Х

О т с ю д а с л е д у е т :

^ А Ь М т М [ Т ] .

(3-101)

Используя

ф о р м у л у

(3 - 101),

получим

выражение

д л я матрицы

:

|6a3 (VAÄ -2&A) +

(3-102)

L .

am.

где

a=cos$,

6 = s t a ö .

ЦК

,

Матрица

ж е с т к о с т и

треугольного э л е м е н т а

представленного трановерсально—изотропным

м а т е р и а ­

лом ( с х е м а

А), при произвольном

наклоне

плоскости

изотропии к глобальным осям координат

м о ж е т

быть

теперь найдена по формуле (3-79)

с подстановкой

в

последнюю

соотношения

(3 - 102) . Эт а м а т р и ц а ,

как

и матрица

[ft]

, полученная в 8 2 настоящей

главы,

имеет размер 6x8 и является симметричной. Члены

м а ­

трицы

[Ісд]

полностью определяются

д е ф о р м а ц и о н ­

ными

показателями

анизотропной

с р е д ы ,

в которой

в ы ­

д е л е н элемент

LJK

, и

геометрическими

х а р а к т е р и с ­

тиками

элемента .

Схема

Б . Выделим

в

массиве

транс вер саль н о - и з о ­

тропных

пород

треугольный

элемент ЦК

и

поместим

е г о

в систему

координат

Xyz

т а к и м

образом,

чтобы

координатные

оси

X

и

Ц

располагались

параллель ­

но

плоскости

изотропии

(рис,

3 - 9) .

В

отличие от

рассмотренного

ранее случая

( с х е ­

м а

А),

при анализе этой

схемы п р е д с т а в л я е т с я

в о з ­

м о ж н ы м непосредственно

использовать

матрицу

связи

м е ж д у напряжениями

и де ф ор ма ц ия м и

[Ф6 ]

,

О п р е д е ­

ленную в § 1, и получить

матрицу ж е с т к о с т и

т р е у г о л ь ­

ного э л е м е н т а

в

глобальных

координатах . Это

очевидно,

т а к как

при

любых

углах

поворота

э л е м е н т а

в

плоскости

глобальные

оси

Х,^

будут

параллельны плоскости изотропии, из чего

с л е д у е т и н ­

вариантность

в и д а

матрицы

ж е с т к о с т и

[ £ 5] '

к п р е ­

образованию координат .

С

учетом

сказанного

получаем:

г д е матрица

\3^ъ\

о п р е д е л я е т с я зависимостью

(3 - 48) .

Матрицу ж е с т к о с т и

[leБ ]

д л я

э т о й

схемы

ани­

зотропии

можно

получить, р а с с м а т р и в а я

с р е д у

как у с ­

ловно изотропную

( с м .

8

1.).

Т о г д а :

[ Ц - - $ [ В ] Ѵ Ш ,

( 3 - 1 0 4 )

г д е матрица

№*]

определяется* соотношением

(3 - 51),

а в х о д я щ и е

в эт о

соотношение величины

Л-

і

G*

( с м . (3-54)

и (3-55))

по

формулам,

аналогичным

( 3 - 5 ) .

§ 4 .

Р а с ч е т

н а п р я ж е н и й

Компоненты напряжений и д е ф о р м а ц и й в

к а ж д о м

треугольном э л е м е н т е системы Определяются при

и з ­

вестных

значениях

компонент

перемещений вершин э л е ­

мента, т . е .

узловых точек системы . Используя

у р а в н е ­

ния (3-1)

и

(3 - 72) ,

м о ж н о получить

с л е д у ю щ е е

в ы р а ­

ж е н и е д л я р а с ч е т а

компонент

напряжений в

любом

©лементе:

{б} = ft)] [В] {іх\ .

(3-1Q5)

Рмс. 3-6

Рис.3-7

Рис. 3-8

Рмс 3-9

выражений (3-72) и (3 - 105) :

1)

представленные

в

матричной форме,

эти

в ы р а ­

жения

отвечают о б щ е м у

случаю определения

д е ф о р ­

маций

н

напряжений в треугольном э л е м е н т е ,

н е з а в и ­

симо от особенностей деформирования м а т е р и а л а в

пределах

элемента . Р а с ш и ф р о в к а уравнений

(3-72)

и

( 3-105)

д л я

конкретных

материалов б у д е т

о п р е д е ­

ляться

видом

матрицы

[D]

д л я этих

материалов

в зависимости

от т о г о ,

является ли среда в

пределах

э л е м е н т а

изотропной или анизотропной,

а Т а к ж е

в и д о м

матрицы

[В]

» форма

представления которой

з а в и с и т

от способа

опиоания поля

перемещений

в пределах

э л е ­

м е н т а ;

2)

в

соответствии

с

(3-72) и (3-105)

компонен­

т ы деформаций и напряжений определяются

лишь

п о ­

казателями

д е ф о р м и р у е м о с т и

среды ( д л я матрицы

элемента, т . е . , как

это указывалось в 8 2

н а с т о я щ е й

г л а в ы ,

поле напряжений и д е ф о р м а ц и й в

пределах

треугольного э л е м е н т а при выборе

функций п е р е м е щ е ­

ний в

виде (3-59) является постоянным.

Если в уравнения (3-72) и ( 3 - Ю 5 )

подставить

значения

членов соответствующих

матриц,

т о

легко

получить

конечные

в ы р а ж е н и я д л я

компонент

д е ф о р м а ­

ций и

напряжений.

Для треугольного э л е м е н т а

д е ф о р ­

мации

в ы р а з я т с я из

(3-72) как:

(3-106)

среде . Запишем в общем

виде выражения для напря­

жений, расшифровка которых в форме, аналогичной

( 3 - I Q 7 ) ,

не представляет

трудности:

-

для схемы А -