книги из ГПНТБ / Опыт оценки устойчивости склонов сложного геологического строения методом конечных элементов и экспериментами на моделях

Схема Б»

В этом случае,

как

отмечалось ранее,

предполагается ,

что расчетное

сечение параллельно

плоскости изотропии (рис . 3 - 6) . Запишем

уравнения

(3-18) в соответствии с принятыми

з д е с ь

направле ­

ниями координатных осей:

Выполнив некоторые

преобразования

уравнений

(3-43)

при

£ z = 0

в условиях

плоской

деформации,

получим:

6Х = (Ь^(1-^2а^^)"[0-П ^)^+ ^+ а ^)е а] '

(3-44)

-

Ei

, „

(3-45)

Г

2(1*JU,J

Гх^

•

(3-46)

П р е д с т а в и м

эти выражения

в матричной записи:

(3-47)

г д е

Е.

(3-48)

О

0

\-Ис2п.)л\

В в е д я обозначения:

г

Д в

Ь а / ,

г

(3-4Ѳ)

г_ .

Е,

0

*Б

«Б 0

(3 - 50)

0

0

случае, соответствующем схеме Б , можно получить,

полагая эту

с р е д у

условно изотропной ( П. Fine

,1969)

и имеющей

некоторые приведенные

деформационные

характеристики Е*

и }і*

. Образуем

матрицу

[О*]

,

аналогичную принятой при расчете изотропной

с р е д ы

матрицу ß)J

Л - 2 G

А*

О

(3-51)

А*

Q

О

О

и JU.

м о ж н о

определить через

д е -

формационные

показатели реальной

анизотропной с р е д ы ,

приравняв

соответствующие члены

матриц

[*D*] и [Dg] :

r - 2 G * = A R .

(3-52)

(3-53)

Р е ш и в

эти уравнения, окончательно получим:

(3-54)

(3-55)

П о к а ж е м ,

что полученные

р е з у л ь т а т ы обеспечи­

вают равенство

м о д у л е й с д в и г а

G

и g ß

:

(3-58)

§ 2 .

О п р е д е л е н и е

м а т р и ц ы

ж е с т к о с т и

д л я

т р е у г о л ь ­

н о г о

э л е м е н т а ,

п р е д с т а в ­

л е н н о г о

о д н о р о д н ы м

и з о ­

т р о п н ы м

м а т е р и а л о м

Поскольку

схема

определения

матрицы

ж е с т ­

кости треугольного

элемента

д л я

исследуемых

м а т е ­

риалов принципиально одинакова, в настоящем

п а р а г ­

рафе

приводится

полный вывод

матрицы

ж е с т к о с т и

э л е м е н т а

д л я

случая

однородной

изотропной

с р е д ы .

Рассмотрим

треугольный

элемент l j К

,

в ы д е ­

ленный из обшей системы, например,

представленной

на рис. 2-4.

Силы,

д е й с т в у ю щ и е

в вершинах

э т о г о

элемента,

выразим

компонентами

§хі

tjiji

»

; вызванные ими перемещения вершин обозна ­

чим

через

Іі^ ,

Ѵ~і

,

V«

(рис, 3 -7) .

Б у д е м

искать поле

перемещений

в

пределах

элемента

в

в и ­

д е ,

соответствующем

(2 - 18) .

з

(3 -57)

Ѵ=£ U-гДгп (x,lj) ,

г д е

LL^ ,

ІТщ. ~

перемещения

вершин

треугольного

элемента

LJ k

;

[га

,

м

Ф У Н К Ц И И

координат,

у д о в л е т во р яю ­

щ и е условию

непрерывности

поля

перемещений .

к

Строго

говоря,

вид функций

£

f д о л ж е н

выбираться

т а к ,

чтобы

были

соблюдены

условия

н е ­

разрывности

не

только

перемещений,

но

и д е ф о р м а ­

ций. Однако,

в м е т о д е

конечных

элементов,

при

р е ­

шении з а д а ч

в

перемещениях,

д л я упрощения

р е ш е ­

ния принимается некоторое смягчении условий

н е р а з ­

рывности

и

функции

§

,

У

выбираются

т а к ,

ч т о ­

бы соблюдалась

непрерывность

лишь

поля

перемещений

( § 3

г л а в ы І І ) . Д л я

этого

необходимо

и

достаточно

выполнение

с л е д у ю щ е г о

условия:

Зх

du

à '

a,r

a

Г

С 3 " 5 8 )

г д е U. ,

V

-

перемещения

любой

точки

с

координата ­

ми д о

деформации

X

,

Ц

;

Ц* t

XT

- п е р е м е щ е н и я

точки

с

координатами

д о

деформации

Х + СІХ ,

'у + Йу.

П о к а ж е м ,

что эт о условие выполняется, если

при­

цией

их

координат ,

т . е . :

(3-59)

Если

теперь

подставить

уравнения (3-59) в

(3-58)

и продифференцировать полученные

выражения,

т о бу ­

д е м

иметь:

I

u*=i< * л г (зс-t-äx) fjL3 (у

d u ) ,

(3 - 60)

3

V

У

т . е . перемещения точки с

координатами

д о

д е ф о р м а ­

циями

X + UX ,

У+ й^

определяются

той ж е функ ­

цией,

что и точки с координатами

X,у

.

С л е д о в а ­

тельно,

и д л я любой

д р у г о й точки

вид э т о й

функциі

будет

т а к и м ж е .

Принятое в ы ш е смягчение условий неразрывности

приводит

к т о м у

, что решение

д л я

д е ф о р м а ц и й

и н а ­

пряжений становится приближенным. Если в

с о о т в е т ­

ствии

с

уравнениями

(2-2)

и

(2-3) или ( 2 - 4 )

в ы р а ­

зить

деформации

или напряжения

в

э л е м е н т е , исполь ­

з у я запись д л я

перемещений

по формулам

(3 - 59), т о

о к а ж е т с я ,

что деформации

и

напряжения

в

пределах

э л е м е н т а

являются постоянными

величинами,

не

з а в и ­

сящими

от координат. Т о г д а

решение з а д а ч и

в п е р е -

Из уравнения

(3-63) находим:

W H

^ ѵ і " 1 ^ ^а-эд

Теперь из (3 - 64), учитывая (3 - 65),

легко

о п р е д е ­

лить

значения

коэффициентов ^ } 0 1 1 )

^ <Ц ;

(3-66)

^ = è [ ^ X ^ X i ^ t , +

( ^ L - X K ) ^

+ (Xj-3CLJirK] .

П о д с т а в и м определенные значения

коэффициен­

т о в

<А, ,<Иг ,

, <*t

в

уравнение (3 - 59) .

После

несложных преобразований

получим:

(3-67)

QJ fr g)=A h yг

+ (y*- до*+(x[-xK) y ] ,

Т а к им образом, при задании условия

н е р а з р ы в ­

ности в

форме

(3 - 59),

решение

(3-57)

принимает вид

( 3 - 6 7 ) . В дальнейших

построениях

б у д е м

использовать

решение

д л я

поля перемещений

в

виде (3 - 67) .

П е р е й д е м

теперь

непосредственно

к определению

матрицы

ж е с т к о с т и

треугольного

э л е м е н т а .

Удельную

потенциальную

энергию

деформации

д л я

материала

э л е м е н т а

выразим в

в и д е

( с м . ,

например,

2 - 8) :

(3-68)

Т а к

как

в

пределах

э л е м е н т а

напряжения и д е ­

формации

постоянны,

потенциальная

энергия

д е ф о р м а ­

ции материала

всего

э л е м е н т а определится

как:

(3-69)

Запишем

геометрические уравнения

(2-2) в м а т ­

ричном

в и д е :

г

З х

(3-Ю)

>

ч

ЗУ

V

Т о г д а ,

продифференцировав (3-67)

"по 3C,tj,

полу—

чим:

Соответственно

Xtj = 3Cji,

, У і к - - у к

и т . д .

В матричной форме

уравнение

(3-71) з а

и ш е т с я :

іб}»[В){и} ,

(3-72)

г д е

UjK

Укь

ycj

О

О О

О

0

0

Inj

(3-73)

Xix Xjl

2S

Д л я однородного

изотропного

м а т е р и а л а

в п р е д е ­

лах

р а с с м а т р и в а е м о г о

э л е м е н т а

з а в и с и м о с т ь

м е ж д у

напряжениями и д е ф о р м а ц и я м и

выразится

в с о о т в е т ­

ствии

с

уравнением

(3-71). Т о г д а

выражение

(3-69)

м о ж н о

записать в

в и д е :

(3-74)

г д е

[t)]

определится

из

(3-2)

или

( 3 - 3 ) .

В ы р а ж а я в

соответствии

с

(3-72) {£•}

ч е р е з

[В]

{U}

, а { £ } т

через

{ ц } т [ ß ] T

,

получим

(3-74)

в в и д е :

U * i S { u } T [ ß ] T l « [ B K U }

(3-75)

С д р у г о й стороны,

аналогично

(2 - 25),

потенциаль ­

ную

энергию деформации

треугольного э л е м е н т а можно

выразить

через его

матрицу

ж е с т к о с т и :