книги из ГПНТБ / Опыт оценки устойчивости склонов сложного геологического строения методом конечных элементов и экспериментами на моделях

ja.) -

коэффициент поперечной деформации

в

плоскос­

ти

изотропии

при нагрузке,

действующей

в

т ° й

ж е

плоскости

(рис.

3-26),

гЧ -

то ж е

при нагрузке,

приложенной перпендикуляр­

но плоскости изотропии (рис. 3—2а),

JUj-

коэффициент поперечной деформации в направле­

нии, нерпенднкулярном плоскости изотропии, при

нагрузке,

действующей а

нлоркостн

иаотрѳпни

(рис.

3 - 2 в ) .

Упругие

постоянные Ctj в уравнениях (3—б)

могут

быть

выражены

через перечисленные

выше

д е ф о р м а ­

ционные

характеристики.

Пусть

некоторый элементарный

объем

трансвер-

внимание,

что в

этом случае б х =

^ г = ^

* *

6^*.0

, *э выражения (3-8в)

получаем.

с ^ С з з б у

(3-7)

Коэффициент

пропорциональности

С33 в этой фор­

муле равен отношению деформации 6^

к нормально­

му напряжению

6^

действующему в том же на­

правлении,

и, следовательно, является

величиной* о б ­

ратно

пропорциональной

модулю

деформации £ у

(или

в принятых

обозначениях Eg.

) , т,е,:

Используя зависимость ( 3 - 8 л ) ,

получаем

Р =f

=С Éu

(3-9)

или,

учитывая (3-7)

х

(3-8):

6 х = е 1 = С 1 5 Е г £ у .

( 3 - Ю )

fe-lî-^-

( 3 - U )

Сопоставляя ( 3

- Ю ) и ( 3 - U ) , о п р е д е л я е м з н а ч е ­

ние коэффициента

:

С« = - £

•

(3-12)

Если рассмотреть

одноосное с ж а т и е

э л е м е н т а р ­

плоскости изотропии,

т о

аналогичные

р а с с у ж д е н и я п о з ­

воляют выразить

упругие постоянные

Сц

*

С\г

ч е р е з

деформационные

характеристики

£ {

v

JU<

,

а

именно:

С « = Т ,

'

'3-13)

A4

Сл=~т(

'

( 3 - й )

Необходимо

отметить,

что

в э т о м

случае

из

в ы ­

ражений ( 3 - в а )

или

(З - бб)

с л е д у е т :

С , , — (

3 -

1

J

3

)

м

Р а с с м а т р и в а я зависимости

(3-15)

и

(3-12)

с о в ­

местно, получаем

соотношение:

( 3 4 8 )

Обозначив отношение модулей деформации Е< и

Ег '• П. E( / /È2

можно

з а п и с а т ь :

ь = а м *

( 3 _ 1 7 )

и т е м самым

исключить

коэффициент

поперечной

д е ­

формации JU3

из

числа

независимых

деформационных

характеристик.

С учетом вышесказанного

преобразуем

у р а в н е ­

ния (3-6) к

с л е д у ю щ е м у

в и д у :

о т к у д а

f

-44

'

•

С44

( 3 _ а 3 )

символом

,

С 2.

постоянной

, обозначим

т . е . :

Величину,

обратную

G a - p b -

(3-24)

Таким

образом,

количество

независимых

д е ф о р м а ­

ционных

характеристик с в е д е н о

теперь

к

4.

С44

В

п р е д ы д у щ и х р а с с у ж д е н и я х

мы

рассматривали

с р е д у , обладающую

свойством

трансверсальной

и з о ­

тропии,

не

вникая в

физику т е х

причин,

которые

н а д е ­

ляют

ее

этим

качеством .

Практически

анизотропия д е -

формационных

и

прочностных свойств,

как отмечалось

в ы ш е , характерна

д л я горных

пород, имеющих

с л о и с ­

тую

или

сланцеватую

структуру,

а т а к ж е

м о ж е т

быть

обусловлена их трещнноватостью при упорядоченной,

преимущественно параллельной, ориентации т р е щ и н .

Эти

обстоятельства

позволяют

построить

с х е м а т и ч е ­

скую

м о д е л ь трансверсально - изотропной

с р е д ы ,

в

к о ­

торой

слои

относительно

ж е с т к о г о

материала

ч е р е д у ­

ются

с

прослойками,

представленными

материалом, о б ­

л а д а ю щ и м сравнительно низкими деформационными

показателями,

фрагмент

которой

показан

на

р и с . 3 - 4

( С . Б . У х о в ,

1968).

З а д а ч а

состоит в

т о м ,

чтобы

ч е р е з

д е ф о р м а ц и ­

могут быть определены опытным путем,

получить р а с ­

четные

д е ф о р м а ц и о н н ы е

показатели

т р а н с в е р с а л ь н о -

изотропной

с р е д ы

Е, ,

£ г

, Ju»

и

, о п р е д е -

ление которых

экспериментальными

м е т о д а м и

и н о г д а

п р е д с т а в л я е т с я з а т р у д н и т е л ь н ы м .

Обозначим деформационные характеристики жест> -

кой

и податливой

компонент

слоистой

м о д е л и

с о о т в е т ­

ственно

Е ж

. | і ж

и

Е м

,

,

а

полную

в ы с о ­

т у м о д е л и

-

Н . В в е д е м

параметр

1

( R.W. Clough,

E.L.Wilson

,

1983),

смысл которого

ясен

из с л е д у ю ­

щих

соотношений:

i K l L

H

'

(3-25)

H

г д е

ж

— суммарная

мощность

с о о т в е т с т ­

вующих

слоев .

Предположим, что к

выделенному элементу

т а ­

кой

модели (рис . 3 - 4) приложены нормальные

н а п р я ж е ­

ния

бі^

,

д е й с т в у ю щ и е

в

условиях

свободного

боково­

го расширения в направлении осей ЭС

и

Z .

Т о г д а

суммарное

сжатие

жестких

и податливых

слоев

и

u Z k . i

определится

выражениями:

м

» i K „ - ( a « ) f L - H ( i - t ) f i -

(

3-28)

(3-27)

О т с ю д а полное с ж а т и е

всех

слоев:

(3-28)

М о ж н о т а к ж е з а п и с а т ь :

(3-29)

и, рассматривая

совместно

(3-28)

и

(3 - 29) f получить

с л е д у ю щ е е

соотношение:

_Ем

( З - З О )

. с ж

J

Изменение

объема

з а

очет

бокового

расширения

А1ГЖ

и

А

М

о п р е д е л я е т с я

через

относительные

поперечные

деформации

Вх^

•

б і

м

î

Ѵ

А Ѵ - ж - е , я ( г » і ж ) а - ^ б ; | Н 0 - т ) я

,

( 3 _ 3 l )

лѴм = £ э с м

M ) s 2

— ^

6у HîS2

,

(3-32)

г д е ^

- п л о (щIаkд ь

поперечного сечения

элемента,

причем

з д е с ь п о л а г а е т с я ,

что трение на

контактах

м е ж д у

отдельными слоями

отсутствует .

Теперь представляется

в о з м о ж н ы м

найти

полное

изменение объема з а

счет

бокового

расширения

и д е л е ­

нием на общий объем

V

определить среднюю

по

э л е ­

менту

относительную

поперечную д е ф о р м а ц и ю 6хС р

î

11-VI-

(3-33)

• ж

В т о ж е время:

с

-

h с

(3-34)

Сопоставляя зависимости (3-33) и (3-34), полу ­

чаем

формулу д л я опреде

лення коэффициента

попереч­

ной д е ф о р м а ц и и

:

гг№*}ь&а-ъ)

( 3

_ 3 5 )

ж

Совершенно

аналогичным

путем при анализе о д ­

ноосного с ж а т и я

в направлении

оси

X

в ы в о д я т с я

соотношения, по которым

определяются д е ф о р м а ц и о н - -

ные показатели

Е,

и J4|

• Эти зависимости

имеют

следующий вид :

E r - E * f e * H - z ]

,

(3-36)

^ , = j u M z +уж[1-г)

.

(3-37)

Т а к им образом найдены

все

необходимые

р а с ч е т ­

ные показатели трансверсально-изотропной

среды,

В д а л ь н е й ш е м ограничимся решением

з а д а ч и о

напряженно-деформированном

состоянии

м а с с и в а

т р а н с -

версально-изотропных пород в

условиях

плоской

д е ф о р ­

мации. При этом рассмотрим

д в е

расчетные схемы:

изотропии

( с х е м а

А

- рис, 3-5),

- расчетное

сечение

параллельно плоскости и з о т р о ­

пии ( с х е м а Б -

рис. 3-6),

Отметим, что никаких ограничений относительно

неоднородности

породы

по

деформационным свойствам

расчетной

схеме

отдельному элементу,

могла

р а с с м а ­

триваться

как однородная .

К р о м е

т о г о ,

при

расчете

по схеме

А пространственное

расположение

плоскостей

изотропии

массива

относительно

координатных

осей

( б у д е м

в

д а л ь н е й ш е м

называть

их

глобальными)

т а к ­

ж е м о ж е т

быть

различным

на

отдельных

участках

и с ­

следуемой

области,

вплоть

д о

его изменения

при

пере ­

х о д е от

элемента

к

элементу

(естественно,

что

в

силе

остается

требование

о

перпендикулярности

плоскости

или плоскостей изотропии

расчетному

сечению) .

Определим

зависимости м е ж д у

напряжениями

и

относительными

д е ф о р м а ц и я м и

в

условиях

плоского

деформированного

состояния д л я

д в у х расчетных

схем

анизотропии.

Схема

А. Р а с с м о т р и м

участок

м а с с и в а

т р а н с в е р -

сально-изотропных пород (рис,

3 - 5) . Поскольку

п л о с ­

кость изотропии

м а с с и в а м о ж е т

быть ориентирована

по

отношению

к глобальным координатным осям X

и

$

произвольно

(более

т о г о , м о ж е т

иметь

различную

ори ­

ентацию

на

отдельных

участках

м а с с и в а ) ,

д л я

н е п о с ­

редственного использования зависимостей (3-18)

б у д е м

рассматривать этот участок в локальной системе

к о о р ­

динат Ç <2

» ось

^

которой

параллельна

плескости

изотропии.

Выполним преобразование уравнений (3-18), пола­

гая в

условиях плоской деформации 6г=6^ = 0

и най ­

д е м

нз полученных

выражений компоненты

напряжений

,

6г} "^ЭД в

локальных координатах:

где

{б'} = { б т