книги из ГПНТБ / Опыт оценки устойчивости склонов сложного геологического строения методом конечных элементов и экспериментами на моделях

р а с ч е т а

значение

этого вопроса крайне

в а ж н о ;

п о э ­

т о м у

при решении

конкретных

з а д а ч по

предложенной

в н а с т о я щ е й

работе

программе выполнение

т р е б о в а ­

ний главы пятой необходимо.

Можно

предложить

следующие общие

р е к о м е н д а ­

ции

при

назначении

сетки

разбивки.

-

В пределах

к а ж д о г о элемента

с р е д а д о л ж н а

быть однородной. В случае анизотропии

механических

свойств

в п р е д е л а х

э л е м е н т а

д о л ж н ы быть

постоян ­

ны е

направления

главных

осей

анизотропии.

Это

может

потребовать

некоторой корректировки границ

участков

неоднородности по сравнению с их положением на

инженерно-геологической

схеме .

-

В непосредственной близости от

мест

приложе ­

ния нагрузок, на участках резких изменений границ

исследуемой

области

и в

м е с т а х , г д е

о ж и д а ю т с я

большие градиенты напряжений, с л е д у е т

назначать

треугольные

элементы

наименьших р а з м е р о в .

Б л и ж е

к внутренней

границе

области

р а з м е р ы

э л е м е н т о в

м о ­

гут

увеличиваться.

если з а р а н е е

оказывается сложно

определить

участки

области, г д е

с л е д у е т д е т а л и з и р о в а т ь

н а п р я ж е н н о -

деформированное состояние,

возможно

поэтапное

р е ­

шение

з а д а ч и .

Н а первом этапе

з а д а ч а

р е ш а е т с я

по

относительно

грубой

сетке

разбивки

и

д л я

нее

строится поле перемещений. Затем

в ы д е л я е т с я

необхо ­

д и м а я

часть

области, д л я которой

строится б о л е е

д е ­

тальная с е т к а разбивки,

принимаются граничные у с л о ­

вия

в

перемещениях на

основе

п р е д ы д у щ е г о

р е ш е ­

ния

и

з а д а ч а

д о в о д и т с я

д о

р а с ч е т а

напряжений .

Н е д о с т а т о к т а к о г о п о д х о д а

связан

с

необходимостью

переработки

программы

д л я

новой

сетки

разбивки .

Граничные

условия.

К а к

правило,

при решении

з а д а ч

о напряженном состоянии массива

горных

п о ­

свободной

(внешней) поверхности и с с л е д у е м о й

области

з а д а ю т с я

поверхностные силы, которые могут

быть

П е р е м е щ е н и я

узловых

точек этой поверхности

н е и з ­

вестны . На внутренней поверхности,

как

правило,

з а ­

д а ю т с я нулевыми

значениями обоих

компонент

п е р е м е ­

щений

или

одной

из

них. Если

Llj, =

0,Ѵ~^ = 0 ,

т о

Тхі

и Туі

неизвестны .

Если,

например, ü-i

=

О,

a

Ѵ"і н е ­

известно, т . е . узловые точки граничной

поверхности

могут

свободно перемещаться по оси ij

, т о $%і

н е ­

известно,

аУуІ

равно

нулю.

Р а с с м о т р е н н ы е

выше правила, с в и д е т е л ь с т в у ю т

о т о м ,

что подготовка к расчету напряженного

с о с ­

тояние

массива

горных

пород м е т о д о м

конечных

э л е ­

ментов

в известной степени зависит от

квалификации

специалистов, от понимания особенностей строения и

свойств

конкретного

комплекса

пород,

в о з м о ж н о с т е й

учета различных факторов,

влияющих

на

напряженное

состояние,

опыта

работы

с Э Ц В М и

характеристик

машины, на которой предполагается вести расчеты .

Разработанная с учетом сказанного выше

р а с ч е ­

тная

с х е м а объекта

позволяет,

в

соответствии

с

и з ­

ложенным

в

главе пятой»

получить

полную

картину

н а ­

пряженно-деформированного состояния

массива

пород .

П р е д с т а в л е н и е

ль татр в_

р а с ч е т а

основано

на т о м ,

что машиной

в

табличной

форме

будут

выданы

все

необходимые

результаты

р а с ч е т а

д л я

к а ж д о й

узловой т о ч к и :

перемещенияU-1,

,

напряжения

^хуі

?

если

необходимо

6)1

, £>zl , деформации

бхс

, бус,

fxyi

, т а к ж е ,

если

необходимо

-

;

£zi

, К р о м е того,

машиной

м о ­

гут

быть

выданы

д л я

к а ж д о й

узловой

точки

любые

комбинации

указанных

показателей (направления г л а в ­

ных

площадок,

коэффициенты з а п а с а

устойчивости

и

т . д . ) .

Получение информации о напряжениях и

д е ф о р ­

мациях

основывается

на

использовании

физических

з а ­

конов и

геометрических

уравнений

д л я

и с с л е д у е м ы х

пород.

Рабочие

формулы

д л я р а с ч е т а

этих

п о к а з а т е ­

лей

приводятся

в

главах

т р е т ь е й

и четвертой .

Г р а ф и ­

ческая

интерпретация

р е з у л ь т а т о в

р а с ч е т а

зависит

от

поставленной з а д а ч и .

Она может

с в о д и т ь с я

к

построе -

нию эпюр напряжений, пиний равных напряжений,

к и ­

нематических схем и т . д .

Если и с с л э д у е м а я область или о т д е л ь н ы е ее

ч а ­

напряжение

- д е ф о р м а ц и я , т . е .

величины

м о д у л е й

д е ­

формации меняются в зависимости от

д е й с т в у ю щ и х

напряжений, т о г д а

полученные

при

первом

р а с ч е т е

результаты

будут

п

р е

д в а р и т

е

л

ь н ы м и .

В этом

случае, а т а к ж е

при изменении

сетки

р а з б и в ­

ки

д л я

всей

области

или

отдельных

ее

участков,

про ­

и з в о д я т с я

п о в т о р н ы е

р а с ч е т ы .

Рассмотрим

схему

таких

расчетов,

на

примере

учета изменения величины м о д у л я деформации

в

слу ­

чае

нелинейной з а д а ч и .

Вначале

(первый

этап)

р а с ­

чет

производится

при

з а д а н н ы х

величинах Е

и JU. .

Затем, анализируя полученное поле напряжений

и з а в и ­

симости, характеризующие изменение м о д у л я

д е ф о р м а ­

ции от напряжений, корректируют деформационные

по ­

казатели пород соответствующих э л е м е н т а м

м а с с и в а .

мо, вновь

корректируются

на

требуемых

участках

з н а ­

чения модулей деформации

и

опять

выполняется

р а с ­

чет поля ниіряжений . И

т а к

д а л е е ,

пока

последующие

изменения

поля напряжений

не о к а ж у т с я

н е з н а ч и т е л ь ­

ными. Эти

операции могут

б ы т ь реализованы

в о б щ е й

программе

расчета .

§ 5 .

О р а с ч е т е

у с т о й ч и в о с т и

в ы с о к и х

с к л о н о в

с л о ж ­

н о г о

с т р о е н и я

И з л о ж е н н о е

в п р е д ы д у щ и х

параграфах

н а с т о я щ е й

главы позволяет

р е ш а т ь

первую

з а д а ч у

(8 1)

— в ы я в ­

Использование м е т о д а конечных элементов д л я

этих

целей о б л а д а е т существенными преимуществеми по

сравнению с д р у г и м и

м е т о д а м и , т . к .

д а е т

в о з м о ж ­

ность рассматривать

массив горных

пород

как

н е о д н о ­

родную, нелинейную,

а при введении

характеристик

т р е щ и н , и несплошную

с р е д у ,

П е р е й д е м

теперь

к

рассмотрению второй

з а д а ч и

-

установление

показателей,

характеризующих

п р е д е л ь ­

ное напряженное состояние горных пород

в любой

т о ч ­

ке.

З д е с ь п р е ж д е

всего

необходимо

принять

закон раз­

рушения

горных

пород

и

установить

показатели,

х а р а к ­

теризующие

этот закон . Н е

в д а в а я с ь

в данной

работе

в

анализ

э т о г о

крайне

сложного

вопроса,

будем

счи ­

т а т ь , что

разрушение

горных

пород в условиях

плос ­

кой

з а д а ч и

происходит

з а счет

с д в и г а одной

части

породы по д р у г о й ,

а предельное

состояние на

п л о щ а д ­

ках

с д в и г а

характеризуется

законом

Кулона:

г д е , индекс

<к п о к а з ы в а е т

направление

площадок

с д в и г а .

Уравнению

Кулона

соответствует

с л е д у ю щ е е

у с ­

ловие предельного

равновесия:

б

| ~ б

*

= S Ü l f .

(2-42)

(6, - б г +

2с• ctg

у

П р и м е м ,

т а к ж е ,

что д л я

любых участков

пород

исследуемого массива

известны

характеристики

с о ­

противления

с д в и г у

и

С .

Рассмотрим приближенный способ оценки устой ­

чивости массива горных пород. Применим

следующий

прием. Зная

компоненты

напряжений,

действующих в

личину

касательного напряжения

,

приложенного

на наиболее опасных площадках с углом наклона к

главным п л о щ а д к а м равным

Д.

, Определим

величи­

ну

предельного

касательного

напряжения

(сопротивления

с д в и г у ) ,

при действии

которого

на

этих площадках'

наступает

состояние предельного р а в ­

новесия. Т о г д а

отношение

=

~T ~"

б у д е т характери ­

з о в ать

прочность породы

в

рассматриваемой узловой

7

F

точке .

При О > 1

порода

б у д е т о б л а д а т ь з а п а с о м

прочности, т . е . находиться

в

" д о п р е д е л ь н о м " с о с т о я ­

нии; при

/ 2 = 1

б у д е т иметь

место состояние

пре ­

дельного

равновесия в данной точке; при ^

<

1

прочность

породы

в точке

будет нарушена

( " з а п р е ­

д е л ь н о е *

состояние) . Такой прием был, в частности,

использован в работе Д . M

Ахпателова

(1972).

В качестве наиболее опасного направления

при­

мем площадки наклоненные

к главным

под

углом

предельном

соотношении м е ж д у

главными

н а п р я ж е н и ­

ями

возникнут

незатухающие

скольжения . Т о г д а ,

в

соответствии

с теорией

распраде ления

напряжений,

получим

выражения:

Предельное

сопротивление

с д в и г у

по

этим

пло ­

щ а д к а м определится

подстановкой

уравнения

д л я

из (2-43) в (2-41);

%ІЧ(6^г)Ѵ-Нбг6г)ьІПІЦІ+

С .

( 2

_ 4 4 )

Коэффициент устойчивости в точке опред_елится

в

с о ­

ответствии

с

принятым

условием

как

*2 =

П о д ­

ставив

с ю д а

и î " p '

из (2-43)

и

( 2-44°1

и

проведя

преобразования,

получим:

( ^ , - b ^ > 2 c - ct 9 y ) $ ^ r

S i n 2 У

( 2 _ 4 5 )

L ~

( V < y c o s 2 f

Cos2 r

При

Q

=

1 в точке

должно выполняться

условие

предельного

равновесия

(2 - 42) . Д е й с т в и т е л ь н о ,

при­

няв

^

=

1 и

выполнив

несложные

преобразования,

получим

из

(2-45)

условие предельного

равновесия

в в и д е

(2- 42) .

Таким

образом,

рассчитав

д л я каждой

узловой

точки значения

коэффициентов устойчивости

по

ф о р м у ­

ле

(2-45),

можно

построить

линии

равных

коэффициен­

т о в

Г£

и

при

s£ 1

выявить

части

м а с с и в а ,

н а х о д я -

щ и е с я в неустойчивом

состоянии.

Выполнение

т а к о ­

го

р а с ч е т а

і.іожет

б ы т ь включено

в

общую

прогр&мму

решения

з а д а ч и .

Н е д о с т а т о к рассмотренного

приема

з а к л ю ч а е т ­

ся

в

т о м , что

наличие

неустойчивых

участков

в

п р е д е -

лах

массива

с в и д е т е л ь с т в у е т

о неправомочности

вычи ­

сления напряжений вблизи

э т о г о участка

м е т о д о м

к о ­

нечных элементов, основанным на решениях теории

упругости. Однако, з д е сь

целесообразно

привести

с л е д у ю щ е е высказывание

В.А.Флорина

(1958,

стр,

81):

допустимость

применения

решений

теории

упругости д л я

определения

напряженного

состояния

земной

среды

з а в и с я т ,

в

основном,

от

р а з м е р о в

о б ­

ластей, в которых и м е е т с я предельное напряженное

состояние. Если

т а к и е

области или

отсутствуют

с о в ­

сем, или настолько малы по сравнению

с р а з м е р а м и

сооружения

(или

площади

з а г р у ж е н и я ) ,

что

ими

м о ж ­

но

пренебречь,

т о

применение решений

теории

упругос ­

ти

допустимо

и

не в ы з ы в а е т

с у щ е с т в е н н ы х

в о з р а ж е ­

ний".

Рассмотрим

пути

реализации строгого решения .

В этом случае необходимо получить решение

с м е ш а н ­

ной

упруго-пластичной

з а д а ч и , к о г д а

в

д о п р е д е л ь н о й

области

д о л ж н ы

выполняться

условия

(2-1)

-

(2-3)

или (2 - 4) , а в области,

н а х о д я щ е й с я

в

предельном

состоянии, условия (2-1)

и (2 - 42) .

Н а

границах . раз -

деляющих эти

д в е области,

д о л ж н ы

выполняться

у с ­

ловия неразрывности. В замкнутом в и д е

т а к и е

р е ш е ­

ния

в н а с т о я щ е е

времг

получены только

д л я в е с ь м а

ограниченного

круга

з а д а ч .

Особенность

м е т о д а

конечных

элементов

п о з в о ­

ляет

свести

решение

упруго—пластичной

з а д а ч и

к

с е ­

рии последовательных приближений подобно тому,

как

это

рассматривалось

в п р е д ы д у щ е м

параграфе

д л я

случая

нелинейной

з а д а ч и . Д л я

этого ц е л е с о ­

образно

использовать

м е т о д

упругих

р е ш е н и й

( А. А.Ильюшин,

1963).

Г л а в а

т р е т ь я

Р А С Ч Е Т Н А П Р Я Ж Е Н И Й В Н Е О Д Н О Р О Д Н Ы Х

И А Н И З О Т Р О П Н Ы Х С Р Е Д А Х

§ 1 . П о с т а н о в к а

з а д а ч и

В п р е д ы д у щ е й главе

было

установлено ,

что

д л я

формирования обобщенной

матрицы жесткости

системы

в основном

уравнении

м е т о д а конечных

элементов

(2 - 30) достаточно определить матрицы

ж е с т к о с т и

э л е ­

ментов, составляющих систему . Это в конечном

счете

позволит,

решив уравнение

( 2 - 3 0 ) ,

определить

п е р е м е ­

щения

Ui

, Vi узловых точек сетки разбивки,

т . е .

найти

поле

перемещений д л я исследуемой

области .

При

известных значениях

U-^

,

іГ^

, используя

физические

и геометрические уравнения

д л я

материалов

области, можно рассчитать значения напряжений и

д е ­

формаций

в

элементах

или

узловых

точках

сетки

р а з ­

бивки,

т . е .

определить поля напряжений

и д е ф о р м а ц и й .

Таким

образом, з а д а ч и , рассматриваемые

в

на ­

стоящей главе, с в о д я т с я

к следующему:

-

установление

в и д а

физических

уравнений

д л я

и с ­

с л е д у е м ы х

материалов;

- получение расчетных

зависимостей

д л я о п р е д е л е ­

ния

матрицы

ж е с т к о с т и

э л е м е н т а ;

-

получение расчетных

зависимостей

д л я о п р е д е л е ­

ния

компонент напряжений и деформаций .

Любая

неоднородная

с р е д а

м о ж е т

быть

п р е д с т а в ­

лена

в

виде

системы элементов,

в

пределах

которых

свойства среды не

будут

и з м е н я т ь с я .

Естественно

т о г д а ,

что

в пределах

к а ж д о г о

элемента

с р е д а

м о ­

ж е т

быть

изотропной,

анизотропной или

обладать

е щ е

более

сложными особенностями д е ф о р м и р о в а н и я .

Т о г ­

д а ,

в

соответствии

со

сказанным выше,

в настоящей

главе

д о л ж н ы быть

решены указанные

з а д а ч и

д л я

В

случае плоской

з а д а ч и физически»

уравнения

однородной изотропной

с р е д ы в ы р а ж а ю т с я

в виде

(2-3)

или ( 2 - 4 ) . Если

их р а з р е ш и т ь относительно на -

Яряжений, т о

они примут

вид

(2-16)

или (2 - 17) .

П р е д ­

ставляя

эти

зависимости

в матричном выражении,

по ­

лучим:

{6} =[!)]{£}

( з - і )

;

г д е

foc'

feb

G*

(3-2)

Хч

Матрица

[DJ

б у д е т

определять

связь

м е ж д у н а ­

пряжениями

и д е ф о р м а ц и я м и

и з а п и ш е т с я

в в и д е :

д л я

плоского

напряженного

состояния

1

ju

0

(3-3)

ju

0

\

)

0

Û

« - f

L

2

-

д л я

плоской

д е ф о р м а ц и и

A+2G

А

0

'

(3-4)

и

»

Я

A+2G

0

?

О

о

G-

г д е

Л , G

коэффициенты

Лямэ,

равные:

г

Е

(3-5)

Р а с с м о т р и м теперь вывод

физических

уравнений

д л я

случая

анизотропной

с р е д ы .

1930), для

К а к

известно

( С Г . Л ѳ х н н ц к и й ,

полно­

стью

анизотропного

материала

связь

м е ж д у н а п р я ж е ­

ниями и деформациями м о ж е т

быть

в ы р а ж е н а

с и с т е ­

мой

уравнений, с о д е р ж а щ и х

36 коэффициентов

пропор­