книги из ГПНТБ / Опыт оценки устойчивости склонов сложного геологического строения методом конечных элементов и экспериментами на моделях

г д е

вектор, составленный из компонент имев—

них сил:

7X2

э - И " Г [ к ] Н Ч и Г і Я

( 2 _ 2 8 )

Если продифференцировать

(2-29)

по Uï и Vj, и

положить

д Э _ Q

ЭЭ

» то

получим:

а и Г 1

Т ^ Г

{ т ) = [ к ] і и \

(2-30)

Это и есть

о с н о в н о

е

у р а в н

е н и е

м е т о д а

к о н е ч н ы х

э л е м е н т о в .

Матрица {7)

есть

вектор,

состоящий

из 2 H членов,

являющихоя

компонентами

поверхностных

и объемных

ется

м

а

т р и ц е

й

( в е к т о р о м )

о б о б ­

щ е н н ы х

о »

л. Матрица [и] т а к ж е

есть

вектор,

состоИЩИ я из компонент

п е р е м е т е няй, она называет­

ся

м а

т

р х х е й

( в е к т о р о м )

о б о СИ.

щ е н н ы х и е р ѳ м е щ е я и щ .

Матрица [К ]

есть

квадратная

мат они а размерностью 2 Af.x 2 А/ .

Ее обычно

называют

о б о б щ е н н о й

м а т р и ­

ц е й ж е с т к о с т и

с и с т е м ы , т.к. Ю а

связывает обобщенные силы и обобщенные

перемеще ­

ния всей

системы.

Таким

образом,

математически, решеяие

з а д а ч и

"я перемещениях

сводится к составлению я

решению

матричного

уравнения

(2 - 30) . Это выражение

п р ѳ д -

ставляѳт на себя

систему

алгебраических

уравнений

с постоянными

коэффициентами.

Число

уравнений в

системе, в общем случае,

определяется

количеством

узловых, точек и равно

2>Ѵ . Коэффициентами уравне­

ний служат элементы

матрицы жесткости

системы.

Исходя из структуры

выражения (2-30),

видно, что

к а ж д о е алгебраическое

уравнение связывает

некото­

рую компоненту силы, приложенной в определенной

узловой точке,

с

компонентами

перемещений.

Как указ ывалось,

при решении рассматривае­

мых в настоящей

работе

з а д а ч ,

обычно

имеют

место

смешанные граничные

условия: задание

на некоторой

ЧАСТИ

контура

сил, на остальной ~

перемещений.

Таким

образом,

в к а ж д о й узловой точке на конту­

ре исследуемой

области

будут

известны дв е из че ­

тырех

компонент: 7хі,

fyi-,

Hi, Vi

. Для

узловых

точек

внутри

области

обычно заданы компоненты сил

и неизвестны

компоненты

перемещений.

Т о г д а

коли­

чество неизвестных в выражении (2-30)

определится

величине* 2 Л/ , т . е . количество

неизвестных

будет

равно

количеству

уравяежи t в системе.

Вид матрицы жесткости системы указывает на

то, что «И» элементы,

являющиеся

коэффициентами

Следовательно,

они могут быть

«пределены. М о ж н о

показать, что определитель системы уравнений

б у д е т

отличен от нуля. Этих условий достаточно для

того,

чтобы система

уравнений имела

только одно

р е ш е ­

ние.

силы

с

компонентами

?лл7; 7х*з,

;

Если

вся система находится в равновесии, то и элемент

17-13-14 т а к ж е

находится в равновесии.

Однако, д е ­

формация

этого

э л е м е н т а

д о

д о с т и ж е н и я

р а в н о в е с н о ­

го состояния вызвана не

силами

7хі7,

^хіз,

. . j-ущ "которые

воздействуют

т а к ж е

и на

соседние,

прилегающие к вершинам 17, 13, 14 треугольники, а

лишь

некоторыми

их частями

/хі?і

$хіз,-

- • •

• ^уіч •

В т о ж е время

перемещения

вершин

э л е м е н т а

17-13—

14 равные

U17)

іііз^

• •

,

,

будут

т а к и е

же,

что

и этих

ж е

вершин

соседних

э л е м е н т о в . Т о г д а

д л я

э л е м е н т а 17-13-14

уравнение

связи

компонент сил

с компонентами

перемещений

выразится

в с о о т в е т с т ­

вии

с (2-30) в

в и д е :

(2-31)

М а т р и ц а L ^ J , н а з ы в а е м а я

м а т р и ц е й

ж е с т к о с т и

т р е у г о л ь н о г о

э л е ­

м е н т

а,

б у д е т

иметь

р а з м е р

6x6

и

состоять

из ч л е ­

нов,

с о д е р ж а щ и х

характеристики

д е ф о р м и р у е м о с т и

материала

э л е м е н т а 17-13—14

и разности

координат

его

вершин.

П р е д п о л о ж и м , что известен вид матрицы

ж е с т ­

кости

элемента:

а „

а12

а, 3

аи а15 а1&

ü2j

^22 ^23 ^2* ^25 ^26

(2-32)

а3і

0-32 а33 <*з* аз5 °-

•36

\_^бі а6г

%

а65

а66

Т о г д а

можно записать

(2-31)

в

в и д е системы

а л г е ­

браических

уравнений:

3-1655

33

г д е индекс в скобках у

компонент

f

указывает

но ­

мер

элемента.

. Рассмотрим соседний элемент 17-14-18. Повто­

ри»

для него аналогичные р а с с у ж д е н и я , можно

заки ­

сать

в конечном виде;

(2-34)

И так д а л е е , вплоть д о

элемента

17-16-13:

Пусть коэффициенты uij,t>ij,

, *ц

nmu»

я в л и -

ются

членами матриц ж е с т к о с т и э л е м е н т о в it—13-14,

17-14-18,..., 17-16-13. Они определяются

показателями

деформируемости м а т е р и а л а с р е д ы в п р е д е л а х

этих

элементов и разностью

координат

их

вершин.

Определим связь

м е ж д у компонентами

обобщен ­

ных

сил, приложенных в узловой

точке 17,

и компо ­

j

=f<»+s(2U

+f{5)

]

Jxn

Jxn Jxn

• • • Jxn

)

(2-3S)

Tyn Jyn

Jyn

••• • Jyn

^ •

И з

систем уравнений

типа

(2-33) -

(2-34), состав­

ленных

д л я всех элементов, объединяющихся вокруг

точки

17,

получим:

+(6ІЗ+с/г)

u,g +(cl3+dl2)LL2l+(d,3

+en) a/61-

(2-36)

Вернемся к выражению (2-30) для всей систе ­

мы.

Было отмечено, что каждое алгебраическое урав­

нение

системы

(2-30) связывает некоторую компонен­

ту

силы, приложенной в определенной

угловой точке,

с

компонентами

перемещения. Т о г д а

уравнения

(2-36) и (2-37)

можно представить в

виде

+ K17.21 U-Zl + Xll.lG Uк ^ПЛО Ѵ,7 +Kl7,3B Щ +

( 2"38)

+H,7,37 ѴІА. +tf,7,4/ »k 'КПП

Vh -И,7,39

r,t.

fy?

^Хщп

Ul7 *X*o,/sU,3

+К40Ли*+Н*0#ип*

(2-39)

Uv+fao.lb и/6 +1*40,40 Ѵ7

* /*4Û, зе

V,j +

* 1*40,37 Vk

41 Ы,і 'Hto, 44 Ѵу+ H40,3Q V/6 >

г д е

к?у

- элементы

матрицы

жесткости

системы.

Индексы ù,'j

показывают

место

элемента

в

м«гриде

жесткости системы:

£ -

номер

строки, j

-

номер

столбца

(см . приложение 1).

Сравнивая (2*38)

с (2-38)

•

(2-38}

о (2-37),

у б е ж д а е м с я , что каждый

член

матрицы

жесткости

системы вполне определяется как сумма некоторых

членов матриц

жесткости

отдельных

элементов. Т а ­

ким

образом,

м а т р и ц а

ж е

с

т

к

о

с

т и

с и с т е м ы

е с т ь

с о ч е т а н и е

м а т ­

р и ц

ж е с т к о с т и

э л е м е н т о в ,

с о с ­

т а в л е н н о е

п о

о с о б ы м

п р а в и ­

л а м ,

Формирование

матрицы

жесткости

системы

реализуется на ЭЦВМ

н будет

рахкхмотрѳнр

в

главе

пятой.

Исследование

особенностей

формирования м а т ­

рицы жесткости системы позволяет сделать важный

вывод о возможности расчета методом конечных

элементов неоднородных и нелинейных сред,

Действи ­

тельно, задание в пределах каждого элемента своих,

отличных от других

элементов,

характеристик

д е ф о р ­

мируемости пород

Е, JU

не противоречит

выведу

основного уравнения

м е т о д а

и может

быть

реализовано

нри

формировании матрицы

жесткости

системы.

Р а с ч ет

массивов

при

нелинейной з а в и с и м о с т и

напря ­

ж е н и е - д е ф о р м а ц и я д л я с л а г а ю щ и х их пород

м о ж е т

б ы т ь с

помощью итерационных процессов сведен к

расчету

неоднородных

с р е д .

Второй в а ж н ы й

вывод

заключается

в

т о м ,

что д л я

формирования

матрицы

ж е с т к о с т и

системы

д о с т а т о ч н о

определить матрицы

ж е с т к о с т и

элементов,

составляющих

систему . Установление основных зависимостей,

п о з в о ­

ляющих

находить

матрицы

ж е с т к о с т и э л е м е н т о в

д л я

пород со

сложными

законами

деформирования

р а с ­

сматривается

в

главах

т р е т ь е й

и

четвертой .

Определение

компонент

напряжений

и

д е ф о р м а ­

ций при

известном поле пе ре ме щени й

д л я

и с с л е д у е м о й

области

производится

на

основе использования

ф и з и ­

ческих

и геометрических уравнений. Эти вопросы

т а к ж е

рассматриваются

в

г л а в а х

Ш и

1У. З д е с ь

о т м е т и м ,

что д л я

исследованных в н а с т о я щ е й

работе с р е д

со

сложными законами

д е ф о р м и р о в а н и я

поля

напряжений

и д е ф о р м а ц и й

могут

быть

определены .

5 4. П р о ц е д у р а

р е ш е н и я

з а ­

д а ч

м е т о д о м

к о н е ч н ы х

э л е м е н т о в

Расчет

напряженного

состояния

м а с с и в а

г о р ­

ных пород м е т о д о м

конечных

э л е м е н т о в

требует вы ­

полнения рядаеперапий.

1.

Р а з р а б о т к а

расчетной схемы,

включающая:

— установление

исходных

параметров

( г е о м е т р и ч е ­

ские р а з м е р ы

и с с л е д у е м о й

области,

с в ы д е л е н и е м

внутри

нее участков

неоднородности,

д е й с т в у ю щ и е

нагрузки,

показатели

деформируемости) ;

— назначение

сетки

разбивки

области

на

э л е м е н т ы ;

— назначение

граничных

условий;

2»

Программирование

з а д а ч и

д л я решения

на

Э Ц В М

и

реализация

решения .

3.

Повторные

р а с ч е т ы

при

необходимости

кор ­

ректировки характеристик

физико-механических

свойств

отдельных

участков

и с с л е д у е м о й

области .

ного

состояния (профиль, склона,

нагрузки

от

соору ­

ж е н и я ,

изменение внутреннего д а в л е н и я

и т . п . )

на

ней

было бы

сведено к минимуму. Необходимо

иметь

в виду, что неоправданное увеличение

и с с л е д у е м о й

области т а к ж е

приводит

к

з а г р о м о ж д е н и ю

р а с ч е т а . В

то

ж е

время

с л и ш к о м

близкое,

например,

к

поверх ­

ности

склона,

назначение внутренней

границы

м о ж е т

вызвать несоответствие принятых градачных условий

реальным .

Силовые

роз действия .В м е т о д е

конечных

э л е м е н ­

т о в

д е й с т в у ю щ и е нагрузки

приводят

к с о с р е д о т о ч е н ­

ным

силам, приложенным в

узловых

точках

сетки

р а з ­

бивки. Распределенные нагрузки на

поверхности

о б ­

ласти

(например, гидростатическое д а в л е н и е )

з а м е ­

Нагрузки

от сооружения мш-ут

учитываться н е п о с р е д ­

ственным

воспроизведением в

границах р а с ч е т н о й с х е ­

Объемные

силы

т а к ж е

приводятся к с о с р е д о т о ­

ченным, приложенным в узловых точках сетки

р а з б и в ­

ки. Д о с т а т о ч н о

просто

учитываются

т а к и е

объемные

силы, как

собственный

вес»

г и д р о д и н а м и ч е с к о е

и

в з в е ш и в а ю щ и е

д а в л е н и я .

Поскольку р а в н о д е й с т в у ю ­

щ а я объемных

сил в

пределах треугольного

э л е м е н ­

т а

приложена

к

его

центру т я ж е с т и ,

принимают,

что

на

каждую

вершину

э л е м е н т а

в о з д е й с т в у е т

1/3 р а в н о ­

д е й с т в у ю щ е й .

Т о г д а

д л я

некоторой

узловой точки

і , объединяющей 1 треугольных

э л е м е н т о в ,

обоб ­

щенная сила б у д е т равна:

г д е

(^Ç/m

~

произведение

площади

к а ж д о г о

э л е ­

м е н т а на характеристику объемной силы (Ç

-

у~

— объемный

вес,

^ жѴ/~ср

-

гидродинамическое

д а в л е н и е ) .

При

учете

только

собственного

в е с а

Ö£ =• Щі

% при

учете

только

гидродинамического

д а в л е н и я

вектор

» действующий

по к а с а т е л ь -

ной к линяй токе»

д о л ж е н быть разложен на

состав ­

ляющие ^ г

.

Правила представления

силовых

в о з д е Й С Т В И І в

м е т о д е конечных

элементов

позволяют

учесть

и д р у ­

и объемным силам, приложенным статически

в узлах

сетки разбивки. М е т о д конечных элементов

применим

ПГ>КЯЯЯТ,ЙЛИ qyi№?r<ffPTfM^ffT'I Назначение

р а с ­

четных показателей деформируемости пород для

э л е ­

Некоторые

особенности, связанные со спецификой м е ­

т о д а , будут

рассмотрены в третьей я четвертой гла ­

вах . Необходимо иметь в виду,

что когда з а д а ч а

расчета конкретного объекта сформулирована,

составле­

на рабочая

программа и имеется

возможность

реали­

зации решения на Э Ц В М , можно

достаточно быстро

получить серию результатов» меняя каждый раз

любые

физические параметры (величины приложенных сил,

показатели

деформируемоотк). Поэтому в ряде

слу ­

пряженное состояние и оценивать

устойчивость

склона

д л я нескольких вариантов

схем

и

при разных

параме­

трах,. Анализ результатов

таких

расчетов позволит

участков массива.

Сетка

разбивки на элементы. Назначение сетки

разбивки производится с

учетом неоднородности стро ­

ения массива горных пород, особенностей силового

воздействия

и сневифики

программирования

з а д а ч и

д л я расчета

на Э Ц В М . Последний вопрос детально

рассмотрен

в главе пятой:» О толчки зрения

техники