книги из ГПНТБ / Опыт оценки устойчивости склонов сложного геологического строения методом конечных элементов и экспериментами на моделях

П о т е н ц и а л ь н ая энергия деформации элементарного

объема с т е р ж н я

равна:

д Ц »

J 6 6 .

(2-8)

Потенциальная

энергия

деформации

всего

с т е р ж н я

выразиться

как:

U » allst

= {біѣі .

(2-9)

Потенциал

внешних

сил

есть

произведение

сил,

д е й с т в у ю щ и х

на тело,

на

их

перемещение .

В п р и в е д е н ­

ном

в ы ш е решении

(2-6)

принималось,

что

д е ф о р м а ц и я

с т е р ж н я в ы з ы в а е т с я

только

поверхностной

силой

Р

,

т . е . объемные силы

( в е с

стержня)

не

учитывались.

Т о ­

г д а

и з д е с ь

потенциал

внешних

сия

определится

в ы р а ­

жением:

W

= PJ.

( 2 - Ю )

о

П р о и з в е д я

в

(2-9)

подстановки:

, 6=-4^-

и выразив (2-7)

через

( 2 - 9 ) ,

( 2 - Ю ) ,

получаем:

^

Э = І ^ І - - Р

Л

? .

, 2 - Ш

В соответствии с вариационным принципом,

д е й ­

ствительной

форме равновесия

с т е р ж н я

б у д е т

с о о т в е т ­

ствовать т а

величина

перемещения

,. при

которой

3

примет стационарное

(минимальное)

значение .

Т а ­

ким

образом,

первая

производная

потенциальной

э н е р ­

гии

системы

по

перемещению

д о л ж н а быть

равна

нулю;

о т с ю д а :

g

г-

Следовательно

и

перемещение

с т е р ж н я

под

действием силы Р

,

полученное

с

использованием

вариационного м е т о д а ,

о п р е д е л я е т с я

т е м ж е

в ы р а ж е ­

нием

( 2 - 6 ) . Однако,

условию -J^p- = 0

соответствует

э к с т р е м а л ь н о е (максимальное

или

минимальное)

з н а ­

чение функции

Э

.

П о к а ж е м ,

что в д а н н о м

с л у -

чае

потенциальная

анергия

системы

действительно

имеет минимальное

значение . Р а с с ч и т а е м

Э

но ф о р ­

муле

(2-11) и принятых

в ы ш е значениях

в х о д я щ и х

в

нее

величии д л я разных

АС

:

ЬІ

ш 2,5

см,

Э

-0,025

к Г с м ;

Л С - 0 , 5

см ,3

— 0 , 3 7 5 к Г с м

йі

=

2,0

с м ,

9

«О,ООО

к Г с м ; Л £ = 0 , 0

см.Э

= 0 , О О О к Г с м ;

it"

1,5

см,

Э= - 0,375 к Г с м ;

л £ = - 0 , 5 см,Э=0,825

к Г с м ;

ЬС =

^ О

см,

3 =« - 0,500

к Г с м ;

Графическое

изображение

полученных

р е з у л ь т а ­

т о в

представлено

на

рис .

2 - 2 .

Д е й с т в и т е л ь н о , по

к р а й -

не-й

м е р е д л я

данной

з а д а ч и ,

равновесию

с т е р ж н я

, р а с ­

т я г и в а е м о г о

силой

Р

,

соответствует

минимум

п о т е н ­

циальной

энергии

системы

в форме ( 2 - 7 ) . В теории

уп­

ругости

д о к а з ы в а е т с я ,

что

это

положение я в л я е т с я

о б ­

щ и м

д л я

любых линейных

з а д а ч .

Н а м е ч а е т с я

следующий о б щ и е

ХОД

решения

м е ­

т о д о м перемещений .

1.

В соответствии

с

уравнением

(2-7)

з а п и с ы в а ­

ется

выражение

д л я

потенциальной

энергии

системы

в

в и д е :

s?

»

'

L

'

З д е с ь первый

интеграл

определяет

потенциальную

э н е р ­

гию деформации

тела,

второй и третий интегралы

-

потенциал внешних

объемных

Цх

( Q

и

поверхност ­

ных Pj. ,

Р„

)

сил.

В

уравнении

(2-13)

U

, V

-

н е ­

известные проекции перемещений любой точки те л а на

оси ЗГ f у

; Qx

t Qу

-

проекция

объемных,

a R^.Py -

проекции

поверхностных

сил, приложенных

в

любой

т о ч ­

ке т е л а ,

на оси X , у .

и,

V

Из

всех

мыслимых

значений

перемещений

весия тела,

удовлетвораюшими уравнениям ( 2 - 2 ) , будут

т е , которые

сообщают потенциальной энергии

системы

тационарное

(минимальное)

значение .

2. Решение уравнений

( 2 - 1 ) , выраженных

через

п е р е м е щ е н и я , записывается

в форме:

Х -1655

21

(2-14)

г д е : 0.i

, ß{

-

неизвестные

коэффициенты,

Jl(x,y),

% fa, У)

-

Функции

координат

X

,

у

,

к о ­

торые назначаются так , чтобы были соблюдены

условия

неразрывности перемещений. Запись решения

уравнения

(2 - 1)

а в и д е

(2-14)

предполагает,

что выполняются

граничные

условия,

з а д а н н ы е

в

перемещениях .

3. Если

в

уравнение д л я потенциальной

энергия

системы

(2-13)

подставить

значения

перемещений

из

выражения (2 - 14), то неизвестные

коэффициенты О-і

,

ß.-

о п р е д е л я т с я из

условия

стационарности

величины,?.

^

=

0

ЭЗ _ 0

з

і-і,2,Ъ,...,пг

.

(2-15)

2dL

U

Точные решения получаются при /71—«^; при конечном

значении

числа

ЛІ

решение

б у д е т приближенным.

4 . При известных коэффициентах

О-і ,

ßi

, в ы р а ­

жение (2-14) позволяет получить искомые значения

компонент

перемещений любой точки т е л а

U

,

V

,

Дія решения

з а д а ч и

м е т о д о м

перемещений

и с п о л ь з о ­

вались

уравнения равновесия

( 2 - 1 }

с

учетом

граничных

условий (2-5) • Значение компонент деформаций,

соответ­

ствующих

найденным

величинам перемещений,

о п р е д е л я ­

ется из геометрических уравнений (2—2). Значение

к о м ­

понент

напряжений

м о ж е т быть

получено,

п р е д с т а в л я я

физические уравнения

( 2 - 3 )

или

(2-4)

в ф о р м е :

-

д л я

плоского

напряженного

состояния

+

I

\

(2-16)

Т

-

Е

Y

Таким

образом, з а д а ч а

р е ш е н а .

П р е д е л ы

примени­

мости

приведенного решения

ограничиваются

рамками

линейной теории упругости, т , е . анализом

сплошных,

однородных,

изотропных

и

упругих

т е л .

§ 3 .

Ф и з и ч е с к а я

с у щ н о с т ь

м е т о д а

к о н е ч н ы х

э л е ­

м е н т о в

и в ы в о д

о с н о в н о ­

г о

у р а в н е н и я

В е с ь м а перспективным

д л я

совершенствования

приемов р е ш е н и я з а д а ч

теории

упругости

явилось

и с ­

пользование

матричной

формулировки

д л я

основных з а ­

висимостей.

В теории

с о о р у ж е н и й

д л я с т е р ж н е в ы х

систем э т о позволило разработать

д о с т а т о ч н о

точные

приемы ,

пригодные д л я

расчетов

с

помощью

Э Ц В М

( А . Ф . Смирнов, 1958;

А.П.Филинj 1966

и д р . ) .

Д а л ь н е й ш е е развитие

этих

м е т о д о в

связано

с

идеализацией сплошной

с р е д ы и

представлением ее

в в и д е

р е ш е т ч а т о й

системы,

которая

р а с с ч и т ы в а е т с я

обычными

м е т о д а м и строительной

механики,

а

получен­

ные р е з у л ь т а т ы

в ы р а ж а ю т с я

через

н а п р я ж е н и я

и

п е ­

ремещения,

свойственные з а д а ч а м

теории

упругости.

Однако, т а к а я аппроксимация

в е с ь м а

груба

и

д л я

п о ­

лучения д о с т а т о ч н о

точных

решений

т р е б у е т с я

исполь ­

з о в а т ь

м о д е л и ,

составленные

из

р е ш е т ч а т ы х

э л е м е н т о в

с в е с ь м а

густой

сеткой

(äC.W. Chough ,

I 9 6 0 ) .

В м е т о д е

к о н е ч н ы х

э л е м е н т о в

и д е а л и з а ц и я

с п л о ш н о й

с р е д ы

з а к л ю ч а е т с я

в е е

з а м е ч е

с и с ­

т е м о й

п л а с т и н ч а т ы х

и л и

о б ъ е м ­

н ы х

э

л е м е н

т о

в

.

Суть

м е т о д а

з а к л ю ч а е т с я

в т о м ,

что

сплошную

с р е д у рассматривают

как

состоя -

Шую

из конечного

числа

отдельных

элементов,

вплот ­

ную

прилегающих

д р у г

к д р у г у и шарнирно скреплен ­

ных

м е ж д у собой

в вершинах этих

элементов*

Форма

ваются в

некотором

расстоянии от

приложенных

н а г р у ­

зок, г д е

значениями

напряжений или перемещений, в о з ­

никающих

от этих нагрузок, можно

пренебречь.

Форма

рассматриваемой

области

или

е е участков . Д л я

плос -

кой

з а д а ч и

наиболее

простые

решения получаются

при

треугольной или прямоугольной форме э л е м е н т о в .

Сплошная

среда» р а з д е л е н н а я на

э л е м е н т ы ,

к а ­

з а л о с ь

бы

о б л а д а е т

значительно большей

п о д а т л и в о ­

стью,

что

приведет

к искажениям

в

распределении

напряжений

и деформаций

. Для т о г о ,

чтобы

э т о г о

не

произошло,

необходимо

наложить

определенные

у с л о ­

вия, приводящие

к

идентификации

н а п р я ж е н н о - д е ф о р ­

мированного

состояния

с р е д ы , разделенной

на

э л е м е н ­

т ы ,

и

сплошной

с р е д ы .

Это

д о с т и г а е т с я

требованием

соблюдения

условия

сплошности (неразрывности

п е р е ­

м е щ е н и й ) ,

т . е . р а з д е л е н и е

с р е д ы

на элементы не Со ­

провождает ся

ее р а з р е з о м ,

элементы

не

являются

о т ­

дельными

кусками,

а выделяются

из

сплошной

с р е д ы

д л я

рассмотрения

в

них напряженно—деформированно­

го состояния

М а т е м а т и ч е с к и

э т о условие

выполняется

в т о м

случае,

к о г д а

стороны

элементов,

скрепленных

шарнирно,

в

вершинах, будут

д е ф о р м и р о в а т ь с я

т а к ,

чтобы

перемещения

д в у х бесконечно

близких

точек,

принадлежащих соседним элементам, отличались на

бесконечно малую величину. Таким

образом,

сплошная

с р е д а после

разделения на

элементы

не

теряет

основ ­

ного качества,

по - прежнему о с т а е т с я

с п л о ш н о й ,

составленной из отдельных

элементов

конечных

р а з ­

м е р о в . В э т о м

основное

отличие физических

положений

м е т о д а конечных

э л е м е н т о в

от м е т о д о в ,

основанных

на

стержневых

аналогиях,

В общем

случае с р е д а

может

быть

неоднородной

по

своим механическим

свойствам .

Р е ш е н и е значитедь -

но упрощается,

если

разбивку на

элементы

произво­

д и т ь так,

чтобы

в пределах

к а ж д о г о

э л е м е н т а учас ­

ток с р е д ы можно было бы рассматривать

как

о д н о ­

родный .

Причем,

любой

д р у г о й элемент,

оставаясь

т а к ж е

однородным,

м о ж е т

характеризоваться

своими

показателями механических свойств, отличными от

о с ­

тальных .

Таким образом, система элементов будет

в

целом представлять

неоднородную

с р е д у .

С некоторой степенью приближения м о ж н о

р а с ­

сматривать напряженно - деформированное

состояние

среды при отклонении на ее участках зависимости

н а ­

пряжение

- деформация

от

линейной. Т о г д а

решение

о суще ст вляется

путем последовательных

приближений:

параметры среды корректируются в зависимости от

н а ­

пряжений» действующих на отдельных ее участках .

Рассмотрим

общее

решение

плоской

з а д а ч и

м е ­

т о д о м конечных

элементов . Д л я простоты

ограничимся

сначала

анализом

сплошной,

однородной,

изотропной

и упругой

с р е д ы .

В

д а л ь н е й ш е м

б у д е т показано,

что

эти условия не

являются

о б я з а т е л ь н ы м и .

Пусть имеется некоторое тело SI

,

ограниченное

любой (кривой»

ломаной

и т . д . )

границей

L ( р и с . 2 - 3 ) .

Н а тело

действуют

поверхностные

Р

и

объемные

Q

силы (на рис, 2-3 объемные силы не представлены,

чтобы не

з а г р о м о ж д а т ь

ч е р т е ж ) ,

вызывающие

его

д е ­

формацию

д о равновесного

состояния. Это

состояние

на рис. 2—3 показано пунктиром. Примем

смешанные

граничные

условия

(как э т о , обычно,

б у д е т

иметь

м е с ­

на части контура

Lp

з а д а н ы силы

и неизвестны

п е р е ­

мещения;

на части

контура

перемещения

и з в е с т ­

ны

(например,

ü

,

V

равны

нулю) и неизвестны р е ­

активные

силы.

Р е ш а е м з а д а ч у

м е т о д о м перемещений

и о п р е д е л я е м

перемещения любой

точки т е л а .

К а к

было

показано

в

п р е д ы д у щ е м

параграфе, при

известных

компонентах

перемещений

м о ж н о о п р е д е ­

лить

компоненты

деформаций и

напряжений.

П р е д с т а в и м

и с с л е д у е м о е

тело

в в и д е

системы

элементов,

количество

которых

о п р е д е л я е т с я

конечной

величиной

^эл

* В общем случае элементы

могут

иметь разную

форму и

р а з м е р ы ,

в

условиях

плоской

з а д а ч и

удобнее

производить

разбивку, выбирая

э л е ­

менты одинаковой формы (треугольные или

п р я м о у ­

гольные),

хотя в

некоторых

случаях

( г л а в а

1У)

при­

х о д и т с я

идти

на

усложнение,

п р е д с т а в л я я тело

в в и ­

д е комбинации

э л е м е н т о в разной

формы . В

н а с т о я щ е й

работе в качестве основной формы

элементов приняты

треугольники. Н а

р и с .

2 - 4 показана схема

разбивки

и с с л е д у е м о г о

т е л а

на

траугольные

э л е м е н т ы .

Р а з б и в к а

т е л а

на

элементы

производится

т а к ,

верхности, оказались в узловых точках,

объединяющих

вершины элементов .

Р а с п р е д е л е н н ы е

нагрузки

з а м е ­

няются эквивалентными сосредоточенными силами и

прикладываются

в

узловых

точках .

о б о з ­

Н е и з в е с т н ы е

перемещения

узловых точек

начим

ч е р е з

% Vi

, г д е

і - 1,2IZ>... M ]

M

-

число

узловых

точек

системы

( д л я

с х е м ы ,

показан ­

ной на рис . 2-4,

N

=

23) .

В

соответствии

с

(2—14)

б у д е м

искать непрерывное

поле перемещений, т . е .

компоненты

перемещений

любой точки

тела,

в

в и д е :

т -

г

п

Vi

ix,

y j

j

г д е

fi

(x,y)

;

#

( x,

y )

-

функции

координат

x

, y ,

удовлетворяющие

условиям

неразрывности

п е р е м е щ е ­

ний.

Таким

образом,

в в о д и т с я

условие,

что

непрерыв ­

но© поле перемещений в и с с л е д у е м о й области

вполне

определяется

перемещениями вершин

элементов, с о с ­

тавляющих эту область.

Придерживаясь

х о д а

решения,

изложенного

в

п р е д ы д у щ е м

нараграфе,

запишем

обычное

выражение

д л я

потенциальной

энергии

деформации

и потенциала

внешних

сил в условиях плоской з а д а ч и :

^=Т^Ц(4

+6l-2J4èx6yH?xy]d&

(2-19)

W'=11'{QxU*QuV)da-*J(Px u

+ Pyirjd'L

.

( 2 - 2 О )

Si

L

Р а с с м о т р и м

подробнее

эти в ы р а ж е н и я .

П о д с т а в и в

в (2-19) вместо компонент напряжений компоненты

деформаций

из (2-16)

или (2 - 17),

а з а т е м

вместо

компонент

д е ф о р м а ц и й

компоненты

перемещений Из

(2~2),

можно показать,

что потенциальная

энергия

деформации

является

квадратичной

функцией

п е р е м е ­

щений.

Поскольку,

в

соответствии

с

(2 -18), поле п е ­

ремещений определяется через перемещения узловых

точек,

то U будет

являться

т а к ж е

к в а д р а т и ч н о й

функцией

иі,Ѵі

вида:

Ѵ*Ъ,

№"* *ßrf+2na&

) .

(2-21)

Можно

показать,

что неизвестные

коэффициенты

,

ßc

fi

вполне

определяются х а р а к т е р н о - •

тиками

деформируемости

с р е д ы (из физических

у р а в ­

нений)

и координатами

вершин

элементов

(из

функций

£ С * , у )

. У/ С*, у)

) .

И з

выражения

(2 - 20)

видно,

что W

е с т ь

линей­

ная

функция

п е р е м е щ е н и й

и

,Ѵ,а,

с л е д о в а т е л ь ­

но,

учитывая

(2 - 18),

и п е р е м е щ е н и й

и і , Vi,

:

W ( ? x i

uL

+ fyi

П),

(2-22)

1-1

г д е à-xi

'и 7yi

- компоненты

сил, составленные

из к о м ­

понент

оя'с,

Pxlj

Qyi,

РУ1

и приложенные

в

верши­

нах

элементой .

Т а к и м образом,

в

соответствии

с общим

х о д о м

решения, изложенным в п р е д ы д у щ е м

параграфе, в н е ­

явной форме

использована

подстановка

выражения

(2-18)

в

(2-19) и

( 2 - 2 0 ) .

Дальнейший

анализ

у д о б ­

нее

вести

в

матричной

записи . Основные

с в е д е н и я из

а л г е б ры матриц,

д о с т а т о ч н ы е

д л я понимания

после ­

дующих преобразований, даны в приложении 1.

Пусть \и\

есть вектор,

составленный

из к о м п о ­

а

- транспонированный

в е к т о р , т а к ж е составлен ­

ный

из компонент

перемещений

( м а т р и ц а - с т р о к а пере ­

мещений) :

Т о г д а выражение

(.2-21) в

матричной

записи примет

в и д :

j

т

U. = Т { U |

[ К ] {Ц} ,

(2-25) -

г д е

[ К ]

-

матрица размерностью 2 A / * 2 V

Из

условия

т о ж д е с т в а

(2~25) и (2~21) общий вид

матрицы

[ К ] запишем:'

"о(1

0 . . .

о тх о ... 0

0 o L 2 . . o o y 2 . . . 0

0

0 . . . <*„oo ..

#л/

(2-26)

C O . .

0 ^ 0 . . . 0

о j r 2 . . . O O ^ j . .. 0

0

0 . . •

Гы°0.

Зыражение

(2-22) в матричной

записи

б у д е т :

(2-27)