книги из ГПНТБ / Опыт оценки устойчивости склонов сложного геологического строения методом конечных элементов и экспериментами на моделях

массива {PF} . При расчете

узловых сил,

обусловленных

действием

собственного

веса породы,

предполагает­

ся для общности, что массив

горных пород является

существенно

неоднородным,

н порода

в пределах

каждой пары треугольных

элементов характеризуется

ных

элементов

распределяется по 1/3

на их

вершины

в виде

сосредоточенных

усилий. Вес

заполнителя

т р е ­

щин, в данном случае не принимается во внимание.

Если по условиям

расчета действие

объемных

сил

учи­

тывается только в ограниченной области массива,

т о

объемные

веса

породы на участках,

расположенных

з а

пределами

этой области, задаются равными О.

Ojn&e^ejieHHe матвип_жесткости §лемедгод блоков

g_Tj?ei4HHj_ ф/уэми]эрв^нже_ обо^щднн^й^м^т^риды

ж е с т ^ о с -

ХИ.

Обобщенная

матрица

жесткости

системы,

обозна­

ченная

з д е с ь

символом

[С]

, в

соответствии

с т е о ­

рией м е т о д а конечных

элементов

есть

матрица

коэффи­

циентов уравнений , определяющих связь

м е ж д у компо­

нентами узловых снл и компонентами перемещений

у з ­

лов. Элементы

матрицы [Q.

вычисляются

суммирова­

нием членов матриц жесткости отдельных элементов,

треугольных — [R]

,

или прямоугольных - [JR]

,

вы­

полняемым

по особым

правилам.

Остановимся

на

этом

подробнее»

элемент П К

,

Рассмотрим

некоторый треугольный

имеющий индекс

H = О (рис. 5—£*).

Предположим,

что д л я этого

элемента

определена

матрица

ж е с т к о с ­

ти

[R]

. Приведем

выражение,

из

которого

ясен -

смысл и принцип

нумерации

элементов

этой матрицы.

первой

строки

матрицы

[R]

и

членов

обобщенной

м а ­

трицы

жесткости

[С]:

R[l,1]-С[І,5],R[i,2] — С[І,9]

R[U]-C[I,B], R[f.4]-Cff,l4], R[1.5)-C[r,«J,RLl,6J-C[I,l5l '

Д л я

элементов

второй

строки

матрицы

[RJ

полу-

ч а е м :

R[2,l]~CLJ,f], R[2,2]-C[l.5],R[23]-C[j,2j

,

R[2,4]-C[JJ0],R[2,5]-C[J,<fl,R[2,B]-»C[J,«J.

Для т р е т ь е й строки: R[3,fl-С[К,4],

Ш,2]~С[К,8]

R[3,3]-Cfr,5], R [ 3 , 4 M [ K , t f ] ,

R[3 J 5] - C[KJ7j,RD,ej - C[Mi .

Отметим в аж н ое

обстоятельство,

что

д и а г о н а л ь ­

ные

элементы

первых

трех

строк

матрицы |R] (R LU]

,

R[2,2]j

R [3,3])

располагаются

в пятом

столбце обоб ­

щенной

матрицы

ж е с т к о с т и [С]

.

При

распределении

элементов четвертой,

пятой

и ш е с т о й

строк

матрицы [R3

сохраняется

т а

ж е

с и с ­

т е м а переадресации

с

т о й

лишь разницей,

что

индекс

J

з а м е н я е т с я на І + Я Р

,

J - на

,

К

-

на К + АГР

. В

этом

случае диагональные

ч л е ­

ны

матрицы [R3

( ^ [ 4 , 4 ] ,

R [ 5 , 5 ] ,

R [ 6,б]

)

суммируют ­

ся с элементами 14 - го

столбца

матрицы

[С]

.

Ана­

логичные р а с с у ж д е н и я

можно провести,

рассматривая

треугольные элементы

с

индексом

H

= 1 (рис, 5-56).

Окончательно взаимосвязь в нумерации элементов

матриц

[R]

и

[С]

устанавливается

при

пом о щи

вспомогательного числового

массива

[KU]

, и м е ю щ е ­

го

р а з м е р

2 х18. Обозначим

произвольный член

м а с с и ­

ва

[Ш] -

RU [H, В]

( в т е к с т е

программы

н а ­

р я д у

с символом

В

используются

идентификаторы

86

и

В 12)

и

приведем

численные

величины

э л е ­

ментов

э т о г о м а с с и в а

в соответст вин

со значениями

индексов

И

и

Ь ( з д е с ь

индекс

H

п о - п р е ж н е ­

му

определяет тип

треугольного

э л е м е н т а ) :

Таблица 5-1

1

2

3

4

5

8

7

8

Ѳ 10

П

12

13

14

15

18

17

18

0

5

Ѳ 8

І 4

18

15

1

5

2

ÎO

14

11

4

8

5

13

17

14

1

5

8

9

14

17

18

2

5

6

11

14

15

1

4

5

Ю

13

14

Основное уравнение метода конечных элементов,

составленное

для

отдельного фрагмента трещины, з а ­

писывается

в

следующем виде:

—

F B I*

•

JR[U]

-JRlUJ

If [I]

FLJ]

Чк)

ад

F[L]

1 Uli]

ПШ

U[I*JfP]

Ftr*jfp]

UEHTPJ

JR&.1]

JR. C8.8J

г д е

{F}

J

-

вектор

компонент

сил,

приложенных к

в ершинам

прямоугольного

элемент a IJKL.

Элементы

матрицы

жесткости

прямоугольного

элемента

[JR]

рассчитываются в соответствии с

з а ­

висимостями (4-78 )

Ш (4 - 78) .

При

формировании

обобщенной

матрицы

ж е с т к о с ­

ти [С]

по

аналогии

с предыдущим

используются

вспомогательные

числовые

массивы

[MU]

и [J^Sj

.

Члены этих массивов располагаются в двух строках.

Номер строки О или 1 при обращении к ним выбира­

ется

в соответствии

с

типом прямоугольного

элемен ­

та. Поскольку 'длинные* стороны элементов трещин

могут

располагаться

различным

образом

но

отношению

к системе номеров узлов в зависимости

от типа э л е ­

ментов

(TJ

«* О

или TJ

»

1), принцип

нумерации,

при­

нятый

в записи

( 5-14),

непосредственно

нснользует-

ся при распределении членов матриц

элементов,

имеющих

индекс

TJ

=

1.

Для

прямоугольников с

ин­

дексом TJ

=

О

сохраняется т а

ж е

форма записи

м а ­

трицы

[JR]

,

но

при

формировании

матрицы

[С]

о с у ­

ществляется

круговая перестановка

индексов

элемен ­

тов

матриц

{F]

И \и)

э

* именно: индекс

I

заме ­

няется

на

L

,

J -

на I

, ....

І+ ЯР

-

на

L+JTP

и

т „ д .

Дополнит ель н ая исходная

информация

к этому

этапу расчета: К17[0'і , 1 -<8]

-

вспомогательный

числовой массив (таблица 5-1);

Р[Г-4 ,1-4]

-

число ­

вой массив,

используемый

при

вычислении

элементов

матриц

жесткости

фрагментов

трещин:

2

1

- 1

-2

1

2

-2

-

I

- 1

- 2

2

1

- 2

- 1

1

2

JKt7[0H , І-ІА]

, ЛГ5[0-< ,

-

вспомогательные

числовые массивы, используемые при формировании

матрицы

[С]

6

3

2

1

О

- 1

2

3

Ѳ

8

11

12І

О

3

4

1

ѳ

12

13

i q )

О^дэедѳ ление номеров компонент

пер§м_ешени_й,

1^ли^нах_от _0,_ Решение

з а д а ч о

н а п р я ж е н н о - д е ф о р ­

мированном состоянии массивов

горных пород

в и з л о ­

женной

постановке

о с у щ е с т в л я е т с я

м е т о д о м

п е р е м е ­

тальные или вертикальные компоненты перемещений

о т ­

дельных узлов,

расположенных,

как

правило,

на г р а ­

нице расчетной

области, з а д а ю т с я

равными

О.

Н о м е р а

этих компонент фиксируются в массиве {-^2}

и

и с ­

ключаются

из перечня

номеров

воех

компонент

п е р е м е -

щ е ний, в

результате

чего формируется маосив

{J^PU]

рые

определяются

в д а л ь н е й ш е м при решении

с и с т е ­

мы

уравнений

м е т о д а конечных

элементов .

Дополнительная исходная информация: UZ-

- к о ­

личество компонент

перемещений

,

з а д а н н ы х равными О;

> T 2 . | J : U ï ]

~ перечень номеров

этих компонент;

номера располагаются в порядке

возрастания

их

з н а -

•гений.

Решение системы линейных

уравнений и

о п р е д е ­

л е н ^

перемещенийjrajioe^

д л

я

решения

системы

линейных уравнений могут быть использованы

различ ­

ные м е т о д ы . Следует

отметить,

что представленная в

форме (5 - 12), в отличие от

традиционной квазидиаго—

нальной, обобщенная

матрица ж е с т к о с т и

[С]

не

я в ­

ляется

симметричной.

Поэтому, прямая р е а л и з а ц и я

р е ­

шения

системы уравнений

метод а ми, использующими

симметрию матриц,

в

этом

случае

н е в о з м о ж н а , Часто

применяются д л я этих

целей

известные

итерационные

м е т о д ы (например, методы Гаусса, Зейделя

и т , д , ) .

При решении р я д а

з а д а ч

был использован и

д а л

х о ­

рошие

результаты

м е т о д Зейделя

с

неполной

р е л а к с а ­

цией. Процедура расчета этим методо.м сводится к

определению невязок

д U

в значениях

компонент

п е ­

ремещений по формуле :

(S)

JA-

(S4) «

(?)

д17 =

C[I,JA]

I c i ^ j j u W ^ i c ö . j j i / t K j - f ü ]

(5-15)

J=|

J=JA

г д е

S

- номер

итерации,

и вычислению

величины компоненты перемещения в

приближении:

(5*0

(S)

fs)

=1/Ш - RELAX -AU

,

(5-16)

г д е RELAX

- множитель

релаксации.

Параметр

JA

в

выражении

(5-15) принимает

значение JA

=

5 при вычислении невязок в величинах

горизонтальных

перемещений и JA

= 1 4

при

о п р е д е ­

лении

невязок

в

значении

вертикальных

компонент

п е ­

ремещений . Поясним это . При записи обобщенной

м а ­

трицы ж е с т к о с т и [С]

в

квазидиагональной

форме

расчет

невязок

по

формуле,аналогичной

(5 - 15), п р е ­

д у с м а т р и в а е т

операцию

деления

на диагональные

э л е ­

менты

матрицы

[С]

. К а к

отмечалось в

8 3,

при и с ­

пользуемом

представлении

матрицы

[CJ

эти э л е м е н ­

т ы

располагаются

строго

определенным

образом;

в

строках

верхней половины матрицы

[С] , г д е

р а з м е ­

щ а ю т с я

коэффициенты уравнений,

связывающих

г о р и ­

зонтальные компоненты сил с перемещениями

узлов,

перемещений

узлов, эти элементы

в с е г д а

имеют по ­

р я д к о в ы й

номер в строке

JA = 5.

Аналогичное

прави­

ло справедливо д л я строк

нижней половины

матрицы

[С] , элементы которых используются

при

вычислении

вертикальных

компонент

перемещений,

но индекс

JA

и

этом случае

принимает

значение JA

-

14.

Н о м е р а

компонент

перемещений

узловых

точен,

входящих

в

" з в е з д у * некоторого узла с номером I

,

выражений

Ü5-1C)

и

(5—11). В

процессе

счета

ф о р ­

мально

могут быть получены

значения номеров, мень ­

ш и е

1 или превышающие Я?2

, то

есть

л е ж а щ и е

з а

пределами

интервала

значений

и н д е к с о в

элементов

массива {U} . Чтобы

не допустить

э т о г о ,

в програм ­

ме

предусмотрен

контроль

значений

и н д е к с о в .

Множитель

релаксации при решении

з а д а ч

т а к о г о ти­

па принимается в интервале от

1,75

д о

1,98.

В

процессе

решения

системы

уравнений

через

к а ж д ы е

SO итераций

производится

вывод

на печать

максимальных невязок в значениях перемещений» что

позволяет

судить

о

скорости

сходимости

решения и

д а е т возможность

оперативно

контролировать

этот

процесс.

Дополнительная

исходная

информация:

.VITER

-

з а д а н н о е число

итераций

при р е ш е н и и

с и с ­

т е м ы линейных

уравнений

м е т о д о м

З е й д е л я ;

RELAX

- множитель

релаксации (RELAX «1,7 5 +• 1,95).

Pj^4eT_H anpjtac § H H J _ B _ Э пемент^р; _т

fiejmjfk_^SfiBe^~

тнщрвка. aej£gj?ManHjyiHj4X J&OKmzrenej^

Напряженное

состояние

ф р а г м е н т а

трещины

характеризуется

нормаль­

ной

и касательной

составляющими

полного

напряжения,

которые определяются через проекции перемещений

узлов э л е м е н т а на локальные

оси координат по ф о р м у ­

ле ( 4 - 9 0 ) . Ка к видно из

этих

формул,

величины

н а -

пряжений изменяются по д л и н е

элементов;

поэтому,

д л я к а ж д о г о

элемента рассчитываются

по

д в а

з н а ч е ­

ния

нормальных (

JS[J/",3] ,

JS[.W,4]

) и

каг-

сательных

(

JS[Af,0, JS[Jf,2]

)

напряжений,

д е й ­

ствующих

в

узлах

элемента,

К р е м е

т о г о ,

о п р е д е л я ю т ­

ся средние по элементам значения напряжений

и

(JS[Af,6j

,

JS[iT,5]

) .

Из

перечисленных

к о м п о ­

нент напряжений формируется массив J"S[l:-*fT;

1:6]

t

который

выводится на печать.

Анализ

напряженно - деформированного

состояния

производится

д л я к а ж д о г о

элемента

трещин,

причем

на основе этого анализа подвергаются

корректировке

значения

параметров

деформируемости

KT

и КіГ

,

объединенные соответственно в массивы {KT}

и {Y.iî\ •

Если

при

деформации

массива

горных

пород

п р о ­

исходит раскрытие трещин в пределах

отдельных

э л е ­

ментов,

т о

д л я

этих

элементов

параметры

KT

и

КАТ

полагаются равными О. При

сжатии

трещины

значения

действующих

касательных

напряжений

с о п о с т а в ­

ляются с величиной предельного сопротивления

с д в и г у

заполнителя

трещины

%"f

, и

при

выполнении

у с л о ­

вия

X«.

>

Х"£

(смотри

§

5

главы

второй)

значения

параметра

КГ

заменяются

на

KS

.

Ука ­

занные проверки производятся с использованием

с р е д ­

них

по элементам

значений

напряжений

6jf

и Х ^ .

Дополнительная

исходная

информация:

FJ, CJ jj:jiTJ]

-

коэффициенты трения

и

сцепление

з а ­

полнителя

трещин .

Р_асчѳт напряжений, в. длементах J5 локов_породы.

Д л я

к а ж д о г о треугольного

элемента

квазисплошных

участков

м а с с и в а Вычисляются

значения напряжений

£ х ,

6у

и %іу

,

которые

зависят от

перемещений

вершин

элемента

и деформационных

показателей

H O -

р о д ы . К а к

известно,

напряжения

в

п р е д е л а х

любого

треугольного

элемента при

используемом

з д е с ь

виде

функции перемещений являются постоянными и поле

напряжений

имеет

разрывы

на гранях элементов .

Чтобы

с г л а д и т ь

в

некоторой

степени

влияние

этого

обстоя ­

т е л ь с т в а

и облегчить

обработку

получаемой

ииформа—

узлах, различно и поэтому в процессе

расчета формиру ­

ется

массив

{УЕ}

, в котором

фиксируется э т о

число

д л я

к а ж д о г о

узла. По значениям напряжений

&х

,

£^

я

T

J

в

узлах определяются главные

н а п р я ж е ­

ния

04

и

É>2

и

коэффициенты

з а п а с а

устойчивости

KTAU -

В этой части программы приняты

следующие

о б о ­

значения:

STR[l3j -

матрица компонент напряжений,

д ѳ й~

ствующих

в треугольном

э л е м е н т е ,

в

которой фиксируются

величины

н а ­

пряжений

6*

»

и

Ъху

;

pSX^lVPjj.'S]

значения

напряжений

б*. ,бу ,Хя^

6, 1 62

, приведенные

к

узлам*;

номер строки

соответствует

номеру

узла.

Вывод, на . пезать, результатов.,р.ас.чета.

При

в ы ­

полнении

расчетов

производится вывод

на

печать

всей

исходной

информации (контрольный), некоторых

м а с с и ­

счета,

промежуточных

( Л/Х <ЛШМС

) и

окончатель ­

ных

( WC'ATUMC

) результатов р а с ч е т а (порядок

вывода

на

печать

ясен

из т е к с т а

программы .

Р е з у л ь т а т ы расчета представляются в форме

т а б ­

лиц,

которые с о д е р ж а т

следующую

информацию:

а)

по элементам т р е щ и н :

-

значения

и н д е к с а

I

элементов;

- максимальные, минимальные

и средние

по

э л е ­

ментам значения напряжений

и 1»^

,

опре ­

д е л я е м ы е

по формулам

(4 - Ѳ О);

-

параметр

J

, характеризующий

н а п р я ж е н н о -

деформированное

состояние

э л е м е н т о в ;

J

« О •

Трещина

закрывается

н Х>^<Ъ^

,J

= 1

-

трещина

закрывается

H X ^ > X J

,

J

=* 2

-

трещина раскрывается ;

б)

по узлам:

-

номера

узлов I

;

Uli]

-

значения горизонтальной

и

вертикаль ­

ной и[і+ ^ГР]

компонент

перемещений узлов;

-

величины

напряжений

бх

, б у

»^Х У

и

і

-

коэффициенты з а п а с а устойчивости

KTAU

, оп ­

р е д е л я е м ы е

соотношением

(2 - 45) .

8 5. М о д и ф и к а ц и я

п р о г р а м м ы

д л я

р а с ч е т о в

к в а з и с п л о

ш -

н ы х

м а с с и в о в

г

о р н ы х

п о р о д

При расчете массивов горных пород, рассечен -

ных

трещинами, з а

основу был принят

тип

' з в е з д ы "

произвольного

узла

I

,

приведенный на

рис. 5-Зв.

Максимальное

число узлов

в

' з в е з д е *

д л я

т а к и х

с р е д ,

как

о т м е ч а л о с ь

ранее,

равно

9,

что определяет

р а з ­

мер

строки

обобщенной

матрицы

ж е с т к о с т и

[С]

(18

элементов

в с т р о к е ) . Д л я

квазисплошных

массивов

при

регулярной

системе

разбивки

на треугольные

э л е ­

менты

характерен

тип

' з в е з д ы ' ,

показанный на

рис.

5-4,

число

узлов в

' з в е з д е '

равно

7.

Это

д а е т

в о з ­

м о ж н о с т ь

уменьшить р а з м е р

строки

матрицы LQ

д о

1 4 элементов, что приводит к существевной

экономии

памяти

машины . Д л я расчета

перемещений

и н а п р я ж е ­

грамме

необходимо

с д е л а т ь

следующие

изменения:

а)

из

описания

исключаются:

-

переменные

KS

, Т J

;

-

массивы

{KT} ,

б)

из

перечня исходной

информации

исключаются:

— переменная

KS

;

- м асси вы {KT}, {К Я) ',

в) при задании исходной информации, не исключен­

ной

из перечня:

-

Яі =

1 ; (JfJE}= {0,0} ;