книги из ГПНТБ / Опыт оценки устойчивости склонов сложного геологического строения методом конечных элементов и экспериментами на моделях

Остановимся на правилах нумерации элементов и

особенностях

определения

номеров

их

вершин.

Обратимся к схеме (рис . 5-16), на которой

в ы д е ­

лим д в а

четырехугольника,

например 5-4-18-19

и

9-8-

22-23 (числа обозначают номера их

в е р ш и н ) .

Первому

четырехугольнику

присвоим

индекс

1 = 5 ,

второму

-

= 8 . Распространим это правило

на всю

систему

э лI е м е н т о в . Т о г д а

четырехугольники,

расположенные

в

первом (верхнем)

р я д у ,

б у д у т

иметь

индексы

от

2 д о

14,

во

втором

р я д у

-

от

16

д о 28

и т , д ,

в по ­

I

с л е д н е м

р я д у -

от

86 д о

98.

П е р е й д е м

к

схеме

( р и с .

5-1 в ) ,

на

которой

часть

четырехугольников

р а з ­

д е л е н а диагоналями

на треугольные

э л е м е н т ы . Д л я

обозначения к а ж д о г о

из

пары

таких

треугольников

используется

второй

индекс

,

принимающий

з н а ­

чения

»O д л я треугольников,H расположенных

анало ­

гично

Hэлементу

5-18-19,

и

=> 1 д л я

э л е м е н т о в

т и ­

па 5-4-18.

н б у д е м т а к ж е р а з л и ­

Элементы т р е щ иH

чать по типам (эт о важно,

поскольку "длинные*

с т о ­

роны этих элементов располагаются различно по

о т н о ­

шению к

системе

номеров

у з л о в ) ,

о п р е д е л я е м ы м

ин ­

д е к с о м

, который принимает

з н а ч е н и е

J

=

О д л я

о в в и д а

9-8-22-23 H

-

1

д л я

элементов т и ­

э л е м е н т T J

5-1 в ) . T J

Т

па 56-55-69-70

(рис .

При регулярной сетке разбивки номер любого

узла

( в то м числе

и значения

и н д е к с а

I

элементов)

определяется

номером

р я д а M

,

в

котором

располо ­

ж е н узел, и порядковым

номером

у з л а

в р я д у

M

по

формула:

против час овой стрелки) .

Т о г д а д л я любого

т р е у г о л ь ­

ного

э л е м е н т а системы,

имеющего и н д е к с

H «= О,

эти

н о м е р а о п р е д е л я т с я

аналитически через

р а с с ч и т а н -

(5 - 2)

Д л я треугольников,

имеющих

индекс

H =

1,

можно

з а п и с а т ь :

(5-3)

Эти зависимости

могут

быть

объединены

в в е д е н и ­

ем и н д е к с а

H

в

соотношения

(5-2)

и

( 5 - 3 ) .

Т о г д а

д л я

любого

треугольного элемента

номера узлов

о п р е ­

д е л я т с я следующими

формулами:

J = h A W - ( f - H H ,

(5-4)

К * І * Ш Г - Н

.

Н о м е р а вершин четырехугольных элементов, и м и ­

тирующих трещины, обозначим

символами I

,

J

, К

и L

(об;:од

т а к ж е

против

часовой

стрелки)

и

приве ­

д е м

формулы

д л я

их

определения:

J = I H

,

(5-S)

K a I * A W - 1 ,

Все полученные

зависимости справедливы

и

д л я

схемы, представленной

на

рис.

5-2.

8 3.

П р е д с т а в л е н и е

о с н о в ­

н ы х

м а т р и ц

и

с о о т н о ш е ­

н и й

Матрицы

обобщенных

сил

{F}

И перемещений

{и} п р е д с т а в л я ю т с я

в в и д е векторов,

имеющих

р а з ­

мер

I x МР2,

г д е NP2

-

удвоенное число

узловых

т о ч е к .

Установим правило

нумерации элементов

этих

в е к т о ­

ров.

Горизонтальным

компонентам

сил

присваиваются

номера, соответствующие

номерам

узлов, в

которых

сваиваются номера, равные сумме номеров

узлов,

в

которых

они приложены, и числа NP, г д е NP=N1PXNM

- о б щ е е

число узловых точек . Например,

горизон ­

тальной

силой, приложенной в узле 51 ( р и с . 5 - 1 в )

,

б у д е т элемент

вектора (г J

-

(г

51 ,

вертикаль ­

ной - р

[51+112] , т о

есть

[ібЗ] .

)Аналогичное

пра ­

вило'устанавливается

д л я

обозначения э л е м е н т о в

в е к ­

F

т о р а компонент

перемещений

(например,

U [бі] и

U

[івЗ]

-

соответственно

горизонтальная и

в е р т и к а л ь ­

{ U }

ная компоненты

п е р е м е щ е н и я узла

51).

....FDfl>2!ll

В общем виде м о ж н о

з ап и сать :

;{FHFfi],F[2],

,F^PH],F[VP]

FftfP*I],FWP*2]

>

f

горизонт.компоненты

сил

вертикальные

компоненты

сил

(5-8)

ш ь д а ш я ,

и[т]у№>

адч],и[^2],

иш]}

горизонтальные

компоненты

вертикальные

компоненты

перемещений

перемещений

(5-7)

К а к

указано

в

главе

второй,

основное

матричное

уравнение

м е т о д а

конечных

элементов (2 - 30) в

р а з ­

вернутом

в и д е

представляет

систему линейных уравне ­

ний, к а ж д о е из

которых связывает

значение

с о о т в е т ­

узле

I

,

с компонентами

п е р е м е щ е н и й

вершин

э л е ­

ментов, объединяющихся в этой узловой

т о ч к е ;

т а к о е

объединение

элементов

б у д е м

н а з ы в а т ь

д л я

краткости

" з в е з д о й *

узла I

. Число

узлов

в

" з в е з д е

" при с х е ­

м е

разбивки,

приведенной

на

рис.

5-1 в

( т о ж е на

схеме

рис. 5-2), м о ж е т

быть различным

и

составлять

максимум

9 узлов

(например,

д л я

узла

51).

Выделим

на расчетной

схеме

(рис,

5-1в) узел 51

и

вое

э л е м е н ­

т ы " з в е з д ы "

э т о г о

узла,

как показано на рис. 5-За.

Запишем уравнения, связывающие горизонтальную и

вертикальную

компоненты

силы

(

[SJ]

И

[l83] ) ,

д е й с т в у ю щ е й в узле

51,

с

перемещениями

вершин

F

F

э л е м е н т о в

" з в е з д ы * ,

придерживаясь

с л е д у ю щ е г о

правила: при записи

правой

части

уравнения

компонент-

т ы

перемещений перечисляются

в определенной

п о с л е ­

д о в а т е л ь н о с т и , начиная

с

горизонтальной

компоненты

лов

" з в е з д ы "

показан

(17

[38] ) . Порядок

о б х о д а у з ­

перемещения у з л а

38

на

рис.

5-36,

причем

в

ука—

цци

узловых

точек,

входящих

в " з в е з д у *

произвольно­

го-

у з л е с

номером

I

. При

регулярной

сетке

разбив ­

ки

э т о о с у щ е с т в л я е т с я

с помощью

аналитических

з а ­

висимостей,

приведенных

на

рис.

5-Зв. Д л я

большей

ясности полезно сопоставить рис. 5>-Зв и рис.

5-3а.

Отметим, что представленный на рис . 5 - 3в

вид

' з в е з д ы *

не

является

типичным,

в

частности,

д л я

узлов,

р а с п о ­

ложенных

в

квазисплошных областях,

' з в е з д а *

б у д е т

иметь

в и д ,

аналогичный

приведенному

на

рис,

5-4.

Кроме т о г о ,

совершенно

иные

типы

' з в е з д *

х а р а к т е р ­

ны

д л я узлов,

помещающихся

на

контуре

р а с ч е т н о й

области.

Н е т р у д н о

у б е д и т ь с я ,

что

м а к с и м а л ь н о е

ч и с ­

ло

узлов

в

' з в е з д е *

равно 9

(такой случай

был

р а с ­

смотрен, и, как видно из соотношений (5-8)

и

(5-9) ,

число

коэффициентов

и компонент

перемещ ѳ

ний

в

к а ­

ж д о м

из

уравнений

в

этом случае

равно

18).

Д л я

у з ­

лов, ' з в е з д а *

которых

с о д е р ж и т

м е н е е

9

т о ч е к ,

с о ­

храняется

т а

ж е

форма

записи

уравнений,

но при

ф о р ­

мировании

обобщенной

матрицы

ж е с т к о с т и

коэффициен­

т ы

при компонентах

п е р е м е щ е н и й

узлов,

являющихся

фиктивными

д л я

конкретной

' з в е з д ы * ,

автоматически

приравниваются

О. Если обратиться,

например,

к с х е ­

м е

на

рис.

5-4,

т о

фиктивными

узлами

в

этом

случае

являются

узловые

точки

с номерами

І~ H H

-1

и

П р е д с т а в и м

общую

форму

записи

уравнений

м е т о ­

д а

конечных элементов, принятую при составлении

в ы ­

числительной

программы:

F [I] - C[I,i]u[l-JOM]<I,2}U [НКИ . З] • UOWW H] •

+ С ( І Л ] - и й - а д + С І І , 5 ] - и [ І }

- C[I,6] - U[I *M]

•

*Ср*ДО,4}и[І-М> С[І +ЛГР,5]-ЩІ]

+ХР.6Ш + Ш ] *

-гС[І»АГ P,73-U[I

С[І *ЛГP,8J-U£l-fl* С[1*АГР.9]-и(Г*ЛШ"-(/*

+ C [ M P J 6 ] T J [ H i r J W

(5-11)

Установленный при записи

выражений

(5 - 10) и

( 5 - Ц )

порядок

нумерации

коэффициентов

уравнений

( а ими являются

элементы

обобщенной матрицы

ж е с т ­

кости)

определяет форму

записи

обобщенной

матрицы

ж е с т к о с т и

и правило нумерации

е е элементов . М а т р и ц а

с о д е р ж и т

АГР2

строк по 18 элементов в

строке

и

имеет

следующий вид :

С[1,1]

C[i,)7]

C[2,t7j

с а д

C[yP,2j •

С|)ВД

С[ВД]

С[УРЧ2]

5-

C p 2 - < J ]

ф " Р 2 Ч 2 ]

C[JTP2-mj

C[W24,18]|

ФГР2.1]

C[¥P2,2J

C[JifP2.l7j

ФГР2.І8]

§ 4 . Б л о к - с х е м а

р а с ч е т а

Аналитическое построение

решений

з а д а ч

о на ­

пряженно—деформированном состоянии

сложных с и с ­

т е м м е т о д о м конечных элементов отличается

четкой

в я д е подробной блок - схемы

представлен

на

р и с , 5 - 6 .

Н и ж е

б у д у т

д а н ы

комментарии

к

к а ж д о м у

бло ­

ку

алгоритма, з д е с ь

ж е

ограничимся

следующим з а ­

мечанием.

Р а с ч е т

выполняется в

несколько

циклов,

количество

которых

определяется

з а д а н н ы м

числом

iïUMZ . В к а ж д о м

цикле производится

полный

р а с ­

чет перемещений

и напряженного

состояния

системы

и

осуществляется

анализ

последнего,

на

основе

чего

в

массиве

выявляются зоны

предельного

равновесия

и

изменяются д е ф о р м а ц и о н н ы е показатели

породы бло

ков

и заполнителя

трещин

в эти;: зонах,

с переходом

с л е д у ю щ е м у

циклу

расчета . Такое

построение

р а с ч е т а

позволяет учесть возможность образования на

о т д е л ь ­

ных

участках

м а с с и в а

областей

предельного

р а в н о в е ­

сия

и количественно оценить это явление.

ВЦ2й_-"XCxpüiioj, HH^ojßMaujiHji

Порядок

в в о д а

и с ­

ходной

информации

ясен

из т е к с т а

программы

( П р и ­

ложение

2).

З д е с ь

отметим ту

часть

основного

м а ­

териала,

которая

имеет

«общий характер и использует ­

ся при" работе различных

блоков программы . Смысл и

правила

представления

д а н н ы х ,

не

указанных

в приво­

димом

ниже

перечне,

поясняется при описании

соответ

ствующих

блоков

программы.

Основная исходная

информация:

ИМ -

число

р я д о в

узлов;

ifif

-

число

узлов

в р я д у ;

Ji/UMC ""

з а д а н н о е

число циклов

р а с ч е т а ;

jfi

-

количество

элементов

т р е щ и н ;

JVR -

количество

пар треугольных

элементов,

объединенных

в соответствующие

четырех

угольники

(например,

пара

треугольных

элементов 5-4-18 и 5-18-19 на рис,5 - 1в,

объединенная

в четырехугольник

5-4-18-

NJEjj:AfJ,1:R]-

19);

двумерный

массив,

в

к а ж д о й строке

кото

рого

с о д е р ж а т с я : индекс Р

. о п р е д е л я ю ­

щий тип э л е м е н т а трещины

(принимает

значения О или 1), и

номер

э л е м е н т а ! ;

Х,У[1^Р]-

координаты

узлов;