Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Опыт оценки устойчивости склонов сложного геологического строения методом конечных элементов и экспериментами на моделях

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

10.49 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2811 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

коэффициенты

Л я м э .

Используя

формулу (2-7)» определяющую

и з м е н е

ние полной потенциальной энергии системы,

можно з а

писать:

— вектор

узловых

сил.

г д е

\$П о д с т а в иам

выражение

(4—Ѳ1)

соотношения

(4-67)

(4 - 6 8 К

Т о г д а :

(4-62)

Р е а л и з у е м

условие минимума потенциальной э н е р

гии;

выполнив

дифференцирование (4-62) »

с о о т в е т с т

вии

с записью

(4 - 39),

получаем:

или

ИНЫМ ,

г д е

З д е с ь

[ £ л

]

матрица

ж е с т к о с т и

прямоугольного

э л е м е н т а

локальной

системе

координат .

Д л я

вычисления

интеграла, в х о д я щ е г о

формулу

(4 - 65),

найдем

п р о и з в е д е н и е

матриц,

стоящих

под

знаком

интеграла:

100

		м	= м т	в д	м -
								, ( 4 - 6 6}
О	О	О	О	О	О	О		О
О	А	О	rçA	О	о	Я		ç A '
о	о	0	?0	о	0	о		rç&
о	ГІ	ç &	гг2 А-сг & о			fi	A.	(frG)çrç
О	О А	О	О	О	О	О	A.	о
о	о	G		о	&	О		Г7&
О	д	о	аЛ	о	о	А		7 А
о	5*	iG		о	гг&			^A-fG\|
г д е	4= А + 2& .
После		интегрирования			получаем:

О	О О	о	о	о	о	о
О	А	о -{НА	о	о	X	Hl
о	о	G- \| t &	о	G	о	ffi&

-•tli| о Ш 4AG $0?A-t?&) о Н& ihA Uh(A+&)

О О О	О	0 0 0 0	( 4-67)

о	о	G Н&	о	&	о н &
0	А	о z НА	о	о	А Н А
0	НА tk& itkfrti)		О \|К& Н А iftM^'d

l O l

7 Х - 1655

Формулу (4-6S) можно представить в более простом виде, используя сопоставление выражений (4 - 65), (4-66) и (4 - 67):

												(4-68)
Выполним		перемножение					матриц в			соответствии с
(4-68) и з а п и ш е м				полученную			в р е з у л ь т а т е					матрицу
ж е с т к о с т и	прямоугольного элемента								II			в в и д е
клеточной	матрицы:
												(4-69)
Элементы		блоков			матрицы					определяются
следующими зависимостями:
	г - 2			- 1	1		1	2	1	-1	- 2
	~г	2		1	-\		1	1	2	- 2		( 4-70)
	-1		f	2	- 2		m	-1	-2	2	f	( 4-70)
	-1		f	2	- 2			-1	-2	2	f
	і	- 1		- 2	2			-2	-1	1	2
	•
	2	f		-1	-2			2	- 2	- 1	1
	1	2		-2 - 1 * £ Gm "2					2	J - 1
	H	-2		2	1			- f	1	2	- 2	(4-71)
	- 2	-i		1	2			( -f		- 2	2	(4-71)
	- 2	-i		1	2			( -f		- 2	2
	' l	1		- 1	- 1		fr	1 -1 - M
	•i			f	1	+i
	1	-	1	f	-4	+i		-1	1	1 - 1		1 (4-72)
	-1		f	f	1			- I		1 1 - 1

Ю 2


г д е	П\~-		-	соотношение сторон					прямоугольника .
		8 4.		П р е о б р а з о в а н и е
				к о о р д и н			а т
	Во всех предыдущих					выкладках				использовалась
локальная система координат э л е м е н т а трещины . В
реальных			геологических		разрезах		трещины				могут р а с
полагаться под разными					наклонами			и т о г д а			на р а с ч е т
ной	схеме		локальные оси координат						к а ж д о г о э л е м е н
т а	т а к ж е		будут наклонены по отношению к								глобальным
о с я м		ху	под некоторым			углом		Ѳ"		(рис, 4 - 6) .
		Выразим		компоненты		узловых			сил и		перемещений
узлов		в глобальной системе координат								Oilj	через с

соответствующие компоненты, определенные в л о к а л ь

ных координатных			осях ^		:
									(4-73)
									(4-74)
г д е				соответственно					векторы к о м
					понент		узловых		сил и п е р е
				мещений узлов					в г л о б а л ь
				ных координатах Осу ,
	cos$	о	0	0	-sLn4		О	О	О
			0
	о	a>îB	0	0	0	-Sin9		О	О
			0
	о	О	œ s o	О	О		О	-ШІО О
М -	о	О	о	cos Ѳ	о		о	о ~ыпд
М -		О	О	О	C0S&		0	0	0
		О	О	О	C0S&		0	0	0
	О ѣіпВ		о	о	о	tos в		о	(4-76)
	О ѣіпВ		о	о	о	tos в		о	0
	О	о	ьйіѲ	о	0		о	cosö	о
	о	О	о	strtB о			о	о	cosB

Ю З

Выполнив простые преобразования, получаем:

У Н * ]

ад

от

(4-78)

к ти в сокращенной

форме:

(4-77)

Матрица

[ß]

о п р е д е л я е м а я

по

формуле

(4—77),

характеризует

ж е с т к о с т ь

прямоугольного

э л е м е н т а

в глобальной с и с т е м е

координат.,

качестве

примера

определим

элементы

матрицы

f £ ]

д л я

прямоугольника,

рассмотренного

в 8 2, в ы

полни в

перемножение

матриц в

соответствии

(4 - 77) .

Т о г д а:

2D,

-U,

-2D, 2Da Ъг

~Ѵг -2©й1

Фі

2Фі

-Z»i

-Î). Di 2Фг

- 2 ü i - C t

-Di'-2», 2D,

<D, -Ѵг -2Ѣг2<Ог

Фг

-23.

-Di

2t). -ab -Dz

2Фг

2«г

-Dz -2% 2<D3 D3

-0, -2D3 , (4-78)

<Dz

2<Dz-2î)z-Dz

D }

2D3 -2D5 -D3

-Dz -2D2 2D2

D 2

"D3 -2Ѵъ 2©* <D3

-?Dz -Di «г

29г "2% - D 3

2Ь3

г д е :

o 2

= ( k r 4 s L r v 9 c 0 S Ô

{ 4 " 7 Ö )

= k t sLn 2 8 +

kaCost e

Д я ш а

э л е м е н т а

о п р е д е л я е т с я

по формуле:

Г д е X

координаты

узловых

точек

э л е м е н т а

глобальной

системе

координат %у .

104

Аналогичные

преобразования можно

произвести,

используя запись

матрицы

ж е с т к о с т и в

форме

(4 - 69) .

8 5. Р а с ч е т

м а т р и ц ы

ж е с т

к о с т и

у ч а с т к а

м а с с и в а ,

р а с с е ч е н н о г о

т р е щ и н о й

Матрица

ж е с т к о с т и

всей системы

(сплошные

или квазисплошные блоки с р е д ы и трещины)

формиру

ется

путем

объединения

соответствующих членов

м а

триц

ж е с т к о с т и

отдельных

элементов,

независимо

от

их типа

д л я к а ж д о й

узловой точки.

Покажем

это

на примере.

Н а

рис . 4-7

и з о б р а ж е н а часть

расчетной

схемы

массива . В данном случае

блоки р а з д е л е н ы на э л е

менты треугольной формы,

трещины

— на

прямоуголь

ные элементы . Пронумеруем узлы, как показано на

рис. 4-7,

б у д е м искать

зависимость

м е ж д у

компо

нентами

силы,

приложенной

узле

компонентами

п е р е м е щ е н и й

узлов

1, 2,

3, 4,

5, 6,

8. В

узловой

точке 4 объединяются пять элементов: элементы блокоь

маосива 1, П , Ш и элементы трещины

1У и У.

О б о з

начим

матрицу ж е с т к о с т и

системы

треугольных

э л е

ментов

символом

[ А ]

( о т м е т и м ,

что

э т а

матрица

имеет

р а з м е р

1 0 ) .

Матрицы

ж е с т к о с т и

э л е

ментов

трещины

1У и У могут быть определены

по

формуле (4 - 77) .

Обозначим

их

соответственно [В]

[С]

. Выпишем

из

матриц

[А]

[В]

[С]

строки

[CL] »

[6]

[с]

соответствующие

компонентам

интересующей

нас

силы:

одя

"ап йі2. ûi5 а,4

al 6

Qi 7

a,g

u l 9

o.M O

•

L Q 2I

°-22

0-23

0-24

<%a26 0-27

Q 2 g

U Z 9

° 2 . l 0

Bu 6ез ë(4

6is Big 6,7 6|g

L(ui

6ffiB;tftj24

&2S^G

^27

6 28

(4-81)

[«].

&u ^іг

C I 3

C,4 Cis

C1Ê C|7 Cl8

Сц Ощ С?з Сад Cj£ Cjg C27

C23 J

105

Рис. 4-7

Н а й д е м			горизонтальную		и вертикальную	компо
ненты	(	^х^	и	5 у ѵ ) силы,	д е й с т в у ю щ е й в	узловой
точке	4.	Эти	компоненты определяются через			п е р е м е
щения	узлов		1-8	следующим	образом:

		Vit				ц7
						" в
			Из > +Сс] <			u 5
		Us	Из > +Сс] <				(4-82)
		tr,	^ €			^ 7
			^ 7			Vf
		Vi	П
		У4	Щ
		A
Объединив			в выражении (4-82)			элементы	матриц
M » [6] н		IX]	» соответствующие			перемещениям
одних	и те х	ж е	узлов, получим		д в е	строки [К 4]	обоб
щенной	матрицы		ж е с т к о с т и	[К]	системы . После
преобразований			получаем:
		{ r 4 } = [ K 4 ] ( U J		,			(4-83)

М	-	{Iх*
г д е :
		{ u, uz Uj u 4 us u B u7 Ug		v2 V3	V4 v5	ue ц i\),
							(4-84)
	Qi6	%0)Й-6І» an+ßi7-c,g al .\|0 + C\|7 6,5 8iec,s C\|S				1
	а г Б	a2 7 uz g +62 g a2g*627+cu амо^^Бгсбге-Сй c^ j
8 6. Р а с ч е т			п е р е м е щ е н и й				и
		н а п р я ж е н и й
Решение основной системы				уравнений м е т о д а ко
нечных	элементов		позволяет	найти	компоненты
перемещений узловых			т о ч е к		в системе		ко -

107

ординат ху

. Д л я

определения компонент

п е р е м е щ е

ний узлов в локальных осях координат

э л е м е н т а

преобразуем выражение

(4 - 74):

(4-8S)

Вычислим

элемент

1f2

вектора [ к / ]

д л я

в е р т и

кального сечения,

имеющего

абсциссу

^ = 0

осях

jPfy

. П о д с т а в и в

знач ѳ

ниѳ

^ = 0

в формулу

(4-28)

получаем:

vrz =

Vit

*Vg

- Vf

- Vj

(4-86)

—

J-— = A Vcp

Очевидно,

что

величина

л Ѵср.

определяет

осреднен-

ную деформацию э л е м е н т а трещины в

нормальном н а

правлении,

причем

значение лѴср>0

соответствует

с ж а

тию, a лѴср.<0

раскрытию

э л е м е н т а .

П е р е й д е м

расчету напряжений

элементах

т р е

щин, рассмотренных

в В 2. Напряженное

оостоянне

ф р а г м е н т а

трещины,

жлж. указывалось

ранее, в

э т о м

случае определяется

д е й с т в у ю щ и м и

нем

нормальными

и касательными

напряжениями . Н а й д е м

эти н а п р я ж е

ния,

использовав зависимости

(4—ЗО) и (4 - 27):

(4-87)

или

в развернутой

записи:

k t	0	]	\JL р -f	- I 0 0	0 0 "	ч
l 6 j ~ 2 l °	Ч		L 0 0 0	О <L	f -f -I	m	(4-ва)
						п
						п
Перемножение матриц				(4-88)	д а е т	следующий	р е
зультат:

Ï 0 8

				4L'
Jlkt	^t-}kt~^	0	0 0 0	(4-89)
2 L 0	О 0	0 Akft	J k a - ^ ( c - 4 a J	(4-89)
				•y;

г д е попрежнему
Эпюры	распределения напряжений по сторонам
э л е м е н т а	как с л е д у е т из формулы (4 - 89),

имеют трапецеидальный характер» Ординаты этих эпюр

могут	б ы т ь получены			по формуле (4-89), если при
нять	при	вычислении		ординат	эпюр напряжений в			у з
лах К	иJ		,	6A l l = 6ij)		- S « - $ *
в узлах £		и і	[Пе~Іч	, еле-бч)-		\|=	^
и при определении средних по					элементу		значений	н а
пряжений		£<С/о	K £ ^ - J = 0 .

Т о г д а:

T*P a i		kt	(U'K + ltf - U'rUJj,
Напряжения, возникающие в элементах крупных
трещин и	зон	(S 3 ) , определяются в						привязке		к
локальной	системе		координат		через		найденные в т о й
ж е системе координат компоненты							перемещений			узлов
по формуле (4 - 59), причем все три							компоненты			могут
быть вычислены		д л я любой			точки,		п р и н а д л е ж а щ е й
прямоугольному		э л е м е н т у .		К а к		с л е д у е т		из	анализа
этого выражения,			величины	напряжений				находятся
в зависимости от			координат		5	и Ç	» то		есть	и з м е
няются по	д в у м	о с я м . Практически					о к а з ы в а е т с я			д о -

ІОѲ

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2811 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ