книги из ГПНТБ / Опыт оценки устойчивости склонов сложного геологического строения методом конечных элементов и экспериментами на моделях

ÇK

t e

V

t

> T U - J ;

(4-22)

Т е м

ж е

Г'утем

могут

быть

получены

с о о т н о ш е ­

ния, связывающие

компоненты

внешних

сил,

прило­

женных

в

узлах

Ь

и

j

,

с

компонентами

п е р е м е ­

щений

узлов

і

,

j

,

к

и

I .

П р е д с т а в и м

эти

зависимости в

матричной форме:

k

~kt

-2kt

0

0

0

0

К

-2kt

"kt

0

0

0

0

" j

(4-23)

-к

kt

0

0

0

0

" - г

-k kt-

2kt

0

0

0

0

0

0

0

0

K-

0

0

0

0

К

»•„•-2K„-kn

0

0

0

0

2kn

kn

С

0

0

о •

-k„

kn

2k„

дли

(

4-24)

г д е

-

вектор

компонент

внешних узловых

сил,

t u

-

матрица

ж е с т к о с т и э л е м е н т а трещины,

-

вектор

компонент

п е р е м е щ е н и й узлов.

Отѵлетим,

что

матрица

ж е с т к о с т и

имеет

р а з м е р 8x8 и

является

симметричной.

Матрицы,

в х о д я ­

щ и е в выражение

(4 - 24),

приведены

к

локальной

системе координат

э л е м е н т а .

В т

о р

о й

с

п

о

с о б

( Б ) . Его

с у щ ­

ность

заключается

в т о м ,

что

при

определении

м а т ­

риц ы

ж е с т к о с т и элемента

трещины

используется

прин­

цип минимума

потенциальной

энергии

(

G o o d m a n ,

T a y l o r , Brekhe,

]968) .

Рассмотрим

фрагмент

т р е ­

щины, приведенный на рис.

4-5.

По аналогии

с записью

(4-1)

с о с т а в и м вектор

гранях

элемента

КІ и

Lj

,

причем

будем

считать,

что компоненты

п е р е м е щ е н и й

этих точек

определяются

линейной

интерполяцией

по

абсциссе

£

через

компо ­

ненты

перемещений у з л о в ы х

т о ч е к

I ,

j

, «

и

I .

Это условие,

как указывалось

ранее,,

обеспечивает

с о в ­

местность перемещений элементов блоков и

т р е щ и н .

Запишем соотношение (4 - 13), используя матричную

нотацию:

о

-

i

l

- 2I

L

Оt

1+

t

J IКi i

(

4-25)

Г 1

1

i n j

<-¥

о

К

V

_ <

к

~2

2Д

2Д

• щ

О

1

Ѣ

1-

оt

щ

[Л £

-J5

-Л

О О

О О

[U/J:

о о о

о л

р

-f> -л

(4-28)

г д е < Ы - ^ ,

2^

/ И - Ѵ -

П р е д с т а в и м

зависимость

(4-26) в

сокращенной

записи:

{ u / ] 4 [ M ] { u j

,

(4-27)

г д е

Л Jî -J3

-Л О О О О

(4-28)

О

О

О

О Л

jS - j i

Составим

вектор

напряжений,

возникающих в

э л е ­

-л

менте при действии на него внешних нагрузок,

полагая,

что

напряженное

состояние

э л е м е н т а о п р е д е л я е т с я

нор ­

мальной

и

касательной ^А. составляющими

полного

напряжения в

любом

вертикальном

сечении:

(4-29)

По аналогии с (4-7) и (4-11)

выразим н а п р я ж е ­

ния

через

вектор

относительных

п е р е м е щ е н и й

{и/}

и

деформационные

характеристики

к а

н Ц .

И M-

-lcММ

(4-31)

(4 - 30)

г д е

t

О

О

ка

Внешняя

нагрузка прикладывается

к э л е м е н т у

в

в и д е системы

сосредоточенных

узловых

сил и

з а д а ­

е т с я

следующим

вектором:

kj

ГДв

J$

— соответственно горизонтальные и в е р ­

тикальные компоненты узловых сил.

Д л я

обеспечения условий равновесия внешних и

внутренних сил, действующих по граням элемента, и с ­

пользуем

принцип минимума потенциальной энергии. Оп­

р е д е л и м

потенциал внешних

сил W

и потенциальную

энергию

деформаций U

элемента:

(4-33)

(4-34)

г д е ,

согласно уравнению

(4 - 27):

(ш}ЧМтім]т.

(4-35)

П р е д с т а в и м формулу

(4—34)

в

развернутом ви ­

д е ,

используя зависимости

(4-28)

и

( 4 - 3 0 ) :

ч

T [ M ] T M [ M ] { u ' } d F .

(4-36)

Изменениеu 4 J 4 потенциальнойM

энергии

системы о п р е д е л я ­

3 = I / - W

(4-37)

Раскроем запись (4 - 37), подставив в

нее

з а в и ­

симости (4-33)

и (4 - 36):

Э 4 ^ ' } Т [ і , | ^ ] Т И Г М ] с ( ^ { и ' ) - { и ' ) Т { ^ ] .

(4-38)

В

этом

выражении векторы компонент

п е р е м е ­

щений

узлов в ы н е с е н ы и з - п о д

з н а к а интеграла, т а к

как они не являются функциями

координат.

Р е а л и з у е м

условие

минимума потенциальной энергии,

продифферен ­

няв первую производную

нулю:

9 1 - П

( 4 - 3 Ö

3U ~ и

•

Т о г д а: Уг

-%

m

J

( 4 н ю )

f i ] M T

[ M ] d ^ ] { u , } - { j , b o .

Полученная

зависимость

определяет

связь

м е ж д у

компонентами внешних узловых сил и компонентами

перемещений

узлов

э л е м е н т а

т р е щ и н ы .

И с п о л ь з у я

матричную

нотацию,

представим

е е в с л е д у ю щ е м

в и -

г д е [|[ п ] -

матрица

ж е с т к о с т и

э л е м е н т а

трещины

в

локальной системе

координат,

о п р е д е л я е ­

м а я

по

формуле:

* %

Выполним

перемножение

матриц, стоящих

под

-знаком интеграла в

в ы р а ж е н и и

(4 - 42):

ели в

сокращенной

записи:

M

- M

W

( 4 " 5 1 )

Используя

инверсию

матрицы [М]

,

из

в ы р а ж е н и я

(4 - 51)

можно

определить значения элементов вектора

(4-52)

Отметим,

что д л я прямоугольного

элемента,

с т о ­

роны которого параллельны координатным осям (или

при рассмотрении элемеигга в локальной

системе

коор ­

динат ) ,

справедливы

равенства:

С учетом

этого

з а п и ш е м матрицу [ М 1

] в

с л е д у ю щ е й

форме:

M - I

О

t h

M"

(4-54)

г д е ,

І К 7 І

K J -

5l?L

-%

-%

?t

'Si

*>*

Si

-<

1

П о д с т а в и в

в уравнение

(4-46)

соотношение (4-52) п о ­

лучаем:

Н

= М [ М " ' ] И ,

(4-55)

Определим

относительные деформации в

прямоугольном

э л е м е н т е :

ч

а ?

М -

Ш*

(4-58)

' Ч

.

-<

M *

au*

Выполнив дифференцирование в соответствии с з а ­

писью (4 - 56), получаем

( з д е с ь дифференцируется

только матрица

[М*] , поскольку элементы матриц

[М'1 ] и

не

зависят

от

координат):

(4-57)

г д е

О

1 0

Q

t)

0 0

0

0

0

0

0

0

0

1 ^

(4-58)

[ O O I ^ O J O r j

Возможен

переход

от

относительных

д е ф о р м а ц и й

к наяряжениям:

•I = V С _

(4-59)

г д е

К

0

Л

ÎI+2G

О

(4 - 60)

О

О

G