книги из ГПНТБ / Настенко Н.Н. Системы автоматического регулирования зерноуборочных комбайнов

будет проходить через начало координат. Если при отклонении амплитуды критерий Михайлова удовлетворяется, то в системе будут затухающие колебания, если не удовлетворяется — расхо­ дящиеся. Такое заключение можно сделать потому, что гармо­ нически линеаризованные уравнения рассмотренных нелинейных систем справедливы и для описания переходных процессов при

ходном процессе амплитуда уменьшается, стремясь к установив­

ния удобно пользоваться в случае сложных нелинейных автома­ тических систем, когда уравнения (79) не решаются в явном виде относительно А и Q.

Рассмотренный критерий устойчивости периодического реше­ ния аналитически выражается следующим образом [22]:

(£)•(£)*- ШШ/>° . т

где звездочка означает, что в частные производные, взятые в общем

устойчивость которого исследуется. При этом надо проверить, чтобы знак неравенства (83) сохранился при малом отклонении

характеристической кривой удовлетворял критерию Михайлова. Это значит, что характеристическая кривая L (/со), пересекая начало координат комплексной плоскости, должна пройти п — 1 квадрантов, где п — порядок уравнения системы. Последнее надо проверять только для системы пятого порядка и выше. Для систем третьего и четвертого порядков это требование обеспечивается положительностью всех коэффициентов характеристического урав­ нения.

Рассмотрим второй способ исследования устойчивости перио­ дического решения с применением частотного критерия устойчи­ вости Найквиста (при использовании графо-аналитического метода Гольдфарба).

70

Иначе говоря, для устойчивости периодического решения тре­ буется, чтобы направление отсчета значений А вдоль характери­ стики нелинейности — 1/№н в точке пересечения ее с W„ выходило изнутри амплитудно-фазовой характеристики приведенной ли­ нейной части W'.

Устойчивость равновесия систем

В пространстве параметров систем нелинейных уравнений, опи­ сывающих динамику автоматического регулирования комбайна, могут существовать области следующих решений; периодических —

71

устойчивых (автоколебания) и неустойчивых; устойчивости равно­ весия при любых начальных условиях (устойчивость равновесия вне области периодических режимов) и устойчивости равновесия в ограниченной области начальных условий (устойчивость равно­ весия внутри области периодических режимов); неустойчивости при любых начальных условиях.

Рассмотрим определение области устойчивости при любых на­ чальных условиях, что является основной задачей расчета нели­ нейных систем автоматического регулирования комбайна.

Отсутствие периодического решения определяется отсутствием чисто мнимых корней в характеристическом уравнении гармони­ чески линеаризованной системы при любых значениях коэффи­ циентов q и ц' для данной нелинейности. В рассматриваемых не­ линейных системах гармонически линеаризованное уравнение справедливо и для переходных процессов вблизи периодического решения 122]. Поэтому, если вне области периодического решения, но вблизи нее, характеристическое уравнение (76) гармонически линеаризованной замкнутой системы удовлетворяет любому ли­ нейному критерию устойчивости (Гурвица, Михайлова или Найквиста) при любых значениях коэффициентов q и q' для данной нелинейности, то вблизи найденной границы область отсутствия периодического решения будет областью устойчивости равнове­ сия системы. Если же вне области периодического решения, но вблизи нее, гармонически линеаризованное уравнение (76) замкну­ той системы не удовлетворяет критерию устойчивости при любых возможных значениях коэффициентов q и q' для рассматриваемой нелинейности, то это будет область неустойчивости. Таким обра­ зом, граница области устойчивости определяется как граница между областью устойчивости равновесия и областью периоди­ ческих решений.

Для определения границы устойчивости при исследовании сложных нелинейных САР загрузки с запаздыванием, в которых выполняются требования метода гармонической линеаризации, можно воспользоваться критерием устойчивости Михайлова (или любым другим, удобным для исследования). В этом случае область устойчивости равновесия нелинейной системы можно определить как область параметров системы, для которой критерий устой­ чивости Михайлова, примененный к гармонически линеаризован­ ному уравнению системы, выполняется при любых значениях коэффициентов q и q', возможных для данной нелинейности. Сле­ довательно, в этой области параметров системы при любых зна­ чениях коэффициентов q и q' кривая Михайлова L (/со) должна охватывать начало координат комплексной плоскости X, jY. Граница устойчивости равновесия определяется как граница су­ ществования вычисляемых по уравнениям (79) вещественных по­ ложительных значений амплитуды и частоты периодического ре­ шения, при которых кривая Михайлова пересекает начало коор­ динат плоскости X, /У, проходя п— 1 квадрантов.

72

Рассмотрим определение устойчивости равновесия системы в ограниченной области начальных условий. Равновесное состоя­ ние нелинейной системы, устойчивое при ограниченных (доста­ точно малых) начальных отклонениях, может оказаться неустой­ чивым (расходящийся переходный процесс) при больших началь­ ных отклонениях.

Область устойчивости равновесия системы в ограниченной области начальных условий, в отличие от рассмотренного способа нахождения устойчивости при любых начальных условиях, опре-

Рис. 23. Определение границы областей устойчивости равнове­ сия и периодических решений в плоскостях параметров нели­ нейных автоматических систем

деляется либо при изменении только начальных условий при всех заданных параметрах системы, либо при изменении начальных условий и параметров системы [22].

При использовании метода гармонической линеаризации для систем любого порядка начальные условия задают одной вели­ чиной а0, которую называют начальной амплитудой.

Области устойчивости системы, зависящие от начальных усло­ вий, определяемых начальной амплитудой а 0 , выделяются в об­ ласти периодических решений (вне области устойчивости при лю­ бых начальных условиях).

Рассмотрим достаточно общий случай, когда имеется два перио­ дических решения (рис. 23, а), первое из которых с меньшей

рого устойчивого периодического решения, т. е. будет иметь место

ческому решению процесс, т. е. здесь также будут автоколебания с амплитудой Л 2 .

73

Следовательно, в рассматриваемом случае в области периоди­ ческих решений в зависимости от значения начальной амплитуды а0

Если по условиям работы системы режим автоколебаний не­ допустим, то практически это будет означать неустойчивость си­ стемы «в большом» при а0 > Аъ т. е. за пределами неустойчивого периодического решения.

В случае, когда амплитуда Л 2 невелика и по условиям работы данной системы автоматического регулирования не опасна, а мо­ жет быть и желательна, например для вибрационного сглаживав ния нелинейностей, при а0 >• Аг система будет работать как авто­ колебательная. При этом малая область устойчивости (при а 0 < <C^j) не имеет практического значения, так как реальные внеш­ ние возмущения всегда будут выводить систему из этой области. Это случай жесткого возбуждения автоколебаний в отличие от мягкого возбуждения при единственном устойчивом периодиче­ ском решении.

Таким образом, в области существования периодических ре­ шений наряду с автоколебаниями возможно состояние устойчи­ вого равновесия системы в ограниченной области начальных усло­ вий. Для иллюстрации этого рассмотрим результат решения не­ которой нелинейной системы по одному из параметров, например коэффициенту усиления k (рис. 23, а). Из рис. 23, а видно, что система имеет область устойчивости равновесия при любых на­ чальных условиях, а в области периодических решений: устой­ чивость «в малом» (при а о << А г) и автоколебания с амплитудой А 2 (при а 0 > A if, что, исходя из требования обеспечения устойчи­ вости САР комбайна, соответствует неустойчивости «в большом».

Для оценки сходимости или расходимости процесса колебаний в области периодических решений при разных начальных усло­ виях, выражаемых значениями начальной амплитуды а0, вос­ пользуемся критерием Михайлова.

Точке кривой a (k) при а = А (рис. 23, а) отвечает прохожде­ ние кривой Михайлова через начало координат комплексной пло­ скости X, jY (рис. 23, б) При этом кривая Михайлова, пересекая начало координат, должна проходить п — 1 квадрантов, где п — порядок характеристического уравнения системы. Это соот­ ветствует наличию двух чисто мнимых корней в характеристиче­ ском уравнении системы, остальные корни которого имеют отри­ цательную вещественную часть.

Если при всех а > А кривая Михайлова за счет изменения коэффициентов q и q' смещается в положение 1 (рис. 23, б), а при всех а < А — в положение 2, то в первом случае процессы зату­ хают (все корни характеристического уравнения имеют отрица­ тельные вещественные части), а во втором — расходятся (наличие комплексных корней с положительными вещественными частями).

74

(на рис. 23, а это отражено направлением стрелок); нижней ветви кривой А (к) соответствует неустойчивое, а верхней ветви — устой­ чивое периодическое решение (автоколебания).

Изложенное позволяет определить влияние начальных усло­ вий на характер протекания процесса регулирования при измене­ нии коэффициента усиления системы k. Если k «< kKp, то при любых начальных условиях имеется устойчивость равновесия

При свободных движениях системы с симметричными нелинейностями устойчивые периодические решения (автоколебания), если они возникают в системе, будут симметричными относительно равновесного состояния, т. е. будет отсутствовать постоянная соста­ вляющая во всех периодически изменяющихся параметрах системы.

Постоянная составляющая может появляться либо при несим­ метричной, относительно начала координат, нелинейности, либо при постоянном или медленно меняющемся внешнем воздействии (в астатических системах при постоянной скорости изменения внешнего воздействия). Под медленным изменением внешнего воз­ действия понимается изменение, практически незначительное за один период автоколебаний.

При определении несимметричных периодических решений под действием медленно изменяющегося внешнего возмущения, общее

75

Подставляя выражение гармонически линеаризованной нели­ нейности F (х, рх) в уравнение (85), получаем

При достаточно медленном изменении функции Q (t) [а в аста­ тических системах pQ (t) ] и величин х°, А и й, входящих в коэф­ фициенты <7°, q и q', уравнение (86) может быть разделено на два: соответственно для колебательной составляющей и для постоянной или медленно меняющейся составляющей [22]:

Уравнение (87) описывает периодическое движение системы (если оно возможно) по координате х* относительно центра коле­ баний х°, медленно меняющего свое положение. Уравнение (88) описывает движение центра колебаний относительно начала отсчета

Эти уравнения позволяют найти х°, А и й по известным пара­ метрам системы и заданному внешнему воздействию. С помощью их определяют также области устойчивости равновесия и области периодических решений. Устойчивость равновесия и устойчивость периодических решений находят рассмотренными ранее методами.

В ряде случаев периодические режимы нелинейных САР иссле­ дуют при постоянном значении внешнего воздействия Q0. При этом уравнения (89) принимают вид:

76

При отсутствии внешнего воздействия и несимметричных нелинейностях в последнее уравнение системы (90) необходимо под­ ставить Q0 = 0.

Зависимость устойчивости нелинейной системы от внешнего воздействия

В нелинейных системах, как было уже показано, возможна устойчивость равновесного состояния при любых начальных усло­ виях и в ограниченной области начальных условий. В обоих слу­ чаях устойчивость нелинейных систем зависит от постоянного или медленно меняющегося внешнего воздействия (а для астатических систем — от скорости изменения внешнего воздействия). Следует отметить, что устойчивость системы по медленно меняющейся со­ ставляющей регулируемого параметра (когда вибрационный режим создается от вынужденных колебаний) зависит от параметров периодического внешнего воздействия.

Устойчивость системы при любых начальных условиях, т. е. устойчивость равновесного состояния системы вне области перио­ дических решений при наличии постоянного или медленно меняю­ щегося внешнего воздействия (или постоянной его скорости для астатических систем), будем определять прежними методами по уравнению (87). Однако входящие в это уравнение коэффициенты q и q' будут теперь зависеть от постоянной составляющей х° [см. уравнения (71)]. Отсюда и граница устойчивости нелинейной системы, т. е. граница, отделяющая область устойчивости равно­ весия от области периодических решений, тоже будет зависеть от величины х°.

Из уравнений (89) зависимость х° (Q) находим следующим обра­ зом. Решая первое и второе уравнения относительно А и Q, по­ лучаем

ранее методами границу устойчивости равновесия нелинейной системы для каждого заданного значения внешнего воздействия (или в случае астатической системы — для каждого заданного зна­ чения постоянной скорости внешнего воздействия). Таким обра­ зом, получаем картину перемещения границы устойчивости в про­ странстве параметров^ нелинейной системы в зависимости от внеш­ него воздействия. Исключение составляет нелинейная система с идеальным реле (см. рис. 24, г), в которой устойчивость равно­ весия не зависит от внешнего воздействия.

77

Следовательно, при расчете нелинейных автоматических си­ стем регулирования комбайна необходимо определять перемещение границ устойчивости с изменением внешнего воздействия и выби­ рать параметры системы с учетом этого перемещения. Система, рассчитанная на устойчивость без учета внешних воздействий, может оказаться в реальных условиях работы неустойчивой при определенных значениях внешних воздействий.

§ 11. ГАРМОНИЧЕСКАЯ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ОСНОВНЫХ НЕЛИНЕЙНОСТЕЙ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ КОМБАЙНА

Найдем выражения коэффициентов гармонической линеари­ зации нелинейностей, встречающихся в САР комбайна. Коэффи­ циенты гармонической линеаризации для релейных характеристик, нелинейных характеристик типа люфта или зазора определены при симметричных колебаниях, а для нелинейных характеристик с на­ сыщением — также и при несимметричных колебаниях.

Релейные характеристики

Релейная характеристика общего вида (рис. 24, а). Для выпол­ нения гармонической линеаризации указанной нелинейной харак­ теристики решение для х отыскиваем в виде

Тогда в соответствии с графиком F (х) (рис. 24, а) на выходе нелинейности получим периодическую функцию F (A sin ij;) с аргу­ ментом о|) (рис. 24, б). Переключениям реле, происходящим в точ­ ках х = b и х = mb, будут соответствовать следующие значения

в системе отсутствует. Поэтому коэффициенты гармонической ли­ неаризации q и ц' определяются при А ^ Ь.

При рассматриваемой нелинейности интегралы в уравне­

гральная периодическая функция F (A sin г|з) равна нулю, то

78

первый и третий интегралы обращаются в нуль. С учетом этого коэффициент гармонической линеаризации

2Я

-с

X F

0

Вычисляем коэффициент ц' (А):

<?' (Л) = — 2сш (sin ^ — sin г|>2)

Для определения влияния основных параметров на устойчи­ вость и автоколебания нелинейных САР комбайна бывает необ­ ходимо определить из выражений (91) и (92) параметры нелиней-

щиеся для многих систем настроечными. В связи с этим удобно пользоваться безразмерными коэффициентами гармонической ли­ неаризации, которые определяют следующим образом:

79