книги из ГПНТБ / Настенко Н.Н. Системы автоматического регулирования зерноуборочных комбайнов

где

2я

включает дополнительное слагаемое, зависящее от скорости из­

Для петли гистерезисного типа (нелинейное запаздывание), примером которой может служить релейная характеристика об­

выражение гармонически линеаризованной нелинейной функции будет

У 1 = WH (jQ) х,

где Wa (/Q) = q (A) + jq' (A) — коэффициент гармонической ли­ неаризации в комплексной форме; представляет собой ампли­ тудно-фазовую характеристику данной нелинейности для первой гармоники.

60

Гармоническая линеаризация произвольной нелинейной функ­ ции F (х, рх) при отсутствии постоянной составляющей дает вы­ ражение

(68)

где

Обычная линеаризация нелинейной функции F (х, рх) дает выражение

у — +

где

dF \

Амплитудно-фазовая характеристика такого обычным спо­ собом линеаризованного звена имеет вид

W (jQ) = kj_ + /&2 Й.

Таким образом, при обычной линеаризации нелинейности F (х) амплитудно-фазовая характеристика не зависит от амплитуды и частоты колебаний входной величины, а при линеаризации не­ линейности F (х, рх) зависит только от частоты колебаний пере­ менной х. При гармонической линеаризации нелинейности F (х) амплитудно-фазовая характеристика зависит только от амплитуды колебаний входной величины х, а при линеаризации нелиней­ ности F (х, рх) — от амплитуды и частоты входных синусоидаль­ ных колебаний.

При несимметричной нелинейной характеристике или при сме­ щении центра входных синусоидальных колебаний разложение выходной нелинейной функции в ряд Фурье будет содержать по­ стоянную составляющую. Выполняя в этом случае гармоническую

61

линеаризацию нелинейной функции F (х, рх), будем полагать, что решение для входной величины х нелинейности ищется в виде

х = х0 + х* (х* = A sin Qt).

Раскладывая нелинейную функцию F [хй + A sin Qt) в ряд Фурье и пользуясь рассмотренным методом эквивалентной гармо­ нической линеаризации, получаем выражение гармонически ли­ неаризованной функции F (х, рх) при несимметричных колебаниях

Из уравнений (71) видно, что в общем случае при несимметрич­ ных колебаниях каждый из коэффициентов гармонической линеа­ ризации зависит от постоянной составляющей х°, амплитуды А и частоты Q колебаний:

до = q° (х°, A, Q); q= q (х°, A, Q); q' = q' (*°, A, Q).

Основные допущения метода гармонической линеаризации

При использовании метода гармонической линеаризации пред­ полагается, что для переменной, стоящей под знаком нелинейной функции, периодическое решение достаточно близко к синусои­ дальному [22]. Для других переменных в той же системе урав­ нений никаких ограничений на форму решения не накладывается. При этом считается только, что основная частота колебаний со­ храняется для всех переменных.

Покажем, какими свойствами нелинейной системы можно оправдать применение метода гармонической линеаризации для отыскания периодического решения переменной, стоящей под знаком нелинейности.

Свободное движение нелинейных систем автоматического ре­ гулирования загрузки молотилки при т = 0 (для упрощения хода рассуждений) может быть описано однородным дифферен­ циальным уравнением

где Z (р) и R (р) — многочлены любой степени с вещественными постоянными коэффициентами; F (х, рх) — нелинейная функция.

62

При определении автоколебаний предполагают, что решение х (t) нелинейного дифференциального уравнения (72) достаточно близко к решению х = A sin Qt некоторого линейного дифферен­

Сучетом произведенной замены дифференциальное уравнение

(72)принимает вид

(73)

При исследовании свободных колебаний системы, для каждого искомого периодического решения уравнение (73) является ли­ нейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффи­ циентами, так как коэффициенты q и q' в этом случае зависят от неизвестных, но постоянных по значению амплитуды А и ча­ стоты Q искомого периодического решения.

Чтобы гармонически линеаризованное уравнение (73) досто­ верно описывало свободные колебания нелинейной системы (72), синусоидальное решение х = A sin Qt этого уравнения должно, быть достаточно близким к решению заданного нелинейного урав­ нения. Это требование удовлетворяется, если в произвольной формы периодическом сигнале на выходе нелинейности, содержащем кроме первой гармоники и высшие, при прохождении через низкоча­ стотный фильтр, которым является обычно инерционная линей­ ная часть системы, отфильтровываются высшие гармоники.

Е. П. Поповым сформулированы условия, которым должны удовлетворять выражения Z (р), R (р), F (х, рх), входящие в задайное нелинейное уравнение (72), чтобы его решение достаточно мало отличалось от решения линеаризованного уравнения (73), несмотря на наличие сильной нелинейности F (х, рх), когда ищут периодическое решение х (t), близкое к синусоидальному [22].

Показано, что применение метода гармонической линеариза­ ции нелинейности допустимо при выполнении условий, названных обобщенным свойством фильтра, которые аналитически выра­ жаются так:

Наряду с этим необходимо, чтобы степень многочлена R (р) была ниже степени многочлена Z (р):

63

Выполнение условий обобщенного свойства фильтра требуется не от реальной, а от приведенной линейной части системы.

Из уравнения (72) находим выражение передаточной функции приведенной линейной части системы

R(s)

Z(s)

О1

мнимых корней и корней с положительной вещественной частью. Наличие же нулевых корней в многочлене Z (р) допускается; они только усиливают непропускание высших гармоник приве­ денной линейной частью, что видно из рис. 20.

Кроме того, должно выполняться требование достаточной плав­ ности изменения коэффициентов гармонической линеаризации q и q' при изменении амплитуды колебаний вблизи значения ампли­ туды А для искомого периодического решения.

Когда в системе имеется несколько нелинейных звеньев с су­ щественно нелинейными характеристиками, разделенных линей­ ными частями, указанные свойства фильтра должны удовлетво­ ряться для каждой из приведенных линейных частей.

Способы определения периодического решения

Периодическое решение будем отыскивать для нелинейных автоматических систем комбайна, описываемых в общем случае уравнением

64

Допускаем, что для исследуемой системы выполняются тре­ бования метода гармонической линеаризации. Пусть в уравнении системы Z (р) и R (р) — многочлены с постоянными коэффициен­ тами, при этом степень многочлена R (р) ниже степени много­ члена Z (р) и последний не имеет чисто мнимых корней и корней с положительной вещественной частью (наличие нулевых корней

ризации требуется выполнение условий обобщенного свойства фильтра

что обеспечивает близость периодического решения для перемен­ ной х к синусоидальному х = A sin Ш. При этом требуется до­ статочная плавность изменения коэффициентовгармонической линеаризации q и ц' вблизи искомого периодического решения, что практически имеет место для реально встречающихся в САР комбайна нелинейностей.

Рассмотрим исследование периодических режимов нелиней­

Q = const, поэтому уравнение (75) будет уравнением с постоян­ ными коэффициентами.

имеют отрицательные вещественные части (наличие нулевых кор­ ней не допускается).'

При сделанных допущениях наличие двух чисто мнимых кор­ ней в характеристическом уравнении замкнутой гармонически линеаризованной системы, когда все остальные корни имеют отри­ цательные вещественные части, определяет близость поведения

нелинейной системы к поведению линейной, находящейся на гра­ нице колебательной устойчивости (что соответствует возникнове­ нию в системе собственных незатухающих колебаний с постоян­ ной амплитудой). Поэтому при отыскании периодического решения (амплитуды и частоты) пользуются, способами определения гра­ ницы колебательной устойчивости системы, т. е. способами, опре­ деляющими наличие двух чисто мнимых корней в характеристи­

нения системы и решаемой задачи возможны несколько способов исследования периодических режимов [22].

При исследовании периодических режимов нелинейных САР комбайна высокого порядка с запаздыванием и учетом нескольких нелинейностей границу устойчивости системы целесообразно опре­ делять при помощи критерия устойчивости Михайлова [16]. Для этого по уравнениям линейных частей системы и гармонически линеаризованных нелинейностей составляют характеристическое уравнение замкнутой системы L (р). Граница колебательной устой­ чивости определяется прохождением кривой Михайлова L (/со) через начало координат комплексной плоскости, что соответствует наличию двух чисто мнимых корней р = ± /Q в характеристиче­ ском уравнении замкнутой системы, т. е. искомое решение находим

Выделив в выражении характеристической кривой (77) веще­ ственную и мнимую части, получим условие наличия двух чисто

фициенты которых, наряду с параметрами системы, входят через q и q' амплитуда А и частота Q искомого периодического решения.

Кроме двух чисто мнимых, остальные корни характеристи­ ческого уравнения должны иметь отрицательные действительные части. Это требование выполняется, если характеристическая кри­

66

Устойчивость периодического решения

В области периодических решений нелинейных систем воз­ можны как устойчивые решения, которым соответствуют авто­ колебания, так и неустойчивые. Поэтому после того, как уста­ новлено наличие в системе периодических решений, определяют их устойчивость.

Для исследования устойчивости периодических решений в не­ линейных системах, описывающих динамику САР комбайна, целе­ сообразно использовать в случае сложных систем критерий устой­ чивости Михайлова, в остальных случаях — аналитическую форму критерия устойчивости Михайлова или приближенный

JY

Рис. 21. Определение устойчивости периодического решения с помощью критерия устойчивости Михайлова

частотный критерий устойчивости Найквиста (при расчетах мето­ дом Гольдфарба).

Рассмотрим первый способ исследования устойчивости перио­ дического решения с применением критерия устойчивости Михай­ лова.

Уравнение кривой Михайлова для рассматриваемой нелиней­ ной системы, получаемое путем подстановки в гармонически линеа­ ризованное характеристическое уравнение системы (76) р = /со,

ходит через начало координат (рис. 21, а), причем в точке кривой, совпадающей с началом координат, параметр со равняется ча­ стоте Q периодического решения (абсолютной величине мнимого корня). При малом отклонении амплитуды а = А -4- Да, вслед­ ствие изменения коэффициентов q и q', кривая Михайлова уже не

69