книги из ГПНТБ / Настенко Н.Н. Системы автоматического регулирования зерноуборочных комбайнов

В дальнейшем, при решении уравнения (208) удобно поль­ зоваться величиной, обратной коэффициенту гармонической ли­ неаризации, которую обозначим \lq(A) = / (А).

Если уравнение (208) имеет устойчивое периодическое решение, то в системе будут автоколебания. В этом случае значения пара­ метров системы являются критическими и соответствуют границе области устойчивости равновесия системы и автоколебаний.

Согласно частотному критерию устойчивости, любое решение системы при выполнении неравенства W (/со, А) <$ 1 соответствует области устойчивости равновесия системы, а при W (/со, А) > 1 — области периодических решений.

Уравнение (208) для систем высокого порядка с запазды­ ванием удобнее решать графо-аналитическим методом, так как при аналитическом решении получаются громоздкие трансцен­ дентные уравнения.

Графо-аналитическое решение уравнения (208) представляет точку пересечения амплитудно-фазовой характеристики приве­ денной линейной части системы с запаздыванием Wm (/со) с обратным коэффициентом гармонической линеаризации нелиней­ ности, J (А). Амплитудно-фазовая характеристика приведенной линейной части системы с запаздыванием Wn3 (/со) является комплексной функцией частоты, а величина, обратная коэффи­ циенту гармонической линеаризации нелинейности, — веществен­ ной функцией амплитуды колебаний входной величины. Поэтому, если точка пересечения годографов этих функций есть, то она определяет частоту Q [из кривой Wm (/со) ] и амплитуду А [из значений J (А)] автоколебаний в системе регулирования, если точки пересечения нет, то и автоколебаний в системе не будет.

Подставляя в выражение (204) s = /со, получим амплитуднофазовую характеристику приведенной линейной части системы с запаздыванием

W„3 (/со). Возможность использования этого свойства умножения комплексных чисел и составляет преимущество графо-аналитиче- ского метода решения уравнения (208) для систем с запаздыва­ нием.

Для удобства расчетов и анализа введем обозначение ^ ( / © ) = ^ ( / < o ) e - ' 4

где Wn (/со) — амплитудно-фазовая характеристика приведенной линейной части системы в безразмерной форме; кл — коэффициент усиления линейной части системы.

180

¥ л ( / ш ) = Х(со) + /У(со).

Выражения для X (со) и У (со) найдем из уравнения (210):

Х(С0) = :ВС — u>TmN

Изменяя со в уравнениях (211) от нуля до бесконечности и умножая Wл (/со) на значение кл, строим зависимость W„ (/со) на комплексной плоскости в координатах X, /У.

гДалее строим функцию №Л з (/со), которая получается путем

и места установки датчика. В расчетах приняты по два значения

181

ния нелинейности, — вещественная отрицательная величина; ее строят в квадранте / / / плоскости X, jY.

При графо-аналитическом решении уравнение (208) удобно представить в виде

где J (Alb) — величина, обратная безразмерному коэффициенту гармонической линеаризации.

+jy

AminlbrW

Amax/b-2,01

Рис. 66. Графо-аналитическое определение устойчивости и параметров автоколебаний релейной астатической САР с запаздыванием

Графики коэффициентов J (Alb) для основных типов нелиней-

182

Из уравнения (212) находим следующее условие существова­ ния в исследуемой системе периодических режимов:

\w*AM\*2-T\J(Alb)U-

При выполнении этого условия в системе имеются периодиче­ ские режимы с двумя различными значениями амплитуд колеба­ ний. Проверим устойчивость найденных периодических режимов.

На рис. 66 кривые-^-./ (Alb) = f [Alb) построены в ква­ дранте /77 комплексной плоскости X, jY в масштабе 100 : 1

Прежде чем приступить к решению задачи, проверим выполне­ ние основных требований метода.

Из уравнения (209) следует, что амплитудно-частотная харак­ теристика приведенной линейной части системы резко умень­ шается с увеличением частоты. Следовательно, первое требова­ ние метода удовлетворяется. Необходимо подчеркнуть, что удов­ летворяется оно лишь с определенным приближением, тем большим, чем больше амплитуда 1-й гармоники по сравнению с амплитудами всех последующих гармоник колебаний, проходящих через при­ веденную линейную часть системы. Допускаемое приближение отражается на точности результата решения.

183

Второе требование также выполняется, так как степень много­

с положительными вещественными частями обеспечивается поло­ жительностью всех коэффициентов, что в рассматриваемом слу­ чае выполняется. Наличие одного нулевого корня свидетельствует о том, что система нейтральна.

теристика приведенной линейной части системы с запаздыванием

ческие режимы. В этом случае необходимо установить устойчи­ вость найденного периодического режима. Наконец, если харак­ теристика W„3 (/со) пройдет через точку N, это будет условием возникновения автоколебаний в системе регулирования.

Очевидно, что расположение точки ./V на отрицательной оси X будет зависеть от соотношения параметров Ыс. Как видно из рис. 66, при увеличении отношения Ыс запас устойчивости си­ стемы повышается. Так, если при Ыс = 1,875 в системе наблю­ дались автоколебания, то при Ыс = 2 система будет иметь неко­ торый, определяемый разностью абсцисс точек Ыг и N2 запас устойчивости.

При выборе оптимальных значений параметров b я с следует учитывать, что с увеличением параметра b увеличивается уста­ новившаяся ошибка регулирования системы, а с уменьшением

где Хх (со) — абсцисса критической точки N, т. е. точки пере­ сечения годографа № л з (/со) с осью X, которую находим по рис. 66.

При расчетах для рассматриваемой системы 5-го порядка получены следующие результаты:

184

Из анализа данных следует, что 1. С уменьшением коэффициента усиления линейной части

системы увеличивается запас устойчивости системы, так как уменьшается, при прочих равных условиях, абсцисса (ее абсо­ лютное значение | Хх) со) |) критической точки N.

2. С уменьшением постоянного запаздывания т повышается запас устойчивости системы, так как уменьшается абсцисса | Хх (со) | критической точки N.

Однако влияние на запас устойчивости системы коэффициента усиления k„ эффективнее, чем запаздывания т. Действительно, как следует из приведенного расчета, с уменьшением коэффи­ циента k„ на 11,6% | Хх (со) | уменьшается на 11,8%, т. е. почти одинаково, тогда как с уменьшением т на 40% | Хх (со) | умень­ шается всего на 22%.

Из рис. 66 видно, что при принятых параметрах объекта и

Для устойчивости найденного периодического решения тре­ буется, чтобы амплитудно-фазовая характеристика приведенной

нелинейного звена. Определяя передаточные функции звеньев из

Частоту автоколебаний определяем в точке пересечения ха­ рактеристики W„3 (/со) с осью X.

Частоту автоколебаний найдем с помощью линейной интерпо­ ляции. Это допустимо для очень малых отклонений частоты Дсо,

185

Глава V

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ КАЧЕСТВ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ ЗАГРУЗКИ МОДЕЛИРОВАНИЕМ НА АНАЛОГОВЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИНАХ

динамических качеств типовых САР загрузки и дается их анализ.

§ 20. УСТОЙЧИВОСТЬ, АВТОКОЛЕБАНИЯ И КАЧЕСТВО

ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ОДНОКОНТУРНОЙ АСТАТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ

Нелинейная модель регулятора

Влияние основных параметров системы на границу области устойчивости, параметры автоколебаний и характеристики пере­ ходных процессов. В зависимости от значений параметров и на­ чальных условий в системе возможны два режима (состояния): устойчивости равновесия и автоколебаний (рис. 68). В области устойчивости равновесия переходные процессы зависят от пара­ метров системы и могут изменяться от колебательных до моно­ тонно затухающих. В области устойчивых периодических режимов амплитуда и частота автоколебаний зависят от параметров си­ стемы.

Рассмотрим вначале влияние изменения параметров на гра­ ницу области устойчивости равновесия и на характеристики пере­ ходного процесса. В дальнейшем под устойчивостью САР будем понимать устойчивость равновесия.

Изменение границы области устойчивости в зависимости от параметров б и с нелинейности регулятора показано на рис. 68. Граница области устойчивости на рис. 68 определена с погреш­ ностью около 5% относительно критических значений пара­ метра Ь. Из рис. 68 видно влияние начальных условий (ампли­ туды а 0 начального отклонения регулируемой величины) на режим работы системы: устойчивость равновесия или автоколеба­

в области автоколебаний. При этом в системе имеет место режим «жесткого» возбуждения автоколебаний. Аналогичные резуль­ таты для рассматриваемой системы были получены ранее при аналитическом исследовании.

187

При изменении скорости с управляющего воздействия в преде­

аналитического решения составляет 14,9%, а результатов графо­ аналитического решения — 6,8%.

Из рассмотренного следует, что критические параметры б и с являются обратно пропорциональными величинами. Это значит,

*йд,кг1с

устойчивости системы потребует соответствующего снижения точ­ ности за счет увеличения зоны нечувствительности (параметра Ь). В этом проявляется известное из теории автоматического регули­ рования противоречие условий обеспечения статической точности и динамической устойчивости в одноконтурных САР. Поэтому

параметров) больше его критического значения приводит к потере устойчивости и автоколебаниям. Наоборот, с уменьшением kn <

регулирования, но существенно ухудшаются динамические ка­ чества системы, снижается ее устойчивость.

188

15%, отклонения постоянных времени объекта и регулятора, составляющие ± 2 5 % от их основных значений, не влияют сколько-

критического его значения, соответствующего нахождению си­ стемы на границе устойчивости. Можно принять, что [граница апериодических переходных процессов, характеризуемая отно­ шением параметров (Ыс)апер, отстоит от границы области устой­ чивости равновесия на величину, равную примерно 10% значе­ ния критического отношения параметров (Ыс)кр, т. е. (Ыс)аиер

1,1 (Ыс)кр. Граница апериодических процессов без перерегу­ лирований, т. е. без изменения знака регулируемого параметра,

189