книги из ГПНТБ / Настенко Н.Н. Системы автоматического регулирования зерноуборочных комбайнов

в формулу (113) значения этого параметра. Воспользуемся для этого преобразованием

1 РР '

где \ — параметр системы в соответствующих единицах измерения. С учетом этого выражения окончательно находим

#5 (*) = (РР)!/?е(ц).

При расчетах ограничиваемся верхним пределом интегрирова­ ния т ш а х = п Ах, где п — четное число. После вычисления ин­ теграла в формуле (114) с помощью интерполяционной формулы Симпсона расчетное уравнение для определения спектральной плотности принимает вид

5 (со) = ~ Ах [/?„ (т) cos 0 со + ARX (х) cos Атсо + 2R2 (т) cos 2 Атсо +

—©шах/'"- При вычислении S (со) принимаем г = 10, т. е.

спектральную плотность определяем для значений со, равных 0, сог, 2сог, Зсог, . . ., 10©,..

При вычислении спектральной плотности на цифровой вычи­ слительной машине «Минск» [программой было предусмотрено

111

Проверка точности решения

Точность исследования САР загрузки на машине МПТ-9-2 определяли путем сравнения решения контрольной задачи на модели и графо-аналитическим методом секущих [3], выполнен­ ным с высокой точностью.

Контрольная задача представляет собой следующую систему уравнений, описывающих движение нелинейной САР загрузки

Для решения этой системы принимаем значения основного ва­

112

рующего воздействия Av (t). Зная эту закономерность, по второму уравнению системы (117) при AQ = const легко найти изменение регулируемого параметра Ag (t).

Таким образом, задача исследования системы уравнений (117) сводится к решению уравнения (119), которое удобно выполнить

Процесс регулирования будет продолжаться до тех пор, пока Ah3_ н ^ Ъ; это же условие действительно и для графо-аналитиче­ ского решения системы уравнений (117). Для определения времени

Выбирая малый шаг разбиения At и большой масштаб построе­ ния, можно добиться практически любой необходимой точности графо-аналитического решения уравнения (119).

Глава IV

УСТОЙЧИВОСТЬ И АВТОКОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ ЗАГРУЗКИ

Начальным этапом расчета динамических качеств САР загрузки является определение границ областей устойчивости в плоскостях параметров системы, поскольку автоколебания не являются рабо­ чим режимом этих систем. Однако автоколебания могут исполь­ зоваться для улучшения динамических качеств САР, например путем вибрационной линеаризации нелинейностей.

Учитывая установленную нестационарность ряда звеньев объ­ екта и регулятора, важно определить влияние изменения постоян­ ных времени на смещение границ областей устойчивости. Одновре­ менно это позволит, исходя из сравнительной оценки относитель­ ного влияния на устойчивость системы постоянных времени звеньев объекта и регулятора, определить возможность снижения порядка дифференциального уравнения системы, для упрощения расчетов, путем отбрасывания несущественных, по влиянию на устойчивость, постоянных времени. Эту задачу решают путем построения границ областей устойчивости в плоскостях основных параметров системы и постоянных времени.

Расчеты проведем для нелинейной астатической САР загрузки с гидромеханическим регулятором момента на валу молотильного барабана, структурная схема (см. рис. 16, а) и математическая модель которой [уравнения (56) ] являются типовыми для извест­ ных САР загрузки. Для любого другого типа регулятора загрузки, математическая модель которого подобна рассматриваемой типо­ вой, методика расчета и основные зависимости параметров, из условия обеспечения устойчивости или требуемых параметров автоколебаний, будут аналогичны полученным для типовой мо­ дели.

Дальше, при определении влияния на устойчивость САР за­ грузки нелинейности насыщения F (АЯ) регулирующего органа — ходовой части комбайна (звено / на рис. 16, а) — будет показано (см. § 16), что САР с двумя нелинейностями — релейной F (АЯ3) в исполнительном механизме и насыщения F (АЯ) в регулирующем органе — будет устойчива, если обеспечена устойчивость системы с одной нелинейностью F (А/г3). Поэтому при решении поставлен­ ной задачи будем рассматривать регулирующий орган без учета насыщения, т. е. как линейное звено.

В рассматриваемых САР загрузки практически важным и наи­ более часто используемым настроечным параметром является

dH

скорость с = исполнительного механизма — гидроцилиндра вариатора ходовой части. Учитывая это, определим границу области устойчивости в плоскостях параметра с и постоянных времени Т\, Т\, ТА\ и U. Вследствие относительной малости по­ стоянной времени Т\ ^ 1,36-10~4 с2 , ею можно пренебречь.

Следует подчеркнуть, что, несмотря на некоторую ограничен­ ность поставленной задачи — определение устойчивости в зави­ симости от изменения постоянных времени — используемый графо­ аналитический способ решения является наиболее универсальным при расчетах любых нелинейных систем с помощью метода гармо­ нической линеаризации, при условии удовлетворения требований этого метода.

Методика решения поставленной задачи основывается на сле­ дующих положениях (см. гл. I I I , § 10).

Гармонически линеаризованные уравнения нелинейных систем рассматриваемого класса справедливы и для переходных процессов при малых отклонениях от периодического решения.

Если в области отсутствия периодических решений, но вблизи границы колебательной устойчивости характеристическое уравне­ ние гармонически линеаризованной замкнутой системы удовле­ творяет критерию устойчивости при любых значениях коэффи­ циентов q и ц' данной нелинейности, то область отсутствия перио­ дических решений вблизи найденной границы будет областью устойчивости равновесия системы.

Границу колебательной устойчивости системы находят с по­ мощью критерия устойчивости Михайлова, в соответствии с кото­ рым характеристическая кривая L (/со) пересекает начало коорди­

Область устойчивости равновесия определяется как область параметров гармонически линеаризованной системы, для характе­ ристического уравнения которой выполняется критерий устой­ чивости Михайлова при любых значениях коэффициентов этого уравнения и коэффициентов qn q', т. е. кривая L (/со) в этой области параметров должна охватывать начало координат плоскости X, jY и проходить я квадрантов'.

Изложенное определяет такую последовательность расчета. Сначала проверяем выполнение требований метода гармонической линеаризации для рассматриваемой системы. Далее, для каждого варианта принятых значений варьируемых параметров (постоян­ ных времени) определяем критическое значение параметра с к р , соответствующее нахождению системы на границе колебательной устойчивости. Если при с ф скр выполняется критерий устой-

116 .

чивости Михайлова, т. е. кривая L (/со) охватывает начало коор­ динат, проходя п квадрантов, то найденное значение с соответ­ ствует области устойчивости равновесия системы, а с к р — границе колебательной устойчивости. Изменяя значения выбранных пара­ метров — постоянных времени Т2К, Т„, ТА\ и U, определяем гра­ ницу области устойчивости в плоскости этих (или любых других) параметров и параметра с.

Проверим, .удовлетворяются ли для рассматриваемой системы [уравнения (56) ], с учетом допущения линейности звена 1 (см. рис. 16, а), основные требования метода гармонической линеари­ зации.

Выражение передаточной функции приведенной линейной части системы, определяемое из системы уравнений (56), согласно схеме на рис. 16, а, имеет вид

метода гармонической линеаризации удовлетворяется: высшие гармоники колебаний, которые существуют на выходе нелиней­ ного звена 6 (см. рис. 16, с), отфильтровываются приведенной ли­ нейной частью системы. При этом, чем полнее осуществляется фильтрация выходного нелинейного сигнала от высших гармоник

произведение квадратных (относительно р) трехчленов, то отсутстви« корней с положительной вещественной частью, а также чисто мнимых обеспечивается положительностью всех коэффици­ ентов. Наличие нулевого корня в полиноме Z (р) свидетельствует, что система нейтральна (астатизм первого порядка). Это улуч­ шает непропускание высших гармоник приведенной линейной частью системы (см. рис. 20).

Таким образом, для исследования рассматриваемой САР за-' грузки можно использовать метод гармонической линеаризации в его первом приближении, т. е. с учетом только первой гармоники периодцческого решения для переменной Ah3, при наличии су­ щественной нелинейности F (А/г3) релейного типа с зоной нечув­ ствительности.

117

Производя гармоническую линеаризацию нелинейности, по­ лучим

ние (94)].

С учетом полученного выражения определяем уравнение гар­

Подставив в характеристическое уравнение выражения опе­ раторов D{ (р) звеньев из системы уравнений (56), а также р = /со и выделив в нем действительную и мнимую части, получим сле­ дующее выражение характеристической кривой Михайлова:

Для удобства расчетов запишем в явном виде изучаемые пара­ метры, преобразовав выражения X (а, со) и У (а, со):

У2 (а,со) = k„ (— sin тсо ~\- Uti) cos тсо) q (а).

Интересующий нас параметр с входит в выражение коэффи­ циента q (а), и для удобства исследования выделим его отдельно. Для этого выразим коэффициент q (а) через безразмерный коэф­ фициент гармонической линеаризации q (а, Ь), согласно уравне­

118

Из полученных уравнений (123) и (124) видно, что основные параметры системы с, Ь, кли т выделены в явном виде. Пользуясь излагаемой методикой расчета, можно определить границы обла­ стей устойчивости в плоскостях всех этих параметров.

Критические значения изучаемых параметров, соответствую­ щие колебательной границе устойчивости, согласно выражению (122), находим из следующих уравнений:

виями, вытекающими из следующих рассуждений. Из уравне­ ний (124) видно, что при любых действительных значениях Х 2 и F j изменение параметра с обратно пропорционально изменению коэффициента q{a/b). Поскольку для рассматриваемой нелиней­ ности во всей области изменения коэффициента q имеет место

неравенство О ==S q {Alb) «S q {Alb)m3tX при Alb ^ l, то в соответ­ ствии с уравнениями (125) параметр с при этом изменяется в пре­

делах оо <; с sg: <?mln. Так как действительные значения коэффи­ циента q характеризуют наличие периодических решений, то, очевидно, и изменение параметра с в указанных пределах харак­ терно для области периодических решений.

Следовательно, значения параметра с вне области периодиче­ ских решений возможны только при с < cm l n . Отсюда можно заключить, что cm l n является критическим значением этого пара­ метра, соответствующим границе области периодических решений.

периодическое решение с конечной амплитудой А = 1,416. Таким образом, решение поставленной задачи по определению

границы области устойчивости в плоскостях параметра с и постоян­

удовлетворяющие решению уравнений (125), и являются искомыми с к р и О [где Q — частота периодического решения, соответству­ ющая прохождению характеристической кривой L (/со) через на­ чало координат комплексной плоскости]. Далее решение повто­ ряем для всех принятых значений варьируемых постоянных времени. В результате определяем искомые зависимости с к р (Т), выражающие границу области устойчивости системы в плоскостях

119